Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-----------------------------

CAO VĂN THÀNH

ĐƢỜNG CÔNIC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ ĐƢỜNG CÔNIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-----------------------------

CAO VĂN THÀNH

ĐƢỜNG CÔNIC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ ĐƢỜNG CÔNIC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS.TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2016

i

Mục lục
Lời nói đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

Vấn đề xác định đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Lý thuyết chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Đường bậc hai và phương trình chính tắc . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Phương trình đường cônic với tiêu điểm và đường chuẩn .

7

Phương trình tiếp tuyến của đường cônic . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai . . . . . . . . .

9

1.2.2

Phương trình tiếp tuyến của cônic . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Phương tích của một điểm đối với một đường cônic . . . . . . . . 12

1.4

Đường đẳng phương của hai đường cônic . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5

1.4.1

Đường đẳng phương của hai đường cônic . . . . . . . . . . 16

1.4.2

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường cônic . . 20
1.5.1

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường
elip và hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường
parabol

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chương 2. Một số dạng bài tập về đường cônic
2.1

23

Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp đường cônic . . . . . . . . . . 23

2.1.1

Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp parabol . . . . . . . . 23

2.1.2

Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp elip . . . . . . . . . . 25

2.1.3

Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp hypebol . . . . . . . . 29

2.2

Bài toán về đa giác nội tiếp trong một đường cônic . . . . . . . . 31

2.3

Bài toán về khoảng cách từ một đường cônic đến một đường thẳng 36

2.4

Bài toán con bướm cho các đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . 41


ii

2.5

Bài toán định tính liên quan đến đường cônic . . . . . . . . . . . . 45

2.6

Bài toán định lượng liên quan đến đường cônic . . . . . . . . . . . 49

2.7

Bài toán quĩ tích liên quan đến đường cônic . . . . . . . . . . . . . 56

2.8

Bài toán tham số hóa đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.8.1

Bài toán tham số hóa đường parabol

. . . . . . . . . . . . 62

2.8.2

Bài toán tham số hóa đường elip . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.8.3

Bài toán tham số hóa đường hypebol . . . . . . . . . . . . 70

Kết luận

74

Tài liệu tham khảo

75


1

Lời nói đầu
Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, các dạng bài tập, đề thi học
sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng nói riêng ta thường gặp một số
bài toán về elip, hypebol và parabol. So với các bài toán về đường thẳng, đường
tròn, các bài toán về ba đường cônic tuy có mặt không nhiều trong các đề thi
học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng những năm
gần đây, nhưng nó là một chủ đề không thể thiếu được trong việc ôn luyện thi
học sinh giỏi, ôn luyện thi môn toán vào các trường Đại học, Cao đẳng. Tuy
nhiên một số học sinh chưa khai thác có hiệu quả mảng bài tập này, lý do chính
là các em chưa nắm được các dạng bài tập và cách vận dụng kiến thức về đường
cônic để giải bài toán.
Hiện nay một số học viên cao học chuyên nghành Phương pháp toán sơ cấp
của trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên cũng đã khai thác có hiệu
quả một số vấn đề liên quan đến đường cônic, ví dụ như Hoàng Văn Trọng với
luận văn "Những bài toán tổng hợp về các đường cônic". Luận văn của Hoàng
Văn Trọng tập trung vào các vấn đề liên quan đến đường cônic thông qua các
bài toán tổng hợp trong chương trình toán THPT, chưa đi sâu tìm hiểu về một
số nội dung có trong chuyên đề dành cho học sinh giỏi, học sinh chuyên toán
THPT.
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ
ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trường THPT, tôi chọn hướng nghiên cứu
làm luận văn Thạc sĩ với đề tài: " Đường cônic và một số dạng toán về đường
cônic". Một số kiến thức, bài tập được trình bầy trong luận văn có trong một số

chuyên đề dành cho học sinh chuyên toán và nằm ngoài chương trình sách giáo
khoa THPT. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn
được chia làm hai chương
Chương 1: Trình bày một số vấn đề về xác định đường cônic, phương trình
tiếp tuyến của đường cônic, phương tích của một điểm đối với một đường cônic,
đường đẳng phương của hai đường cônic, điều kiện cần và đủ để đường thẳng


