Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề

Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
A . ĐẶT VẤN ĐỀ

I . Lời mở đầu
Nghị quyết số 40/2000/QH 10 ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốc Hội
khóa X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông nêu rõ “Đổi mới chương
trình sách giáo khoa, phương pháp dạy và học phải được thực hiện một cách
đồng bộ với việc đánh giá thi cử và chuẩn hoá trường Sở, đào tạo, bồi dưỡng
giáo viên và công tác quản lý giáo dục.
Ngày 28 tháng 12 năm 2001,Thủ tướng Chính phủ đã ra Quyết định số 20/
1/2001/QĐ về việc phê duyệt "Chiến lược phát triển giáo dục 2001-2010". Theo
đó một trong các giải pháp phát triển giáo dục là đổi mới phương pháp giáo dục.
Cùng với việc tổ chức thực hiện phương pháp dạy học theo hướng phát
huy tính tích cực chủ động nhận thức của học sinh. Trường THPT Sầm Sơn trên
tinh thần đổi mới, đã tổ chức các hình thức dạy học tích cực, đặc biệt mô hình
dạy học nhóm, dạy học dựa trên tình huống có vấn đề, lấy học sinh làm trung
tâm.
Là một giáo viên đang trực tiếp giảng dạy tại trường tôi luôn ủng hộ và
tích cực tham gia tìm hiểu, nghiên cứu các mô hình dạy học hay, mới mẻ, và tiến
hành dạy thử nghiệm ở môn Toán. Thực tế cho thấy các em học sinh rất phấn
khởi đón nhận và tỏ ra thích thú, giờ học trở nên không căng thẳng, hiệu quả tiếp
thu cao.
Được sự động viên của Ban Giám Hiệu, các đồng nghiệp tôi xin ghi lại
những hiểu biết và suy nghĩ của mình về phương pháp cũng như soạn chi tiết
một số bài giảng mà tôi đã kiểm chứng thực tế để cùng trao đổi, bàn bạc sâu
rộng hơn với các đồng nghiệp. đặc biệt trong ví dụ 1 : “Đề xuất một số biện pháp
đi đến bài toán tổng quát hoặc hình thành phương pháp giải tổng quát dựa trên
vấn đề ứng dụng bất đẳng thức Côsi trong các chủ đề giải toán sơ cấp ” Không
những làm sáng tỏ phương pháp mà còn mang lại cho ta cảm xúc thật tuyệt vời
trước cái hay, cái đẹp của tư duy sáng tạo.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1. Thực trạng:
Trong xu thế đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng lấy người học làm
trung tâm, phương pháp dạy học nêu giải quyết vấn đề (DHGQVĐ-ProblemBased Learning) đang được các nền giáo dục ở nhiều nước quan tâm nghiên cứu
và ứng dụng. Mặc dù đó ra đời từ những năm 70 của thế kỷ trước, cho đến nay
phương pháp này vẫn thu hút được sự quan tâm của những nhà nghiên cứu giáo
dục. Chẳng hạn một hội thảo quốc tế riêng về phương pháp DHGQVĐ được tổ
chức từ ngày 16-20/6/2002 tại Baltimore, Bang Maryland của Hoa Kỳ. Phương
pháp này có thể được xem như một cách xây dựng tổng thể một đề cương giảng
dạy hoặc là một trong những cách được người dạy áp dụng để xây dựng đề
cương giảng dạy cho một môn học. Phương pháp này xuất hiện vào năm 1970 tại
trường Hamilton-Canada, sau đó được phát triển nhanh chóng tại Trường
Maastricht-Hà Lan.
1

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
Phương pháp này ra đời và được áp dụng rộng rãi dựa trên những lập luận
sau:
Sự phát triển như vũ bão của KHCN trong những thập niên gần đây, trái
ngược với nó là khả năng không thể dạy hết cho người học mọi điều.
Kiến thức của người học thì ngày càng hao mòn từ năm này qua năm
khác, cộng thêm là sự chêch lệch giữa kiến thức thực tế và kiến thức thu được từ
nhà trường.
-Việc giảng dạy còn quá nặng về lý thuyết, còn quá coi trọng vai trò của người
dạy, chưa sát thực và chưa đáp ứng được yêu cầu của thực tế.
-Tính chất thụ động trong học tập của người học so với vai trò truyền tải của
người dạy còn cao khi mà số lượng người học trong một lớp ngày càng tăng.
-Hoạt động nhận thức còn ở mức độ thấp so với yêu cầu của thực tế (ví dụ như

khả năng đọc và khai thác một cuốn sách hoặc một công trình nghiên cứu).
-Sự nghèo nàn về phương thức đánh giá người học, việc đánh giá còn quá nặng
về kiểm tra khả năng học thuộc.
2. Kết quả và hiệu quả của thực trạng
Chính vì những lý do trên mà phương pháp dạy học dựa trên việc giải
quyết vấn đề xuất phát từ tình huống thực tế của cuộc sống, thực tế nghề nghiệp
được xây dựng dựa trên những yêu cầu sau:
- Phải có một tình huống cụ thể cho phép ta đặt ra được một vấn đề.
- Các nguồn lực (trợ giảng, người hướng dẫn, tài liệu, cơ sở dữ liệu….) đều được
giới thiệu tới người học và sẵn sàng phục vụ người học.
- Các hoạt động phải được người học triển khai như đặt vấn đề, quan sát, phân
tích, nghiên cứu, đánh giá, tư duy,…
- Kiến thức cần được người học tổng hợp trong một thể thống nhất (chứ không
mang tính liệt kê), điều đó cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề dựa trên cách
nhìn nhận đa dạng và chứng tỏ được mối quan hệ giữa các kiến thức cần huy
động.
- Phải có khoảng cách thời gian giữa giai đoạn làm việc trong nhóm và giai đoạn
làm việc độc lập mang tính cá nhân.
- Các hình thức đánh giá phải đa dạng cho phép chúng ta có thể điều chỉnh và
kiểm tra quá trình sao cho không chệch mục tiêu đó đề ra.
B. ĐẶC ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP DHGQVĐ
1- Vấn đề là bối cảnh trung tâm của hoạt động dạy và học
- Có thể nói rằng phương pháp DHDGQVĐ đảo lộn thứ tự của hoạt động dạy
học nếu so với các phương pháp truyền thống ở đó thông tin được giáo viên
2

