03 đại số 10 chương III phương trình HPT

Đại số 10

www.vmathlish.com

CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
 x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
 Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
1
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
thì cần điều kiện P(x) 0.
P( x )
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

P( x ) thì cần điều kiện P(x)  0.

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x)
và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
 (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
 (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2.
3. Phép biến đổi tương đương
 Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó

thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
 Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ
quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Câu 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
5
5
1
1
 12 
 15 
a) 3 x 
b) 5 x 
x4
x4
x 3
x 3
1
1
2
2
 9
 15 
c) x 2 
d) 3 x 
x 1
x 1
x 5
x 5

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) 1  1  x  x  2

b)

x 1  2  x

x 1  x 1

d)

x 1  1 x

c)

www.vmathlish.com

1


Đại số 10
e)

x

www.vmathlish.com



3

f) x 2  1  x  x  2  3

x 1
x 1
Câu 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)

x  3( x 2  3x  2)  0
x

1

b)

 x 2

x  1( x 2  x  2)  0
x2  4

x 3

 x 1
x 2
x 2
x 1
x 1
Câu 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) x  2  x  1
b) x  1  x  2

c) 2 x  1  x  2
d) x  2  2 x  1
Câu 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
x
x
x 2
x 2
a)
b)


x 1
x 1
x 1
x 1
x
x
x 1
1 x
c)
d)


2 x
2 x
x 2
x 2
c)



d)



§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT, BẬC HAI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ax+b=0
ax + b = 0
Hệ số
a0
a=0

(1)
Kết luận

(1) có nghiệm duy nhất x  
b0
b=0

b
a

(1) vô nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x

Chú ý: Khi a  0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Câu 1.

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) (m2  2) x  2m  x  3

b) m( x  m )  x  m  2

b) m( x  m  3)  m( x  2)  6

d) m2 ( x  1)  m  x(3m  2)

e) (m2  m) x  2 x  m2  1
f) (m  1)2 x  (2m  5) x  2  m
Câu 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:
xa
xb
b 
 a (a, b  0)
a)
a
b

2
www.vmathlish.com


Đại số 10
b) (ab  2) x  a  2b  (b  2a) x

www.vmathlish.com

x  ab x  bc x  b2


 3b (a, b, c  1)
a 1
c 1
b 1
x bc x ca x ab


 3 (a, b, c  0)
d)
a
b
c
Câu 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:
i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm
iii) Nghiệm đúng với mọi x  R.

c)

a) (m  2) x  n  1

b) (m2  2m  3) x  m  1

c) (mx  2)( x  1)  (mx  m2 )x

d) (m2  m) x  2 x  m2  1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2+bx+c=0 (a  0)

1. Cách giải

(a  0) (1)
Kết luận
có 2 nghiệm
b  

ax2 + bx + c = 0
2

  b  4ac

(1)

>0

x1,2 

phân

biệt

2a

=0

(1) có nghiệm kép x  

<0

(1) vô nghiệm

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =

b
2a

c
.
a

c
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =  .
a
b
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b  .
2
2. Định lí Vi–et

Hai số x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 khi và chỉ khi chúng
thoả mãn các hệ thức S  x1  x2  

b
c
và P  x1 x2  .
a
a

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax 2  bx  c  0
Để giải và biện luận phương trình ax 2  bx  c  0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:

– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx  c  0 .
– Nếu a  0 thì mới xét các trường hợp của  như trên.

3
www.vmathlish.com


Đại số 10
Câu 4. Giải và biện luận các phương trình sau:

www.vmathlish.com

a) x 2  5x  3m  1  0

b) 2 x 2  12 x  15m  0

c) x 2  2(m  1)x  m2  0

d) (m  1)x 2  2(m  1)x  m  2  0

e) (m  1) x 2  (2  m) x  1  0
f) mx 2  2(m  3) x  m  1  0
Câu 5. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:
3
a) x 2  mx  m  1  0; x  
b) 2 x 2  3m2 x  m  0; x  1
2
c) (m  1) x 2  2(m  1) x  m  2  0; x  2

d) x 2  2(m  1) x  m2  3m  0; x  0

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax 2  bx  c  0 (a  0) (1)

 (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0


 (1) có hai nghiệm cùng dấu    0

  0

 (1) có hai nghiệm dương   P  0
 S  0

  0

 (1) có hai nghiệm âm   P  0
 S  0

P  0

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  > 0.
Câu 6.

