Bộ đề luyện thi ĐH-CĐ môn Toán P2 - Đề 13

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_________________________________________________________

Câu 1.
1) Với
7
a
2
=
, ta có hệ :

++ =




+=


7
xyxy
2
5
xy(x y)
2

Đặt x + y = S, xy = P, thì đợc
S + P =
7
2

, SP =
5
2
,
suy ra a) S = 1, P = 5/2 loại vì không thỏa mãn điều kiện
2
S4P
;
b)
5
S
2
=
, P = 1 thì đợc nghiệm
x = 2,
1
y
2
=
; x =
1
2
, y = 2.
2) Trong trờng hợp tổng quát ta có
SPa
SP 3a 8
+=


=

Vậy S, P là nghiệm của phơng trình
2
t
at + (3a 8) = 0. (1)
Điều kiện của phơng trình có nghiệm :

=
2
a


4(3a

8) =
2
a


12a + 32

0

a

4 hoặc 8

a.
Với điều kiện đó, phơng trình (1) có nghiệm

2
1
a a 12a 32
t
2
+
= ,
2
2
a a 12a 32
t
2
++
=
a) Nếu lấy S =
1
t
, P =
2
t
, thì phải có điều kiện
22
12
S4Pt4t
hay
222
(a a 12a 32) 8(a a 12a 32)+ ++


2

a
10a + 16 (a + 4)
2
a 12a 32+
. (2)
b) Nếu lấy S =
2
t
, P =
1
t
, thì tơng tự nh trên, phải có
2
21
t4t
hay
22
a 10a 16 (a 4) a 12a 32++ +
. (3)
Thành thử ngoài điều kiện a 4, 8 a, để hệ có nghiệm, ta còn phải có (2) hoặc (3), tức là
22
a10a16 a4a12a32++ +
. (4)
Vì
2
a10a16+
= (a 2) (a 8), nên nếu a 2, hoặc 8 a thì (4) đợc nghiệm. Xét 2 < a 4,
khi đó
2
a10a16

+
< 0, viết (4) dới dạng
a 4 (a 4)(a 8)
+




(a

2)(a

8),
cả hai vế đều không âm, có thể bình phơng và đợc
2
(a 4)
+
(a 4)(a 8)
22
(a 2) (a 8)

hay do a 8 < 0 :
2
(a 4)
+
(a 4)
2
(a 2)

(a 8) 4

2
a
13a 8 0

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_________________________________________________________




13 3 33 13 3 33
a
88
+

Kết hợp các điều kiện đã đợc, ta thấy rằng hệ có nghiệm khi
13 3 33
a
8
+
hoặc 8 a.
Câu II.
1) Viết phơng trình đã cho dới dạng
sin x = 2cosx 1.
Phải có 2cosx 1 0 cosx
1
2
. Bình phơng hai vế phơng trình trên thì đợc
1

2
cos x
= 4
2
cos x
4cosx + 1 5
2
cos x
4cosx = 0.
Nghiệm cosx = 0 bị loại, nghiệm
4
cosx
5
=
thích hợp, suy ra
x = + 2k ( k Z), với
4
cosx
5
=
.
2) Biến đổi hệ thức đã cho dới dạng
(A B) (A B)
a(tgB tg ) b(tg tgA)
22
++
=


sin Asin[(B A) / 2] sinB.sin[(B A)/ 2]

cosB cos A

=

sin[(B A)/2](sin2A sin2B) = 0.
Suy ra
a)
AB
2

= k A B = 2k (k Z).
Vì < B A < , nên chỉ có k = 0 thích hợp A = B (ABC là tam giác cân) ;
b) 0 = sin 2A sin2B = 2sin(A B)cos(A + B) = 2sin(A B)cosC, tức là
hoặc A B = k (k Z) (cũng nh trên) A = B,
hoặc cosC = 0 C = /2 + k (chỉ có k = 0 thích hợp)
C = /2 (tam giác ABC vuông tại C).
Câu III. Hàm số đợc xác định với mọi x vì
2
x
x + 1 > 0, x.
Vì
23/2
3x 3
y'
2(x x 1)
+
=
+

nên hàm số có bảng biến thiên nh sau :

x


1
+
y' + 0


y

1

2



1
Thành thử hàm số đạt cực đại khi x = 1 (
max
y
= 2).

Câu IVa. Để tính
I=
1
e
cos(lnx)dx


đặt

ux
dv dx
du
x
x
dx
vx
=
=




=
=





cos(ln )
sin(ln )
,
vậy I=
xcos(lnx) + J = - 1 - e + J
1
e

với J=
1
e
sin(lnx)dx


.
Lại đặt
ux
dv dx
du
x
x
vx
=
=




=
=





sin(ln )

cos(ln )
,
thì J=
xsin(lnx) - I = - I
1
e




.
Từ đó suy ra I=
-
1
2
(1 + e )

.
Câu Va. Bất kì mặt phẳng P nào đi qua () phải có phỷơng trình
p(x+2y-3z+1)+q(2x-3y+z+1)=0
hay(p+2q)x+(2p-3q)y+(-3p+q)z+(p+q)=0,
vậy nó có vectơ pháp tuyến
r
n
=(p+2q ;2p-3q ;-3p+q).
Đỷờng thẳng (D) có vectơ chỉ phuơng
r
u
(a ; 2 ; -3).
1) Để P // (D), điều kiện cần và đủ là

r
n

r
u
hay
0=
nu

.
= a(p + 2q) + 2(2p - 3q) + 3(3p - q)= p(a + 13) + q(2a - 9),
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
muốn vậy tốt nhất là nên chọnp=9-2a,q=a+13.
2) Để P (D), điều kiện cần và đủ là
r
n
//
r
u
, hay
p+2q
a
=
2p - 3q
2
=
-3p + q
-3

,
suy ra chẳng hạnq=0,p=1,vàphải cóa=1.
Câu IVb. 1) Xét các tam giác AOB và AOC, ta có :
AB
2
=OA
2
+OB
2
- 2OA.OBcos45
o
=a
2
;
AC
2
=OA
2
+OC
2
- 2OA.OCcos45
0
=a
2
.
Vậy chúng là các tam giác cân ; hơn nữa lại có góc ở đáy bằng 45
0
nên là
vuông cân.
OA AC

OA AB






OA
().ABC
2) Xét tam giác cân BOC có
BOC
^
= 60
0
. Vậy BOC đều nên BC = a
2
. Xét
BAC có 2a
2
=BC
2
=AB
2
+AC
2
. Vậy BAC vuông ở A. Từ đó AB
AC ; mặt khác AB OA. Vậy AB (OAC) ị AB // Ot, tức là Ox, Oy, Ot
cùng trong một mặt phẳng.
3) Hình chóp C.OABD có đáy OABD là hình vuông và CA là đỷờng cao. Vậy V
COABD.

= (1/3)AC.OA
2
= (1/3)a
3
.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________