Chuyên đề lượng giác

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

Học viên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khóa : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
Để bắt đầu học chuyên đề lượng giác các bạn hãy nhìn lại toàn cảnh về bức tranh lượng
giác rồi sau đó đi tìm hiểu chi tiết từng phần lớn nhé !
21


SƠ ĐỒ TỔNG QUAN

Với mục đích sau cùng để giải các phương trình lượng giác hoặc chứng minh các đẳng thức
lượng giác thì chúng ta hãy bắt đầu đi từng phần lớn và hãy nhớ giao tiếp bằng ngôn ngữ
đường tròn lượng giác nhé !

21


HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hàm số y = sinx

Hàm số y= cosx

 Có tập xác định là







 Có tập xác định là

D=R
Có tập giá trị [-1;1]
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
Đồng biến trên mỗi
khoảng (−π2+k2π;π2+k2π),k∈Z
Đồ thị







D=R
Có tập giá trị [-1;1]
Là hàm số chẵn
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
Đồng biến trên mỗi
khoảng (−π+k2π;k2π),k∈Z
Đồ thị

Hàm số y = tanx
 Có

tập

xác

Hàm số y = cot x
định

là

D1=R∖{π2+kπ|k∈Z}

 Cótập

xác

định

là

D2=R∖{kπ|k∈Z}

 Có tập giá trị là R

 Có tập giá trị là R

 Là hàm số lẻ

 Là hàm số lẻ

 Là hàm số tuần hoàn với chu

 Là hàm số tuần hoàn với chu

kỳ π

kỳ π

 Đồng biến trên

 Nghịch biến trên mỗi

mỗikhoảng (−π2+kπ;π2+kπ),

khoảng (kπ;π+kπ),k∈Z
 Có đồ thị nhận mỗi đường

k∈Z
 Có đồ thị nhận mỗi đường

thẳng x=kπ(k∈Z) làm một đường

thẳng x=π2+kπ(k∈Z) làm

tiệm cận.

một đường tiệm cận.

21


Công thức lượng giác

Công thức lượng giác cơ
bản

sin 2 a + cos 2 a = 1
tan a.cot a = 1, a ≠

1
π
, a ≠ + kπ ( k ∈ ¢ )
2
cos a
2
1
1 + cot 2 a =
, a ≠ kπ ( k ∈ ¢ )
sin 2 a
1 + tan 2 a =

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
2

Công thức cung

a. Cung đối:

b. Cung bù:

c. Cung phụ :

21


d. Cung hơn kém:
cos

Chú ý

Công thức tổng

Hàm

Góc

Sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa
Sin(a-b)

= sinacosb – sinbcosa

Cos(a+b) = cosacosb – sinasinb
Cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
Tan(a+b)=
Tan(a-b) =

21


Công thức tích

Nhân đôi

Góc

Công thức hạ bậc
sin 2 a =

1 − cos2a
2

cos 2 a =

1 + cos2a
2

tan 2 a =

Nhân ba
sin 3a = 3sin a − 4sin a
3

cos3a = 4cos a − 3cos a
3

3tan a − tan 3 a
tan 3a =
1 − 3tan 2 a

Hàm

1
cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 
2
1
sin a.sin b =  cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2
1
sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 
2
α
cos a.cos b =

t = tan

Công thức tính theo
21

2

1 − cos2a
1 + cos2a


2t
sin a =
1+ t2

1− t2
cos a =
1+ t2

tan a =

2t
1− t 2

a π

 ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷
2 2


Ngôn ngữ
lượng giác

YÊU CẦU:
- Chứng minh các công thức lượng giác dựa vào đường tròn lượng giác?
- Học thuộc cách xác định các góc đặc biệt.

CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
21


I. chứng minh đẳng thức lượng giác
1. Bản chất
- Là việc biến đổi vế của phương trình lượng giác này thành vế còn lại

2. Phương pháp
B1: xác định vế cần biến đổi ( biến đổi từ vế cồng kềnh thành đơn giản)

B2: sử dụng các công thức lượng giác (thường biến đổi theo hàm sin x hoặc cos x)

Ví dụ : Chứng minh các biểu thức
a.- + +3 = 2
VT : - + +3
= – ++ 3(
= – + +3-3 =2
=
VT =
=
=
=
=
=
c.

