Tổ hợp xác xuất

CHUYÊN ĐỀ
TỔ HỢP – XÁC SUẤT



Dạng bài

STT

1

2

 
3

Các bài toán tổ hợp

Xác suất

Nhị thức newton

Số bài tập rèn luyện

Thời gian rèn luyện

Ghi chú Bản thân

Quy tắc đếm

 

 

 

Hoán vị

 

 

 

Chỉnh hợp

 

 

 

Tổ hợp

 

 

 

 

 

 

 

Tìm hệ số

 

 

 

Tìm số hạng thứ

 

 

 

Tính tổng

 

 

 

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n
cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể

OR

AND

thực hiện bởi cách.
QUY TẮC CỘNG

QUI TẮC ĐẾM

Qui tắc

Qui tắc

CỘNG

NHÂN

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai giai đoạn A và B. Giai đoạn A có thể
làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện giai đoạn A thì giai đoạn B có thể làm
theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo cách

 

 

Tính chất công việc: Độc lập với nhau
Hoặc ( OR )

QUY TẮC NHÂN

Tính chất công việc: Liên quan đến
nhau ( các giai đoạn )
Hoặc ( AND )



Bài toán về qui tắc đếm

Bài 1: Bạn Diễm vào siêu thị mua 1 chiếc áo sơ mi cỡ 38 hoặc 39 ; cỡ 38 có 4 màu khác nhau , cỡ 39 có 6 màu. Hỏi bạn Diễm có bao nhiêu cách chọn
áo ?
Giải : Bạn Diễm có 2 phương án để chọn
Phương án A: Chọn áo cỡ 38 có 4 cách chọn ( tương ứng 4 màu khác nhau )
Phương án B : Chọn áo cỡ 39 có 6 cách chọn ( tương ứng 6 màu khác nhau)
Do 2 cách chọn áo là độc lập nên số cách bạn Diễm có thể chọn là : 4 + 6 = 10 ( cách ).

 
Bài 2: Cho tập A ={ 0;1;2;3;4}. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A?
Giải : Số tự nhiên có 3 chữ số lập từ A là ( a,b,c )
Chọn a \ { 0} có 4 cách chọn.
Chọn b \ {a} có 4 cách chọn
Chọn c \ {a; b} có 3 cách chọn.
Vậy có 4.4.3 = 48 số cần tìm.


Bài toán về hoán

vị

Bài 1: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao
nhiêu cách.
Giải : Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.

 Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải : Gọi với
+ Bước 1: chữ số

và phân biệt là số cần lập.
nên có 4 cách chọn a1.

+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.
Vậy có 4.24 = 96 số

 
Bài 3: Lớp học có 20 bạn học sinh cùng tham dự một hội thảo . Hỏi có bao nhiêu cách để xếp 20 bạn vào 20 cái ghế xếp thành vòng tròn.
Giải: Khi ta đổi chỗ 1 bạn trong 20 bạn trong 20 ghế xếp thành vòng tròn là một hoán vị
Vậy nên số cách xếp là


Bài toán về chỉnh hợp

 

Bài 1: Giải phương trình sao cho n là số nguyên dương
a) = 20n
  

b) 



 
c) 

 

 


 

Bài 2. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách?
Giải : Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.
Vậy có

cách sắp.

 

Bài . Từ tập hợp có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Giải :Gọi với và phân biệt là số cần lập.
+ Bước 1: chữ số

nên có 5 cách chọn a 1.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí cách.
Vậy có số.

 

Bài 4: Một buổi khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn?
Bài giải
Chọn 3 nam trong số 10 nam để ghép thành 3 cặp là chỉnh hợp chập 3 của 10 là:
Chọn 3 nữ trong số 6 nữ để ghép thành 3 cặp là chỉnh hợp chập 3 của 6 là
Vậy số cách chọn để ghép 3 nam và 3 nữ thành 3 cặp là: 720.120 cách


Bài toán về tổ hợp

Bài
  1 . Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải : Chọn 3 người từ tổng 8 người sẽ xảy ra các trường hợp sau

+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam.

 

- Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách.

Suy ra có cách chọn

- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có .
 
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam.

 

- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có cách.

Suy ra có cách chọn.

- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5.

 

 
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách

 Suy ra có 1 cách chọn
 Suy ra có 1 cách chọn

Vậy có cách chọn.