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề

(GV) trình bày từ thấp đến cao theo một trình tự nhất định, và học sinh (HS) sẽ
chỉ được tiếp cận với một vấn đề cần được lý giải (nếu có) một khi họ đó được
trang bị đầy đủ những kiến thức cần thiết. Trong phương pháp DHGQVĐ, HS
được tiếp cận với vấn đề ngay ở giai đoạn đầu của một đơn vị bài giảng. Vấn đề
có thể là một hiện tượng của tự nhiên hoặc là một sự kiện, tình huống đó, đang
hoặc có thể sẽ diễn ra trong thực tế và chứa đựng những điều cần được lý giải.
1.1 Các đặc trưng của một vấn đề hay
Thực tế đó chỉ ra là có rất nhiều kiểu vấn đề, chủ đề có thể lựa chọn. Điều
này phụ thuộc vào từng hoàn cảnh cụ thể, từng cách xây dựng vấn đề và các hoạt
động đề ra cho người học.
Phân loại vấn đề
Vấn đề dùng trong dạy học có thể được phân thành năm dạng, từ đơn giản đến
phức tạp như sau [5]:
Dạng
vấn đề
I
II
III
IV
V

Nội dung
Phương pháp
Giải pháp
Giáo viên Người học Giáo viên Người học Giáo viên Người học
Biết
Biết
Biết
Biết
Biết

Chưa biết
Biết
Biết
Biết
Chưa biết
Biết
Chưa biết
Biết
Biết
Biết ít Chưa biết Biết ít
Chưa biết
nhiều
nhiều
Biết
Biết
Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết
Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết Chưa biết

Dạng I: Vấn đề được giáo viên và người học (NH) biết cả về nội dung, phương
pháp và giải pháp. Dạng này được dùng để kiểm tra những điều người học đó
được học hoặc đó được làm quen.
V í dụ: Hãy tìm nghiệm của phương trình: 3.2 – 8x + 5 = 0
Dạng II: Vấn đề được giáo viên và người học biết về nội dung. Về phương pháp
và giải pháp, giáo viên nắm rõ còn người học thì chưa biết và họ cần phải đưa ra
quan điểm riêng.
Ví dụ: Hãy đưa ra các giải pháp nhằm hạn chế hao phí điện năng trong phạm vi
của một cơ quan, xí nghiệp.
Dạng III: Vấn đề được giáo viên và người học biết về nội dung. Về phương pháp
và giải pháp, giáo viên có thể biết đầy đủ hoặc một phần, còn người học thì chưa
biết và họ cần phải đưa ra quan điểm riêng.

3

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
Ví dụ: Hãy xây dựng các phương trình toán bao hàm ba con số: 2, 3, 5.
Dạng IV: Vấn đề được giáo viên và người học biết về nội dung. Về phương pháp
và giải pháp, cả giáo viên lẫn người học đều chưa biết.
Ví dụ: Làm thế nào để một trái bóng đá có thể chìm trong nước?
Dạng V: Giáo viên và người học đều chưa biết nội dung của vấn đề cũng như
phương pháp và giải pháp tiến hành.
Ví dụ: Hãy đưa ra ba vấn đề quan trọng nhất đối với sự phát triển của Quốc gia
và cách thức giải quyết các vấn đề đó.
Tuy nhiên, đặc trưng bề nổi của một vấn đề thì không bao giờ rời xa nhu cầu
của người học (nhu cầu về nhận thức, lĩnh hội kiến thức,..) cũng như không bao
giờ xa rời mục tiêu học tập. Sau đây là một vài cách xây dựng vấn đề mà ta có
thể tham khảo .
- Xây dựng vấn đề dựa vào kiến thức có liên quan đến bài học. Toàn bộ bài
giảng được xây dựng dưới dạng vấn đề sẽ kích thích tính tỉ mỉ và sự hứng thú
của người học. Tính phức tạp hay đơn giản của vấn đề luôn luôn là yếu tố cần
được xem xét.
- Xây dựng vấn đề dựa trên các tiêu chí thường xuyên biến đổi trong công việc,
nghề nghiệp (Vấn đề đó có thường xuyên gặp phải ? Và nó có phải là nguồn gốc
của những thiếu sót trong sản xuất? Nó có tác động lớn tới khách hàng hay
không? Tuỳ theo từng hoàn cảnh thì các giải pháp đặt ra cho vấn đề này có đa
dạng và khác biệt không?)
- Vấn đề phải được xây dựng xung quanh một tình huống (một sự việc, hiện
tượng,…) có thực trong cuộc sống. Vấn đề cần phải được xây dựng một cách cụ
thể và có tính chất vấn. Hơn nữa, vấn đề đặt ra phải dễ cho người học diễn đạt và

triển khai các hoạt động liên quan. Một vấn đề hay là một vấn đề không quá
phức tạp cũng không quá đơn giản. Cuối cùng là cách thể hiện vấn đề và cách
tiến hành giải quyết vấn đề phải đa dạng.
- Vấn đề đặt ra cần phải có nhiều tài liệu tham khảo nhưng trọng tâm nhằm giúp
người học có thể tự tìm tài liệu, tự khai thác thông tin và tự trau dồi kiến thức;
các phương tiện thông tin đại chúng như sách vở, băng cát sét, phần mềm mô
phỏng, internet,… cũng cần phải đa dạng nhằm phục vụ mục đích trên.
1.2 Vấn đề và cách tiếp cận vấn đề
1- Vấn đề đặt ra cần phải có tác dụng kích thích các hoạt động nhận thức cũng
như các hoạt động xã hội của người học. Theo chúng tôi, các hoạt động này
thường gắn kết với một hoạt động nghiên cứu thực thụ mà ở đó người học cần
phải:
4

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
- Đặt vấn đề (Vấn đề đặt ra là gì ?)
- Hiểu được vấn đề
- Đưa ra các giả thuyết (Các câu trả lời trước và đối chứng với các câu hỏi đó
được đặt ra trong tình huống)
- Tiến hành các hoạt động thích hợp nhằm kiểm tra các giả thuyết của mình
(nghiên cứu, phân tích, đánh giá tài liệu liên quan, sau cùng là tổng hợp việc
nghiên cứu)
- Thảo luận và đánh giá các giải pháp khác nhau dựa theo từng tiêu chí mà hoàn
cảnh đưa ra
- Thiết lập một bản tổng quan và đưa ra kết luận
Các bước đặt ra trên đây sẽ giúp cho người học nâng cao khả năng tổng hợp kiến
thức. Ví dụ như một vấn đề liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sẽ có

