Tóm tắt toán hình học lớp 11 h16 vector trong không gian

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA LIÊN QUAN ĐẾN VECTƠ

1. Khái niệm vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD. Chỉ ra các vectơ có điểm đầu A, điểm cuối là các đỉnh
còn lại của tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

2. Giá của vectơ
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

3. Hai vectơ cùng phương – cùng hướng
Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương.
Nếu hai vectơ cùng phương có cùng hướng mũi tên thì gọi là hai vectơ cùng hướng.
Nếu cùng phương và ngược hướng mũi tên thì gọi là hai vectơ ngược hướng.

4. Độ dài vectơ
Độ dài vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ đó.
Kí hiệu AB  AB .

5. Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Xét sự cùng phương, cùng hướng, ngược hướng
giữa các cặp vectơ: AB, HG , BD, HF , AB, BD , BD, EG .
Hãy kể tên các vectơ bằng với BC .

6. Vectơ-không
Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 .
II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. Tổng hai vectơ
Tổng của hai vectơ a và b là một vectơ được kí hiệu là a  b .


Tính chất: Cho ba vectơ a, b, c tùy ý
 ab  ba







 ab c  a bc



 a0  0a  a

2. Hiệu hai vectơ
Vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với a được gọi là vectơ đối của vectơ a .
Kí hiệu a .

 

Hiệu của hai vectơ a và b là một vectơ a  b  a  b .
Quy tắc 3 điểm : Cho 3 điểm A, B, C tùy ý, ta có AB  BC  AC .
Quy tắc trừ : Cho 3 điểm A, B, C tùy ý, ta có AB  AC  CB .
Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành, ta có AB  AD  AC .

Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA '  AC

3. Tích của vectơ với một số
Định nghĩa: Tích của vectơ a và số k là một vectơ kí hiệu là k.a . Nếu k > 0 thì

k.a và a cùng hướng. Nếu k < 0 thì k.a và a ngược hướng. Độ dài k.a  k. a .
Quy ước: 0.a  k.0  0 .
Các tính chất: Cho hai vectơ a, b và mọi số h, k, ta có
k.(a  b)  k.a  k.b

(h  k).a  h.a  k.a

h.(k.a)  (hk).a

1.a  a,

 1 .a  a

Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm AB và với điểm M bất kì thì
MA  MB  2MI

Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0


Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các canh AD, BC
và G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng:
a) 2MN  AB  DC
b) AB  AC  AD  3AG .

III. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Ba vectơ a, b, c gọi là đồng phẳng nếu chúng có giá song song với một mặt phẳng.

2. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lí 1: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c , trong đó a, b không cùng
phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là có duy nhất cặp
số m, n sao cho c  ma  nb .
Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Khi đó với
vecto x bất kì, ta đều tìm được duy nhất bộ ba số m, n , k sao cho

x  ma  nb  kc .

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh rằng ba vectơ BC, AD,MN đồng phẳng.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, CD sao cho
AM = 2BM, ND  2ND . Chứng minh b avectơ BC, AD,MN đồng phẳng.

Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD. EFGH có AB  a, AD  b, AE  c . Gọi I là trung điểm
của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a,b,c .