 Bài 5: Cho 20 câu hỏi, trong đó có 8 câu lý thuyết và 12 bài tập. Người

ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 5 câu
hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 2 câu lý thuyết và 2 bài tập.
Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
Bài giải
TH1: Chọn 2 câu lý thuyết, 3 câu bài tập

Chọn 2 câu lý thuyết trong số 8 câu lý thuyết là
Chọn 3 câu bài tập trong số 12 câu bài tập là
Vậy tổng số cách chọn là :
TH2: Chọn 3 câu lý thuyết, 2 câu bài tập
Chọn 3 câu lý thuyết trong số 8 câu lý thuyết là
Chọn 2 câu bài tập trong số 12 câu bài tập là
Vậy tổng số cách chọn là :
Kết luận: Tổng số cách để tạo ra đề thi là:



  Bài 6: Giải các phương trình sau sao cho là số nguyên dương
Giải



 




Ví dụ 2.Cho một hộp có 5 viên bi xanh, một hộp có 2 viên bi đỏ, 1 hộp có 3 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 4 viên bi sao cho có ít nhất 2 viên bi vàng.

Bài giải



Sơ đồ con đường
Bước 1: Xác định yêu cầu

TH1: Có 2 viên bi vàng, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh

Chọn 2 viên bi vàng trong 3 viên bi vàng là

+) Yếu tố: viên bi

Chọn 1 viên bi đỏ trong 2 viên bi đỏ là

+) Tính chất : số bi nguyên dương

Chọn 1 viên bi xanh trong 5 viên bi xanh là

Bước 2: Chọn




Vậy TH1 có số cách chọn là: cách

+ Cái gì : 4 viên

TH2: Có 2 viên bi vàng, 2 viên bi đỏ

+ Từ đâu: từ tổng 10 bi : xanh + đỏ + vàng

Chọn 2 viên bi vàng trong 3 viên bi vàng là

=> CT tổ hợp

Chọn 2 viên bi đỏ trong 2 viên bi đỏ là

+ Như thế nào:




Vậy TH2 có số cách chọn là: 3.1 3 cách



TH3: Có 2 viên bi vàng, 2 viên bi xanh

Bước 3 : Liên kết

Chọn ít nhất 2 viên vàng

Chọn 2 viên bi vàng trong 3 viên bi vàng là



Chọn 2 viên bi xanh trong 5 viên bi xanh là

+ TH1: 2 viên vàng trong 4 viên được chọn



•
•



•
•


Trường hợp : dữ kiện mở ( ít nhất )

Vậy TH3 có số cách chọn là 30 cách

+ TH2 : 3 viên vàng trong 4 viên được chọn

TH4: Có 3 viên bi vàng, 1 viên bi đỏ



Chọn 3 viên bi vàng trong 3 viên bi vàng có 1 cách

=> Quy tắc cộng

Chọn 1 viên bi đỏ trong 2 viên bi đỏ có 2 cách

.

Vậy TH4 có số cách chọn là: cách

 

TH5: Có 3 viên bi vàng, 1 viên bi xanh
Chọn 3 viên bi vàng trong 3 viên bi vàng có 1 cách
Chọn 1 viên bi xanh trong 5 viên xanh có 5 cách
Vậy TH4 có số cách chọn là: cách

Kết luận: Số cách chọn 4 viên bi sao cho có ít nhất 2 viên bi vàng là: cách chọn
 

Quy tắc đếm: Các trường hợp độc lập


Ví dụ 3.Trong 1 môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề
gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
 
Bài giải

-

Sơ đồ con đường

giải
Gọi A là tập hợp các cách chọn đề cóBài
3 câu
hỏi dễ, một câu hỏi khó, 1 câu hỏi trung

Bước 1: Xác định yêu cầu

bình.

+) Yếu tố: số câu hỏi

Gọi B là tập hợp các cách chọn đề có 2 câu hỏi dễ, 2 câu hỏi khó, 1 câu hỏi trung bình

+) Tính chất : Không có tính chất riêng

Gọi C là tập hợp các cách chọn đề có 2 câu hỏi dễ, 1 câu hỏikhó, 2, câu hỏi trung bình

Bước 2: Chọn

Ω là tập hợp các cách chọn theo yêu cầu đề bài

+ Cái gì : 5 câu hỏi

Vì A,B,C đôi một không giao nhau, nên:

+ Từ đâu: từ 30 câu( 5Khó + 10TB + 15Dễ)



Sơ đồ con đường

CT tổ hợp

+ Như thế nào:



Vậy
 

A = C .C .C = 22750
3
15

1
5

1
10

B = C152 .C52 .C101 = 10500
C = C152 .C51.C102 = 23625

Ω = 56875

Có đủ cả 3 loại
Câu hỏi dễ

Bước 3 : Liên kết


•
•

•
•
 

Trường hợp : dữ kiện mở ( )
TH1: Có 2 câu dễ
TH2 : Có 3 câu dễ
Quy tắc đếm:
Giữa các TH là độc lập => Quy tắc cộng
Trong 1TH là 1 quá trình=> Quy tắc nhân

Ví dụ 4: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự
lớp gồm 4 em. Tính số cách chọn, nếu trong 4 người có ít nhất một em nam.