Xác định m để phương trình:
i)
có hai nghiệm trái dấu
ii)
có hai nghiệm âm phân biệt
iii)
có hai nghiệm dương phân biệt

a) x 2  5x  3m  1  0

b) 2 x 2  12 x  15m  0

c) x 2  2(m  1)x  m2  0

d) (m  1)x 2  2(m  1)x  m  2  0

e) (m  1) x 2  (2  m) x  1  0

f) mx 2  2(m  3) x  m  1  0

g) x 2  4 x  m  1  0

h) (m  1) x 2  2(m  4) x  m  1  0

VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
b
c
Ta sử dụng công thức S  x1  x2   ; P  x1 x2  để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các
a
a
nghiệm x1, x2 theo S và P.

Ví dụ: x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1x2  S 2  2P

x13  x23  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  3x1x2   S(S 2  3P)
2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số

Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:
b
c
S  x1  x2   ;
P  x1 x2 
(S, P có chứa tham số m).
a
a
Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.
3. Lập phương trình bậc hai
www.vmathlish.com

4


Đại số 10
www.vmathlish.com
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

x 2  Sx  P  0 ,
Câu 7.

trong đó S = u + v, P = uv.

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
A = x12  x22 ;

B = x13  x23 ;

C = x14  x24 ;

E = (2 x1  x2 )(2 x2  x1 )

D = x1  x2 ;

a) x 2  x  5  0

b) 2 x 2  3x  7  0

c) 3x 2  10 x  3  0

d) x 2  2 x  15  0

e) 2 x 2  5x  2  0

f)

3x 2  5x  2  0

Câu 8. Cho phương trình: (m  1)x 2  2(m  1)x  m  2  0 (*). Xác định m để:
a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
Câu 9. Cho phương trình: x 2  2(2m  1)x  3  4m  0 (*).
a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.
b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A = x13  x23 .
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12 , x22 .
HD:

a) m 

d) m 

1 2 7
6

2
2

b) x1  x2  x1x2  1

c) A = (2  4m)(16m2  4m  5)

e) x 2  2(8m2  8m  1) x  (3  4m)2  0

Câu 10. Cho phương trình: x 2  2(m  1)x  m2  3m  0 (*).
a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.
b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12  x22  8 .
HD: a) m = 3; m = 4 b) ( x1  x2 )2  2( x1  x2 )  4 x1x2  8  0

c) m = –1; m = 2.

Câu 11. Cho phương trình: x 2  (m2  3m) x  m3  0 .
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.
HD: a) m = 0; m = 1 b) x2  1; x2  5 2  7; x2  5 2  7 .
Câu 12. (nâng cao) Cho phương trình: 2 x 2  2 x sin   2 x  cos2  ( là tham số).

a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi .
b) Tìm  để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa và tính chất
www.vmathlish.com

5


Đại số 10

www.vmathlish.com

A
 A 
 A

khi A  0
khi A  0

 A  0, A
2

 A.B  A . B
 A  A2
 A  B  A  B  A.B  0
 A  B  A  B  A.B  0
 A  B  A  B  A.B  0

 A  B  A  B  A.B  0
2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
 f ( x)  0
C2  g( x )  0
C1  
f ( x )  g( x )


f ( x )  g( x )  
   f ( x )  g( x )
 Dạng 1:
  f ( x )  0
  f ( x )   g( x )
  f ( x )  g( x )
 Dạng 2:
 Dạng 3:

C1

2

2

f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )

C2

 f ( x )  g( x )

 f ( x )   g( x )

a f ( x )  b g( x )  h( x )