2

tiếp xúc với đường cônic.
Chương 2: Trình bày một số dạng toán về đường cônic như: Đồng nhất thức
cho đa giác nội tiếp đường cônic, bài toán về tam giác, tứ giác nội tiếp trong
một đường cônic, khoảng cách từ một đường cônic đến đường thẳng, tham số
hóa đường cônic, bài toán quỹ tích...
Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu,
tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu có sẵn theo chủ
đề đặt ra với những lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu nhất có thể với nhiều
ví dụ và bài toán minh họa phong phú, cụ thể.
Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
thầy hướng dẫn PGS. TS. Trịnh Thanh Hải, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác
giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Ban
Giám hiệu trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm
khoa Toán- Tin, cùng các GS, PGS, TS đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điều
kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng xin chân
thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường
THPT Trần Quốc Tuấn, huyện Đồng Hỷ, tỉnh Thái Nguyên, tập thể lớp cao học
Toán K8A (khóa 2014-2016) đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm
vụ học tập và công tác của mình.

Thái Nguyên, ngày 26 tháng 5 năm 2016
Tác giả luận văn

Cao Văn Thành


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 ngoài việc điểm qua một số khái niệm, tính chất cơ bản
về đường cônic, chương 1 sẽ trình bầy thêm một số khái niệm, tính chất
không được trình bầy trong sách giáo khoa phổ thông, các khái niệm, tính
chất này được tiếp cận từ góc độ toán cao cấp nhằm cung cấp thêm công
cụ để giải quyết các bài toán khó, dạng mới về đường cônic.

1.1
1.1.1

Vấn đề xác định đường cônic
Lý thuyết chung

Định nghĩa 1.1.1. Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng cắt ∆ tại
O và không vuông góc với ∆. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng khi
quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón).

∆ gọi là trục của mặt nón.
gọi là đường sinh của mặt nón.
O gọi là đỉnh của mặt nón.

Nhận xét 1.1.2. Khoảng thế kỷ thứ ba trước công nguyên, nhà toán học
Apollonius đã chứng minh được rằng:
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng (P ) không đi qua đỉnh
của mặt nón thì giao tuyến sẽ là
a) Một đường elip nếu mp(P ) cắt mọi đường sinh (đặc biệt, nếu (P )
vuông góc với trục của mặt nón thì giao là đường tròn).
b) Một đường parabol nếu mp(P ) song song với chỉ một đường sinh.
c) Một đường hypebol nếu mp(P ) song song với hai đường sinh.
Chính vì vậy các giao tuyến đó có tên gọi là đường cônic.


4

Phương trình chính tắc của ba đường cônic là những phương trình bậc
hai đối với x, y . Đó cũng là các trường hợp riêng của đường bậc hai trong
mặt phẳng có dạng

Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0.
1.1.2

Đường bậc hai và phương trình chính tắc

Trong một hệ trục tọa độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy , ta xét một
đường bậc hai có phương trình tổng quát

Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(1)

các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0.
Sau đây ta tìm tất cả các đường bậc hai dạng chính tắc cho bởi (1).
Dùng phép quay tâm O, góc quay α biến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ
trục tọa độ Ox y , theo công thức đổi tọa độ

x = x cos α − y sin α
y = x sin α + y cos α

(2)

Khi đó M (x; y) đối với hệ trục tọa độ cũ sẽ có tọa độ (x ; y ) đối với hệ
trục tọa độ mới Ox y , thay (2) vào (1) ta được phương trình của đường
bậc hai đã cho trong hệ tọa độ mới có dạng

A x 2 + 2B x y + C y 2 + 2D x + 2E y + F = 0

(3)

Trong đó

A = Acos2 α + 2B cos α. sin α + Csin2 α
B = −A sin α cos α + Bcos2 α − Bsin2 α + C sin α cos α
1
= (C − A) sin 2α + B cos 2α
2
C = Asin2 α − 2B sin α cos α + Csin2 α
D = D cos α + E sin α
E = E cos α − D sin α
Nếu B = 0 ta có thể chọn α để B = 0 bằng cách giải phương trình
1

