Đề cương ôn tập học kì 2 lớp 11

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH LỚP 11
CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. CẤP SỐ CỘNG

đ/n
 u n  d; n  N* với d là số không đổi.
a) Định nghĩa: u n  là cấp số cộng  u
n 1
b) Công thức số hạng tổng quát: u n  u1  n  1d; n  2 .
c) Tính chất các số hạng của CSC: u k 

u k 1  u k 1
; k  2 (trừ số hạng đầu và số hạng
2

cuối).
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSC. Khi đó

Sn  u  u  ...  u 
1
2
n



 



n u  un
n 2u  n  1d .
1
1

2
2

2. CẤP SỐ NHÂN

đ/n
a) Định nghĩa: u n  là cấp số nhân  u n 1  u n q; n  N* với q là số không đổi.
b) Công thức số hạng tổng quát: u n  u1q n - 1; n  2 .

.u
;k  2
c) Tính chất các số hạng của CSC: u 2  u
k
k 1 k 1

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 1


hay u

 u

k

(trừ số hạng đầu và số hạng cuối).
.u
k 1 k 1

d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSN. Khi đó
1 qn
Sn  u  u  ...  u n  u
;q  1
1
2
1 1 q
.
Sn  nu khi q  1
1

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Dạng 1. Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC:
Để chứng minh dãy số (u n ) là một CSC ta xét hiệu H  u n1  u n
- Nếu H là hằng số thì (u n ) là một CSC có công sai d  H .
- Nếu H phụ thuộc vào n thì (u n ) không là CSC.
Ví dụ: Chứng minh dãy số u n  với u  20n  9 là một CSC. Tìm số hạng đầu và công
n
sai của CSC đó.
Giải:
Ta có u

n 1

 u  20n  1  9 - 20n - 9  20  u
 u  20 . Vậy u n  là một
n
n 1
n

CSC với u1  11 và d = 20.
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSN:
Để chứng minh dãy số (u n ) là một CSN ta xét thương T 

u n 1
, n  1
un

- Nếu T là hằng số thì (u n ) là một CSN có công bội q  T .
- Nếu T phụ thuộc vào n thì (u n ) không là CSN.
Ví dụ: Xét xem dãy số u n  với u  n  1.5 n  1 có là một CSN không? Nếu là CSN
n
tìm số hạng đầu và công bội.
Giải:

u
Ta có

n 11
n2
n  1  n  1  1.5
phụ thuộc n nên u n  không là CSN.

 5.
n

1
u
n

1
n  1.5
n

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 2


2. Dạng 2. Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN
* Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và d phải thỏa. Giải hệ này ta được u1 và d .
u  u  u  10

Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của CSC u n  biết  2 3 5
u 4  u 6  26

(1).

Giải: Áp dụng công thức u n  u1  n  1d , ta có
u1  d   u1  2d   u1  4d   10
u  3d  10
u  1

 1
 1
.
d  3
u1  3d   u1  5d   26
2u1  8d  26

(1)  

Vậy u n  đã cho có u1  1, d  3.
* Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và q phải thỏa. Giải hệ này ta được u1 và q .
Ví dụ: Cho CSN u n  có u 2  4, u 4  16 và công bội q < 0. Tìm số hạng đầu và số hạng
thứ sáu của CSN đó.
Giải: Ta có
4
4


u1 q  4
u 2  4
q  2
u1  q
u1  q
 3

�Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước
Phương pháp:
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên k d '  

1
kd

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 19


B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= k d 

(4)

B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.
* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
Phương pháp:
B1: Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M x0 , y0  là tiếp điểm. Khi đó d có pt dạng
y  y0  f ' x0 x  x0 

B2: Cho d đi qua A ta được y A  y 0  f ' x0  x A  x0 

(5)

B3: Giải (5) tìm x0  y0 ? . Suy ra pt tiếp tuyến cần viết.
1
x

Ví dụ: Gọi (C) là đồ thị hàm số: y  f ( x)  . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại điểm có hoành độ bằng -2
b) Tại điểm có tung độ bằng 3

1
9

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  : y = - x + 2014.
1
4

d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ' : y = x – 4.
e) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-8;0).
1
4

ĐS: a) y = - x -1
b) y = -9x+6;
1
9

c) y = - x +

2
1
2
,y=- x3
9
3

d) y = -4x+4, y = -4x-4 ;
e) y = -

1

1
x- .
2
16

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1. y  x 3  2 x  1

2. y  2 x 5 

x
3
2

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 20


3. y  10 x 4 

2
x2

4. y  ( x 3  2)( x  1)

5. y  5x 2 (3x  1)

6. y  ( x 2  5) 3

7. y  ( x 2  1)(5  3x 2 )

8. y  x(2 x  1)(3x  2)

