17 elip p1

Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

17. BÀI TOÁN VỀ ELIP – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Một số các kiến thức quan trọng về Elipse:
+) Phương trình chính tắc

x2 y2
+
= 1 trong đó a > b > 0; và a 2 = b 2 + c 2 .
a2 b2

Với elip chính tắc thì các tiêu điểm thuộc trục lớn, trục lớn nằm trên Ox.
+) Một điểm M thuộc elip thì MF1 + MF2 = 2a
+) Độ dài trục lớn bằng 2a, trục nhỏ bằng 2b, tiêu cự bằng 2c.
+) Các đỉnh của elip có tọa độ : (a;0), (− a;0), (0; b), (0; −b) và hai tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0)

c
+) Tâm sai của elip: e = ; ( e < 1)
a
+) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = ± a; y = ±b
Suy ra, chu vi và diện tích hình chữ nhật là C = 4 ( a + b ) ; S = 4ab
a
a2
a
a2
→ khoảng cách giữa hai đường chuẩn d = 2 = 2
+) Phương trình các đường chuẩn x = ± = ± 
e

c
e
c
+) Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM = a +

c
c
xM ; MF2 = a − exM = a − xM
a
a

+) Phương trình của elip liên hợp với elip chính tắc là

x2 y 2
+ 2 = 1 trong đó a > b > 0; và a 2 = b 2 + c 2 .
2
b
a

Với elip liên hợp thì trục lớn thuộc Oy.

Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8.
b) Tiêu cự bằng 8 và tâm sai bằng

3
.
5

c) Độ dài trục nhỏ bằng 10 và tâm sai bằng

12
.
13

Lời giải:
x2 y2
a) Ta có: 2a = 10; 2c = 8 ⇒ a = 5; c = 4; b = a − c = 3 ⇒ ( E ) : +
= 1.
25 9
2

2

c 3
x2 y2
b) Ta có: 2c = 8; e = = ⇒ c = 4; a = 5 ⇒ b = 3 ⇒ ( E ) : +
=1.
a 5
25 9

c) Ta có: 2b = 10; e =

c 12
c 12
= ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 25; =
a 13
a 13

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!

Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a 2 − c 2 = 25
2

 12 
Giải HPT  12
⇒ a 2 −  a  = 25 ⇒ a = 13; c = 12; b = 5
 13 
c = a
 13
Khi đó phương trình ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
169 25

Ví dụ 2: [ĐVH]. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 6; tiêu cự bằng 4.
b) Một tiêu điểm là F1(–2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10.
c) Trục nhỏ bằng 4; tâm sai e =

2
.
2

Lời giải:
x2 y 2
a) Ta có: 2a = 6; 2c = 4 ⇒ a = 9; b = a − c = 5 ⇒ ( E ) : +
=1
9
5
2

2

2

2

2
x2 y2
a = 25
b) Ta có: c = 2; 2a = 10 ⇒  2
⇒
E
:
+
= 1.
(
)
2
2
25 21
b = a − c = 21

b 2 = a 2 − c 2 = 4 a 2 = 8
c
2
x2 y 2
c) Ta có: 2b = 4; e = =
⇒ 2
⇒
⇒
E
:
+
=1
(
)

2
2
a
2
8
4
2c = a
b = 4

Ví dụ 3: [ĐVH]. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 16; trục lớn bằng 8
b) khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 32; tâm sai bằng 0,5
c) tâm sai bằng

5
và chu vi hinh chữ nhật cơ sở bằng 20.
3

Lời giải:
a
a2
a) Ta có khoảng cách 2 đường chuẩn: d = 2 = 2 = 16 ⇒ a 2 = 8c; 2a = 8 ⇒ a = 4; c = 2 ⇒ b 2 = 12
e
c
x2 y 2
Khi đó ( E ) : +
= 1.
16 12
a
a2
c 1
b) Ta có khoảng cách 2 đường chuẩn: d = 2 = 2 = 32 ⇒ a 2 = 16c; e = =
e
c
a 2

a 2 = 16c
x2 y 2
⇒
⇒ a = 8; c = 4 ⇒ b 2 = 48 ⇒ ( E ) : +
=1
64 48
a = 2c
Ví dụ 4: [ĐVH]. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

(

a) Một tiêu điểm là F1 − 3; 0

)


3
và đi qua điểm M 1;

 2 

1 

b) Đi qua 2 điểm A(2; 1) và B  5;

2

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

c) Tiêu cự bằng 8, (E) qua M

(

Facebook: LyHung95

)