(C − A) sin 2α + B cos 2α = 0
2
A−C
⇔ cot 2α =
(4)
2B


5

Vậy nếu trong phương trình (1), B = 0 thì bằng cách quay hệ trục tọa
độ góc α thỏa mãn điều kiện (4) ta đưa phương trình (3) về dạng

A x 2 + C y 2 + 2D x + 2E y + F = 0

(5)

Xét các trường hợp trong phương trình (5)
1) Nếu A = 0, C = 0 khi đó (5) được viết lại như sau

A (x 2 + 2

D
E
x ) + C (y 2 + 2 y ) + F = 0
A
C

Hay

D
A x +
A

2

E
y +
C

+C

2

2

D
A

+F −

−

E
C

2

=0

(6)

Dùng phép tịnh tiến

D

x=x +
A
E

 y=y +
C
Khi đó phương trình (6) trở thành

A x2 + C y 2 = F

(7)

Trong đó

F = −F +

D
A

a) Nếu A > 0, C > 0, F > 0, đặt

2

+

E
C

2

F
F
= a2 ,
= b2 thì phương trình
A
C

(7) trở thành

x2 y 2
+
=1
a2 b2
ta được phương trình chính tắc của đường elip.
F
F
b) Nếu A > 0, C > 0, F < 0, đặt −
= a2 , −
= b2 thì phương
A
C
trình (7) trở thành
x2 y 2
+

= −1
a2 b 2
không có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình.
F
F
c) Nếu A > 0, C < 0, F > 0, đặt
= a2 , −
= b2 thì phương
A
C
trình (7) trở thành
x2 y 2
−
=1
a2 b2


6

ta được phương trình chính tắc của đường hypebol.
F
F
d) Nếu A > 0, C < 0, F < 0, đặt
= a2 ,
= b2 thì phương trình
A
C
(7) trở thành
y 2 x2
−

=1
b2 a2
ta được phương trình chính tắc của đường hypebol.
e) Nếu A > 0, C < 0, F = 0, thì phương trình (7) trở thành

x2 y 2
−
=0
a2 b2
phương trình này xác định một cặp đường thẳng
x y
x y
− = 0;
+ =0
a b
a b
chúng cắt nhau tại gốc tọa độ.
f) Nếu A > 0, C > 0, F = 0, thì phương trình (7) trở thành

x2 y 2
+
=0
a2 b2
chỉ có một điểm thỏa mãn phương trình này, điểm đó chính là gốc tọa độ.
2) Nếu A = 0, C = 0, E = 0 khi đó phương trình (5) được viết lại
như sau
D
F
A x 2 + 2 x + 2E y +
=0

A
2E
Hay

D
A x +2
A
2

2

+ 2E

F
D2
−
y +
2E
2E A

=0

(8)

Thực phép tịnh tiến tọa độ

D

 x=x +
A

2

y=y + F − D
2E
2E A
Khi đó phương trình (8) có dạng

A x2 + 2E y = 0
a) Nếu A E < 0 , đặt

(9)
E
= P thì phương trình (9) trở thành
A
x2 = 2P y


7

ta được phương trình chính tắc của parabol.
E
b) Nếu A E > 0, đặt
= P thì phương trình (9) trở thành
A

x2 = −2P y
ta được phương trình chính tắc của parabol.
3) Nếu A = 0, C = 0, E = 0 thì phương trình (5) được viết lại như
sau
D

A x2 +2 x +F = 0
A
Hay

D
A x +
A

2

+F −

D2
=0
A

(10)

Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ

D

x=x +
A
y=y
Khi đó phương trình (10) có dạng

x2 + F = 0

(11)

trong đó

F
D2
− 2
A
A
2
a) Nếu F < 0 đặt −F = a thì ta được phương trình x2 − a2 = 0,
phương trình này biểu thị một cặp đường thẳng song song x = a, x = −a.
b) Nếu F > 0 thì không có điểm nào thỏa mãn phương trình (11).
c) Nếu F = 0 thì phương trình (11) có dạng x2 = 0, phương trình này
là phương trình của cặp đường thẳng trùng nhau x = 0.
F =

