ĐẠO hàm

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

y = f ( x)
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số

f ' ( x0 ) = lim

( a ; b)
xác định trên khoảng

x0 ∈ ( a ; b )
và

x0
, đạo hàm của hàm số tại điểm

là

f ( x ) − f ( x0 )

x→ x0

:

x − x0

.

1.2. Chú ý :

∆x = x − x0 ; ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
•

Nếu kí hiệu

thì :

f ' ( x0 ) = lim

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
x − x0

x → x0

∆y
∆x → 0 ∆x

= lim

.

y = f ( x)

•

Nếu hàm số

x0
có đạo hàm tại

thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Ý nghĩa của đạo hàm

y = f ( x)
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số

( C)
có đồ thị

f ' ( x0 )
•

( C)
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị

của hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại

.

M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C )

y = f ( x)
•

M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C )

y = f ( x)

tại điểm

là :

y = f ' ( x0 ) ×( x − x0 ) + y0
.
2.2. Ý nghĩa vật lí :

1


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

s = s( t)
•

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình :

Q = Q( t)
•

tại thời điểm

tại thời điểm

là

.

I ( t0 ) = Q ' ( t0 )

t0

Cường độ tức thời của điện lượng

v ( t0 ) = s ' ( t 0 )

t0

là :

.

3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

u = u ( x) ; v = v ( x) ; C :
3.1. Các quy tắc :

Cho

là hằng số .

( u ± v ) ' = u '± v '
•

⇒ ( C.u ) ′ = C.u′

( u.v ) ' = u '.v + v '.u
•

•

C.u′
 u  u '.v − v '.u
 C ′
,
v
≠
0
⇒
(
)
 ÷=
 ÷ =− 2
2

v
u
v
u

y = f ( u) , u = u ( x)
•

⇒ y′x = yu′ .u ′x

Nếu

.

3.2. Các công thức :

( C)′ = 0

;

( x)′ = 1

•

( x ) ′ = n.x
n

•

n −1

( x )′ = 2 1x

( ) ′ = n.u

⇒ un

, ( x > 0) ⇒

n −1

( u ) ′ = 2u′u

.u ′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 )

, ( u > 0)

•

( sin x ) ′ = cos x

⇒ ( sin u ) ′ = u.′ cos u

•
2


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246

EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

( cos x ) ′ = − sin x

⇒ ( cos u ) ′ = −u ′.sin u

•

( tan x ) ′ =
•

1
2

cos x

( cot x ) ′ = −
•

1
sin 2 x

⇒ ( tan u ) ′ =

u′
cos 2 u

⇒ ( cot u ) ′ = −

u′
sin 2 u

.

4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :

y = f ( x)
•

Cho hàm số

y = f ( x)

x0
có đạo hàm tại

vi phân của hàm số

x0
tại điểm

là :

df ( x0 ) = f ′ ( x0 ) .∆x
.

y = f ( x)

•

Cho hàm số

f ′( x)
có đạo hàm

df ( x ) = f ′ ( x ) .∆x = f ′ ( x ) .dx

f ′ ( x ) .∆x
thì tích

y = f ( x)
được gọi là vi phân của hàm số

. Kí hiệu :

dy = y′.dx
hay

.

4.2. Công thức tính gần đúng :

f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) .∆x
.

5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :

•

Định nghĩa :

f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′

3


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

s = f ( t)
•

Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động

5.2. Đạo hàm cấp cao :

tại thời điểm

′
n
n−1
f ( ) ( x ) =  f ( ) ( x )  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 )




a ( t0 ) = f ′′ ( t0 )

t0
là

.

.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
1 Tìm đạo hàm theo định nghĩa

5.3.

Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :
•

Cách 1 : Theo quy tắc

o

Bước 1 : Cho

x

∆x

một số gia

∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )

∆y
và tìm số gia

tìm

. Lập tỉ số

∆y
∆x

∆y
∆x → 0 ∆x
lim

o

Bước 2 : Tìm giới hạn

f ' ( x0 ) = lim

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

x→ x0

•
5.4.

