17 elip p2

Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

17. BÀI TOÁN VỀ ELIP – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm điểm M trên (E) thỏa mãn:
a) ( E ) :

x2 y 2
+
= 1 . Tìm M trên (E) sao cho MF1 = 2MF2
9
5

b) (E): 16x2 + 25y2 – 400 = 0. Tìm M trên (E) sao cho M nhìn F1, F2 dưới 1 góc 600, 900, 1200.
x2 y 2
c) Tìm M nằm trên ( E ) : +
= 1 nhìn 2 tiêu điểm cuả (E) dưới 1 góc vuông.
25 9
d) Viết phương trình chính tắc của (E) biết 1 điểm M có hoành độ xM = 2 nằm trên (E) và thỏa mãn
MF1 =

13
5
; MF2 =
3
3

Lời giải:
 a 2 b2

 MF + MF2 = 2a = 6
 + =1
a) Ta có:  1
⇒ MF1 = 4 trong đó F1 ( −2; 0 ) . Gọi M ( a; b ) ta có:  9 5
 MF1 = 2MF2
( a + 2 )2 + b 2 = 16


 a2 b2

3
15
 + =1
a= ⇒b=±

9
5

2
2
⇔
⇔
2
21

( a + 2 )2 + 5 1 − a  = 16
a = − ⇒ b 2 < 0 ( loai )




9 

2


3
15 
Vậy M  ; ±
 .
2
2


x2 y2
b) Ta có: ( E ) : +
= 1 ⇒ F1 ( −3;0 ) ; F2 ( 3;0 ) .
25 16

 MF12 + MF22 − MF1MF2 = 36
+) Gọi M ( x; y ) ta có: MF + MF − 2MF1MF2 cos 60 = F1 F2 ⇒ 
 MF1 + MF2 = 2a = 10
2
1

2
2

0

2

64

( MF1 + MF2 ) 2 − 3MF1MF2 = 36
 MF1MF2 =
⇔
⇔
3
 MF1 + MF2 = 10
 MF1 + MF2 = 10
c
c


Với MF1.MF2 =  a + xM  a − xM
a
a



9
64
±5 11
16
 64
⇔ 25 − xM2 =
⇒ xM =
⇒ yM = ±
=
25

3
3 3
3 3
 3

 ±5 11 ±16 
Vậy M 
;
 là 4 điểm cần tìm (các trường hợp góc 90 và 120 tương tự cách làm trên )
 3 3 3 3

c) Ta có: F1 ( −4; 0 ) ; F2 ( 4;0 )

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 MF12 + MF22 = 64
Gọi M ( x; y ) ta có: MF + MF = F1 F2 ⇒ 
 MF1 + MF2 = 2a = 10
2
1

2
2

2

2
 MF1MF2 = 18
( MF1 + MF2 ) − 2 MF1MF2 = 64
⇔
⇔
 MF1 + MF2 = 10
 MF1 + MF2 = 10

c
c


Với MF1.MF2 =  a + xM  a − xM
a
a



16 2
±5 7

⇒ y M = ±3
 = 18 ⇔ 25 − xM = 18 ⇒ xM =
25
4


 ±5 7


Vậy M 
; ±3  là 4 điểm cần tìm.
 4

c
2c 13

 MF1 = a + a x = a + a = 3
a = 3
d) Ta có 
⇒
⇒ b2 = 5
c
2
c
5
c
2
=

 MF = a − x = a −
=
M
 2
a
a 3
Vậy ( E ) :

x2 y 2
+

=1
9
5

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho (E): 4x2 + 9y2 = 36. Tìm M trên (E) sao cho:
a) M có toạ độ là các số nguyên.
b) M có tổng các toạ độ đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Lời giải:
 a2
 ≤ 1 −3 ≤ a ≤ 3
a2 b2
9
a) Gọi M ( a; b ) ta có:
+ =1⇒  2
⇔
9
4
 b ≤ 1  −2 ≤ b ≤ 2
 4
+) Xét b = ±2 ⇒ a = 0 ⇒ M ( 0; ±2 ) .
+) Xét b = ±1 ⇒ a 2 =

27
( loai )
4

+) Xét b = 0 ⇒ a = ±3 ⇒ M ( ±3; 0 )
Vậy có 4 điểm M thoã mãn yêu cầu bài toán: M ( ±2;0 ) ; M ( ±3; 0 ) .

