Tóm tắt toán hình học lớp 11 haiduongthangcheonhauvahaiduongthangsongsong(p1) tomtatbaihoc

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 1)

I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa
Cho a, b là hai đường thẳng trong không gian.
Trường hợp 1:
Có một mặt phẳng chứa a và b (a và b đồng phẳng).
 a và b cắt nhau tại M. Kí hiệu a  b  M .

 a và b không có điểm chung hay a và b song song.
Kí hiệu a // b.

 a trùng b. Kí hiệu a  b .
Trường hợp 2:
Không có mặt phẳng nào chứa a và b.
Ta nói a và b chéo nhau.

II. TÍNH CHẤT
Định lí 1
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và
chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Nhận xét: a // b xác định một mặt phẳng. Kí hiệu: mp (a, b) hay (a, b).


Định lí 2
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến
ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt

là bốn điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) PQ, RS, AC hoặc song song hoặc đồng quy.
b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy.
Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành.
Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC).

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
BC và BD, (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần
lượt tại M, N.
a) Chứng minh IJNM là hình thang.
b) Nếu M là trung điểm AC thì IJNM là hình gì ?


Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,
đáy lớn AB. Gọi M là một điểm bất kì trên SC.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM).
Hỏi thiết diện là hình gì ?
Định lí 3
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau.
Kí hiệu a, b, c song song với nhau: a // b // c.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là
trung điểm của AC, BD, AB, CD, AD và BC.

Chứng minh MN, PQ, RS đồng quy tại
trung điểm mỗi đoạn.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,
đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB.
a) Chứng minh MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (ADN).
c) I là giao điểm của AN và DP.
Chứng minh SI // AB // CD.