nhiều khái niệm liên quan: các khái niệm hàm số, đồ thị , các khái niệm về đạo
hàm, cực trị, tiệm cận,..
2- Học sinh tự tìm tòi để xác định những nguồn thông tin giúp giải quyết vấn đề.
Trên cơ sở vấn đề được nêu ra, chính học sinh phải chủ động tìm kiếm thông tin
thích hợp để giải quyết vấn đề. Thông tin có thể ở nhiều dạng và từ nhiều nguồn
khác nhau (sách, báo, phim, ảnh, từ internet…). Nói cách khác, chính người học
phải tự trang bị cho mình phần “lý thuyết” nhằm có đủ kiến thức để tiếp cận và
giải quyết vấn đề.
3- Thảo luận nhóm là hoạt động cốt lõi.
4- Mặc dù phương pháp có thể được áp dụng cho riêng từng học sinh, trong đa
số các ứng dụng người ta thường kết hợp với hoạt động nhóm. Thông qua
thảo luận ở nhóm nhỏ, học sinh chia sẻ nguồn thụng tin và cùng nhau hình
thành các giả thuyết giúp giải quyết vấn đề, kiểm tra giả thuyết và đi đến kết
luận. Nhờ hoạt động nhóm, học sinh được rèn luyện thêm các kỹ năng cần
thiết khác ngoài mục đích lĩnh hội kiến thức.
5- Vai trò của GV mang tính hỗ trợ.
GV đóng vai trò định hướng (chỉ ra những điều cần được lý giải của vấn đề),
trợ giúp (chỉ ra nguồn thông tin, giải đáp thắc mắc,…), đánh giá (kiểm tra các
giả thuyết và kết luận của hs), hệ thống hóa kiến thức, khái quát hoá các kết
luận.
C. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC THEO PHƯƠNG PHÁP DHGQVĐ
Trình tự tổ chức giảng dạy theo phương pháp DHDTVĐ có thể được khỏi
quát qua các bước sau:
1- GV xây dựng vấn đề, các câu hỏi chính cần nghiên cứu, các nguồn tài liệu
tham khảo
5

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn

Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
2- Tổ chức lớp học để nghiên cứu vấn đề: chia nhóm, giao vấn đề, thống nhất
các qui định về thời gian, phân công, trình bày, đánh giá,...
3- Các nhóm tổ chức nghiên cứu, thảo luận nhằm trả lời các câu hỏi của vấn đề
4- Tổ chức báo cáo và đánh giá: các nhóm trình bày kết quả nghiên cứu, GV tổ
chức đánh giá
Việc cụ thể hoá các bước nói trên phụ thuộc rất lớn vào năng lực, tính tích cực
của hs (và đôi khi của cả GV) và các điều kiện học tập, giảng dạy hiện hữu (tài
liệu, trang thiết bị, nơi thảo luận, trợ giảng,...).
* Chu trình và cách thức tổ chức dạy học giải quyết vấn đề.
Trong chu trình học tập theo phương pháp này, thời gian làm việc độc lập (cá
nhân) luôn luân phiên với thời gian làm việc trong nhóm (có sự giúp đỡ của
giảng viên, trợ giảng, hoặc người hướng dẫn).
Công việc cần thảo luận theo nhóm thường xuất hiện vào hai thời điểm đặc
biệt được miêu tả trong chu trình dưới đây:

1
Làm việc
độc lập

4

Thảo luận
trong
nhúm

2

2
Làm việc

độc lập

3

Thảo luận
trong
nhúm
Như vậy chu trình dạy học dựa theo vấn đề gồm 4 giai đoạn:
Sau khi kết thúc giai đoạn 1 (Giới thiệu chủ đề, chuẩn bị các hoạt động và
nguồn lực cần thiết), học viên bắt đầu nhóm họp theo các nhóm nhỏ - giai đoạn 2
(có hoặc không sự trợ giúp của trợ giảng) nhằm phân tích chủ đề, đưa ra các câu
hỏi và giả thiết đầu tiên, phân chia nhiệm vụ cho các thành viên nhóm. Tiếp theo
đó các thành viên làm việc độc lập theo nhiệm vụ đó được phân chia (giai đoạn
3). Kết thúc giai đoạn 3, từng cá nhân sẽ giới thiệu thành quả làm việc trong
nhóm. Cuối cùng mỗi cá nhân tự viết một bản báo cáo (giai đoạn 4). Kèm theo
các giai đoạn này thường có các buổi hội thảo trong một nhóm lớn, hoặc các
hoạt động thực tế hay tiến hành thí nghiệm. Có thể kết thúc quá trình tại giai
đoạn này hoặc tiếp tục quá trình nếu một vấn đề mới được nêu ra.

6

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
Việc thảo luận trong nhóm là bắt buộc đối với tất cả các cá nhân, nó không
những giúp học viên phát triển được khả năng giao tiếp và các kỹ năng xã hội
mà còn phát triển được quá trình nhận thức (đọc hiểu, phân tích, đánh giá,…)
D/ XÂY DỰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ MINH HỌA:
Một vài ví dụ điển hình.

1. Ví dụ 1 : “Đề xuất một số biện pháp đi đến bài toán tổng quát hoặc
hình thành phương pháp giải tổng quát” dựa trên vấn đề ứng dụng bất đẳng
thức Côsi trong các chủ đề giải toán sơ cấp
Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bất đẳng thức Côsi chiếm một
vị trí đặc biệt quan trọng. Nó không chỉ có mặt trong chủ đề bất đẳng thức mà
còn có mặt trong hầu hết các chủ đề khác của toán sơ cấp. Đây là chủ đề hấp dẫn
nhất đối với những học sinh say mê Toán vì đòi hỏi học sinh phải tư duy, tìm tòi,
sáng tạo. Bài tập về bất đẳng thức chứa nhiều tiềm năng có thể khai thác để rèn
luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh. Vấn đề đặt ra ở đây
là : Từ những ứng dụng bất đẳng thức Côsi trong các chủ đề sau:
1. Trong bài toán giải phương trình, bất phương trình vô tỉ.
2. Trong bài toán giải phương trình lượng giác.
3. Trong giải phương trình, bất phương trình mũ, logarít.
4. Trong hệ phương trình, hệ bất phương trình.
5. Trong tam giác.
6. Trong bài toán tìm max, min.
7. Trong bài toán hàm số.
8. Trong bài toán hình học.
Đề xuất một số biện pháp đi đến bài toán tổng quát hoặc hình thành
phương pháp giải tổng quát cho học sinh từ những bài tập cụ thể.
I. MỤC TIÊU:
- Giúp cho học sinh có khả năng vận dụng linh hoạt các kĩ thuật sử dụng bất
đẳng thức Côsi vào các chủ đề khác của toán sơ cấp.
- Rèn luyện năng lực giải toán. Từ đó giúp cho học sinh có cách nhìn tổng thể
về bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi.
II. MỘT SỐ BIỆN PHÁP:
1. Yêu cầu học sinh giải một số bài toán tương tự bài toán ban đầu hoặc yêu cầu
học sinh tự đề xuất một số bài toán tương tự bài toán đã cho , dựa trên vấn đề đó
để tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán và từ đó đi đến bài toán tổng quát.
Ví dụ 1: Cho a, b, c≥ 0. Chứng minh rằng:

a. a3 + b3 + c3 ≥ a2b + b2c + c2a.
b. a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab .
7