Nhận xét 1.1.3. Phương trình (1) trong hệ trục tọa độ vuông góc Rene’
Descartes Oxy là phương trình của những đường bậc hai sau: elip, hypebol,
parabol, cặp đường thẳng cắt nhau, cặp đường thẳng song song, cặp đường
thẳng trùng nhau, một điểm hoặc tập hợp rỗng.
1.1.3

Phương trình đường cônic với tiêu điểm và đường chuẩn

[7, tr. 145-147]


8

Định nghĩa 1.1.4. Cho đường thẳng d và một điểm F không nằm trên

nó. Tập hợp những điểm T sao cho tỉ số khoảng cách từ T đến điểm F và
từ T đến đường thẳng d luôn bằng một số dương e không đổi gọi là một
đường cônic với tiêu điểm F , đường chuẩn d và tâm sai e.
Sau đây ta tìm quỹ tích các điểm T sao cho tỉ số khoảng cách từ T đến
F và từ T đến d bằng một số dương không đổi e.

Gọi J là hình chiếu vuông góc của T trên d và T J cắt Oy tại I . Ta tìm
TF
quỹ tích của T sao cho
= e (e > 0, không đổi). Gọi K là hình chiếu
TJ
của F trên d. Đặt KF = p. Chọn điểm O trên đường thẳng KF sao cho
OF
OF
= −e (như vậy O là điểm thuộc quỹ tích vì
= e).
OK
OK
Lập hệ trục tọa độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy sao cho trục hoành
Ox chứa KF , chiều dương từ K đến F , trục tung Oy vuông góc với Ox
tại O (Hình 1.1)
OF
pe
−p
Từ
= −e ta được OF =
và OK =
. Tọa độ của F là
1+e
1+e

OK
pe
−p
F(
; 0), tọa độ của K là K(
; 0). Gọi T là điểm có tọa độ (x; y),
1+e
1+e
ta có
p
T J = T I + IJ = T I + OK = − x +
1+e
và
pe 2
2
TF = x −
+ y2.
1+e


9

Từ

TF
= e ta được T F 2 = e2 T J 2
TJ

pe 2
p

⇔ x−
+ y 2 = e2 x +
1+e
1+e
2 2
2
⇔ (1 − e) x − 2pex + y = 0

2

(12)

Ta được phương trình (12) là phương trình quỹ tích của T .
a) Nếu e = 1 thì phương trình (12) trở thành y 2 = 2px, quỹ tích là một
parabol.
b) Xét 0 < e = 1.
pe
Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy , lấy Q(
; 0) làm gốc hệ trục mới
1 − e2
QXY thì công thức tịnh tiến hệ trục là
pe
x=X+
1 − e2
y=Y
Lúc đó (12) trở thành

1 − e2 X 2 + 1 − e2 Y 2 = p2 e2
⇔

X2
pe
1 − e2

2

Y2
+ 2 2 =1
pe
1 − e2

(13)

Với hệ trục tọa độ QXY ta thấy
• Nếu 0 < e < 1 thì (13) là phương trình chính tắc của một elip.
• Nếu e > 1 thì (13) là phương trình chính tắc của một hypebol.
Do đó (12), (13) được gọi chung là phương trình của ba đường cônic (Γ)
theo tâm sai e và tham số tiêu p.

1.2
1.2.1

Phương trình tiếp tuyến của đường cônic
Phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai

Định nghĩa 1.2.1. Cho một đường bậc hai (ε) có phương trình

Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(1)

với các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0, và một đường thẳng ∆ có
x = x0 + at
phương trình
. Đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của đường
y = y0 + bt


10

bậc hai (ε) nếu nó cắt (ε) tại hai điểm trùng nhau hoặc nó hoàn toàn nằm
trên (ε), khi đó điểm chung của ∆ và (ε) gọi là tiếp điểm.
Sau đây ta thiết lập phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) tại
điểm M (x0 ; y0 ) của nó. Giả sử tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) là đường
−
thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương là →
u (a; b), khi đó
phương trình của nó có dạng

x = x0 + at
y = y0 + bt

(14)

Giao điểm của ∆ với (ε) được xác định như sau
Ta thay các giá trị x, y trong phương trình (14) vào phương trình (1)
để được phương trình đối với t