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
Câu 13. Giải các phương trình sau:
a) 2 x  1  x  3

b) 4 x  7  2 x  5

x2  6x  9  2x 1

e) x 2  4 x  5  4 x  17
g) x  1  x  2 x  3  2 x  4 h) x  1  x  2  x  3  14
Câu 14. Giải các phương trình sau:
a) 4 x  7  4 x  7
b) 2 x  3  3  2 x
d)

d) x 2  2 x  3  x 2  2 x  3
e) 2 x  5  2 x 2  7 x  5  0
Câu 15. Giải các phương trình sau:
a) x 2  2 x  x  1  1  0

c) x 2  3 x  2  0
f) 4 x  17  x 2  4 x  5
i) x  1  2  x  2 x

c) x  1  2 x  1  3 x
f) x  3  7  x  10

b) x 2  2 x  5 x  1  7  0

c) x 2  2 x  5 x  1  5  0

d) x 2  4 x  3 x  2  0
e) 4 x 2  4 x  2 x  1  1  0
Câu 16. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx  1  5
b) mx  x  1  x  2
d) 3 x  m  2 x  2m
e) x  m  x  m  2

f) x 2  6 x  x  3  10  0
c) mx  2 x  1  x
f) x  m  x  1

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.

6
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com
2


f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )

 g( x )  0
 f ( x )  g( x )
f ( x )  g( x )  
 f ( x )  0 (hay g( x )  0)

t  f ( x ), t  0
af ( x )  b f ( x )  c  0  
2

at  bt  c  0

Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:

f ( x )  g( x )  h( x )

Dạng 4:

f ( x ), v  g( x ) với u, v  0.

 Đặt u 

 Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
f ( x )  g( x ) 

Dạng 5:

Đặt t 

f ( x ).g( x )  h( x )
f ( x )  g( x ), t  0 .

Câu 17. Giải các phương trình sau:
a)

2x  3  x  3

b)

5 x  10  8  x

c) x  2 x  5  4

d)

x 2  x  12  8  x

e)

x2  2x  4  2  x

f) 3 x 2  9 x  1  x  2

x 2  3x  10  x  2

i) ( x  3) x 2  4  x 2  9

g) 3 x 2  9 x  1  x  2
h)
Câu 18. Giải các phương trình sau:
a) x 2  6 x  9  4 x 2  6 x  6

b)

c) ( x  4)( x  1)  3 x 2  5x  2  6

d) ( x  5)(2  x)  3 x 2  3x

e) x 2  x 2  11  31

f) x 2  2 x  8  4 (4  x )( x  2)  0

( x  3)(8  x )  26   x 2  11x

Câu 19. Giải các phương trình sau:
a)

x 1  x 1  1

b)

3x  7  x  1  2

c)

x2  9  x2  7  2

d)

3x 2  5x  8  3x 2  5x  1  1

e) 3 1  x  3 1  x  2

f)

x 2  x  5  x 2  8x  4  5

g) 3 5 x  7  3 5 x  13  1
Câu 20. Giải các phương trình sau:

h)

3

9  x 1  3 7  x 1  4

a)

x  3  6  x  3  ( x  3)(6  x ) b)

2 x  3  x  1  3 x  2 (2 x  3)( x  1)  16

c)

x  1  3  x  ( x  1)(3  x )  1

7  x  2  x  (7  x )(2  x )  3

e)

x  1  4  x  ( x  1)(4  x )  5 f)

2
x  x2  x  1  x
3
Câu 21. Giải các phương trình sau:

g) 1 

d)

h)

3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5x  2
x  9  x   x2  9x  9

a)

2 x  4  2 2 x  5  2 x  4  6 2 x  5  14

b)

x  5  4 x 1  x  2  2 x 1  1

c)