15; −1

(

d) Trục lớn bằng 12; qua điểm M −2 5; 2

)
Lời giải:

a) Ta có c = 3 và phương trình ( E ) :


x2 y2
3
+ 2 = 1 ⇒ a 2 − b 2 = 3 . Lại có M 1;
 ∈ ( E )
2
a
b
 2 

2
2
2
2
2
1
3

a − b = 3
a = b + 3
 a = 4
nên 2 + 2 = 1 ⇒  2
⇔
⇒
 2
 2
2
2
2
2
2 2
a 4b
3a + 4b = 4a b
b = 1
3 ( b + 3) + 4b = 4 ( b + 3) b

Vậy ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
4
1

4 1
1 1
+ 2 =1
2


 a 2 = 6
x
y
x2 y 2
a b
b) Gọi ( E ) : 2 + 2 = 1 . Khi đó ta có: 
⇔
⇒ (E): +
=1
a
b
6
3
 5 + 1 =1  1 = 1
 a 2 2b 2
 b 2 3
2

2

c) Ta có: c = 4 , lại có:

15 1
15
1
15
1
+ 2 =1 ⇔ 2 + 2 2 =1⇒ 2 + 2
=1

2
a b
a
a −c
a
a − 16

 a 2 = 20 ⇒ b 2 = 4
⇔ 15 ( a − 16 ) + a = a ⇔  2
.
 a = 12 < 16 ( loai )
2

Vậy ( E ) :

2

4

x2 y2
+
=1.
20 4

a 2 = 36
x2 y 2
20 4
x2 y2

d) Gọi ( E ) : 2 + 2 = 1 ta có: a = 6; 2 + 2 = 4 ⇒  2 36 ⇒ ( E ) : +

=1
a
b
a b
36 36
b =
31

31
Ví dụ 5: [ĐVH]. Lập phương trình của elip trong các trường hợp sau:
a) (E) đi qua các điểm M(4; 0) và N(0; 3).

(

) (

)

b) (E) đi qua các điểm M 3 3; 2 , N 3; 2 3 .
Lời giải:
16
 a 2 = 1
x
y
x2 y2
a) Gọi ( E ) : 2 + 2 = 1 ta có: 
⇒ (E): +
=1
9
a

b
16
9
 =1
 b 2
2

2

 27 4
 a 2 + b 2 = 1 a 2 = 36
x
y
x2 y2
b) ( E ) : 2 + 2 = 1 ta có: 
⇒ 2
⇒ (E): +
=1
a
b
16 9
 9 + 12 = 1 b = 16
 b 2 b 2
2

2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Lập phương trình của elip trong các trường hợp sau:

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!

Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a) Hai tiêu điểm là F1(–6; 0) và F2(6; 0) tâm sai e =

Facebook: LyHung95

2
3

b) Trục lớn thuộc Ox, độ dài trục lớn bằng 8; trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 6.
c) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 10, tiêu cự bằng 6.
d) Hai tiêu điểm thuộc Ox; trục lớn có độ dài bằng 26, tâm sai e =

12
.
13

Lời giải:
a) Phương trình chính tắc của Elip có dạng ( E ) :

( E ) có hai tiêu điểm là
Tâm sai e =

x2 y 2
+
= 1 ( a > b > 0)
a2 b2

(1)

F1 ( −6; 0 ) , F2 ( 6;0 ) ⇒ F1 F2 = (12;0 ) ⇒ F1 F2 = 12 = 12 = 2c ⇒ c = 6

2
c 2
3c 3.6
⇒ = ⇒a=
=
= 9 ⇒ a 2 = 81.
3
a 3
2
2

Lại có a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 9 2 − 62 = 45.
x2 y2
x2 y2
Kết hợp với (1) ta có ( E ) : +
= 1 thỏa mãn. Vậy ( E ) : +
= 1.
81 45
81 45
x2 y 2
b) Phương trình chính tắc của Elip có dạng ( E ) : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )
a
b

(1)

2
 2a = 8
a = 4 a = 16
Bài ra độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt bằng 8 và 6 ⇒ 
⇔
⇒ 2
2b = 6
b = 3 b = 9

Kết hợp với (1) ta có ( E ) :

x2 y2
x2 y2
+
= 1 thỏa mãn. Vậy ( E ) : +
= 1.
16 9
16 9

c) Phương trình chính tắc của Elip có dạng

(E):

x2 y2
+
= 1 (b > a > 0)
b2 a2

(1)

