bài giảng xác suất thống kê Bài tập chương 2

Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

Bài tập chương 2
1. Một thiết bị có 2 bộ phận A và B hoạt động độc lập. Xác suất bộ phận thứ
nhất và thứ 2 bị hỏng trong thời gian làm việc là 0,1 và 0,2. Số tiền chi trả cho việc
sửa mỗi bộ phận là 100.000 đồng.
a) Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong lúc làm việc. Lập bảng phân phối xác
suất và tìm hàm phân phối tương ứng.
b) Tìm số tiền trung bình phải chi trả cho một lần sửa.
2. Có 2 hộp chứa bi. H1: 6T, 4Đ. H2 : 3T, 6Đ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên từ hộp 1
chuyển sang hộp 2, sau đó từ hộp 2 lấy ngẫu nhiên 1 viên. Gọi X là số bi trắng lấy
được ở cả 2 lần.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối.
b) Tính E ( X ), D( X ), med ( X ), E (2 X 3 − X ) .
c) Tìm a, b biết E (Y ) = D(Y ) = 1 với Y = aX + b .
3. Có 2 hộp chứa bi có hình thức giống nhau. H1: 6T, 4Đ. H2 : 3T, 6Đ. Lấy
ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp này lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Gọi X là số bi trắng đã
lấy.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối.
b) Tìm D( X ), mod ( X ), med ( X ) .
4. Có 3 quả tên lửa bắn độc lập vào 1 mục tiêu với xác suất trúng của quả thứ
nhất, 2 và 3 lần lượt là: 0,3; 0,4 và 0,6. Gọi X là số quả bắn trúng. Lập bảng phân
phối xác suất của X và tính xác suất có ít nhất 2 quả tên lửa trúng.
5. Trong hộp có 2T và 3Đ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng viên cho đến khi lấy
được bi trắng thì dừng. Gọi X là số bi đã lấy.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối.
b) Gọi Y là số bi còn lại trong hộp. Tính E(X), D(X), mod(X) và med(X).
6. Một xạ thủ có 4 viên đạn. Người này thực hiện bắn liên tiếp độc lập vào
mục tiêu cho đến khi có 2 viên trúng đích hoặc hết đạn thì dừng. Biết xác suất bắn

trúng của mỗi viên là 0,6. Gọi X là số đạn đã bắn.
Trang 77


Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Gọi Y là số đạn còn lại. Tìm E (Y ), D(Y ) .
7. Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 7 quả mới và 3 quả đã sử dụng.
Ngày đầu tiên lấy ngẫu nhiên 1 quả để sử dụng và cuối ngày hoàn trả lại. Ngày thứ
2 thực hiện tương tự. Gọi X là tổng số quả bóng mới lấy được ở cả 2 lần.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và tìm hàm phân phối.
b) Gọi Y là số quả bóng đã sử dụng có trong hộp sau 2 ngày. Tính E(Y) và
D(Y).
8. Có 2 cầu thủ A và B, mỗi người có 2 quả bóng và thực hiện ném luân phiên
độc lập vào rổ cho đến khi có quả ném trúng hoặc hết bóng thì dừng. Biết A ném
trước và xác suất ném trúng của A , B là 0,3 và 0,4. Gọi X, Y là số bóng đã ném
của A và B.
a) Lập bảng phân phối và tìm hàm phân phối của Y.
b) Lập bảng phân phối và tìm hàm phân phối của Z = X + Y .
9. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối :
X -1 1 2
P 0,3 a b
a) Tìm a và b biết E ( X ) = 0, 6 .
b) Tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = 2 X 2 − 1 .
10. Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối dạng
F ( x) = a + b *arctan x .

a) Tìm a,b.
b) Tìm hàm mật độ và tính xác suất P(0 < X < 1) .
c) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = 2 X − 1 .
11. Giả sử hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng:
f ( x) = Cx(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1 .

a) Tìm C.
Trang 78


Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

b) Tìm hàm phân phối, tính EX và DX
c) Tìm a và b biết E (Y ) = D(Y ) = 1 với Y = aX + b .
d) Tìm phân phối của Z = 2 X + 1 .
e) Thực hiên phép thử 10 lần độc lập để quan sát các giá trị của X. Tính xác
suất có ít nhất lần giá trị của X thuộc khoảng (1/ 3;1/ 2) .
12. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất
x<2
0,

F ( x) =  ax + b, 2 ≤ x ≤ 8
1,
x>8


a) Xác định các hệ số a,b.
b) Tính E ( X ), D( X ) .