2x  2 2x 1  2 2x  3  4 2 x 1  3 2 x  8  6 2 x 1  4

7
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của
phương trình (mẫu thức khác 0).
Câu 22. Giải các phương trình sau:
2
10
50


a) 1 
x  2 x  3 (2  x )( x  3)
2x  1 x  1

3x  2 x  2

b)

x  1 x 1 2x 1


x  2 x  2 x 1

x 2  3x  5

 1
x2  4
2 x 2  5 x  2 2 x 2  x  15
x 3
4x  2


e)
f)
x 1
x 3
( x  1)2 (2 x  1)2
Câu 23. Giải và biện luận các phương trình sau:
mx  m  1
mx  m  2
x  m x 1
3
3

2
a)
b)

c)
x2
xm
x 1 x  m
x m x 3
(m  1) x  m  2
x
x

m
d)
e)
f)

x 1 x  2
x 3
xm
x 1

c)

d)

PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
ax4+bx2+c=0 (a  0)
1. Cách giải:


t  x 2 , t  0
ax 4  bx 2  c  0 (1)   2


at  bt  c  0 (2)
2. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
(2) vô nghiệm
 (1) vơ nghiệm
 (2) có nghiệm kép âm

(2) có 2 nghiệm âm
(2) có nghiệm kép bằng 0
 (1) có 1 nghiệm
 
(2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm
 (1) có 2 nghiệm

(2) có nghiệm kép dương
 
(2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm
 (2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương
 (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

 (1) có 3 nghiệm
 (1) có 4 nghiệm
3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn
( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  K , với a  b  c  d
 Dạng 1:
– Đặt t  ( x  a)( x  b)  ( x  c)( x  d )  t  ab  cd

8
www.vmathlish.com

Đại số 10

www.vmathlish.com

– PT trở thành:

2

t  (cd  ab)t  K  0

( x  a)4  ( x  b)4  K

 Dạng 2:

ab
ab
ba
, xbt
 xat
2
2
2

ab
– PT trở thành:
2t 4  12 2t 2  2 4  K  0  vôùi  



2 

– Đặt t  x 

 Dạng 3:

ax 4  bx3  cx 2  bx  a  0 (a  0) (phương trình đối xứng)

– Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được:

1  
1
PT  a  x 2    b  x    c  0
(2)
2
x


x


– Đặt t  x 

1
x


1
 hoaëc t  x   với t  2 .
x



– PT (2) trở thành:

at 2  bt  c  2a  0

( t  2) .

Câu 24. Giải các phương trình sau:
a) x 4  3x 2  4  0

b) x 4  5x 2  4  0

d) 3x 4  5x 2  2  0
e) x 4  x 2  30  0
Câu 25. Tìm m để phương trình:
i) Vô nghiệm
ii) Có 1 nghiệm
iv) Có 3 nghiệm
v) Có 4 nghiệm

c) x 4  5x 2  6  0
f) x 4  7x 2  8  0
iii) Có 2 nghiệm

a) x 4  (1  2m) x 2  m2  1  0
b) x 4  (3m  4) x 2  m2  0
c) x 4  8mx 2  16m  0
Câu 26. Giải các phương trình sau:
a) ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  297

b) ( x  2)( x  3)( x  1)( x  6)  36

c) x 4  ( x  1)4  97

d) ( x  4)4  ( x  6)4  2

e) ( x  3)4  ( x  5)4  16

f) 6 x 4  35x3  62 x 2  35x  6  0

g) x 4  x 3  4 x 2  x  1  0

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

9
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

§3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a1x  b1y  c1

a2 x  b2 y  c2

(a12  b12  0, a22  b22  0)

Giải và biện luận:
– Tính các định thức:

D

a1

b1

a2

b2

, Dx 

c1

b1

c2

b2

Xét D

Kết quả

D0

Hệ có nghiệm duy nhất  x 

D=
0




Dx  0 hoặc Dy  0
Dx = D y = 0

a1

c1

a2

c2

;y 

Dy 


D 

, Dy 

Dx
D

.

Hệ vô nghiệm
Hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế,
phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu 1.