Bài ra độ dài trục lớn bằng 10 ⇒ 2b = 10 ⇔ b = 5 ⇒ b 2 = 25.
Tiêu cực bằng 6 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3 ⇒ b 2 = a 2 + c 2 = a 2 + 32 ⇒ a 2 = b 2 − 32 = 52 − 32 = 16.
x2 y 2
x2 y2
Kết hợp với (1) ta có ( E ) : +
= 1 thỏa mãn. Vậy ( E ) : +
= 1.
25 16
25 16
x2 y 2
d) Phương trình chính tắc của Elip có dạng ( E ) : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )
a
b

(1)

Bài ra trục lớn có độ dài bằng 26 ⇒ 2a = 26 ⇔ a = 13 ⇒ a 2 = 169.
Tâm sai e =

12
c 12
12a 12.13
⇒ = ⇒c=
=
= 12.
13
a 13
13
13

Mà a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 132 − 12 2 = 25.
x2 y 2
x2 y2
+
= 1 thỏa mãn. Vậy ( E ) :
+
= 1.
Kết hợp với (1) ta có ( E ) :
169 25
169 25
1

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho elip có hai tiêu điểm F1 (− 3;0), F2 ( 3;0) và đi qua điểm A  3;  .
2

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) Lập phương trình chính tắc của elip
b) Với mọi điểm M thuộc elip, tính giá trị biểu thức P = MF12 + MF22 − 3OM 2 − MF1.MF2
Lời giải:
a) Phương trình chính tắc của Elip có dạng

(

( E ) có hai tiêu điểm là

) (

F1 − 3; 0 , F2

Mà a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 − b 2 = c 2 =

( E ) đi qua điểm

1

A  3;  ⇒
2


Kết hợp với (2) ta có

( 3)

( 3)

2

(E):

x2 y 2
+
= 1 ( a > b > 0)
a2 b2

)

(

(1)

)

3; 0 ⇒ F1 F2 = 2 3;0 ⇒ F1 F2 = 2 3 = 2 3 = 2c ⇒ c = 3.

= 3 ⇔ a2 = b2 + 3

(2)

2

2

a2

1
 
3
1
2
+  2 = 1 ⇔ 2 + 2 = 1.
b
a
4b

3
1
+ 2 = 1 ⇔ 12b 2 + b 2 + 3 = 4b 2 ( b 2 + 3 ) ⇔ 4b 4 − b 2 − 3 = 0
b + 3 4b
2

b 2 = 1
⇔ 2
⇔ b 2 = 1 ⇒ a 2 = 1 + 3 = 4 ⇒ a = 2 ( Do a > 0 ) .
b = − 3

4
Kết hợp với (1) ta có ( E ) :

x2 y2
x2 y2
+
= 1 thỏa mãn. Vậy ( E ) : +
= 1.
4
1
4
1

b) Cách 1. Sử dụng công thức đường trung tuyến và Elip
Vì O là trung điểm của F1 F2 nên theo công thức đường trung tuyến ta có

OM 2 =

2 ( MF12 + MF22 ) − F1 F22

4

=

(

2 ( MF12 + MF22 ) − 2 3
4

⇒ MF12 + MF22 − 3OM 2 − MF1.MF2 = MF12 + MF22 −
=9−

)

2

=

MF12 + MF22 − 6
2

3
MF12 + MF22 − 6 ) − MF1.MF2
(
2

MF12 + MF22 + 2 MF1.MF2
1
1
2

2
= 9 − ( MF1 + MF2 ) = 9 − ( 2a ) = 9 − 2a 2 = 9 − 2.4 = 1.
2
2
2

Vậy MF12 + MF22 − 3OM 2 − MF1.MF2 = 1.

Cách 2. Sử dụng các công thức của Elip
Đặt P = MF12 + MF22 − 3OM 2 − MF1.MF2 .
Ta có P = ( a + exM ) + ( a − exM ) − 3 ( xM2 + yM2 ) − ( a + exM )( a − exM )
2

2

= 2a 2 + 2e2 xM2 − 3 ( xM2 + yM2 ) − a 2 + e2 xM2 = a 2 + 3e2 xM2 − 3 ( xM2 + yM2 )
Lại có e =

c
3
x2 y 2
=
và M ∈ ( E ) ⇒ M + M = 1 ⇒ xM2 = 4 − 4 yM2 .
a
2
4
1
2

 3

2
2
2
2
2
Do đó P = 2 + 3. 
 ( 4 − 4 yM ) − 3 ( 4 − 4 yM + yM ) = 4 + 9 (1 − yM ) − 3 ( 4 − 3 yM ) = 1.
 2 
2

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Vậy MF12 + MF22 − 3OM 2 − MF1.MF2 = 1.
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho elip 4 x 2 + 9 y 2 = 36, M (1;1).
Viết pt đường d đi qua M, cắt elip tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung diểm của AB.