1
3

c) Xác định t sao cho P(2 X − 1 > t ) = .
d) Thực hiện 10 phép thử độc lập để quan sát giá trị của X, tìm xác suất để
trong 10 phép thử đó có 3 lần xảy ra biến cố (3 < X < 5) .
e) Tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = 2 X 2 .
13. Biến ngẫu nhiên liên tục X có đồ thị hàm mật độ như hình vẽ

a) Tìm hệ số k.
1
1
b) Tính P  − < X <  .
 2

2

c) Xác định hàm phân phối F ( x) .
d) Tính E ( X ), DX .
14. Cho X ~ N (5;16) .
Trang 79


Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

a) Tính các giá trị sau: P(2 X − 1 > 3); D(3 − 2 X ) .
b) Tìm x sao cho: P( X > x) = 1/ 2 .
c) Tìm phân phối của Y = 2 X + a biết E (Y ) = 11 .

15. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
ae−3 x , x ≥ 0
a) f ( x) = 
x<0
0,

 axe− x , x ≥ 0
b) f ( x) = 
x<0
0,
2

Tìm a, FX ( x), E ( X ) .
16. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối:
 a
1 − , x ≥ 10
F ( x) =  x3
0,
x < 10

a) Tìm a và hàm mật độ.
b) Tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = 2 X .
c) Tính D(2 X + 3) .
17. Cho 3 biến ngẫu nhiên độc lập X, Y và Z, trong đó X ~ N (0,1), Y ~ N (2,1)
và Z ~ B (n = 5; p = 0,3) .
a) Tìm phân phối của T = 2 X + Y và tính xác suất P(2 X > 2 − Y ) .
b) Tìm a và b biết E (U ) = D(U ) = 1 với U = aX + bY .
c) Tính E (2 X 2 + Y 2 + XY ) , E ( Z 2 + XY ) , D(2 X + Y − 3Z ) .
18. Tuổi thọ (tính theo giờ) của một loại van điện lắp trong một thiết bị là một
biến ngẫu nhiên có hàm mật độ

0
f ( x) = 
2
100 / x

x ≤ 100
x > 100

a) Tính xác suất một van bị thay thế trong 150h hoạt động đầu tiên.
b) Tìm xác suất để có đúng 2 trong số 5 van điện này bị thay thế trong 150h
hoạt động đầu tiên biết rằng việc hỏng của các van điện là độc lập với nhau.

Trang 80


Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

19. Trong số bóng đèn do nhà máy sản xuất có 5% bị hỏng dây tóc. Trong số
bóng hỏng dây tóc có 3% hỏng cả phần đuôi. Trong số bóng không hỏng dây tóc có
2% hỏng phần đuôi. Bóng là phế phẩm nếu hỏng dây tóc hoặc phần đuôi.
a) Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy.
b) Chi phí sản xuất 1 bóng là 5000đ, giá bán 1 bóng chính phẩm là 7000đ. Tìm
số tiền lãi trung bình khi nhà máy sản xuất 10000 bóng.
20. Một người tham gia 1 trò chơi với lệ phí là 200.000 đồng. Người này phải
trả lời 10 câu hỏi độc lập. Mỗi câu trả lời đúng được thưởng 80.000 đồng và sai thì
bị phạt 20.000 đồng. Biết xác suất trả lời đúng mỗi câu của người này là 0,7.
a) Tìm số câu trả lời đúng với khả năng lớn nhất.
b) Tìm số tiền lời trung bình người này đạt được.

