Tóm tắt toán hình học lớp 11 h 18 đường thẳng vuông góc mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng    nếu d vuông góc với mọi
đường thẳng a nằm trong mặt phẳng    . Kí hiệu d     .
d  ()  a  (), d  a
d  ()
da
Nhận xét: 
a  ()

a  (), d  a  d  ()

2. Định lí:
Nếu đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng a, b chứa trong mặt phẳng   
và a, b cắt nhau thì d vuông góc với    .

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình vuông.
Chứng minh: a) BC   SAB 
b) BC  SB
II. TÍNH CHẤT
Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng    đi qua điểm O và vuông góc với đường
thẳng d cho trước. Đặc biệt: Nếu mặt phẳng    đi qua trung điểm I của đoạn thẳng
AB và vuông góc với AB thì    được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng   
III. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1. Tính chất 1:
Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này
thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
với nhau


2. Tính chất 2:
Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này
thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau.

3. Tính chất 3:
Cho đường thẳng a và mặt phẳng    song song với nhau. Đường thẳng nào vuông
góc với    thì vuông góc với đường thẳng a.
Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng(không chứa đường thẳng đó) cùng
vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
Chứng minh MN vuông góc với mặt phẳng (SAB).
IV. ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng   () . Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng
() được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng () .

2. Định lí ba đường thẳng vuông góc
Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a lên mặt phẳng () và d là đường thẳng chứa
trong mặt phẳng () . Khi đó: điều kiện cần và đủ để d  a là d  a' .
d  a  d  a'

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng () .
Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng () bằng 900.
Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng () thì góc giữa d và
hình chiếu d’ của nó lên () gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () .
Nếu gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () thì 00    900 .


4. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ()
Bước 1: Xác định giao điểm O  d  () .
Bước 2: Chọn điểm A tùy ý trên d (A khác O). Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên mặt phẳng () .
Bước 3:   AOH .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA  a 2 ,
SA   ABCD  . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD.

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (MNP).