Lời giải:
Cách 1. Viết phương trình bằng cách gián tiếp
Gọi A ( a; b ) . Do A ∈ ( E ) ⇒ 4a 2 + 9b 2 = 36

(1)

Vì M (1;1) là trung diểm của AB ⇒ B ( 2 − a; 2 − b ) .
Do B ∈ ( E ) ⇒ 4 ( 2 − a ) + 9 ( 2 − b ) = 36 ⇔ 4a 2 + 9b 2 − 16a − 36b + 16 = 0.
2

2

Kết hợp với (1) ta có 36 − 16a − 36b + 16 = 0 ⇔ 13 − 4a − 9b = 0 ⇔ 4a + 9b − 13 = 0

(2)

Tọa độ A, B thỏa mãn (2) ⇒ phương trình AB : 4 x + 9 y − 13 = 0 ⇒ d : 4 x + 9 y − 13 = 0.

Đ/s: 4 x + 9 y − 13 = 0.
Cách 2. Quy về bài toán tương giao
Điểm M (1;1) ∉ Ox ⇒ đường thẳng x = 1 không cắt Elip tại hai điểm thỏa mãn bài toán.
Khi đó đường thẳng qua M (1;1) có dạng d : y = k ( x − 1) + 1.

4 x 2 + 9 y 2 = 36
2
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ 
⇒ 4 x 2 + 9 ( kx + 1 − k ) = 36
 y = k ( x − 1) + 1

⇔ ( 9k 2 + 4 ) x 2 − 18k ( k − 1) x + 9 ( k − 1) − 36 = 0
2

(3)

PT (3) có nghiệm với ∀k . Theo Viet ta có xA + xB =
Ta có M là trung điểm của AB khi xA + xB = 2 xM ⇒
Do đó d : y = −

18k ( k − 1)

9k 2 + 4

.

18k ( k − 1)

4
= 2.1 ⇔ 18k 2 − 18k = 18k 2 + 8 ⇔ k = − .
9k + 4
9
2

4
( x − 1) + 1 ⇔ 4 x + 9 y − 13 = 0.
9

Đ/s: 4 x + 9 y − 13 = 0.
Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho elip

x2 y2
+
= 1, M (1;1).
25 9

Viết pt đường d đi qua M, cắt elip tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung diểm của AB.

Lời giải:
Cách 1. Viết phương trình bằng cách gián tiếp
Ta có ( E ) : 9 x 2 + 25 y 2 = 225. Gọi A ( a; b ) do A ∈ ( E ) ⇒ 9a 2 + 25b 2 = 225

(1)

Vì M (1;1) là trung điểm của AB ⇒ B ( 2 − a; 2 − b ) .
Do B ∈ ( E ) ⇒ 9 ( 2 − a ) + 25 ( 2 − b ) = 225 ⇔ 9a 2 + 25b 2 − 36a − 100b = 89.
2

2

Kết hợp với (1) ta có 225 − 36a − 100b = 89 ⇔ 34 − 9a − 25b = 0 ⇔ 9a + 25b − 34 = 0

(2)

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Tọa độ A, B thỏa mãn (2) ⇒ phương trình AB : 9 x + 25 y − 34 = 0 ⇒ d : 9 x + 25 y − 34 = 0.
Đ/s: d : 9 x + 25 y − 34 = 0.
Cách 2. Quy về bài toán tương giao
Điểm M (1;1) ∉ Ox ⇒ đường thẳng x = 1 không cắt Elip tại hai điểm thỏa mãn bài toán.
Khi đó đường thẳng qua M (1;1) có dạng d : y = k ( x − 1) + 1.
2
 x2 y 2
=1
x 2  k ( x − 1) + 1
 +
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ  25 9

⇒
+
=1
9
 y = k ( x − 1) + 1 25


⇒ ( 25k 2 + 9 ) x 2 − 50k ( k − 1) x + 25 ( k 2 − 2k − 9 ) = 0

(1)

PT (1) có nghiệm với ∀k . Theo Viet ta có xA + xB =
Ta có M là trung điểm của AB khi xA + xB = 2 xM ⇒
Do đó d : y = −

50k ( k − 1)
25k 2 + 9

50k ( k − 1)
25k + 9
2

.
= 2.1 ⇔ 25k 2 + 9 = 25k ( k − 1) ⇔ k = −

9
.
25

9

( x − 1) + 1 ⇔ 9 x + 25 y − 34 = 0.
25

Đ/s: d : 9 x + 25 y − 34 = 0.

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!