4a 2 + 9b 2 = 36

2
b) Ta xét: 
. Lại có: ( 4a 2 + 9b 2 ) ( 9 + 4 ) ≥ ( 6a + 6b ) ( theo BĐT Bunhiascopky)
F = a + b
⇒ 36.13 ≥ 36 ( a + b ) ⇔ ( a + b ) ≤ 13 ⇔ − 13 ≤ a + b ≤ 13
2

2


a=
 2a 3b

4a = 9b
 =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  3
⇔ 2
⇔
2
2

4a + 9b = 36
4a 2 + 9b 2 = 36

a =


9
;b =
13

−9
;b =
13

4

→ Max
13
−4

→ min
13

4 
 9
 −9 −4 
;
;
Vậy M 1 
; M2 

 13 13 
 13 13 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 3: [ĐVH]. ( E ) :

Facebook: LyHung95

x2 y 2
+
= 1 và đường thẳng (d): 2x + 15y – 10 = 0.
25 4

a) CMR (d) luôn cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.
b) Tìm C trên (E) sao cho ∆ABC cân tại A biết xA > 0.
c) Tìm C trên (E) sao cho S∆ABC lớn nhất.
Lời giải:
 x = 5 + 15t
a) Phương trình tam số của d là: 
. Gọi M (15t + 5; −2t ) ta có:
 y = −2t

M ∈(E)

(15t + 5)
⇒
25

2

( −2t )
+

2

4

t = 0 ⇒ A ( 5;0 )
2061

=1⇔ 
3
6  ⇒ AB =

5
t = − ⇒ B  −4; 

5
5


b) Do A ∈ Ox là trục đối xứng của (E) do vậy để tam giác ABC cân tại A thì C đối xứng với B qua Ox khi
6

đó C  −4; −  là điểm cần tìm.
5


c) Gọi C ( a; b ) ta có: S ABC lớn nhất ⇔ d ( C ; AB ) lớn nhất
Lại có : d ( C ; AB ) =

2a + 15b − 10
229

. Xét ( 4a 2 + 25b 2 ) (1 + 9 ) ≥ ( 2a + 15b ) ⇒ −10 10 ≤ 2a + 15b ≤ 10 10
2

2a + 15b = −10 10

Vậy d ( C ; AB ) lớn nhất ⇔ 2a + 15b = −10 10 dấu bằng xảy ra ⇔  2a 5b
 =
3
1


− 10
a =
 − 10 −3 10 

2
. Vậy C 
⇔
;
 là điểm cần tìm
2
5
−
3
10


b =

5

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ( E ) :

x2 y 2
+
= 1 và đường thẳng (d): 3x + 4y + 24 = 0.
9
4

a) CMR (d) không cắt (E).
b) Tim điểm M trên (E) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất.
Lời giải:
 x = 4t
a) Phương trình tham số của d là: 
. Gọi M ( 4t ; −6 − 3t ) ∈ d để M cũng thuộc (E) ta xét PT:
 y = −6 − 3t
16t 2 ( 3t + 6 )
M ∈(E) ⇒
+
= 1 ( vn ) vậy d không cắt ( E ) .
9
4
2

b) Gọi M ( a; b ) ∈ ( E ) ta có:

3a + 4b + 24 t + 24
a 2 b2
+ = 1 và d ( M ; d ) =
=
( với t = 3a + 4b )
9

4
5
5

2
 9 16 
Lại có : ( 4a 2 + 9b 2 )  +  ≥ ( 3a + 4b ) = t 2 ⇒ − 145 ≤ t ≤ 145
4 9 

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Do vậy d ( M ; d ) =

Facebook: LyHung95

t + 24
nhỏ nhất ⇔ t = 3a + 4b = − 145
5


a=
 4a 9b
<0
 =

Dấu bằng xảy ra ⇔  3
⇔

4
2
2
4a + 9b = 36
b =



−27
145
−36
145

 −27 −36 
Vậy M 
;
 là điểm cần tìm.
 145 145 
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho ( E ) :

x2 y 2
+
= 1 . A, B là 2 điểm trên (E) sao cho AF1 + BF2 = 8.
25 16

a) Tính AF2 + BF1.
b) Tìm toạ độ điểm M trên (E) sao cho MF1 = 4MF2.
Lời giải:

 AF1 + AF2 = 2a = 10

, lại có AF1 + BF2 = 8 ⇒ AF2 + BF1 = 12
a) Ta có: 
 BF1 + BF2 = 2a = 10
 MF + MF2 = 2a = 10
b) Ta có:  1
⇒ MF1 = 8 . Gọi M ( a; b ) ta có:
 MF1 = 4MF2

 a 2 b2
 + =1
 25 16
 F ( −3; 0 ) ⇒ MF 2 = ( a + 3) 2 + b 2 = 64
1
 1

 a 2 b2
 + =1
 25 16
⇔
⇔ a = 5; b = 0 . Vậy M ( 5;0 )
2
( a + 3) 2 + 16 1 − a  = 64



 25 
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho 2 elip (E1 ) :

x2 y 2
x2 y 2

+ = 1; (E2 ) : + = 1 . Viết phương trình đường tròn đi qua các
9 4
16 1

giao điểm của 2 elip đó.