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
Sau khi giải xong bài toán này, để đi đến bài toán tổng quát ta có thể yêu cầu
học sinh giải tiếp một số bài toán tương tự hoặc đề xuất một số bài toán tương tự
với vế trái là a4 + b4 + c4, chẳng hạn:
Cho a, b, c≥ 0. Chứng minh rằng:
1. a4 + b4 + c4 ≥ a3b + b3c +c3a.
2. a4 + b4 + c4 ≥ a 3 bc + b 3 ca + c 3 ab .
3. a4 + b4 + c4 ≥ a2bc + b2ca + c2ab.
Sau đó, yêu cầu học sinh nhận xét tổng số mũ của mỗi số hạng trong ví dụ
này để tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán, đó là:
Tổng số mũ của mỗi số hạng trong mỗi bài toán đều bằng nhau. Từ đó, yêu
cầu học sinh phát hiện bài toán tổng quát với vế trái là: a n + bn + cn, 2 ≤ n ∈ N,
chẳng hạn:
Cho a, b, c ≥ 0 và 2 ≤ n ∈ N. Chứng minh rằng:
1. a n + b n + c n ≥ a n −1b + b n −1c + c n −1a .
2. a n + b n + c n ≥ a n −1 bc + b n −1 ca + c n −1 ab .
3. a n + b n + c n ≥ a n − 2 b 2 + b n − 2 c 2 + c n −2 a 2 .
4. a n + b n + c n ≥ a n −2 bc + b n − 2 ca + c n −2 ab .
Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
a 3 b3 c3 d3
a. 2 + 2 + 2 + 2 ≥ a + b + c + d .
b
c

d
a
2
2
2
a
b
c
d2 1 1 1 1
b. 3 + 3 + 3 + 3 ≥ + + + .
b
c
d
a
a b c d
Sau khi giải xong bài toán này, để đi đến bài toán tổng quát ta có thể yêu cầu
học sinh giải tiếp một số bài toán tương tự hoặc đề xuất một số bài toán tương
tự, chẳng hạn:
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
a 4 b4 c4 d4
a. 3 + 3 + 3 + 3 ≥ a + b + c + d .
b
c
d
a
3
3
3
a
b

c
d3 1 1 1 1
b. 4 + 4 + 4 + 4 ≥ + + + .
b
c
d
a
a b c d
Sau đó, yêu cầu học sinh nhận xét số mũ của mỗi số hạng trong ví dụ này để
tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán, đó là:
+) Số mũ của a, b, c, d trong vế phải là 1.
+) Số mũ giữa tử số và mẫu số của mỗi số hạng trong vế trái hơn kém
nhau 1 đơn vị, đúng bằng số mũ của a, b, c, d ở vế phải.
Từ đặc điểm bản chất này của bài toán, ta có thể yêu cầu học sinh phát hiện
các bài toán tổng quát như:
Cho a, b, c, d>0. Khi đó, ta có:
a n +1 b n +1 c n +1 d n +1
1. n + n + n + n ≥ a + b + c + d .
b
c
d
a
8

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
an
bn

cn
dn 1 1 1 1
2. n +1 + n +1 + n +1 + n +1 ≥ + + + .
b
c
d
a
a b c d
2. Tìm nhiều lời giải của một bài toán, khai thác đặc điểm của từng cách
giải để lựa chọn lời giải mà có thể dẫn đến bài toán tổng quát:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x − 2004 + 2006 − x = 2 (1)
Ta xét 2 cách giải sau:
Cách 1: (Biến đổi tương đương đưa về phương trình đại số):
Điều kiện 2004 ≤ x ≤ 2006.
Khi đó: (1) ⇔ 2 + 2 ( x − 2004)(2006 − x ) = 4
⇔ (x − 2004
)(2006− x) = 1
⇔ (x – 2004)(2006 – x) = 1
⇔ x2 – 4010x + 2004.2006 + 1 = 0
⇔ x2 – 4010x + (2005-1)(2005+1) + 1 = 0
⇔ x2 – 2.2005x + 20052 = 0
⇔ (x - 2005)2 = 0 ⇔ x = 2005 (tm).
Vậy nghiệm của (1) là: x=2005.
Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi):
Điều kiện 2004 ≤ x ≤ 2006.
Khi đó: x – 2004 ≥ 0, 2006 - x ≥ 0.
Cosi
x − 2004 + 1 x − 2003
x
−

2004
=
(
x
−
2004
).
1
≤
=
Có
2
2
Cosi
2006 − x + 1 2007 − x
2006 − x = ( 2006 − x ).1 ≤
=
2
2
x − 2003 + 2007 − x
=2
Do đó: x − 2004 + 2006 − x ≤
2
⇒ VT(1) ≤ VP(1). Do đó (1) ⇔ Dấu “ = ” xảy ra:
⇔ x - 2004 = 1 = 2006 – x ⇔ x = 2005.
Vậy nghiệm của (1) là: x = 2005.
Nhận xét hai cách giải này, ta thấy đối với các bài toán tương tự:
4
x − 2004 + 4 2006 − x = 2 , 6 x − 2004 + 6 2006 − x = 2
* Nếu sử dụng cách giải 1, biến đổi tương đương đưa về phương trình đại số

thì rất khó khăn. Do đó khi sử dụng cách giải 1 thì ít ai nghĩ đến việc nâng lên
thành bài toán tổng quát.
* Nếu sử dụng cách giải thứ 2, dùng bất đẳng thức Côsi thì việc giải quyết
các ví dụ tương tự này không mấy khó khăn. Do đó muốn nâng bài toán ban đầu
lên thành bài toán tổng quát thì trước hết ta hướng dẫn học sinh giải theo cách 2,
sau đó có thể yêu cầu họ giải các bài toán tương tự trên. Từ đó mà học sinh có
thể phát hiện ra bài toán tổng quát: Giải các phương trình:
2n
x − 2004 + 2 n 2006 − x = 2 , n x − 2004 + n 2006 − x = 2
9

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
Ví dụ 2: Giải phương trình: sin 6 x + cos 6 x =

1
4

(1)

Ta xét 2 cách giải sau:
Cách 1: (Biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản):
2
2
4
4
2
2