c) Tính xác suất sau trò chơi, người này lãi ít nhất 500.000 đồng.
d) Một người sau khi nghiên cứu trò chơi đã quyết định tham dự. Giả sử khả
năng trả lời đúng mỗi câu là như nhau. Hỏi người này phán đoán khả năng trả lời
đúng tối thiểu mỗi câu của bản thân là bao nhiêu ?
21. Một người tham gia 1 trò chơi may rủi như sau. Mỗi lần chơi đặt cược
10.000 đồng. Người này lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp có 8 bi trắng và 2 bi
đen, sau đó hoàn trả lại 2 viên bi. Nếu lấy được 1, 2 bi đen thì người này nhận được
20.000 đồng và 30.000 đồng tương ứng, ngược lại thì mất tiền đặt cược. Hỏi người
này có nên tham gia trò chơi này thường xuyên hay không?
22. Để tìm số người mang trùng sốt rét trong 10.000 người ở vùng A, có 3
phương pháp để thực hiện:
- Phương pháp 1: Khám cho từng người riêng biệt.
- Phương pháp 2: Lấy máu 5 người hòa chung, nếu xét nghiệm thấy trùng sốt
rét thì tiến hành khám riêng cho từng người, ngược lại thì tiếp tục xét nghiệm cho
nhóm 5 người khác và tiến hành như thế cho đến hết.
- Phương pháp 3: Thực hiện như phương pháp 2 cho nhóm 10 người.

Trang 81


Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

Biết xác suất để 1 người ở vùng A mắc bệnh sốt rét là 0,01. Hỏi trong 3
phương pháp trên, phương pháp nàp là có lợi hơn và vì sao?
23. Số bệnh nhân đến khám ở một cơ sở y tế trong một ngày tuân theo phân
phối poisson với trung bình 15 người/ngày.
a) Tính xác suất trong 1 ngày có ít nhất 2 bệnh nhân đến khám.
b) Tính xác suất trong 3 ngày có 40 bệnh nhân đến khám.

c) Tìm số ngày trung bình trong 1 tháng 30 ngày có ít nhất 2 bệnh nhận đến
khám.
24. Mỗi sản phẩm của một công ty được chia làm 2 loại A và B. Biết tỉ lệ sản
phẩm loại A là 60%. Giá sản phẩm loại A là 200.000 đồng và loại B là 150.000
đồng. Một người chọn mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm.
a) Tính xác suất người này mua ít nhất 1 sản phẩm loại B.
b) Tìm số tiền trung bình người này phải trả.
25. Một chi tiết máy được xem là đạt tiêu chuẩn nếu sai số giữa chiều dài của
nó so với chiều dài quy định không vượt quá 10mm. Biến ngẫu nhiên X chỉ độ lệch
của chiều dài chi tiết so với chiều dài quy định có phân phối chuẩn N (a, σ 2 ) , với
a = 0 mm , σ = 5 mm .

a) Hỏi có bao nhiêu phần trăm chi tiết đạt tiêu chuẩn.
b) Hỏi có ít nhất bao nhiêu chi tiết được sản xuất để trong đó có ít nhất một
chi tiết không đạt tiêu chuẩn với xác suất không nhỏ hơn 95%.
c) Tìm số trung bình các chi tiết đạt tiêu chuẩn khi lấy ra 100 chi tiết.
26. Thời gian hoàn thành 1 sản phẩm của công nhân ở một nhà máy là biến
ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 ) với µ = 5 ph, σ = 0, 5 ph . Tính xác
suất một công nhân hoàn thành 20 sản phẩm mất không ít hơn 90 phút. Biết việc
hoàn thành các sản phẩm là độc lập nhau.
27. Ở một cơ sở sản xuất hàng thủ công, số sản phẩm bán ra trong một tháng
có phân phối chuẩn với số sản phẩm bán ra trung bình trong một tháng là 500 sản