Lời giải:
Do a1 = 3 < a2 = 4 và b1 = 2 > b2 = 1 nên 2 Elip cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D và 4 điểm này thoã

 x2 y 2
= 1 4 x 2 + 9 y 2 = 36 1
 +
()

9
4
mãn hệ PT 2 elip:  2
⇔ 2
2
 x + 16 y = 16 ( 2 )
 x + y2 = 1
16
“ Lấy a. (1) + b. ( 2 ) ⇒ ( 4a + b ) x 2 + ( 9a + 16b ) y 2 = 36a + 16b
Cân bằng hệ số ta có:

4a + b
= 1 ⇔ 5a + 15b = 0 ⇔ a + 3b = 0 ” ( phần này nháp )
9a + 16b

Chọn a = 3; b = −1 . Lấy 3. (1) − ( 2 ) ta được: 11x 2 + 11 y 2 = 92 ⇔ x 2 + y 2 =

92
là phương trình đường tròn
11

cần tìm đi qua 4 điểm A,B,C,D.
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

x2 y 2
+
= 1 . Viết phương trình đường
25 9

thẳng song song với Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB = 4.
Lời giải:
Gọi phương trình đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với a ≠ 0 ). Tung độ giao điểm của (d) và (E)
là:

a2 y2
25 − a 2
3
+
= 1 ⇔ y 2 = 9.

⇔ y=±
25 − a 2 ( a ≤ 5 )
25 9
25
5

3
6
 3
 

V ậ y A  a;
25 − a 2  , B  a; −
25 − a 2  ⇒ AB =
25 − a 2
5
5
 5
 

Do đó AB = 4 ⇔

6
100
5 5
25 − a 2 = 4 ⇔ 25 − a 2 =
⇔a=±
(thỏa mãn đk)
5
9

3

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là x =

5 5
5 5
,x = −
3
3

Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E):
x2 y2
+
= 1 . Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành
4
1
và tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:
Bài ra A, B đối xứng với nhau qua trục hoành ⇒ A ( a; b ) , B ( a; −b ) ⇒ AB = ( 0; 2b ) ⇒ AB = 2b .
Khi đó gọi H là giao điểm của AB với trục hoành ⇒ H ( a;0 ) ⇒ CH = ( a − 2;0 ) ⇒ CH = a − 2 .

a−2
( a − 2) .
3
3
AB ⇒ a − 2 =
⇒ b2 =
Ta có ∆ABC đều nên CH =
2b ⇒ b =

2
2
3
3
2

2
a = 2
a2 b2
a2 ( a − 2)
2
Do A ∈ ( E ) ⇒
+ =1⇒
+
= 1 ⇔ 7 a − 16a + 4 = 0 ⇔ 
2
a =
4 1
4
3
7


Với a = 2 ⇒ CH = 2 − 2 = 0 ⇒ Loại.
Với a =

2
1 2
4 3
4 3

⇒b=
. −2 =
⇔b=±
.
7
7
7
3 7

2 4 3 2 4 3
2 4 3 2 4 3
Đ/s: A  ;
 , B  ; −
 hoặc A  ; −
, B ;
.
7 
7   7 7 
7 7  7
7

Ví dụ 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :

x2 y 2
+
= 1 và điểm A(0; 2). Tìm B, C
16 4

thuộc (E) đối xứng với nhau qua Oy sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:
Bài ra B, C đối xứng với nhau qua Oy ⇒ B ( a; b ) , C ( − a; b ) ⇒ BC = ( −2a; 0 ) ⇒ BC = −2a = 2a .

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Khi đó gọi H là giao điểm của BC với Oy ⇒ H ( 0; b ) ⇒ AH = ( 0; b − 2 ) ⇒ AH = b − 2 .

b−2
(b − 2) .
3
3
Ta có ∆ABC đều nên AH =
BC ⇒ b − 2 =
2a ⇔ a =
⇒ a2 =
2
2
3
3
2

2
b = 2
a2 b2
1 (b − 2 ) b2

2
Do B ∈ ( E ) ⇒
+ =1⇒ .
+ = 1 ⇔ 13b − 4b − 44 = 0 ⇔ 
22
b = −
16 4
16
3
4
13


Với b = 2 ⇒ AH = 2 − 2 = 0 ⇒ Loại.
Với b = −

22
1
22
16 3
16 3
⇒a =
. − −2 =
⇔a=±
.
13
13
13
3 13

 16 3 −22 
 16 3 −22 
 16 3 −22 
 16 3 −22 
Đ/s: B 
;
;
;
;
 , C  −
 hoặc B  −
 , C 
.
13 
3
13 
3
13 
13 
 3