Giải các hệ phương trình sau:
5x  4 y  3
2 x  y  11
a) 
b) 
7
x

9
y


8

5x  4 y  8
3
2
 2  1 x  y  2  1
 4 x  3 y  16
d) 
e) 
2 x   2  1 y  2 2
 5 x  3 y  11
2
5
Câu 2. Giải các hệ phương trình sau:
1 8
 10
1
 x  y  18
 x  1  y  2  1
a) 
b) 
 5  4  51
 25  3  2
 x y
 x  1 y  2

2 x  6  3 y  1  5
d) 
5 x  6  4 y  1  1

2 x  y  x  y  9
e) 
3 x  y  2 x  y  17

3x  y  1
c) 
6 x  2 y  5


 3x  y  1
f) 

5x  2 y  3
 27
32
 2 x  y  x  3y  7
c) 
 45  48  1
 2 x  y x  3y

4 x  y  3 x  y  8
f) 
3 x  y  5 x  y  6

10
www.vmathlish.com


Đại số 10

Câu 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
mx  (m  1)y  m  1

mx  (m  2)y  5
a) 
b) 
2 x  my  2

(m  2) x  (m  1)y  2
(m  1) x  2 y  3m  1
 (m  4) x  (m  2)y  4
c) 
d) 
(
m

2)
x

y

1

m

(2m  1) x  (m  4)y  m
(m  1) x  2 y  m  1
 mx  2 y  m  1
e) 
f) 

2
2
m x  y  m  2m
2 x  my  2m  5

Câu 4.

www.vmathlish.com

Trong các hệ phương trình sau hãy:
i)
Giải và biện luận.
ii)
Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

(m  1) x  2 y  m  1

mx  y  3  3
mx  y  1
a) 
b) 
c) 
2
2
m x  y  m  2m
 x  4(m  1)y  4m
 x  my  2m  1  0

Câu 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.

ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
 mx  2 y  m  1
6mx  (2  m)y  3
mx  (m  1)y  m  1
a) 
b) 
c) 
2 x  my  2
2 x  my  2m  5
 (m  1) x  my  2

Câu 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ax  y  b
 y  ax  b
ax  y  a  b
a) 
b) 
c) 
3x  2 y  5
2 x  3y  4
 x  2y  a
2
2

e) ax  by  a  b
bx  ay  2ab
Câu 7. Giải các hệ phương trình sau:
3 x  y  z  1
 x  3y  2 z  8



a) 2 x  y  2 z  5
b) 2 x  y  z  6
 x  2 y  3z  0
3 x  y  z  6

(a  b) x  (a  b)y  a
d) 
(2a  b) x  (2a  b)y  b


ax  by  a2  b
f) 
2

bx  b y  4b
 x  3y  2 z  7

c) 2 x  4 y  3z  8
3 x  y  z  5

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1

 f ( x, y)  0
Hệ có dạng: (I) 

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
 g( x , y )  0
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
 Đặt S = x + y, P = xy.
 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
 Giải hệ (II) ta tìm được S và P.

11
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

 Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2  SX  P  0 .
3. Hệ đối xứng loại 2
 f ( x, y)  0
(1)
Hệ có dạng: (I) 
(2)
 f ( y, x )  0
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
 Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
 f ( x, y)  f ( y, x )  0 (3)
(I)  
(1)
 f ( x, y)  0
 Biến đổi (3) về phương trình tích:
x  y

(3)  ( x  y ).g( x , y )  0  
.
 g( x , y )  0
  f ( x, y)  0
 x  y
 Như vậy, (I)   
.
  f ( x , y )  0
  g( x , y )  0
 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
4. Hệ đẳng cấp bậc hai
 a x 2  b xy  c y 2  d
1
1 .
Hệ có dạng: (I)  1 2 1
2
 a2 x  b2 xy  c2 y  d2
 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
 Khi x  0, đặt y  kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để
giải (sẽ học ở lớp 12).
– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là
nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0  y0 .
Câu 8.