A(x0 + at)2 + 2B (x0 + at) (y0 + bt) + C(y0 + bt)2
+2D (x0 + at) + 2E (y0 + bt) + F = 0

Rút gọn ta được phương trình

P t2 + 2Qt + R = 0

(15)

Trong đó

P = Aa2 + 2Bab + Cb2
Q = (Aa + Bb)x0 + (Ba + Cb) y0 + Da + Eb
R = Ax0 2 + 2Bx0 y0 + Cy0 2 + 2Dx0 + 2Ey0 + F
Vì M0 nằm trên (ε) nên R = 0. Vậy ta có phương trình

P t2 + 2Qt = 0

(16)

a) Nếu P = 0 thì Q = 0, vì nếu Q = 0 thì phương trình (16) có nghiệm
duy nhất.
b) Nếu P = 0 thì phương trình (16) có nghiệm là t = 0 và nghiệm thứ
hai cũng phải bằng 0, do đó Q = 0. Vậy trong mọi trường hợp ta đều đi
đến Q = 0 tức là

(Aa + Bb)x0 + (Ba + Cb) y0 + Da + Eb = 0
Đẳng thức trên được viết là

(Ax0 + By0 + D)a + (Bx0 + Cy0 + E) b = 0


11

Nếu hai giá trị (Ax0 + By0 + D) và (Bx0 + Cy0 + E) đều bằng không
thì a và b có thể chọn tùy ý và do đó mọi đường thẳng đi qua M0 đều là
tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) tại điểm M0 .
Nếu hai giá trị (Ax0 + By0 + D) và (Bx0 + Cy0 + E) không đồng thời
bằng không thì ta có thể lấy a = Bx0 + Cy0 + E và b = −(Ax0 +By0 +D)
khi đó phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (ε) tại điểm M0 (x0 ; y0 )
có thể viết dưới dạng
b(x − x0 ) = a(y − y0 )
hay

(Ax0 + By0 + D)(x − x0 ) + (Bx0 + Cy0 + E) (y − y0 ) = 0

(17)

Phương trình (17) chính là phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai
(ε) tại điểm M0 (x0 ; y0 ).
1.2.2

Phương trình tiếp tuyến của cônic

x2 y 2
• Đối với elip (E) có phương trình 2 + 2 = 1, phương trình tiếp tuyến
a
b
tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng
x0
y0
(x
−

x
)
+
(y − y0 ) = 0
0
a2
b2
hay
x0 x y0 y x20 y02
+ 2 − 2 − 2 =0
a2
b
a
b
vì
x20 y02
+
=1
a2 b2
nên ta có phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng
x0 x y0 y
+ 2 =1
(18)
a2
b
• Đối với hypebol (H) có phương trình
x2 y 2
−
=1
a2 b2

phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng
x0
y0
(x
−
x
)
−
(y − y0 ) = 0
0
a2
b2


12

hay

x0 x y0 y x20 y02
− 2 − 2 + 2 =0
a2
b
a
b
vì

x20 y02
−
=1
a2 b2

nên ta có phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng
x 0 x y0 y
− 2 =1
(19)
a2
b
• Đối với parabol (P ) có phương trình y 2 = 2px, phương trình tiếp
tuyến tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng
−p(x − x0 ) + y0 (y − y0 ) = 0 hay yy0 − y02 = px − px0 vì y0 = 2px0 nên
ta có phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng
y y0 = p (x + x0 )

(20)

Nhận xét 1.2.2. Trong mục này trình bầy phương trình tiếp tuyến của
đường cônic tại điểm M0 (x0 ; y0 ), nếu bài toán yêu cầu viết phương trình
tiếp tuyến của đường cônic đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) ta sử dụng điều kiện
cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường cônic sẽ được trình bầy ở
mục 1.5.

