Bộ đề luyện thi ĐH-CĐ môn Toán P2 - Đề 12

Câu I.1)m=-1:Hàmsốcódạng
y=
-x + 2x - 5
x-1
2
.
a) Bạn đọc tự giải.
b) Hai nhánh nằm về hai phía tiệm cận đứngx=1nêncóthểcoiM
1
thuộc nhánh trái có x
1
=1- và M
2
thuộc
nhánh phải có x
2
=1+ ( và >0).
Thay vào hàm số đỷợc
y
1
= +
4

và y
2
=- -
4

. Gọi d là khoảng cách giữa M
1
và M

2
thì d
2
=
MM =(x -x) +(y -y)
12
2
21
2
21
2
. Sau khi
rút gọn đỷợc
d
2
=( + )
2
[1+(1+
4

)
2
].
Vì , >0 nên +
2
; dấu bằng xảy ra khi = (1) ; suy ra
d
2

8

8
+
4
+1
22









hay d
2

8
8
++4








.
Vì > 0 nên theo bất đẳng thức Côsi:

8
+42


. Dấu bằng xảy ra khi =
8

(2). Thay vào đỷợc
d
42+22
(3). d nhỏ nhất khi trong (3) xảy ra dấu bằng. Mặt khác để trong (3) có dấu bằng có (1) và (2)
= =
4
8
.
Vậy
M(1- 8,48+242)
1
4
và
M(1+48,-48-242)
2
.
2) y =
mx + 2m x - 3m
(x + m)
22 3
2
. Hàm số có hai điểm cực trị nên
y=0cóhainghiệm phân biệt x

1
< x
2
. Góc (II) và (IV) nằm về hai phía trục Oy nên x
1
< 0 < x
2
. Gọi g(x) = mx
2
+
2m
2
x-3m
3
thì mg(0) < 0 -3m
4
< 0, "m ạ 0 (4). Góc (II) và (IV) nằm về hai phía Ox, mặt khác đối với hàm phân
thức bậc hai trên bậc nhất thì y
CT
> y
CD
nên điểm cực tiểu thuộc góc (II) và điểm cực đại thuộc góc (IV). Từ đó suy
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
XX
1

-m x
2
y - 0 + + 0 -
Y CĐ
CT
Chứng tỏ g(x) đổi dấu từ âm sang dỷơng khi qua x
1
và từ dỷơng sang âm khi qua x
2
ị hệ số bậc hai của g(x) là
m < 0 (6). Từ (4), (5) và (6) suy ra m <
-5
5
.
Câu II.1)Khiy=2hệcódạng
||
||
xx
x
2
1
11

+




xx
xx

x
x
2
2
1
1
11
11


+
+








1- 5
2
x0
.
2)
yx x
yx

+ +

|| ()
|||| ()
2
107
21108
Từ (7) y 1+|x
2
-x|ị y 1 (9). Từ (8)
|y-2|Ê 1-|x+1|Ê 1 ị |y-2|Ê 1. (10)
Ghép (9) và (10) ta đ ợc hệ:
y
y





1
21||

y
y
y

1
21
21
1 Ê y Ê 3.
Trong khoảng này có các số nguyên y
1
=1;y
2
=2;y
3
= 3. Với y
1
= 1 thay vào hệ ban đầu đỷợc
||
||
xx
x
2
0
10

+




xx

x
2
0
10
=
+=



vô nghiệm.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
ở phần 1) giải đ ợc
1- 5
2
x0
.
Trong khoảng này có duy nhất 1 số nguyênx=0;
vậy
x
y
=
=



0
2
là một cặp nghiệm nguyên.

Với y
3
= 3 thay vào hệ ban đầu đ ợc
||
||
xx
x
2
2
10

+



x = -1;
vậy
x
y
=
=



1
3
là một cặp nghiệm nguyên.
Đáp số : Có 2 nghiệm nguyên :
x
y

=
=



0
2
và
x
y
=
=



1
3
Câu III.1)Vớim=
1
2
ph ơng trình có dạng
sinx + 3cosx =
1
cosx
. Với điều kiện cosx ạ 0 chia hai vế cho cosx và đặt tgx = t (với "t) ta đ ợc:
t
2
-t-2=0 t
1
=-1và t

2
=2
Với t
1
=-1 tgx=-1 x=-

4
+k (k ẻ Z).
Với t
2
=2=tg x= +k (k ẻ Z).
2) msinx + (m + 1)cosx =
m
cosx
(11). Với điều kiện cosx ạ 0, chia hai vế của (11) cho cosx và đặt tgx = t, ta đỷợc:
mt
2
-mt-1=0(12).
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Khi cosx ạ 0 thì tgx luôn có nghĩa nên phỷơng trình (12) không có điều kiện của ẩn t
(-Ơ < t < +Ơ).
Vớim=0:(12) vô nghiệm.
Với m ạ 0 : (12) có nghiệm =m
2
+4m 0 m 0 hoặc m Ê -4.
Kết hợp với điều kiện m ạ 0tađợcđápsốm > 0 hoặc m Ê -4.
3) Với điều kiện cosx ạ 0, (11) mtg
2

x-mtgx-1=0(13).
cos(2x
1
+2x
2
)=
1- tg (x + x )
1+ tg (x + x )
2
12
2
12
.
(14)
Với giả thiết x
1
+x
2
ạ

2
+k thì (14) có nghĩa.
Mặt khác, tg(x
1
+x
2
)=
tgx + tgx
1- tgx tgx
12

12
(15). Với giả thiết cosx ạ 0 thì tgx
1
và tgx
2
có nghĩa ; mặt khác, với giả thiết x
1
+x
2
ạ
/2+k thì 1 - tgx
1
tgx
2
ạ 0 nên (15) có nghĩa. áp dụng định lý Viet đối với phỷơng trình (13) khi m > 0 hoặc m Ê -4
tađợctgx
1
+ + tgx
2
=1vàtgx
1
tgx
2
= -1/m. Thay vào công thức (15) ta đỷợc
tg(x
1
+x
2
)=
1

1-(
-1
m
)
=
m
m+1
.
Thay vào (14) ta đỷợc
cos(2x
1
+2x
2
)=
1-(
m
m+1
)
1+(
m
m+1
)
=
2m + 1
2m + 2m + 1
2
2
2
.
Phần đã giải là xét trỷỳõng hợp x

1
,x
2
đỷợc sinh ra do ta giải hai phỷơng trình
Khi cosx ạ 0 thì tgx luôn có nghĩa nên phỷơng trình (12) không có điều kiện của ẩn t (-Ơ < t < +Ơ).
Vớim=0:(12) vô nghiệm.
Với m ạ 0 : (12) có nghiệm =m
2
+4m 0 m 0 hoặc m Ê -4.
www.khoabang.com.vn
Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
3) Với điều kiện cosx ạ 0, (11) mtg
2
x-mtgx-1=0(13).
cos(2x
1
+2x
2
)=
1- tg (x + x )
1+ tg (x + x )
2
12
2
12
. (14)
Với giả thiết x
1
+x

2
ạ

2
+k thì (14) có nghĩa.
Mặt khác, tg(x
1
+x
2
)=
tgx + tgx
1- tgx tgx
12
12
(15). Với giả thiết cosx ạ 0 thì tgx
1
và tgx
2
có nghĩa ; mặt khác, với giả thiết
x
1
+x
2
ạ /2+k thì 1 - tgx
1
tgx
2
ạ 0 nên (15) có nghĩa. áp dụng định lý Viet đối với phỷơng trình (13) khi m > 0
hoặc m Ê -4 ta đ ợc tgx
1

+ + tgx
2
=1vàtgx
1
tgx
2
= -1/m. Thay vào công thức (15) ta đỷợc
tg(x
1
+x
2
)=
1
1-(
-1
m
)
=
m
m+1
.
Thay vào (14) ta đỷợc
cos(2x
1
+2x
2
)=
1-(
m
m+1

)
1+(
m
m+1
)
=
2m + 1
2m + 2m + 1
2
2
2
.
Phần đã giải là xét trỷỳõng hợp x
1
,x
2
đỷợc sinh ra do ta giải hai phỷơng trình