Giải các hệ phương trình sau:

2
 2

a)  x  4 y  8
 x  2y  4
2
 2
d)  x  3xy  y  2 x  3y  6  0
2 x  y  3

 2
b)  x  xy  24
2 x  3y  1

2

c) ( x  y)  49
3x  4 y  84

3x  4 y  1  0
e) 
 xy  3( x  y)  9

2 x  3 y  2
f) 
 xy  x  y  6  0

2

g)  y  x  4 x
2 x  y  5  0

2 x  3 y  5

h)  2
2
3x  y  2 y  4

2 x  y  5
i)  2
2
 x  xy  y  7

Câu 9.

Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
x  y  6
x  y  m
a)  2
b)  2
2
2
x  y  2x  2
x  y  m

3x  2 y  1
c)  2
2
x  y  m

Câu 10. Giải các hệ phương trình sau:

12
www.vmathlish.com

Đại số 10

 x  xy  y  11
a)  2
b)
2
 x  y  xy  2( x  y)  31
 x y 13
  
d)  y x 6
e)
 x  y  6

www.vmathlish.com

x  y  4
 2
2
 x  xy  y  13

 xy  x  y  5
c)  2
2
x  y  x  y  8

 x 3  x 3 y3  y3  17

 x  y  xy  5


 x 4  x 2 y 2  y 4  481
f)  2
2

 x  xy  y  37

Câu 11. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 x  y  xy  m
x  y  m  1
( x  1)( y  1)  m  5
a)  2
b)  2
c) 
2
2
2
 xy( x  y)  4m
 x  y  3  2m
 x y  xy  2m  m  3
Câu 12. Giải các hệ phương trình sau:



 x 2  2y2  2 x  y
 x 2  3x  2 y
 x3  2 x  y
a)  2
b)  2

c)
 3
2



y  2 x  2y  x
 y  3y  2 x
y  2y  x

y2  2

 2
y
1
3
y


2x  y 
 x  3y  4 x

2


x
y
d) 
e) 
f) 

2
x
1
3 x  x  2
 y  3x  4
2 y 2  x 
2
y



x
y

Câu 13. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:



 x 2  3x  my
 x(3  4 y 2 )  m(3  4m2 )
 xy  x 2  m( y  1)
a)  2
b) 
c)

2
2
2




 y  3y  mx
 y(3  4 x )  m(3  4m )
 xy  y  m( x  1)
Câu 14. Giải các hệ phương trình sau:



 x 2  3xy  y 2  1
2 x 2  4 xy  y 2  1
 y 2  3xy  4
a)  2
b)
c)

 2
2
2
2
2



3x  xy  3y  13
3x  2 xy  2 y  7
 x  4 xy  y  1


3x 2  5xy  4 y 2  38
d)  2

2

5x  9 xy  3y  15


 x 2  2 xy  3y 2  9
e)  2
2

 x  4 xy  5y  5
Câu 15. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:


 x 2  mxy  y 2  m
 xy  y 2  12
a)  2
b)
 2
2


 x  (m  1) xy  my  m
 x  xy  m  26


3x 2  8xy  4 y 2  0
f)  2
2

5x  7 xy  6 y  0


 x 2  4 xy  y2  m
c)  2

 y  3xy  4

13
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Câu 16. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) m2 x  4m  3  x  m2

b) (a  b)2 x  2a2  2a(a  b)  (a2  b2 ) x

c) a2 x  2ab  b2 x  a2  b2
d) a(ax  b)  4ax  b2  5
Câu 17. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)

2x  m x  m 1

1
x 1
x

2mx  1

b)

m2 x
 m x  2m  1
x 1

m 1

d) x  1  2 x  3  m
x 1
x 1
Câu 18. Giải và biện luận các phương trình sau:
c)

 2 x 1 

a) 2 x 2  12 x  15m  0

b) x 2  2(m  1)x  m2  0

b) x 2  mx  m  1  0
d) x 2  2(m  2)x  m(m  3)  0
Câu 19. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:
3
a) x 2  mx  m  1  0; x0  
b) 2 x 2  3m2 x  m  0; x0  1 .
2