1.3

Phương tích của một điểm đối với một đường cônic

[7, tr. 145-147]
Ta đã biết khi tâm sai e của đường cônic tiến tới 0 thì đường cônic suy
biến về một đường tròn.
Đối với đường tròn (C) tâm O bán kính R, một đường thẳng (chuyển
động) ∆ luôn đi qua một điểm cố định M , cắt (C) tại hai điểm A, B thì
phương tích của điểm M đối với (C) được xác định là

2

M A.M B = M O − R2
Phương tích của điểm M đối với (C) là một đại lượng đại số, có giá trị
dương hoặc âm hoặc bằng không tùy theo điểm M nằm ngoài, nằm trong,
hoặc nằm trên (C).
Vậy trong trường hợp tổng quát, liệu đối với đường cônic (Γ) có xác
định được phương tích của một điểm cố định M đối với (Γ) hay không, để
đại lượng đó là không đổi đối với M và (Γ) đã chọn?


13

Trong mục này ta tìm cách mở rộng khái niệm phương tích của một
điểm đối với một đường tròn sang khái niêm phương tích của một điểm
đối với một đường cônic.
Trên mặt phẳng cho đường cônic (Γ), tiêu điểm F , đường chuẩn d ứng
với F (chẳng hạn xem parabol trên hình 1.2), ∆ là một đường thẳng
(chuyển động) luôn đi qua một điểm cố định M , cắt (Γ) tại A và B , hợp
với trục tiêu của cônic góc α với 0 ≤ α ≤ π (trục tiêu là đường thẳng qua
F vuông góc với d). Ta xét đại lượng

M A.M B.(1 − e2 cos2 α)
trong đó e là tâm sai của cônic.

Trong phần tiếp theo ta chứng minh với M và (Γ) đã cho và H là hình
chiếu vuông góc của M trên d thì
2

M A.M B.(1 − e2 cos2 α) = M F − e2 M H

2

nên đại lượng

M A.M B.(1 − e2 cos2 α)
không đổi.
Giả sử đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là

u∆ = (cos α; sin α)
Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0 ; y0 )
là

x = x0 + t cos α
y = y0 + t sin α


14

với t ∈ R là tham số.
Giả sử điểm N chạy trên ∆, xét M N = t (t là tham số). Khi N ở A
đặt M A = tA , khi N ở B đặt M B = tB .
Trong mục 1.1.3 ta đã xây dựng được phương trình của cônic (Γ) đối
với tiêu điểm và đường chuẩn là

(Γ) :

1 − e2 x2 − 2pex + y 2 = 0

Khi đó tọa độ của A và B là nghiệm của hệ phương trình

(Γ) :
(∆) :

1 − e2 x2 − 2pex + y 2 = 0
x = x0 + t cos α
y = y0 + t sin α

(21)
(22)

Thay giá trị của x, y từ hệ phương trình (22) của (∆) vào phương trình
(21) của (Γ) ta được phương trình bậc hai (ẩn t) là

(1 − e2 cos2 α)t2 + 2

1 − e2 (x0 cos α − pe cos α) + y0 sin α t

+ 1 − e2 x20 − 2pex0 + y02 = 0.

(23)

Vì theo giả thiết (∆) cắt (Γ) tại hai điểm A, B nên phương trình (23)
có hai nghiệm tA , tB .
Theo định lý Viète ta được

1 − e2 x0 − 2pex0 + y02
tA .tB =
.
1 − e2 cos2 α

Do đó

M A.M B(1 − e2 cos2 α) = (1 − e2 )x20 − 2pex0 + y02 .
Vậy phương tích của điểm M đối với đường cônic (Γ):

(1 − e2 )x2 − 2pex + y 2 = 0
là

(1 − e2 )x20 − 2pex0 + y02
Kết quả này tương tự với phương tích của điểm M (x0 ; y0 ) đối với đường
tròn (C) khi thay x bởi x0 và thay y bởi y0 .
2
2
Bây giờ ta chứng minh M A.M B.(1−e2 cos2 α) = M F −e2 M H (không
đổi).