Bài
Bài giải
giải
Có ít nhất một bạn nam
TH1: Có 1 bạn nam và 3 bạn nữ
- Chọn 1 nam trong số 25 bạn nam là
- Chọn 3 nữ trong số 15 nữ là
TH2: Có 2 bạn nam và 2 bạn nữ

-

Chọn 2 nam trong số 25 nam là
Chọn 2 nữ trong số 15 nữ là
TH3: Có 3 nam và 1 nữ

-

Chọn 3 nam trong số 25 nam là
Chọn 1 nữ trong số 15 nữ là
TH4: Có 4 nam

-

Chọn 4 nam trong số 25 nam là

Vậy có tổng cộng số cách chọn là

Sơ
Sơ đồ
đồ con
con đường
đường
 
 


Xác suất
 

Giả sử phép thử có không gian mẫu là m ột tập hữu hạn và các kết quả của là đồng khả năng . Nếu là một biến cố

ĐỊNH NGHĨA 

liên quan với phép thử và là tập các kết quả thuận lợi cho thì xác suất của là một số, kí hi ệu là , đ ược xác đ ịnh b ởi
công thức P(A) =  

Cho biến cố . Xác suất của biến cố đối là

ĐỊNH LÝ

 Nếu hai biến cố
QUI TẮC TÍNH
XÁC SUẤT

và xung khắc thì xác suất để hoặc xảy ra là

 

Nếu hai biến cố và độc lập với nhau thì P(AB) =P(A).P(B)

Phép thử
Thực
hiện
 

công việc

 

Không gian mẫu

Biến cố chắn chắn

Trường hợp xảy

ra

(kết quả đồng

khả năng)



Ví dụ 1. Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh
số chẵn?

Bài
Bài giải
giải
Chọn ngẫu nhiên 4 thẻ trong số 16 thẻ ta được không gian mẫu: Ω
Gọi P(A) là xác suất chọn ngẫu nhiên 4 thẻ đánh số chẵn trong số 16 thẻ.
Ta có các thẻ được đánh số chẵn là các thẻ số 2,4,6,8,10,12,14,16.
Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 thẻ trong số 8 thẻ được đánh số chẵn là:
Vậy xác suất là:

Sơ
Sơ đồ
đồ con
con đường
đường
Bước 1: Xác định yêu cầu
Bước 1: Xác định yêu cầu
+) Yếu tố: Chọn thẻ ( số nguyên )
+) Yếu tố: Chọn thẻ ( số nguyên )
+) Tính chất : Không có tính chất riêng
+) Tính chất : Không có tính chất riêng
Bước 2: Chọn
Bước 2: Chọn
CT tổ hợp
CT tổ hợp
+ Cái gì : 4 thẻ + Từ đâu: 16 thẻ
+ Cái gì : 4 thẻ + Từ đâu: 16 thẻ
Không gian mẫu
Không gian mẫu
+ Như thế nào:
+ Như thế nào:

4 thẻ chẵn
4 thẻ chẵn
Bước 3 : Xác định biến cố
Bước 3 : Xác định biến cố
Trường hợp : dữ kiện đóng
Trường hợp : dữ kiện đóng
Quy tắc đếm: chọn 1 lần
Quy tắc đếm: chọn 1 lần


Ví dụ 2. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu
nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.

Bài giải

Sơ đồ con đường

Chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu trong số 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa

Bước 1: Xác định yêu cầu

dâu và 3 hộp sữa nho ( 12 hộp sữa ) ta được không gian mẫu: Ω

+) Yếu tố: Chọn hộp sữa

Gọi P(A) là xác suất chọn 3 hộp sữa để phân tích mẫu có đủ cả 3 loại

+) Tính chất : Không có tính chất riêng

Ta có số cách chọn 3 hộp sữa để phân tích mẫu có đủ cả ba loại là:: cách

Bước 2: Chọn

Vậy xác suất là: P(A)



CT
CT tổ
tổ hợp
hợp

+ Cái gì : 3 hộp sữa
+ Từ đâu: 12 hộp



Không gian mẫu

+ Như thế nào:

-

Có đủ cả 3 loại

Bước 3 : Xác định biến cố




Trường hợp : dữ kiện đóng
Quy tắc đếm:

Trong 1 quá trình chọn => Quy tắc nhân



CT tổ hợp