Cách 2 : Áp dụng công thức:

.

Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:

f ( x ) = x3 − 2x + 1

f ( x) =

x0 = 2

2x −1
x+2

x0 = 1

a)
tại
;
b)
tại
.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
 x 3 − 2 x khi x ≥ 2

f ( x ) = 3 3x + 4

a)

f ( x) = 
10 x − 16

x0 = 3
tại

;

b)

khi x < 2

x0 = 2
tại

.

4


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :

y = f ( x ) = x 2 − 3x + 2

y = x3 − 2 x2 + 1
a)

;

.

b)

5.5. Bài tập áp dụng :

Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra :

f ( x ) = x 2 − 3x + 1
a)

c)

f ( x) = 2x − x2

x0 = 3
;

tại

x 2 − 3x + 3
f ( x) =

x+2

b)

;

tại

x0 =

d)

tại

Bài 2. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên

 x − 4x + 3

khi x > 1
f ( x) =  x −1
3 x − 5
khi x ≤ 1


;

tại

f ( x ) = cos 2 x

x0 = 4

x0 = 1

¡

π
4
;
.

2

a)

 2 x 2 + a khi x ≤ 0
f ( x) = 
3
 − x + bx khi x > 0

; b)

f ( x ) = x − 3x + 2
2

f ( x) =

x

c)

; d)
Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :

f ( x ) = x3 − 3x 2 + 2 x + 1

a)

f ( x) =

.

f ( x) = 3 x

;

x −1
x +1

b)

;

f ( x) =

1
sin x

c)
;
d)

Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :

f ( x ) = x − 4x
3

2

a)

;

b)

2

;

( C) : y = x
5.6.

sin x + cos x khi x > 0
f ( x) = 
khi x ≤ 0
2 x + 1

;

3

c)

Bài 5. Có bao nhiêu tiếp tuyến của

;

f ( x ) = tan ( 2 x + 1)

f ( x ) = x + 3x
4

;

5

3

d)

.

2

− 3x + 6 x − 5
có hệ số góc âm ?

.

Các ví dụ minh họa :

5

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN
1Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1
y = 2x4 − x3 + 2 x − 5
3

y = (x3 − 2)(1− x2)
;

a)
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

b)

x2 − 3x + 3
y=
x−1

2x + 1
y=
1− 3x

y=

;

a)
;
b)
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
2

y=

4

y = (x + x + 1)

c)

(x + 1)2

y=

3

(x − 1)

;

a)
;
b)

Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y = 2x2 − 5x + 2

a)
•

; b)

1− x + x2

1
(x − 2x + 5)2
.
3

; c)

sin x + cos x
sin x − cos x

; c)

.

2

y = ( 1+ 1− 2x )

a)

; b)
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y=

1+ x − x2

c)

y = (x − 2) x2 + 3

y = 2 sin 3 x cos 5 x

.

.

2
1 + tan 3 x
y=
2
1 − tan 3 x

.

Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các hàm số
có chứa các hàm số lượng giác.

Ví dụ 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y = (sin x + cos x)

y=

2

;

a)

;

(

2
1
y = tan2x + tan3 2x + tan5 2x
3
5
c)

;

d)

Ví dụ 9. Cho hàm số :

.

m

. Tìm

f ′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ¡

c)

)

y = tan 2 sin cos3 2 x 



1
y = f ( x ) = x3 − 2 x 2 + mx + 5
3

a)

tan x + cot x

b)

để :

f ′ ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( 0; + ∞ )

;

f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ ( 0; 2 )
;

d)

;

b)

f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( − ∞ ; 2 )
.

6


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN
f ( x) =
Ví dụ 10.

m 3 m 2
x − x + ( 4 − m ) x + 5m + 1
3
2

Cho hàm số :

f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ ¡

f ′( x) = 0

a)
•

;

m
. Tìm

để :

có hai nghiệm cùng dấu.

b)

Bài 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y=

1

x +
5

2

2
3

3

x −x −
4

3

2

y=

x + 4x − 5
2

a)

;

y=

x

4

4

x

−

3

3

+

x

2

2

4

;

−x

y = x − 4x + 2x − 3 x
5

3

d)

;

2

x b
a
+ 2 +c x +
−3b
a x
2

a ,b ,c

e)
(
Bài 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

là hằng số) .

5

a)

;

2x − 1
x −1

;

e)

2x − 4x + 5

b)

;

y = x +1−

2x + 1

g)
;
h)
Bài 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y = (2 x − 3x − 6 x + 1)
2

a)

y=

2

;

(

)

 1


x +1 
− 1÷
 x 

c)

x + x −1
2

3
y=
2x − 5

y=
;

2

3

y=

y = x (2 x − 1)(3 x + 2)

y = (2 x − 3)( x − 2 x)

y=

3

x + x − 0,5 x

b)

;

y=

d)

4

1

−

2

c)

y=

1

2

y=

x +1

x −1

f)

;

i)

;

5x − 3
x + x +1
2

1
( x − x + 1) 5
2

b)
2

1 

y= x −
÷
x


y = ( x 2 − x + 1)3 ( x 2 + x + 1) 2
c)

;

d)

;

y = 1 + 2 x − x2
e)
.

y=
;

f)

x2 + 1 − 1 − x2
;
7


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN
Bài 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y=

sin x
x

+

x

y=

sin x

a)

;

sin 2 x + cos 2 x
y=
2 sin 2 x − cos 2 x
c)

y=
e)

sin x + cos x

;

y = 4sin x cos 5 x.sin 6 x
;

sin 2 x + cos 2 x

d)

y=

sin 2 x − cos 2 x

y = tan

b)

sin 3 x + cos3 x

;

f)

;

sin x − x cos x
cos x − x sin x

;

x +1
y = tan 3 x − cot 3 x

2

g)

;

f ( x) =
Bài 9. a) Cho hàm số

cos x
1 + sin x

y = f ( x) =

h)

;

π  π 
f ' ( 0 ); f ' ( π ) ; f '  ; f '  
2 4

. Tính

π 
f  ÷− 3 f
4

2

cos x

1 + sin 2 x

.

π 
' ÷ = 3
3

b) Cho hàm số
. Chứng minh:
Bài 10. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

(

) (

y = 3 sin 4 x + cos 4 x − 2 sin 6 x + cos6 x
a)

;

y = cos x ( 2cos x − 3) + sin x ( 2sin x − 3 )
4

b)

)

2

4

2

;

y = 3 ( sin x − cos x ) + 4 ( cos x − 2sin x ) + 6sin 4 x
8

8

6

6

c)

;

Bài 11. Cho hàm số y = x sin x chứng minh :

xy − 2 ( y '− sin x ) + x ( 2cos x − y ) = 0

a)

b)

;
y'
− x = tan x

cos x

Bài 12. Cho các hàm số :

.

f ( x ) = sin4 x + cos 4 x

3 f ' ( x) − 2g ' ( x) = 0

g ( x ) = sin6 x + cos 6 x
,

. Chứng minh :

.

8


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

y = x + 1+ x2
Bài 13. a) Cho hàm số

2 1 + x 2 . y' = y
. Chứng minh :

y '+ 2 y + 2 = 0

y = cot 2 x
b) Cho hàm số

y' = 0

Bài 14. Giải phương trình

. Chứng minh :

.

biết :

y = cos x + sin x
2

y = sin 2 x − 2 cos x
a)

;

c)

b)

;

y = ( m − 1) sin 2 x + 2cos x − 2mx

y = 3sin 2 x + 4 cos 2 x + 10 x
;

d)

.

1
y = x3 − ( 2m + 1) x 2 + mx − 4
3
Bài 15. Cho hàm số

m
. Tìm

y' = 0

a)

.
2

để :

có hai nghiệm phân biệt ;

y'
b)
c)
d)

có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;

y ' ≥ 0 , ∀x ∈ ¡

;

y ' < 0 , ∀x ∈ ( 1 ; 2 )
;

y ' > 0 , ∀x > 0

e)

.

1
y = − mx 3 + ( m − 1) x 2 − mx + 3
3
Bài 16. Cho hàm số

. Xác định

y ' ≤ 0 , ∀x ∈ ¡

a)

để :

.

y' = 0

b)

m

có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;

x12 + x22 = 3

y' = 0
c)

có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện :

y=
Bài 17. Cho hàm số

mx + 6 x − 2
x+2

.

2

m
. Xác định

để hàm số có

y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 1 ; + ∞ )

.

Bài 18. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y = x + 3 x + mx + m
3

2

y' ≤ 0

có

trên một đoạn có độ dài bằng 1 .
9


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

(

)

y = mx4 + m2 − 9 x2 + 10 ( 1) ( m laøtham soá)
Bài 19. Cho hàm số
biệt .

y' = 0

m
. Xác định

để hàm số có

có 3 nghiệm phân

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

5.7.

Phương pháp :

( C ) : y = f ( x)
• Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị

M ( x0 ; y0 )
tại

, có phương trình là :

y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0
(1).

( C ) : y = f ( x)
• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị

có hệ số góc là

k

M 0 ( x0 ; y0 )
thì ta gọi

là

⇒ f ' ( x0 ) = k
tiếp điểm

(1)

y0 = f ( x0 )

x0
 Giải phương trình (1) tìm

suy ra

y = k ( x − x0 ) + y0
 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng :
 Chú ý :

M ( x0 , y0 ) ∈ ( C )
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại
trục hoành và tiếp tuyến .

k = f ′ ( x0 ) = tan α
là

Trong đó α là góc giữa chiều dương của

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng

−1

.

A ( x1 ; y1 )
• Biết tiếp tuyến đi qua điểm

:
10


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

y = f ( x)
 Viết phương trình tiếp tuyến của

M 0 ( x0 ; y0 )
tại

y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0

( 1)

:

A ( x1 ; y1 ) ⇒ y1 = f ' ( x0 ) . ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) ( *)
 Vì tiếp tuyến đi qua

x0
 Giải phương trình(*) tìm

5.8.

thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .

Các ví dụ minh họa :

( C)

( C ) : y = f ( x ) = x 3 − 3x 2
1Cho đường cong

. Viết phương trình tiếp tuyến của

M 0 ( 1 ; − 2)

a) Tại điểm

;

( C)

b) Tại điểm thuộc

x0 = −1
và có hoành độ

với trục hoành .

A ( −1 ; − 4 )

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm

2Cho đường cong

;

( C)

c) Tại giao điểm của

trong các trường hợp sau :

.

3x + 1
( C) : y =
1− x

( C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của

b) Viết phương trình tiếp tuyến của
c) Viết phương trình tiếp tuyến của

x − 2y + 5 = 0

30

( C)

( C)

( d ) : x − 4 y − 21 = 0
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

;

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

0

một góc

.

y = x + 3x 2 − 9 x + 5
3

Ví dụ 11.
Cho hàm số
số góc nhỏ nhất.

;

( ∆) : 2x + 2 y − 9 = 0

(C)

( C)
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị

, hãy tìm tiếp tuyến có hệ

11


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246

EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN
y=

x+2
2x + 3

( 1)

Ví dụ 12.
Cho hàm số
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
(Khối A – 2009) .
Ví dụ 13.

Cho hàm số

tuyến với đồ thị

y = − x3 + 3x 2 − 2 ( C )

( C) .

. Tìm các điểm thuộc đồ thị

( C)

y = 6x − x2

Ví dụ 14.
Cho
là đồ thị của hàm số
tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .
Bài 1.

mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp

(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)

( C)
5.9.

( C)

. Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của

cắt trục

Bài tập áp dụng:

( C)

( C ) : y = x2 − 2x + 3
Bài 20. Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp với

x0 = 2

a) Tại điểm có hoành độ

;

4x − y − 9 = 0

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :

;

2 x + 4 y − 2011 = 0

c) Vuông góc với đường thẳng :

;

A( 1 ; 0)

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm

Bài 21. Cho hàm số :

3x + 1
y=
1− x

:

.

( C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của
b) Vết phương trình tiếp tuyến của
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
d) Viết phương trình tiếp tuyến của
e) Viết phương trình tiếp tuyến của

.

( C)
( C)

( C)
( C)

( C)

M ( −1 ; −1)
tại điểm
tại giao điểm của
tại giao điểm của

( C)

( C)

;
với trục hoành;

với trục tung ;

bết tiếp tuyến song song với đường thẳng
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( d ) : 4x − y + 1 = 0

( ∆ ) : 4x + y − 8 = 0

;
.
12


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

( C)

y = x3 − 3 x 2
Bài 22. Cho hàm số :

( C)

I ( 1 ; − 2)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

tại điểm

( C)

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị

y = 1− x − x

.
không đi qua

I

.

( C)

( C)

2

Bài 23. Cho hàm số

.Tìm phương trình tiếp tuyến với

:

1

x0 =
2
a) Tại điểm có hoành độ

;

( d ) : x + 2y = 0

b) Song song với đường thẳng :

y = x + 3mx + ( m + 1) x + 1
3

Bài 24. Cho hàm số

2

.

( 1)

, m là tham số thực .

A ( 1 ; 2)
Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm
.
(Dự bị A1 - 2008)

Bài 25. Cho hàm số
(1) tại điểm

y=

3x + 1
x +1

M ( −2 ; 5 )

( 1)

. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số

.
(Dự bị D1 - 2008)

( C)

y = 3x3 + 4 ( C )
Bài 26. Cho hàm số

( d) :

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

3y − x + 6 = 0

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

300
góc

.

y = − x − 3x + 9 x − 5 ( C )
3

Bài 27. Cho hàm số
lớn nhất.

. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị

2x − 1
x −1

y=
Bài 28. Cho hàm số
với đường thẳng

2

IM

( C)

I ( 1 ; 2)
. Gọi

( C ) , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc

M ∈( C)

. Tìm điểm

( C)
sao cho tiếp tuyến của

tại

M

vuông góc

.
(Dự bị B2 - 2003)

Bài 29. (*) Cho hàm số

y=

2x
M ∈( C)
( C) M
A, B
( C)
x +1
. Tìm điểm
, biết tiếp tuyến của
tại
cắt hai trục tọa độ tại
và tam

13


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
ĐỊA CHỈ: TẦNG 3 SỐ NHÀ 403 ĐƯỜNG NGUYỄN KHANG, CẦU
GIẤY, HÀ NỘI HOTLINE: 0986 035 246
EMAIL:

WEBSITE: WTS.EDU.VN /NGUYENVANSON.VN

giác

OAB

1
có diện tích bằng 2 .
(Khối D - 2007)

y=
Bài 30. (*) Cho hàm số :

x
x −1

( d1 ) : x = 1 ; ( d2 ) : y = 1

( C)
. Viết phương trình tiếp tuyến

( ∆)

( C)
của

( ∆)
sao cho

và hai đường

cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
(Dự bị D2 - 2007)

y = x+

1
( C)
A ( 1; −1)
( C ) và hai tiếp tuyến
x +1
. Chứng minh rằng qua điểm
kẻ được hai tiếp tuyến với

y=

4 4
1 3
A ; ÷
x − 2 x 2 + 3x ( C )
( C ) . Viết
3

. Qua điểm  9 3  có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị

Bài 31. Cho hàm số
đó vuông góc với nhau.

Bài 32. (*) Cho hàm số
phương trình các tiếp tuyến ấy .

14