15

Gọi Q là giao điểm của M H với trục Oy . Ta có

M H = M Q + QH = −x0 + OK = −x −

p
.
1+e

Do đó

pe

M F − e M H = x0 −
1+e
2 2
2
= (1 − e )x0 − 2pex0 + y0 .
2

2

2

2

+

y02

2

−e

p
x+
1+e

2

Vậy phương tích của điểm M đối với đường cônic (Γ) là
2

M A. M B(1 − e2 cos2 α) = M F − e2 M H

2

= (1 − e2 )x20 − 2pex0 + y02 .
Nhận xét 1.3.1. Nếu tịnh tiến rồi quay hệ trục Oxy một góc nào đó dẫn
đến hệ trục tọa độ mới QXY mà điểm M có tọa độ mới M (X0 ; Y0 ), đường
(Γ) với phương trình Γ (x; y) = 0 có phương trình mới Γ (X; Y ) = 0 là

AX 2 + 2BXY + CY 2 + 2DX + 2EY + F = 0
và phương tích của điểm M (X0 ; Y0 ) đối với Γ(X; Y ) = 0 sẽ là

AX0 2 + 2BX0 Y0 + CY0 2 + 2DX0 + 2EY0 + F
Do đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy , phương tích của điểm M (x0 ; y0 ) đối
với đường cônic (dạng tổng quát)

Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
là

Ax0 2 + 2Bx0 y0 + Cy0 2 + 2Dx0 + 2Ey0 + F

1.4

Đường đẳng phương của hai đường cônic

[7, tr. 149-150]
Ta đã biết tập hợp các điểm có cùng phương tích với hai đường tròn là
một đường thẳng, đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của hai
đường tròn. Vậy tập hợp những điểm có cùng phương tích với hai đường
cônic là đường gì? Trong mục này ta đi tìm tập hợp các điểm có cùng

phương tích đối với hai đường cônic.


16

1.4.1

Đường đẳng phương của hai đường cônic

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường cônic

(Γ1 ) : A1 x2 + 2B1 xy + C1 y 2 + 2D1 x + 2E1 y + F1 = 0
(Γ2 ) : A2 x2 + 2B2 xy + C2 y 2 + 2D2 x + 2E2 y + F2 = 0.
Ta tìm tập hợp các điểm M (x0 ; y0 ) có cùng phương tích đối với (Γ1 ) và
(Γ2 ), nghĩa là
Γ1 (x0 ; y0 ) = Γ2 (x0 ; y0 )
hay là

(A1 − A2 ) x20 + 2 (B1 − B2 ) x0 y0 + (C1 − C2 ) y02 + 2 (D1 − D2 ) x0
+2 (E1 − E2 ) y0 + F1 − F2 = 0
Đặt A3 = A1 − A3 , B3 = B1 − B2 , C3 = C1 − C2 , D3 = D1 − D2 ,
E3 = E1 − E2 , F3 = F1 − F2 ta được

A3 x20 + 2B3 xy + C3 y02 + 2D3 x0 + 2E3 y0 + F3 = 0.
Vậy tập hợp các điểm M là đường (Γ3 ) có phương trình

A3 x20 + 2B3 xy + C3 y02 + 2D3 x0 + 2E3 y0 + F3 = 0

(24)

Ta gọi (24) là đường đẳng phương của hai đường cônic (Γ1 ), (Γ2 ).
Nhận xét 1.4.1. Khi biểu diễn hình học đường đẳng phương (cũng là
biểu diễn hình học đường bậc hai có phương trình (24)) trong hệ trục tọa
độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy , ta sẽ được một trong ba đường cônic
(elip, hypebol, parabol), hoặc một đường tròn, cặp đường thẳng cắt nhau,
cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng trùng nhau, một điểm hoặc
tập hợp rỗng.
1.4.2

Một số ví dụ

Ví dụ 1.4.2. Cho hai đường cônic

(Γ1 ) : x2 − y = 0
(Γ2 ) : x2 + x + 1 − y = 0.
Đường đẳng phương của chúng là

(Γ3 ) : x + 1 = 0.
Đó là một đường thẳng (hình 1.3).


17

Ví dụ 1.4.3. Cho hai đường cônic

(Γ1 ) : x2 + 4y 2 − 4 = 0
(Γ2 ) : x2 + 4y 2 + 2x − 8y + 1 = 0.
Đường đẳng phương của chúng là

(Γ3 ) : 2x − 8y + 5 = 0.

Đó là một đường thẳng (hình 1.4).