Câu 20. Trong các phương trình sau, tìm m để:
i) PT có hai nghiệm trái dấu
ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt
iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả: x13  x23  0 ; x12  x22  3
a) x 2  2(m  2)x  m(m  3)  0

b) x 2  2(m  1)x  m2  0

c) x 2  2(m  1)x  m2  2  0

d) (m  2) x 2  2(m  1)x  m  2  0

e) (m  1) x 2  2(m  4) x  m  1  0
f) x 2  4 x  m  1  0
Câu 21. Trong các phương trình sau, hãy:
i) Giải và biện luận phương trình.
ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.
a) x 2  (m  1)x  m  0
c) (m  2) x 2  2(m  1)x  m  2  0
Câu 22. Giải các phương trình sau:

b) x 2  2(m  2)x  m(m  3)  0
d) x 2  2(m  1)x  m2  2  0

a) x 2  x 2  6  12

b) x 2  x 2  11  31

c) 16 x  17  8 x  23

d)

e)

3x 2  9 x  1  x  2  0

g) ( x  3) x 2  4  x 2  9
Câu 23. Giải các phương trình sau:

x 2  2 x  8  3( x  4)

f)

51  2 x  x 2  1  x

h)

x  3  1  3x  1

14
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com

a)

4  3 10  3x  x  2

b)

x  5  x  3  2x  4

c)

3x  4  2 x  1  x  3

d)

x 2  3x  3  x 2  3x  6  3

e)

x  2  2 x  3  3x  5

f)

3x  3  5  x  2 x  4

h)

x 1 1  x  x  8

x  2 x 1  x  2 x 1  2

b)

x  2 x 1  x  2 x 1 

x  x2  1  x  x2  1  2

d) x 2  x  x 2  x  13  7

g) 2 x  2  2 x  1  x  1  4
Câu 24. Giải các phương trình sau:
a)
c)

4

e) x 2  2 x 2  3 x  1  3 x  4

x 3
2

f) 2 x 2  3 2 x 2  x  1  9  x

g) x 2  x 2  2 x  4  2 x  2
h) 2 x 2  5 x 2  3x  5  23  6 x
Câu 25. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
mx  2 y  m  1
mx  y  3m
a) 
b) 
2 x  my  2a  1

 x  my  2m  1
2 x  y  5
 x  2y  4  m
c) 
d) 
2
x

y

3
m

3
2 y  x  10m  5

Câu 26. Giải các hệ phương trình sau:


 x  xy  y  1
 x 2  y2  5
 x 2 y  y 2 x  30
a)  2
b)
c)

 3 3
2
4
2 2

4


 x y  y x  6
 x  x y  y  13
 x  y  35


 x  y  xy  11
 x 3  y3  1
 x 2  y2  xy  7
d)  5 5
e)
f)  2
 4
2
2
2
4
2 2


 x  y  3( x  y)  28
x  y  x  y
 x  y  x y  21
Câu 27. Giải các hệ phương trình sau:

1
 y( x 2  1)  2 x ( y 2  1)
( x  y )(1  xy )  5




a) 
b)  2
1 
2
1
x

y
1

 24
2
2

( x  y )(1 

)  49
 x 2 y 2 
2
2



x y





1 1
x  y  x  y  4

c) 
1
1
 x 2  y2 

4
2

x
y2

2 x 2 y  y 2 x  2 y  x  6 xy

e) 
1 y x
 xy  xy  x  y  4




 x
y
2



 2
2
3

d)  x  1 y  1
( x  y )(1  1 )  6

xy

1
 xy  xy  4

f) 
( x  y )  1  1   5
xy 



Câu 28. Giải các hệ phương trình sau:
 x 2  3x  2 y


 x3  2 x  y
a)  2
b)  3


 y  3y  2 x
y  2y  x


 x 3  3 x  8y
c)  3

 y  3y  8 x

15
www.vmathlish.com


Đại số 10

www.vmathlish.com


2 x  y 

e) 
2 y  x 


 2 1
2 x  y  y
d) 
2 y 2  1  x

x

3
x2

3
y2


y2  2
3y 

x2
f) 
2
3 x  x  2

y2


www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

16
www.vmathlish.com