Có (1) ⇔ 4(sin x + cos x )(sin x + cos x − sin x cos x ) = 1
⇔ 4[(sin2x + cos2x)2 - 3sin2xcos2x]=1 ⇔ 4 – 3sin22x = 1
π
⇔ sin22x = 1 ⇔ cos22x = 0 ⇔ 2x = + kπ .
2
π kπ
Vậy nghiệm của (1) là: x = + , k ∈ Z.
4 2
Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi):
1 1 Cosi
1 1 3
Ta có: sin 6 x + + ≥ 33 sin 6 x. . = sin 2 x
8 8
8 8 4
1 1 Cosi
1 1 3
cos 6 x + + ≥ 33 cos 6 x. . = cos 2 x
8 8
8 8 4
3
4 1
⇒ sin 6 x + cos 6 x ≥ (sin 2 x + cos 2 x ) − =
4
8 4
Do đó VT(1) ≥ VP(1) nên (1) ⇔ Dấu “ = ” xảy ra:
1
1
 6
 2
sin

x
=
sin x =

 2 sin 2 x = 1

8
2
⇔
⇔
⇔
2
1
1
6
2
2 cos x = 1
cos x =
cos x =

8
2

π
⇔ cos 2 x = 0 ⇔ 2x = + kπ
2
π kπ
Vậy nghiệm của (1) là: x = + , k ∈ Z.
4 2
Nhận xét hai cách giải này, ta thấy đối với các bài toán tương tự:

1
1
sin 8 x + cos 8 x = ,
sin 10 x + cos10 x =
8
16
* Nếu sử dụng cách 1, biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản để
giải các bài tương tự thì rất phức tạp. Do đó khi sử dụng cách 1 thì ít ai nghĩ đến
việc nâng lên thành bài toán tổng quát.
* Nếu sử dụng cách giải thứ 2, dùng bất đẳng thức Côsi thì việc giải quyết
các ví dụ tương tự này không mấy khó khăn. Do đó muốn nâng bài toán ban đầu
lên thành bài toán tổng quát thì trước hết ta hướng dẫn học sinh giải theo cách 2,
sau đó có thể yêu cầu họ giải các bài toán tương tự trên. Từ đó mà học sinh có
thể phát hiện ra bài toán tổng quát: Giải các phương trình:
1
sin 2 n x + cos 2 n x = n −1 .
2
10

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
π
.
2
2 n −2
Ví dụ 3: Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c=3. Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 ≥ a2 + b2 + c2 (1)
Ta xét 2 cách giải sau:

Cách 1: (Sử dụng kĩ thuật cân bằng bậc).
(1) ⇔ 3(a3 + b3 + c3) ≥ 3(a2 + b2 + c2)
⇔ 3(a3 + b3 + c3) ≥ (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
⇔ 3(a3 + b3 + c3) ≥ a3 + ab2 + ac2 + ba2 + b3 + bc2 + ca2 + cb2 + c3
⇔ 2a3 + 2b3 + 2c3 ≥ ab2 + ac2 + ba2 + bc2 + ca2 + cb2
⇔ (a - b)(a2 – b2) + (b – c)(b2 – c2) + (c – a)(c2 – a2) ≥ 0
⇔ (a - b)2(a + b) + (b – c)2(b + c) + (c – a)2(c + a) ≥ 0
Luôn đúng. Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b = c.
Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi):
Cosi
Có a 3 + a 3 + 1 ≥ 33 a 3 .a 3 .1 = 3a 2 ⇒ 2a 3 ≥ 3a 2 − 1
Tương tự: 2b3 ≥ 3b2 – 1, 2c3 ≥ 3c2 – 1.
⇒ 2(a3 + b3 + c3) ≥ 3(a2 + b2 + c2) – 3 =
= 2(a2 + b2 + c2) + (a2 + b2 + c2 – 3).
Mà a2 + b2 + c2 ≥ 3 ⇒ a2 + b2 + c2 – 3 ≥ 0.
⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ 2(a2 + b2 + c2) ⇒ đpcm.
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b = c.
sinn x + cosn x =

1

,0≤ x ≤

Nhận xét 2 cách giải này, ta thấy:
* Dựa vào cách 1, học sinh có thể giải hoặc đề xuất được các bài toán tương
tự như: Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c=3. Chứng minh rằng:
a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
a5 + b5 + c5 ≥ a4 + b4 + c4
Sau các bài toán này, học sinh tìm được đặc điểm bản chất của bài toán là: Số
mũ ở vế trái và vế phải hơn kém nhau 1 đơn vị, bằng đúng số mũ của a, b, c

trong giả thiết. Từ đó học sinh phát hiện được bài toán tổng quát: Cho a, b, c ≥ 0
và a + b + c=3. Chứng minh rằng:
an+1 + bn+1 + cn+1 ≥ an + bn + cn
* Dựa vào cách giải 2, học sinh có thể giải được các bài toán tương tự không
cần số mũ hơn kém nhau 1 đơn vị như:
Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c=3. Chứng minh rằng:
a5 + b5 + c5 ≥ a2 + b2 + c2
a5 + b5 + c5 ≥ a3 + b3 + c3
Từ đó phát hiện ra bài toán tổng quát hơn sau:
Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c=3. Chứng minh rằng:
am + bm + cm ≥ an + bn + cn , 1 ≤ n < m ∈ N.
11

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
3. Khái quát hoá từ các bài toán cụ thể lên bài toán tổng quát là một vấn đề
khó với học sinh. Do đó giáo viên cần tập luyện cho học sinh hoạt động này
một cách thường xuyên:
Các bài toán ứng dụng bất đẳng thức Côsi chứa đựng nhiều yếu tố có thể
khai thác để đi đến bài toán tổng quát. Tuy nhiên trong các chủ đề khác của toán
sơ cấp, nếu giáo viên khéo léo khai thác, thiết kế các bài toán thì cũng tạo được
nhiều cơ hội để học sinh khái quát hoá từ các bài toán cụ thể thành bài toán tổng
quát hoặc khái quát hoá từ những bài toán cụ thể có cách giải tương tự thành
phương pháp giải một lớp các bài toán. Các hoạt động này cần cho học sinh tập
luyện một cách thường xuyên.
Ví dụ: (Trong hệ phương trình ): Giải hệ phương trình:
x+ y =1
 3

3
2
2
x + y = x + y
Ta xét 2 cách giải sau:
Cách 1: (Đặt S, P theo hệ đối xứng loại 1):
Đặt S = x + y, P = xy, S2 ≥ 4P. Hệ trở thành:
 S = 1
 S= 1
 S = 1 x = 0 y = 0
⇔
⇔
⇒
,
 2


