Chủ đề 04 phương trình, bất phương trình mũ và logarit

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018
CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các định nghĩa:



an  a.a...a (n  Z , n  1, a  R)
n thöøa soá



a1  a a



a0  1 a  0



a n 



m
an



1
a

n

(n  Z , n  1, a  R /  0)

n

 am ( a  0;m, n  N )

m
n

1
1
 m 
n m
a
an



a



am .an  amn

2. Các tính chất:



am
a

n

 am n



(am )n  (an )m  am.n



(a.b)n  an .b n



a
an
( )n  n
b
b

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 1

3. Hàm số mũ: Dạng: y  ax ( a > 0 , a  1 )


Tập xác định: D  R



Tập giá trị: T  R ( ax  0



Tính đơn điệu:

x  R )

* a > 1: y  ax đồng biến trên R
* 0 < a < 1: y  ax nghịch biến trên R


Đồ thị hàm số mũ:
y

y

y=ax

y=ax

1
1

x

0
a>1



x

Đạo hàm của hàm số mũ:

 e  '  e  a  '  a .ln a
x

x

x

x

 e  '  e .u ' (với u là một hàm số)  a  '  a .
u

u

u

u

ln a . u ' (với u là một hàm số)

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghĩa: Với a > 0 , a  1 và N > 0
log a N  M

dn



aM  N

a  0

Điều kiện có nghĩa: log a N có nghĩa khi a  1
N  0


Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 2


2. Các tính chất:


loga 1  0



loga a  1



log a aM  M



alog a N  N



loga (N1 .N2 )  loga N1  loga N2



log a (



log a N    . log a N Đặc biệt:

N1
)  log a N1  log a N 2
N2

log a N 2  2. log a N

3. Công thức đổi cơ số:


loga N  loga b. logb N



log b N 

log a N
log a b



log a b 

1
1
và log k N  log a N
a
k
log b a

* Hệ quả:

4. Hàm số logarít: Dạng y  loga x ( a > 0 , a  1 )


Tập xác định: D  R



Tập giá trị T  R



Tính đơn điệu:

* a > 1: y  loga x đồng biến trên R
* 0 < a < 1: y  loga x nghịch biến trên R


Đồ thị của hàm số lôgarít:

y

y

y=logax

y=logax

x

1
O

x

1

a>1

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

O

0
THPT 2018 | Trang 3




Đạo hàm của hàm số lôgarit:

 ln x  ' 

1
1
và  ln x  ' 
x
x

 ln u  ' 

u'
u'
và  ln u  ' 

(với u là một hàm số)
u
u

 log a x  ' 

1
1
và  log a x  ' 
x ln a
x ln a

 log a u  ' 

u'
u'
và  log a u  ' 
(với u là một hàm số)
u.ln a
u.ln a

III. PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT
1. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Định lý 1: Với 0 < a  1 thì: aM = aN  M = N
2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì: aM < aN  M > N (nghịch biến)
3. Định lý 3: Với a > 1 thì: aM < aN  M < N (đồng biến )
4. Định lý 4: Với 0 < a  1 và M > 0;N > 0 thì: loga M = loga N  M = N
5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì: loga M < loga N  M >N (nghịch biến)
6. Định lý 6: Với a > 1 thì: loga M < loga N  M < N (đồng biến)

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:
Dạng cơ bản: ax  m (1)


m  0 : phương trình (1) vô nghiệm



m  0 : ax  m  x  loga m

Dạng cơ bản: loga x  m


m  : loga x  m  x  am

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 4


Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng: aM = aN ; log a M  log a N
(Phương pháp đưa về cùng cơ số)
Ví dụ 1: Giải phương trình 0,125.4

 2


 8 



2x 3

x

(1)

Bài giải
♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được:
3

1

2 .2

4x 6

5

24 x

9

22

x

2

5

2

x

4x 9

5
x
2

3
x
2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

x

9

6

6

Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x 1

2 log 4 3 x

2

2

0 (1)

Bài giải

x

x 1 0
♥ Điều kiện:
3x 2 0
♥ Khi đó: 1
log 2

x

log 2 x 1
x 1
3x 2

x 1
3x 2

1
4

4x 4

3x 2

1
2
3

x

1 (*)

log 2 3 x 2

2

2

x

2 [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

2

Ví dụ 3: Giải phương trình log2 x  log3 x  log6 x  log36 x (1)

Bài giải
♥ Điều kiện: x

0

♥ Áp du ̣ng công thức log a c  log a b  log b c ,  0  a, b, c; a  1; b  1 , ta có

1  log2 x  log3 2  log2 x  log6 2  log 2 x  log36 2  log 2 x

 log 2 x  log 3 2  log 6 2  1  log 36 2   0 *
Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 5


Do log3 2  log6 2  1  log36 2  0 nên

 *

 log 2 x  0  x  1

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

1

Ví dụ 4: Giải phương trình: log3 (x  1)2  log 3 (2x  1)  2 (1)

Bài giải

x

x 1 0
♥ Điều kiện:
2x 1 0
♥ Khi đó: 1

Với

1
2

x

2 log 3 x 1

log 3 x 1

1
1 (*)
2

2 log 3 2 x 1

log 3 2 x 1

log 3 x 1 2 x 1

1

x 1 2x 1

(2)

3

1 thì 2

x

Với x 1 thì 2

2

1

1 x 2x 1

x 1 2x 1

3

2 x2

3

2x

2

3x

3x

2

4

0

0 : phương trình vô nghiệm

x
♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

1
2

x

loaïi

[thỏa (*)]

2

2

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ 5: Giải phương trình 9x

4.3x

45

0 (1)

Bài giải
♥ Đặt t

3x với t
2

t
t

Với t

0 , phương trình (1) trở thành t 2
5

4t

45

0 (2)

loaïi

9

9 thì 3x

9

x

2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x
Ví dụ 6: Giải phương trình 3x

1

18.3

2
x

29 (1)

Bài giải
♥ Biến đổi phương trình (1) ta được
Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 6


♥ Đặt t

18
3x

3.3x

1

3x với t

0 , phương trình (1) trở thành 3t 2

29t 18

0 (3)

2
3
9

t

3

29 (2)

t
Với t

9 thì 3x

9

Với t

2
thì 3x
3

2
3

x

2

x

2
3

log 3

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

2; x

log 3

2
3

Ví dụ 7: Giải phương trình 6.9x  13.6x + 6.4x = 0 (1)

Bài giải
♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 4 x ta được

3

6.
2

1
3
2

♥ Đặt t

x 2

3
13.
2

x

0 (2)

6

x

với t

0 , phương trình (1) trở thành 6t 2 13t

6

0 (3)

2
3
3
2

t
3
t
Với t

3
3
thì
2
2

Với t

3
2
thì
3
2

x

x

3

2

x

2
3

x

1

1

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x
Ví dụ 8: Giải phương trình log 22 x

1; x

3log 2 2 x

1

1

0 (1)

Bài giải
♥ Điều kiện: x
♥ Khi đó: 1

log 22 x

Đặt t

3

0
3log 2 x

2

0

log 2 x , phương trình (1) trở thành t 2

t
t

3t

2

0 (3)

1
2

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 7

Với t

1 thì log 2 x

1

x

1
[thỏa (*)]
2

Với t

2 thì log 2 x

2

x

1
[thỏa (*)]
4

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

Ví dụ 9: Giải phương trình

1
5 log x

1
;x
4

1
2

2
1 log x

1 (1)

Bài giải

x 0
♥ Điều kiện: log x 5 (*)
log x
1
♥ Đặt t

log x t

3

1 t

1 , phương trình (1) trở thành

5, t

2 5 t

t2

5 t 1 t

5t

Với t

2 thì log x

2

x

100 [thỏa (*)]

Với t

3 thì log x

3

x

1000 [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x
Ví dụ 10: Giải phương trình 2log

3

x 1

100; x

1000

2log

x (1)

3

x 2

6

1

2

5 t

1 t

0

t
t

1 (3)

2
3

Bài giải
♥ Điều kiện: x
♥ Đặt t

2.2

0

log3 x
t

Với t

3t thì phương trình (1) trở thành

x

1 t
.2
4

9 t
.2
4

t

3

2 thì x

t

3

2
3

t

4
9

t

2

9 (thỏa điều kiện)

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

9

5.2 x 8
Ví dụ 11: Giải phương trình log 2
2x 2

3 x (1)

Bài giải
♥ Điều kiện 5.2x
♥ Ta có: 1

8

0 (*)

5.2 x 8
2x 2

23

x

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 8


2 x 5.2 x

8 2x

8

5.22 x 16.2x 16
♥ Đặt t

2x với t
t
3

0 (2)

0 , phương trình (2) trở thành 5t 2 16t 16

0 (3)

4
4
5

t

Với t

2

4 thì 2x

4

2 [thỏa (*)]

x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

2

Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A. B=0,. .

Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5x

25.2x

100 10x (1)
Bài giải

♥ Ta có: 1

4.5x

2 x.5x

5x 4 2 x

25 2 x

4 2 x 5x

5x
2

25

x

4

25.2 x

25

x

100

4

0

0

0

2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

2

Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Phương pháp lôgarít hóa)

Ví dụ 13: Giải phương trình 3x.2x

2

1 (1)
Bài giải

♥ Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có
log 3 3x.2 x

1

log 3 3x

x

x1

2

log 3 1

log 3 2 x

x 2 log 3 x

x log 3 2

2

0

0

0

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 9


x

0
1
log 3 2

x

log 2 3

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

0, x

log2 3

Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
♥ Ta thường sử dụng các tính chất sau:


Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho
f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)



Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b)
thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
(do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))

Ví dụ 14: Giải phương trình 3x

4x

5x (1)
Bài giải

♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 5 x 5 x

1

3

5

x

4
5

x

f' x

x

1 (2) ( Dạng f x
3
5

♥ Xét hàm số f x

3
3
ln
5
5

♥ Mặt khác f 2

1

0, x , ta có

x

4
5

C )

x

trên

, ta có

x

4
4
ln
5
5

f x nghịch biến trên

0, x

(2) có nghiệm x

2 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất x
♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x

1
Ví dụ 15: Giải phương trình
3

(*)

2

2

x

2 x 1 (1) (Dạng f x

g x )

Bài giải
♥ Xét các hàm số f x

1
3

x

và g x

2 x 1 trên

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

, ta có
THPT 2018 | Trang 10


f x nghịch biến trên
♥ Mặt khác f 0

và g x đồng biến trên
(1) có nghiệm x

g 0

(*)

0 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x
♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

Ví dụ 16: Giải phương trình 2log

5

x 3

0

0

x (1)
Bài giải

♥ Điều kiện: x

3

Khi đó: 1
♥ Đặt t

log 5 x

log2 x

log 5 2

t

t

t

f' t

2
2
5

♥ Xét hàm số f t

2
2
ln
5
5

♥ Mặt khác f 1

1

log 2 x (2)

2t thì phương trình (2) trở thành

x
3

3

t

3

t

2
5

t

5

t

1
3
5

t

1 (3)

t

3

1
trên
5

, ta có

t

1
1
3.
ln

5
5

f t nghịch biến trên

0, t

(3) có nghiệm t

1 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t
♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x

(*)

1

2

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC
Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh
Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys
Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 11

IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT
1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản: aM < aN ( , ,  )
loga M  log a N ( , ,  )

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x

2

x

9 (1)

Bài giải
♥ Ta có: 1

3x

2

x

32

x2

x

x2

x 2

1

2

x

0

2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

1; 2

Tự luyện: Giải các bất phương trình
1) 3

6 x 3
x

 27
3

1
2)
2

2 x 1

4 x 2 15 x 13

23 x

4

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2 log 3  4x  3   log 1 2x  3   2 (1)
3

Bài giải

x  3
4x  3  0

4 x 3

♥ Điều kiện: 
(*)
4
2x  3  0
x   3
2

♥ Khi đó:

1  log3  4x  3 2  2  log 3 2x  3 
 log 3  4x  3   log 3 9 2x  3 
2

  4x  3   9 2x  3 
2

 16x 2  42x  18  0


3
x3
8

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là

3
x3
4

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 12


Ví dụ 3: Giải bất phương trình log 1
2

x2  3x  2
 0 (1)
x
Bài giải

♥ Điều kiện:

0  x  1
x2  3x  2
(*)
0
x
 x  2

♥ Khi đó:

1  log 1
2

x2  3x  2
 log 1 1
x
2

x  3x  2
1
x
x 2  4x  2

0
x
x  0

2  2  x  2  2



2

2  2  x  1
♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
2  x  2  2


x2  x 

 0 (1)
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log0,7  log6
x  4 

Bài giải

 x2  x
 x2  x

0
 x  4
 x  4  0
 4  x  2
x2  x
x2  4



1



0

♥ Điều kiện: 
(*)


2
2
x4
x4
 x  2
log x  x  0
x  x  1
 6 x  4
 x  4
♥ Khi đó:

x2  x 
x2  x

 log0,7 1  log6
1
1  log0,7  log6
x  4 
x4

x2  x
x2  x
 log6

 log6 6 
6
x4
x4
 4  x  3
x2  5x  24

0
x4
 x  8

 4  x  3
♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
 x  8

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 13


Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9x1  36.3x3  3  0 (1)
Bài giải
♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta được

♥ Đặt t

3x
3

1 2

3x

1
1

1

3

0 (2)

0 , bất phương trình (2) trở thành t 2

t

1

4.3x

t

4t

3

0 (3)

3

Suy ra: 1 3x

1

3

0

x 1 1

1

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

x

2

1; 2

Ví dụ 6: Giải bất phương trình log22 x  log2 x  2  0 (1)
Bài giải
♥ Điều kiện: x
♥ Đặt t

0

log 2 x , bất phương trình (1) trở thành t 2

3
Suy ra:

2

t
2

t

2

0 (2)

1
log 2 x

1

1
4

x

2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

1

;2
4

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC
Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh
Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys
Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 14