18

Ví dụ 1.4.4. Cho hai đường cônic

(Γ1 ) : 5x2 − 4xy + 2y 2 − 24x − 12y + 18 = 0
(Γ2 ) : 5x2 − 4xy + 8y 2 − 24x − 24y = 0.
Đường đẳng phương của chúng là

(Γ3 ) : 6y 2 − 12y − 18 = 0
y = −1
Γ3 (x; y) = 0 ⇔
y = 3.
Đó là cặp đường thẳng song song (hình 1.5).

Ví dụ 1.4.5. Cho hai đường cônic

(Γ1 ) : x2 + 4y 2 − 3x + 8y = 0
(Γ2 ) : 4x2 + y 2 + 8x − 3y = 0.
Đường đẳng phương của chúng là

(Γ3 ) : (x − y) (3x + 3y + 11) = 0
y−x=0
Γ3 (x; y) = 0 ⇔
3x + 3y + 11 = 0.
Đó là cặp đường thẳng cắt nhau (hình 1.6).

19

Ví dụ 1.4.6. Cho hai đường cônic

(Γ1 ) : x2 + 3y 2 − 2x = 0
(Γ2 ) : x2 − y 2 + 2y = 0.
Đường đẳng phương của chúng là

(Γ3 ) : x2 + y 2 − x + y = 0.
√
1 1
2
Đó là đường tròn tâm I( ; − ), bán kính R =
(hình 1.7).
2 2
2


20

Ví dụ 1.4.7. Cho hai đường cônic

(Γ1 ) : x2 + 4y 2 − 4 = 0
(Γ2 ) : −4x + y 2 = 0.
Đường đẳng phương của chúng là

(Γ3 ) : x2 + 4x + 3y 2 − 4 = 0.
hay

(x + 2)2

√ 2+
2 2

y2
√
2 6
3

2

= 1.

Vậy (Γ3 ) là một đường elip (hình 1.8).

1.5

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với
đường cônic

Trong mục này ta xét điều kiện cần và đủ để cho đường thẳng
∆ : Ax + By + C = 0 (với A, B, C là các số và A2 + B 2 = 0) tiếp xúc
với (Γ) trong đó (Γ) là một đường cônic. Điều kiện đó biểu thị bởi phương
trình ϕ(A, B, C) = 0.
Vì đường thẳng ∆ không thay đổi nếu trong phương trình của ∆ ta nhân
các số A, B, C với cùng một số khác 0 nên phương trình ϕ(A, B, C) = 0
có tính thuần nhất (đẳng cấp) đối với A, B, C .


21

1.5.1

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường
elip và hypebol

[7, tr152]
Cho phương trình đường (Γ)

(Γ) : αx2 + βy 2 = 1
Nó biểu diễn:
• Một đường elip nếu
1
1
x2 y 2
α = 2 , β = 2 tức là 2 + 2 = 1
a
b
a
b
• Một đường hypebol nếu
1
1
x2 y 2
α = 2 , β = − 2 tức là 2 − 2 = 1
a
b
a
b
Trong phương trình

∆ : Ax + By + C = 0

(25)

(26)
(27)

(28)

hai hệ số A, B không thể đồng thời bằng 0. Giả sử B = 0, ta rút ra

Ax + C
(29)
B
Để tìm giao điểm của đường thẳng ∆ với đường (Γ) ta thay giá trị của
y theo (29) vào phương trình (25) được phương trình bậc hai
y=−

αB 2 + βA2 x2 + 2βACx + βC 2 − B 2 = 0.
Nghiệm của phương trình này phải là một nghiệm kép vì ∆ là tiếp tuyến
của (Γ), tức là phải thỏa mãn điều kiện (cần và đủ) sau đây

(βAC)2 − αB 2 + βu2 βC 2 − B 2 = 0
⇔ αB 2 + βA2 − αβC 2 = 0
A2 B 2
+
= C2
⇔
α
β

(30)

Phương trình (30) được gọi là điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp
xúc với (Γ) (25)
Với đường elip có phương trình (26) thì điều kiện (30) là

A2 a2 + B 2 b2 = C 2

(31)

Với đường hypebol có phương trình (27) thì điều kiện (30) là

A2 a2 − B 2 b2 = C 2

(32)