2
S(S − 3P) =S −2P 1− 3P = 1− 2P P = 0  y = 1  x = 1

x = 0  x = 1
,
Vậy nghiệm hệ đã cho là: 
 y = 1 y = 0
Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật cân bằng bậc):
Quan sát số mũ của các vế của từng phương trình, ta có nhận xét:
+ Số mũ của x, y trong phương trình thứ nhất là 1.
+ Số mũ của x, y trong vế trái và vế phải của phương trình thứ hai hơn nhau 1
đơn vị, bằng đúng số mũ vế trái của phương trình thứ nhất. Từ đó giúp ta nghĩ
đến việc biến đổi phương trình thứ hai để tạo ra số mũ của hai vế bằng nhau và

ta đi đến lời giải sau:
 x+ y=1
 x+ y=1
⇔
Hệ⇔ 3
 3
3
2
2
3
3
2
2
3
x + y = (x + y)(x + y ) x + y = x + xy + x y + y
 x + y = 1
x + y = 1 x = 0  x = 1
⇔
⇔
⇔
,
 xy = 0
xy(x + y) = 0
 y = 1 y = 0
x = 0  x = 1
,
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 
y
=
1

y = 0

Nhận xét các cách giải trên ta thấy: Đối với các bài toán tương tự:
 x 3 + y3 = 1
 x 13 + y13 = 1
 5
5
2
2 ,  20
20
7
7
x + y = x + y x + y = x + y

12

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
* Nếu sử dụng cách giải 1, đặt S, P theo hệ đối xứng loại 1 để giải các bài
tương tự này thì rất phức tạp. Do đó khi sử dụng cách giải 1 thì ít ai nghĩ đến
việc nâng lên thành bài toán tổng quát.
* Nếu sử dụng cách giải thứ 2, nhờ nhận xét số mũ của các số hạng tham gia
vào bài toán để cân bằng bậc thì việc giải quyết các ví dụ tương tự này không
mấy khó khăn. Do đó muốn nâng bài toán ban đầu lên thành bài toán tổng quát
thì trước hết ta hướng dẫn học sinh giải theo cách 2, sau đó có thể yêu cầu họ
giải các bài toán tương tự trên. Từ đó mà học sinh có thể phát hiện ra bài toán
 x n + yn = 1
, 1 ≤ n < m ∈ N.

tổng quát:  m
m
m−n
m−n
x + y = x + y
Như vậy từ một bài toán giải hệ bình thường, nhờ khéo léo khai thác lời giải
ta đưa ra được phương pháp chung giải một lớp các bài toán tương tự và từ đó đề
xuất được bài toán tổng quát.
Ví dụ 2: Khai thác các phương pháp khác nhau để giải quyết một bài
toán.
Sách hình học lớp 12 ( chương trình cũ ) và sách hình học lớp 10 ban KHTN
( mới ) có trình bày về phương trình phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt
nhau như sau:
Cho 2 đường thẳng cắt nhau

(∆ 1 )

a1x + b1y + c1 = 0

(∆ 2 ) a2x + b2y + c2 = 0

Phương trình các phân giác của góc tạo bởi (∆ 1 ) và (∆ 2 ) là
a1x + b1y + c1
a12 + b12

=±

a 2 x + b2 y + c2
a22 + b22

(1)

Trong thực hành, khi viết phương trình phân giác trong ( hoặc ngoài ) một góc
của tam giác, nghĩa là một góc hoàn toàn xác định, học sinh thường lúng túng
trong việc chọn 1 trong 2 công thức ( 1 ). Việc giải quyết bài toàn này không
khó song vấn đề đặt ra là có thể có bao nhiêu cách ( phương pháp ) viết
phương trình phân giác và nên sửa dụng phương pháp nào ( cách nào ) là có
lợi nhất trong mỗi trường hợp cụ thể. Ta thử xét ví dụ sau:
Bài toán
Cho ∆ ABC với A ( 1 ; 2 ) ; B ( 9 ; 8 ) ; C ( 4 ; 6 ) . Lập phương trình đường
phân giác trong của góc BAˆ C
Phương pháp 1 :
-

Lập phương trình hai cạnh AB và AC

-

Vẽ các véc tơ pháp tuyến n1 và n2 của AB và AC.

+ Nếu đường thẳng có hệ số góc k > 0 thì véc tơ pháp tuyến n hướng xuống.
13

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
+ Nếu k < 0 thì thì véc tơ pháp tuyến n hướng lên
* Nếu điểm M thuộc phân giác nằm cùng bên với pháp véc tơ n đối với đường
thẳng tương ứng thì khoảng cách đại số từ M đền đường thẳng là 1 số t > 0.

* Nếu M và n nằm về 2 bên đối với đường thẳng thì t < 0.
phương trình phân giác.

Từ đó suy ra

¸p dụng :
Ta dễ thấy phương trình cạnh AB là : 3x – 4y + 5 = 0;
Phương trình cạnh AC là : 4x – 3y + 2 = 0
Điểm M và n1 nằm về hai bên cạnh AB nên t1 < 0
Điểm M và n2 nằm cùng bên với AC nên t2 > 0
⇒ phương trình phân giác trong góc A : t1 = -t2

⇔

3x − 4 y + 5
4x − 3 y + 2
=−
5
5

⇔x – y + 1 = 0
Phương pháp 2:
Dùng tính chất của miền xác định bởi đường thẳng “ Trong mặt phẳng Oxy ;
đường thẳng ( d ) f ( x ; y ) = ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai miền.
Khi điểm M ( x0 ; y0 ) lưu động trong một miền xác định biểu thức
f( x0 ; y0 ) = ax0 + by0 + c luôn có dấu không đổi và dấu này cũng gọi là dấu của
miền chứa điểm M đối với ( d ) ”.
“ Mọi đường thẳng ( d ) đều chia mặt phẳng thành hai miền đối dấu ”.
Áp dụng :
Ta có phương trình phân giác góc A là :

4x − 3 y + 2
 3x − 4 y + 5
=
+

 x + y − 3 = 0(d 1 )
5
5
⇔

 3x − 4 y + 5 = − 4 x − 3 y + 2
 x − y + 1 = 0(d 2 )

5
5

Xét f( x ; y ) = x – y + 1 , ta có f ( B ) = f ( 9 ; 8 ) = 9 – 8 + 1 = 2 > 0
f ( C ) = f ( 4 ; 6 ) = 4 – 6 + 1 = -1 < 0
⇒ B và C khác phía với ( d2 ) ⇒ ( d2 ) là phân giác trong góc A.
Phương pháp 3:
Tìm hệ số góc k1 và k2 của các đường thẳng AB và AC.
Gọi k là hệ số góc của phân giác trong ( d ) của góc BAˆ C ta có :
( AB ; d ) = ( AC ; d ) + m180 , m ∈ Z
0

14

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn

Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
⇒ tg ( AB ; d ) = tg ( AC ; d ) ⇔

k − k1
k −k
= 2
⇒k
1 − kk1 1 − kk 2

Suy ra phân giác ( d ) y – yA = k ( x – xA ).
Áp dụng :
Ta có hệ số góc của AB là k1 =