 3

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho 2 elip ( E1 ) :

x2 y 2
x2 y 2
+
= 1 và ( E2 ) : +

=1
4 1
1
6

a) CMR 2 elip cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D và ABCD là hình chữ nhật
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hcn ABCD.
Lời giải:

 x2 y 2
 2 20
x = ±
 4 + 1 = 1  x = 23

⇔
⇔
a) Bài ra ta có  2
2
 x + y = 1  y 2 = 18
y = ±


23
6
 1

20
23

(1)

18
23

HPT (1) có bốn nghiệm phân biệt nên ( E1 ) cắt ( E2 ) tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D.

 20 18   20
 20
 20 18 
18 
18 
Giả sử A 
;
;−
;−
;
 , B 
 , C  −
 , D  −

23 
23 
 23 23   23
 23
 23 23 

 2 20 
2 18 
⇒ AB =  0; −
; 0  ⇒ AB.BC = 0 + 0 = 0 ⇒ AB ⊥ BC.

 , BC =  −
23
23




Tương tự BC ⊥ CD, CD ⊥ DA ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Vậy ( E1 ) cắt ( E2 ) tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

b) Gọi (T ) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và I = AC ∩ CD
 20 18 
20 18
6
⇒ I là trung điểm của AC ⇒ I ( 0; 0 ) ⇒ IA = 
;
+
=
.
 ⇒ IA =
23
23
23
23
23



Như vậy (T ) có tâm I ( 0;0 ) và bán kính R = IA =

Đ/s: (T ) : x 2 + y 2 =

6
36
⇒ (T ) : x 2 + y 2 = .
23
23

36
.
23

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho ( E ) :

Facebook: LyHung95

x2 y2
+
= 1; d : x − 2 y + 2 = 0
8
4

a) CMR: (d) cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.
b) Tìm điểm C trên (E) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Lời giải:

a) Ta có d : y =

1
x + 2. Hoành độ giao điểm của d và ( E ) là nghiệm của phương trình
2
2

x 1 1

2
+ 
x + 2  = 1 ⇔ x2 + ( x + 2)
8 4 2

2


1+ 3
 x = −1 + 3 ⇒ y =
2
= 8 ⇔ 2x2 + 4x − 4 = 0 ⇔ 

1− 3
 x = −1 − 3 ⇒ y =
2


 
1+ 3  
1− 3 

 A  −1 + 3;
 , B  −1 − 3;

2  
2   AB = −2 3; − 6
 
⇒
⇒
⇒ AB =
 BA = −2 3; − 6




1
+
3
1
−
3
 B −1 + 3;
 , A  −1 − 3;
 
 
2
2
 

 

(
(

)
)

( −2 3 ) + ( − 6 )
2

2

= 3 2.

Vậy d cắt ( E ) tại hai điểm phân biệt A, B và AB = 3 2.

(

)

(

)

b) Ta có AB nhận u = −2 3; − 6 làm VTCP nên nhận n = 1; − 2 làm VTPT.


1+ 3 
1+ 3 
Kết hợp với AB qua điểm  −1 + 3;
 ⇒ AB :1. x + 1 − 3 − 2.  y −

 = 0
2
2





(

)

⇔ x 2 − 2 y + 1 + 2 + 3 − 6 = 0.
Gọi C ( a; b ) ta có S ABC =

⇒ S ABC ≤

a 2 − 2b + 1 + 2 + 3 − 6
1
1
AB.d ( C ; AB ) = .3 2.
2
2
6

(

3
a 2 − 2b + 1 + 2 + 3 − 6
2

(

)

(1)

)(

)

Dấu " = " xảy ra ⇔ 1 + 2 + 3 − 6 a 2 − 2b ≥ 0 ⇔ a ≥ b 2.
Do C ∈ ( E ) ⇒

a 2 b2
+ = 1. Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
8
4

 a  2  b  2 
( 4 + 4 )  2 2  +  − 2   ≥ a 2 − 2b



2

(

2

Dấu " = " xảy ra ⇔ 4.

)

2

(

⇒ a 2 − 2b

)

2

≤ 32.1 = 32 ⇒ a 2 − 2b ≤ 32.

−b
a
= 4.
⇔ a = −b 2.
2
2 2

Kết hợp với (1) ⇒ S ABC ≤

3
2

(

)

32 + 1 + 2 + 3 − 6 .

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a ≥ b 2; a = −b 2
 2
a = 2
Dấu " = " xảy ra ⇔  a b 2
⇔
⇒ C 2; − 2 .
b = − 2
 + =1
8 4

(

(

)

)

Đ/s: C 2; − 2 .

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!