9. y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3

10. y 

2x
x 1

2x 2  6x  5
2x  4

12. y 

5x  3
x  x 1

11. y 

13. y  x 2  6 x  7
15. y  ( x  1) x 2  x  1
17. y 

3x 2  2 x  1
2x  3

19) y  a  3b

3 2
x

x x

2

2 3

21) y  (a 3  b 3 ) 2
23) y 

(x  2)2
(x  1)3 (x  3)4

25) y  x 2  3x  2
27) y 
29/ y=

1
x x

2

2

14. y  x  1  x  2
16. y 

x 2  2x  3

2x  1

18) y =

3x
x

2

2
x

2

20) y  3 a  bx3
22) y  x 2 3 x 2
24) y  (x7  x)2
26) y 

1 x
1 x

28/ y= x 1  x 2

x (x2- x +1)

30/ y=

31/ y = (2x+3)10

1 x
1 x

32/ y = (x2+3x-2)20

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y  3 sin 2 x. sin 3x
3) y  cos x. sin 2 x

2) y  (1  cot x) 2
4) y -

1  sin x
2  sin x

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 21


5) y  sin 4

x
2

6) y 

4

8) y  2  tan 2 x

7) y  cot 3 (2x  )
9) y  
11) y 

cos x 4
 cot x
3sin3 x 3

1
(1  sin 2 2 x ) 2

sin x  cos x
sin x  cos x

10) y - 1  cos 2

x
2

12) y = sin 4

3x

13) y = cos ( x3 )

14) y= 5sinx-3cosx

15) y = x.cotx

16) y  cot 3 1  x 2

17) y= sin(sinx)

18) y  sin 2 (cos3x)

19) y  x sin x

20)

1  tan x

21) y  tan x  1
2

y

sin x
x

x
sin x

22) y  1  2 tan x

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2
c) y =

x 1

; x0 = 0
x 1

b) y =

1
; x0 = 2
x

d) y =

x - x; x0 = 2
2x 1
; x0 = 3
x 1

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1

f) y =

g) y = x.sinx; x0 = π
3

h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = π
3

i) Cho f ( x)  3 x  1 , tính f ’’(1)

k)Cho y = xcos2x

l) Cho f  x    x  10 6 . TÝnhf ''  2 

 

m) f  x   sin 3x . Tính f ''    ;f ''  0 f ''  
 2
 18 

. Tính f”(x)

Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
y

ax  b
cx  d

y

ax 2  bx  c
dx  e

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

y

ax 2  bx  c
mx 2  nx  p

THPT 2018 | Trang 22

y

Áp dụng:

3x  4
 2x  1

y

 x2  x  2
2x  1

y

x 2  3x  4
2x 2  x  3

1
4

Bài 5: Cho hai hàm số: f ( x)  sin 4 x  cos4 x và g ( x)  cos 4 x .
Chứng minh: f '( x)  g '( x)

(x ) .

Cho y  x 3  3x 2  2 . Tìm x để:

Bài 6:
a) y’ > 0

b) y’ < 3

x  0

b) 1  2  x  1  2

ĐS: a) 
x  2

Bài 7: Giải phương trình: f’(x) = 0 biết rằng:
b) f(x) = 3 sin x  cos x  x

a) f(x) = cos x + sin x + x.

d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
Bài 8: Cho hàm số

f ( x )

1

x . T í n h :  f (3 )

(x

3)f '(3)

Bài 9:
a) Cho y =
b) Cho y =

2 x  x 2 ; chứng minh y 3 y   1  0
x3
x4

; chứng minh2(y’)2=(y -1)y’’

cos 2 x
c) Cho f(x)=
;
1  sin 2 x


4


4

c/m f ( )  3f ' ( )  3

x2  2x  2
d) Cho hàm số: y 
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2

e) Cho hàm số y = cos22x.
-

Tính y”, y”’.

- Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài 10: Chứng minh rằng f '( x)  0 x  , biết:
2
3

a/ f ( x)  x9  x 6  2 x3  3x 2  6 x  1
Bài 11: Cho hàm số y 

x2  x
x2

b/ f ( x)  2x  sin x

(C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 23


b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2

(C)

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phtrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 13: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y  x3  5x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
7

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;0).
Bài 14: Cho đường cong (C): y 

x2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2).
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1) y 

x 1
x2

2) y 

2x 1
x  x2
2

4) y  x x 2  1

5) y  x2 sin x

7) y = x.cos2x

8) y = sin5x.cos2x

3) y 

x
x 1
2

6) y  (1  x2 )cos x

ĐS:
1) y '' 
2) y '' 

6

 x  2

3

4 x3  10 x 2  30 x  14

x

2

 x2



3

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 24




2x x2  3

3) y '' 

x

4) y '' 

x

2



1



3

2 x3  3x
2



1

x2  1

5) y ''   2  x 2  sin x  4 x cos x
6) y ''  4 x sin x  ( x2  3)cos x
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) y 

1
x 1

b) y = sinx

ĐS: a) y  n    1

n

n!

 x  1

n 1



b) y  n   sin  x  n 
2


Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng



THPT 2018 | Trang 25