3
4
; hệ số góc của k2 = .
4
3

Ta có ( AB ; d ) = ( d ; AC ) + m1800 , m ∈ Z
4
3
−k
4 = 3
⇔ k = ±1
⇔ 3
4
1− k 1− k
4
3

k−

Mặt khác, k1 < k < k2 ⇒ k = 1.
Vậy phương trình phân giác trong góc A là y – 2 = 1 ( x – 1 ) ⇔ x – y + 1 = 0.
Phương pháp 4:
-

Gọi E là chân đường phân giác trong góc BAˆ C ta có :

BE AB
AB
AB
=
⇒ BE =
⋅ EC ⇒ EB = −
⋅ EC ⇒ E là điểm chia đoạn BC theo tỉ số
EC AC
AC
AC
x − kxC

xE = B

− AB

1− k
k=
⇒ toạ độ E 
AC
 y = y B − ky C

 E
1− k

⇒ toạ độ điểm E.
⇒ phương trình phân giác AE.
¸p dụng :
- Ta có

AB 10
EB AB
=
=2⇒
=
= 2 ⇒ EB = −2 EC
AC 5
EC AC

-

x B + 2 xC 17

 x E = 1 + 2 = 3
Toạ độ điểm E là 
 y = y B + 2 y C = 20
 E
1+ 2
3

-

20
−2
y−2
3
=
= 1 ⇔ x − y +1 = 0
Phương trình phân giác AE của góc trong BAˆ C là
x − 1 17
−1
3

Phương pháp 5 :
- Tìm một véc tơ chỉ phương của đường phân giác nhờ các chú ý sau:
15

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
k

b=

a

cùng hướng với a và có độ dài b = k .

+

Nếu a ≠ 0 và k > 0 thì

+

Nếu hai véc tơ OA và OB có độ dài bằng nhau thì véc tơ OC = OA + OB là
một véc tơ chỉ phương của đường phân giác góc AOˆ B trong hình thoi
OACB.

a

- Viết phương trình phân giác góc A biết qua 1 điểm và 1 véc tơ chỉ phương.
¸p dụng :
Ta có AB = ( 8 ; 6 ) ⇒AB = 10
AC = ( 3 ; 4 ) ⇒AC = 5

Đặt a =

5
1
AB = AB = (4;3), a ↑↑ AB
AB
2

b = AC = (3;4)

Ta có a = b = 5 nên v = a + b = ( 7 ; 7 ) là một véc tơ chỉ phương của phân giác trong
BAˆ C

⇒ phương trình phân giác trong BAˆ C là

x −1 y − 2

=
⇔ x − y +1 = 0
1
1

Phương pháp 6 :
Đưa bài toán về bài toán viết phương trình phân giác góc nhọn ( hoặc góc tù ) nhờ sử
dụng kết quả sau:
+

Nếu AB ⋅ AC > 0 thì BAˆ C nhọn, nếu AB ⋅ AC < 0 thì BAˆ C tù.

+

Đặt t1 =

a 1 x + b 1 y + c1
a +b
2
1

2
1

Dấu của n1 .n2

; t2 =

a 2x + b2 y + c2
a 22 + b22

khi đó ta có

Phương trình phân giác của Phương trình phân giác
góc nhọn tạo bởi
của góc tù tạo bởi
( ∆1 ) và ( ∆2 )

( ∆1 ) và ( ∆2 )

n1 .n 2 > 0

t1 = -t2

t1 = t 2

n1 .n 2 < 0

t1 = t 2

t1 = -t2

¸p dụng :
Ta có AB ⋅ AC = 8.3 + 6.4 = 48 > 0 nên góc BAˆ C nhọn ⇒ phương trình phân giác của
góc nhọn BAˆ C là

16

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn

Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
3x − 4 y + 5
4x − 3 y + 2
=−
do n1 .n2 = 24 > 0 ⇔ x – y + 1 = 0
5
5

Phương pháp 7 :
Đưa bài toán về dạng viết phương trình đường phân giác của góc chứa điểm
P( xp ; yp ) tạo bởi các đường thẳng ( ∆1 ) và ( ∆2 ).
- Gọi Q là giao điểm ( ∆1 ) và ( ∆2 )
- Xét 1 đường thẳng ( ∆ ) bất kỳ ( chọn Ox hoặc Oy ) cắt 4 đường ( ∆1 ) ;
- ( ∆2); phân giác ( d ) và PQ tại các điểm I ; J ; D ; E
+

Các điểm E ; D cùng thuộc đoạn thẳng IJ.

+

Các điểm E ; D đều nằm ngoài đoạn IJ

- Chọn ε = ± 1 trong phương trình phân giác

a 1 x + b 1 y + c1
a12 + b12

=ε

a 2 x + b2 y + c2
a 22 + b22

thoả mãn các điều kiện trên thì xác định được phân giác ( d ).
¸p dụng :
Gọi P là trung điểm BC ⇒ P ( 13/2 ; 7 ).
Phương trình phân giác góc BAˆ C có dạng

3x − 4 y + 5
4x − 3y + 2
=ε
5
5

⇔ ( 4ε - 3 )x + ( 4 - 3ε )y + 2ε - 5 = 0 ( d )
phương trình PQ ≡ AP : 10x – 11y + 12 = 0
Xét đường thẳng ( ∆ ) ≡ Ox : y = 0 . Khi đó ta có
AB ∩ Ox = I ( ( d ) ∩ Ox = D (

5
1
6
; 0 ) ; AC ∩ Ox = J ( - ; 0 ) ; AP ∩ Ox = E ( - ; 0 ) ;
3
2
5
5 − 2ε
;0)
4ε − 3

5
6
1
< - < - ⇒ xI < xE < xJ ⇒ điểm E nẳm trong đoạn IJ. Nếu lấy ε = 1
3
5
2
thì E và D nằm trong đoạn IJ ⇒ phân giác của góc BAˆ C chứa điểm P là x –

Vì -

y + 1 = 0 ( ứng ε = -1 ).

Trên đây là 7 phương pháp khác nhau để viết phương trình phân giác của 1 góc
trong tam giác. Khi viết phương trình đường phân giác tuỳ theo yêu cầu của
bài toán mà ta chọn cách có lợi nhất. Chẳng hạn:
- Nếu bài toán cho toạ độ 3 đỉnh , yêu cầu tính độ dài 3 cạnh, viết phương
trình phân giác trong góc BAˆ C , tìm toạ độ giao điểm của phân giác với cạnh
BC thì ta nên sử dụng phương pháp 4 hoặc 5 hoặc 7.
17

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
- Nếu bài toán không cho toạ độ đỉnh mà cho phương trình 3 đường thẳng
AB ; AC ; BC thì nên dùng phương pháp 1 hoặc 2 hoặc 3 hoặc 6.
E. ƯU NHƯỢC ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP DHGQVĐ
*Ưu điểm:
1- Phát huy tính tích cực, chủ động trong học tập.