21


II. Tính giá trị hàm lượng giác
Phương pháp: biến đổi công thức lượng giác dựa vào công thức lượng giác cơ bản ban
đầu và xét trong khoảng xác định cần tính
Ví dụ:
α

thỏa mãn:

π
<α <π
2

a

Cho góc

b

Cho góc mà sin . Tính sin(

c

cho góc mà . Tính sin.

sinα =

và

BÀI TẬP LÀM VIỆC NHÓM
Bài 1: Tính giá trị biểu thức

21

3
5

A=

. Tính

tanα

1+ tan2 α


sinα =

a) Cho
cos α =

b) Cho

2 ab
( a, b > 0)
a+b
2a
1+ a2

. Tìm

sinα + cos α =

c) Cho

5
4

. Tìm

sin 2α cos 2α tan 2α

,

,

sin 2α cos 2α tan 2α

,

. Tìm

,

.

sin 2α cos 2α tan 2α

,

,

.

Bài 2: Chứng minh đẳng thức
1 − sin 2a + cos 2a
π

= tan  − a 
1 + sin 2a + cos 2a
4


D. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
I. Phương trình lượng giác cơ bản:
1. Phương trình

sin x = a

⊕ a >1
: Phương trình vô nghiệm

⊕ a ≤1

•

 x = α + k 2π
sin x = sin α ⇔ 
( k ∈¢)
 x = π − α + k 2π
 x = β 0 + k 3600
sin x = sin β ⇔ 
( k ∈¢)
0
0
0
 x = 180 − β + k 360
0

•

21

.


•

 x = arc sin a + k 2π
sin x = a ⇔ 
( k ∈¢)
 x = π − arc sin a + k 2π

Tổng quát:

 f ( x ) = g ( x ) + k 2π
sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔ 
( k ∈¢)
 f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a )sin x = sin

c) sin 3x =

π
12

b) sin 2 x = − sin 360

1
2

d )sin x =

2
3

Giải
π
π


x = + k 2π
x = + k 2π


π
12
12
a ) sin x = sin ⇔ 
⇔
( k ∈¢)
12
 x = π − π + k 2π
 x = 11π + k 2π


12
12

(

b) sin 2 x = − sin 36 ⇔ sin 2 x = sin −36
0

0

)

 2 x = −360 + k 3600
 2 x = −360 + k 3600
⇔
⇔

0
0
0
0
0
 2 x = 180 − −36 + k 360
 2 x = 216 + k 360

(

)

 x = −180 + k1800
⇔
( k ∈¢)
0
0

 x = 108 + k180

21


π
2π

 π
3
x
=
+
k
2
π
x
=
+
k

 18
1
π
6
3
c)sin 3x = ⇔ sin 3x = sin ⇔ 
⇔
( k ∈¢)
5π

5π
2π
2
6 

3 x = + k 2π
x = +k

 18
6
3
2

x = arcsin + k 2π

2
3
d )sin x = ⇔ 
( k ∈¢)
3
 x = π − arcsin 2 + k 2π

3

2. Phương trình

cos x = a

⊕ a >1
: Phương trình vô nghiệm

⊕ a ≤1

•
•
•

cosx = cosα ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈ ¢ )
cosx = cosβ 0 ⇔ x = ± β 0 + k 3600 ( k ∈ ¢ )
cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k 2π ( k ∈¢ )

Tổng quát:

cosf ( x ) = cosg ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ( k ∈ ¢ )

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) cos x = cos

π
4

a ) cos x = cos

π
π
⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ )
4
4

Giải

d ) cos x =

3
3
⇔ x = ± arccos + k 2π , k ∈ ¢
4
4

21


3. Phương trình

tan x = a

( k ∈¢)
⊕ tan x = t anβ 0 ⇔ x =β 0 + k1800 ( k ∈ ¢ )
⊕ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ( k ∈ ¢ )
⊕ tan x = t anα ⇔ x = α + kπ

Tổng quát:

tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ )

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) tan x = tan

π
3

b) tan 4 x = −

1
3

(

)

c ) tan 4 x − 200 = 3

Giải
a ) tan x = tan

π
π
⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ )
3
3

1
1
π
 1
 1
b) tan 4 x = − ⇔ 4 x = arctan  − ÷+ kπ ⇔ x = arctan  − ÷+ k , ( k ∈ ¢ )
3
4
4
 3

 3

(

)

(

)

c) tan 4 x − 200 = 3 ⇔ tan 4 x − 200 = tan 60 0 ⇔ 4 x − 20 0 = 600 + k1800 ⇔ 4 x = 800 + k1800
⇔ x = 200 + k 450 , ( k ∈ ¢ )

Phương trình

cot x = a

( k ∈¢)
⊕ cot x = cot β 0 ⇔ x = β 0 + k1800 ( k ∈ ¢ )
⊕ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ( k ∈ ¢ )
⊕ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ

Tổng quát:

cotf ( x ) = cotg ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ )

21

4.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) cot 3x = cot

3π
7

π 1

c) cot  2 x − ÷ =
6
3


b) cot 4 x = −3

Giải
a ) cot 3 x = cot

3π
3π
π
π
⇔ 3x =
+ kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ )
7
7
7
3

b) cot 4 x = −3 ⇔ 4 x = arctan ( −3) + kπ ⇔ x =

1
π
arctan ( −3) + k , ( k ∈ ¢ )
4
4

π 1
π
π
π π
π
π
π


c ) cot  2 x − ÷ =
⇔ cot  2 x − ÷ = cot ⇔ 2 x − = + kπ ⇔ 2 x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ )
6
6
6
6 6
3
6
2
3



II. Phương trình đặc biệt
1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at 2 + bt + c = 0

, trong đó a, b, c là các hằng số

( a ≠ 0)

và t là một trong các hàm số lượng giác.

a.sin 2 f ( x) + b.cos f ( x) + c = 0 ⇒ Thay sin 2 f ( x) = 1 − cos 2 f ( x)
a.cos 2 f ( x) + b.sin f ( x) + c = 0 ⇒ Thay cos2 f ( x) = 1 − sin 2 f ( x )
a cos 2 f ( x) + b cos f ( x) + c = 0 ⇒ Thay cos 2 f ( x) = 2 cos 2 f ( x) − 1
a cos 2 f ( x) + b sin f ( x) + c = 0 ⇒ Thay cos 2 f ( x) = 1 − 2sin 2 f ( x)
a.tan f ( x) + b cot f ( x ) + c = 0 ⇒ Thay cot f ( x) =

1
tan f ( x)

b. Phương pháp:Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc
hai theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện
sin hoặc cos).
Ví dụ:
a)
b)

2sin 2 x + sin x − 3 = 0
cos 2 x + 3cosx − 1 = 0

là phương trình bậc hai đối với

sin x

.

là phương trình bậc hai đối với cos x.

21

−1 ≤ t ≤ 1

nếu đặt t bằng


Giải
2sin 2 x + sin x − 3 = 0(1)

a)

t = sin x

Đặt

, điều kiện

t ≤1

. Phương trình (1) trở thành:

t = 1 ( nhân )
2t + t − 3 = 0 ⇔  3
t = ( loai )
 2
2

Với t=1, ta được

sin x = 1 ⇔ x = k 2π ( k ∈ ¢ )

b) cos 2 x + 3cosx − 1 = 0 ( 2 )
t = cosx

Đặt

, điều kiện

t ≤1

. Phương trình (2) trở thành:

 −3 + 13
( nhân )
t =
2
2

t + 3t − 1 = 0 ⇔
 −3 − 13
( loai )

t =

2
t=

Với
c)

d)

−3 + 13
2

cosx =

ta được

2 tan 2 x − tan x − 3 = 0

−3 + 13
−3 + 13
⇔ x = ± arccos
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
2
2

(3)

3cot 2 3 x − 2 3 cot 3 x + 3 = 0

(4)

21


2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
b)7 tan x − 4 cot x = 12

a )3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0

Giải
a )3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 ⇔ 3 ( 1 − cos 2 2 x ) + 7 cos 2 x − 3 = 0
⇔ 3cos 2 2 x − 7 cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x ( 3cos 2 x − 7 ) = 0
cos 2 x = 0
⇔
3cos 2 x − 7 = 0
cos 2 x = 0 ⇔ 2 x =

*) Giải phương trình:

π
π
π
+ kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ )
2
4
2

3cos 2 x − 7 = 0 ⇔ cos 2 x =

*) Giải phương trình:

Vì

7
>1
3

nên phương trình

3cos 2 x − 7 = 0

7
3

vô nghiệm.
x=

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là

π
π
+ k ,( k ∈¢)
4
2

b)7 tan x − 4 cot x = 12 ( 1)

Điều kiện:

sin x ≠ 0

và

cos x ≠ 0

( 1) ⇔ 7 tan x − 4.
Khi đó:
Đặt

t = tan x

1
− 12 = 0 ⇔ 7 tan 2 x − 12 tan x − 4 = 0
tan x

, ta giải phương trình bậc hai theo t:

21

7t 2 − 4t − 12 = 0


Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau: 1)

2cos2 x − 3cos x + 1 = 0

2)

cos x + sin x + 1= 0
2

3)

2cos2x − 4cos x = 1

4)

2sin 2 x + 5sinx – 3 = 0

6 cos x + 5 sin x − 2 = 0
2

5)

6)

π

sin 2   x − ÷+ 2cos
3


π

  x − ÷ = 1
3


3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
a.Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng
a sin x + b cos x = c

Ví dụ:

trong đó

a, b, c ∈ ¡

và

a 2 + b2 ≠ 0

sin x + cos x = 1; 3cos 2 x − 4sin 2 x = 1;

b. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho

21

a 2 + b2

ta được:


a
a2 + b2

sin x +

c
a + b2
2

Nếu

c
a +b
2

Nếu

2

b
a2 + b2

cos x =

c
a 2 + b2

>1

: Phương trình vô nghiệm.
≤1

a

cosα =

a +b
2

thì đặt

sin α =

(hoặc

a
a +b
2

2

⇒ cosα =

2

có nghiệm khi

a + b2

b
a + b2

)

c

a2 + b2

Đưa phương trình về dạng:
lượng giác cơ bản.

c 2 ≤ a 2 + b2

b
2

2

sin ( x + α ) =

Chú ý: Phương trình

⇒ sin α =

cos ( x − α ) =

(hoặc

a sin x + b cos x = c

trong đó

c
a2 + b2

a , b, c ∈ ¡

và

) sau đó giải phương trình

a 2 + b2 ≠ 0

.

Ví dụ: giải các phương trình sau:
a)

sin x + cos x = 1;

b)

3cos 2 x − 4 sin 2 x = 1;

4.Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
a.Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

a.sin x + b.sin x cos x + c.cos 2 x = d ( a, b, c ≠ 0 )
2

21


b.Phương pháp:
⊕

Kiểm tra

⊕ cos x ≠ 0

cos x = 0

có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.

chia cả hai vế cho

cos 2 x

đưa về phương trình bậc hai theo

tan x

:

( a − d ) tan 2 x + b tan x + c − d = 0
Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
Ví dụ: Giải phương trình sau
1)

3)

3sin 2 x − 4sin x cos x +5cos 2 x = 2

25sin 2 x + 15sin 2 x + 9 cos 2 x = 25

2)

4)

21

2 cos 2 x − 3 3 sin 2 x − 4 sin 2 x = −4

4sin 2 x − 5sin x cos x − 6 cos 2 x = 0


5. Phương trình đối xứng
a. Phương trình đối xứng có dạng :

a(sin x ± cos x ) + b.sin x cos x = c

b. Phương pháp
Đặt: sinx + cosx =t, điều kiện
Sinx – cosx =t điều kiện

t≤ 2

t≤ 2

sinx.cosx =

Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

6. Phương trình đưa về dạng tích
Ví dụ 1. Giải phương trình:

2sin x(1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2cos x

(4)

Giải
Cách 1:

( 4 ) ⇔ 2sin x.2cos2 x + 2sin x cos x = 1 + 2cos x ⇔ ( 2cos x + 1) ( 2sin x cos x − 1) = 0

1

cos x = −

⇔
2

sin 2 x = 1

Cách 2:



( 4 ) ⇔ 2sin x cos 2 x − (1 − sin 2 x) − 2(cos x − sin x) = 0

⇔ 2sin x ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( cos x − sin x ) − 2 ( cos x − sin x ) = 0
2

⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x + 2sin 2 x − cos x + sin x − 2 ) = 0

⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x − 2cos 2 x − cos x + sin x ) = 0

Ví dụ 2.Giải phương trình:

cos 2 x + 3sin 2 x + 5sin x − 3cos x = 3

21

(5)


Giải

( 5) ⇔ (6sin x cos x − 3cos x) − (2sin 2 x − 5sin x + 2) = 0
⇔ 3cos x(2sin x − 1) − (2sin x − 1)(sin x − 2) = 0
⇔ (2sin x − 1)(3cos x − sin x + 2) = 0

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

21


Để giải các phương trình lượng giác các bạn hãy làm theo sơ đồ từng bước được hướng dẫn
theo chiều mũi tên, nếu có bất cứ điều gì cần giải đáp các bạn giơ tay hỏi giảng viên để được
hướng dẫn nhé !

III. BÀI TẬP LÀM THEO NHÓM
* Giải các phương trình sau:
21

3

4

5

6

7

8

IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau
cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x

1.
2.

cos3 x − 4sin 3 x − 3cos x.sin 2 x + sin x = 0
cot x − 1 =

3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2

sin 3 x + cos 3 x + 2 cos x = 0

sin x − 4sin 3 x + cos x = 0
tan x.sin 2 x − 2sin 2 x = 3(cos 2 x + sin x cos x)

cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0

(2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − sin x
cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x = 0

10.
11.

sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x

sin 2 2 x + cos 2 x = 1

Bài 2 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau
1.
2. =

21