Trang 82


Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

phẩm, độ lệch chuẩn 50 sản phẩm. Chi phí làm ra một sản phẩm là 80.000 đồng,
giá bán một sản phẩm là 100.000 đồng, chi phí cố định hàng tháng là 1 triệu đồng.
a) Tìm tiền lãi trung bình mỗi tháng.
b) Tính xác suất trong 1 tháng lãi ít nhất 11 triệu.
c) Tính xác suất trong 2 tháng tổng số tiền lãi ít nhất là 22 triệu đồng.
28. Trọng lượng X(g) của một loại trái cây có phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 ) với
µ = 100g . Biết P(| X − 100 |< 5) = 0, 682 .

a) Tính phương sai của X.
b) Chọn ngẫu nhiên 4 trái, tính xác suất tổng trọng lượng của chúng không nhỏ
hơn 400 gam.
c) Chọn ngẫu nhiên 3 trái, tính xác suất có ít nhất 1 trái được chọn có trọng
lượng nhỏ hơn 95g.
29. Thời gian làm việc của một linh kiện điện tử của máy tính là biến ngẫu
nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với thời gian làm việc trung bình 500 giờ và
độ lệch chuẩn 100 giờ.
a) Giả sử ta dự trữ 36 linh kiện. Tìm xác suất để 36 linh kiện này đủ dùng ít
nhất 19200 giờ.
b) Hỏi phải dự trữ ít nhất bao nhiêu linh kiện để với xác suất 0,99 ta có thể
đảm bảo cho máy tính hoạt động ít nhất 20000 giờ.
30. Một sản phẩm được xem là tốt nếu kích thước của nó lệch so với kích
thước quy định không quá 3,45mm về giá trị tuyệt đối. Cho biết độ lệch này là biến
ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn N ( µ , σ 2 ) với σ = 3mm . Tính số trung bình các
sản phẩm tốt khi sản xuất 100 sản phẩm loại này.
31. Lãi suất đầu tư vào 1 công ty là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
N ( µ , σ 2 ) . Biết xác suất để đạt được trên 20% trong một năm là 02, và dưới 10%

trong một năm là 0,1. Tính xác suất khi đầu tư vào công ty này thu được lãi suất ít
nhất là 14% trong một năm.
Trang 83

Bài giảng: Xác suất và Thống kê

GV: Tôn Thất Tú

32. Số khách trên 1 chuyến xe buýt từ A đến B tuân theo luật phân phối
poisson với trung bình 25 khách trên 1 chuyến.
a) Tính xác suất trên 1 chuyến xe có đúng 10 khách.
b) Giả sử chi phí cho một chuyến đi từ A đến B là 150.000 đồng và không phụ
thuộc vào số lượng người trên xe. Lúc đó, để tiền lãi trung bình cho mỗi chuyến đi
là 100.000 đồng thì giá vé cần quy định là bao nhiêu ?
33. Số tín hiệu nhận được ở một máy thu tín hiệu tuân theo luật phân phối
poisson với trung bình 3 tín hiệu trong 5 phút. Tính xác suất :
a) Trong 5 phút, máy nhận được không ít hơn 2 tín hiệu.
b) Trong 1 phút, máy không nhận được tín hiệu nào.
c) Trong 15 phút, máy nhận được đúng 10 tín hiệu.
34. Thực hiện gieo 1 con xúc xắc ngẫu nhiên 1000 lần. Tính xác suất số lần
xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 4 không nhỏ hơn 200 lần.
35. Xác suất 1 hạt thóc giống bị hỏng là 0,005. Tính xác suất khi chọn ngẫu
nhiên 1000 hạt thóc giống:
a) có đúng 15 hạt hỏng.
b) số hạt hỏng không vượt quá 10.
36. Cho biến ngẫu nhiên X có E ( X ) = 1; D( X ) = 0, 04 . Ước lượng các xác suất
sau:
a) P  < X <  .
2
2
1

3

b) P(0 < X < 2) .
37. Cho biến ngẫu nhiên X có E ( X ) = 5; E ( X 2 ) = 26 . Hãy ước lượng xác suất
P(3 < X < 7) .

Trang 84