Vì phương pháp DHGQVĐ dựa trên cơ sở tâm lý kích thích hoạt động nhận
thức bởi sự tỉ mỉ và ham hiểu biết cho nên thái độ học tập của hs mang nhiều yếu
tố tích cực. Năng lực tư duy của hs một khi được khơi dậy sẽ giúp các em cảm
thấy thích thú và trở nên tự giác hơn trên con đường tìm kiếm tri thức.
2- HS được rèn luyện các kỹ năng cần thiết.
Thông qua hoạt động tìm kiếm thông tin và lý giải vấn đề của cá nhân và tập
thể, hs được rèn luyện thói quen, kỹ năng đọc tài liệu, phương pháp tư duy khoa
học, tranh luận khoa học, làm việc tập thể… Đây là những kỹ năng rất quan
trọng cho hs đối với công việc sau này của các em.
3- HS được sớm tiếp cận những vấn đề thực tiễn.
Giáo dục đại học thường bị phê phán là xa rời thực tiễn. Phương pháp này có
thể giúp hs tiếp cận sớm với những vấn đề đang diễn ra trong thực tế có liên
quan chặt chẽ với chuyên ngành đang học; đồng thời các em cũng được trang bị
những kiến thức, kỹ năng để giải quyết những vấn đề đó.
4- Bài học được tiếp thu vừa rộng vừa sâu, được lưu giữ lâu trong trí nhớ hs.
Do được chủ động tìm kiếm kiến thức và vận dụng kiến thức để giải quyết
vấn đề, hs có thể nắm bắt bài học một cách sâu sắc và vì vậy họ nhớ bài rất lâu
so với trường hợp tiếp nhận thông tin một cách thụ động thông qua nghe giảng
thuần túy.
5- Đòi hỏi GV không ngừng vươn lên
Việc điều chỉnh vai trò của GV từ vị trí trung tâm sang hỗ trợ cho hoạt động
học tập đòi hỏi nhiều nổ lực từ phía GV. Đồng thời theo phương pháp này, GV
cần tìm tòi, xây dựng những vấn đề vừa lý thú vừa phù hợp với môn học và thời
gian cho phép; biết cách xử lý khéo léo những tình huống diễn ra trong thảo
luận… Có thể nói rằng phương pháp DHGQVĐ tạo môi trường giúp GV không
ngừng tự nâng cao trình độ và các kỹ năng sư phạm tích cực.
Tác động tích cực của phương pháp dạy học dựa trên vấn đề
- Học sinh có thể thu được những kiến thức tốt nhất, cập nhật nhất
- Có thể bao phủ được trên một diện rộng các trường hợp và các bối cảnh
thường gặp

- Tính chủ động, tinh thần tự giác của người học được nâng cao
- Động cơ học tập và tinh thần trách nhiệm của học viên được nâng cao
18

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề
- Việc nghiên cứu và giải quyết vấn đề ngày càng được bảo đảm
* Nhược điểm:
1- Khi vận dụng ở những môn học có tính trừu tượng cao
Phương pháp này không cho kết quả như nhau đối với tất cả các môn học,
mặc dù nó có thể được áp dụng một cách rộng rãi. Thực tế cho thấy những môn
học gắn bó càng nhiều với thực tiễn thì càng dễ xây dựng vấn đề, và vì vậy khả
năng ứng dụng của phương pháp càng cao.
2- Khó vận dụng cho lớp đông
Lớp càng đông thì càng có nhiều nhóm nhỏ vì vậy việc tổ chức, quản lý sẽ
càng phức tạp. Một giáo viên rất khéo theo dõi và hướng dẫn thảo luận cho cả
chục nhóm học sinh. Trong trường hợp này, vai trò trợ giảng sẽ rất cần thiết.
F. MỘT SỐ GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT
Tuy nhiên, để áp dụng phương pháp này với cơ hội thành công cao đòi hỏi
chúng ta phải tiến hành một loạt những chuyển đổi sau:
- Chuyển đổi các hoạt động của người học từ tính thụ động sang tính tích
cực, chủ động
- Chuyển đổi các hoạt động của người dạy (người dạy có vai trò khơi dậy
các vấn đề và hướng dẫn người học)
- Chuyển đổi mối quan hệ giữa vai trò của người học và người dạy
- Chuyển đổi hệ thống đánh giá người học
Coi trọng thời gian tự học của người học như thời gian học trên lớp
* Sau đây là một số gợi ý vắn tắt dành cho GV muốn ứng dụng phương pháp

DHGQVĐ cho những lớp có đông học sinh:
1- Tìm vấn đề: từ các phương tiện thông tin đại chúng, thực tế sản xuất và đời
sống, những hiện tượng tự nhiên, xã hội đó và đang diễn ra hàng ngày… GV
cũng có thể sáng tạo ra những vấn đề miễn sao chúng chứa đựng những yếu
tố gần gũi với thực tế, phù hợp với môn học, và có khả năng thu hút sự quan
tâm của học sinh.
2- Dự kiến thời gian hợp lý: bao nhiêu vấn đề cho môn học, tỷ trọng thời gian…
3- Chuẩn bị tốt tư tưởng cho học sinh: lớp học không phải là nơi để thu lượm
kiến thức một cách thụ động và người học cần được chuẩn bị những kỹ năng
cần thiết cho tương lai nghề nghiệp về sau.
4- Chuẩn bị tốt khâu tài liệu tham khảo: nên chuẩn bị trước một số tài liệu tham
khảo cơ bản, hướng dẫn học sinh các nguồn tài liệu có thể có (thư viện, sách
báo, internet,…)
19

Giáo viên thực hiện: Lê Thị Minh - Trường THPT Sầm Sơn


Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt vn
5- Chun b tt khõu t chc: bao nhiờu nhúm, mi nhúm bao nhiờu hc sinh?
a im tho lun?
6- Nhng bin phỏp b tr: lm th no hn ch hc sinh vng mt? Lm th
no hc sinh tớch cc tham gia? (cho im thng, treo gii thng?)
Lời kết:
Vi thi gian nghiờn cu cú hn v kinh nghim nghiờn cu cha nhiu, ti
SKKN ny chc chn khụng trỏnh khi nhng thiu sút. Tụi xin chõn thnh
mong i nhng li nhn xột, gúp ý v ch dn ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn
ng nghip tụi b sung v hon thin thờm cho ti cng nh cho cụng
vic ging dy v nghiờn cu khoa hc. Xin kớnh chỳc gia ỡnh cỏc ng chớ,cỏc
ng nghip mnh khe, hnh phỳc v thnh t.

Xin chõn thnh cm n !
Sầm Sơn, ngày 10 tháng 05
năm 2011
Ngời viết

Lê Thị Minh

20

Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn