tổng hợp phương pháp giải toán:đường thẳng vuông góc mặt phẳng

TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG
PHÁP GIẢI TOÁN:
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG
GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG.

TRƯỜNG THPT QUỐC HỌC


∆
1
1.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1:
Góc giữa hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2
là góc giữa hai
đường thẳng
∆
’
1
và
∆
’
2
cùng đi qua một điểm và lần lượt

song song với
∆
1
và
∆
2
.
∆2
∆’
1
O
∆’2
Chú ý:
- Điểm O có thể lấy trên
∆
1
hoặc
∆
2
- Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90
0
.


2. HaI đường thẳng vuông góc
2. HaI đường thẳng vuông góc
Định nghĩa:
Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc
giữa chúng bằng 90
0.

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP ĐỂ CHỨNG MINH
2 ĐƯỞNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU TA CÓ THỂ
SỬ DỤNG 1 TRONG CÁC PHƯƠNG PHÁP SAU:
CÁCH 1:QUY VỀ HÌNH HỌC PHẲNG:
*nếu 2 đường thẳng đó đổng phẳng ta vận dụng pp
c/mtrong hình học phẳng:
a,b đồng phẳng
a’ // hoặc trùng a
b’ // hoặc trùng b
a’ cắt b’
Khi đó: góc (a,b)=góc(a’,b’)
a
b
a’
b’


Sau đó c/ tỏ góc tạo bởi 2 đường thẳng là 1v
Sau đó c/ tỏ góc tạo bởi 2 đường thẳng là 1v
a. Tính ch t các hình(Hình vuông, HBH ,Tam giác vuông,cân, ấ
a. Tính ch t các hình(Hình vuông, HBH ,Tam giác vuông,cân, ấ
đ u…)ề
đ u…)ề
Vd:
Vd:


2 đchéo hình vuông thì vuông
2 đchéo hình vuông thì vuông

góc v i nhau, c t nhau t i trung ớ ắ ạ
góc v i nhau, c t nhau t i trung ớ ắ ạ
đi m m i đ ng:ể ỗ ườ
đi m m i đ ng:ể ỗ ườ
Trong tam giác đ u , trung ề
Trong tam giác đ u , trung ề
tuy n ,đ ng th i là trung tr c , ế ồ ờ ự
tuy n ,đ ng th i là trung tr c , ế ồ ờ ự
đ ng cao, trung tuy nườ ế
đ ng cao, trung tuy nườ ế
A B
C
D
O


b. Đ nh lí sin,cos ị
b. Đ nh lí sin,cos ị
⇒
⇒


m i liên h .ố ệ
m i liên h .ố ệ
c.Đ nh lí PITAGO:ị
c.Đ nh lí PITAGO:ị
BC
BC
2

2
= AB
= AB
2
2
+AC
+AC
2
2
⇔ AB ⊥AC tại A
5cm
3cm
4cm
A B
C


CÁCH 2:S D NG TÍCH VÔ H NGỬ Ụ ƯỚ
CÁCH 2:S D NG TÍCH VÔ H NGỬ Ụ ƯỚ
a) NÕu lÇn lît lµ c¸c vÐct¬ chØ ph¬ng cña AB vµ CD th×:
,u v
r r
AB ⊥ CD ⇔
u. v = 0
PHƯƠNG PHÁP:
B1. Chọn bộ 3 vectơ không đồng phẳng (hệ cơ sở )
có chung 1 điểm gốc (A,B,C,D…)
B2. Biểu diễn các vectơ cần chứng minh qua hệ cơ
sở :
+áp dụng qui tắc chèn (3 điểm )

AB =AC +CB
+Áp dụng qui tắc hình bình hành
AC= AB+AD
B3.C/m tích vô hướng vectơ =0

C
A
B
A
B
C
D




CÁCH 3:D a vào các m nh đ , đ nh lí, ự ệ ề ị
CÁCH 3:D a vào các m nh đ , đ nh lí, ự ệ ề ị
t/ch t trong không gian .ấ
t/ch t trong không gian .ấ
a.Đ nh lí:N u 1 đ ng th ng ị ế ườ ẳ
a.Đ nh lí:N u 1 đ ng th ng ị ế ườ ẳ
⊥
⊥
v i 1 mp thì ớ
v i 1 mp thì ớ
đ ng th ng đó ườ ẳ
đ ng th ng đó ườ ẳ
⊥
⊥

v i m i đ ng th ng ớ ọ ườ ẳ
v i m i đ ng th ng ớ ọ ườ ẳ
n m trong mp.ằ
n m trong mp.ằ
a
a
⊥
⊥


mp(P).
mp(P).
b thu c mp(P). ộ
b thu c mp(P). ộ
⇒ a ⊥b
P
a
b




C n chú ý ph ng pháp này kháquan tr ng trong bài ầ ươ ọ
C n chú ý ph ng pháp này kháquan tr ng trong bài ầ ươ ọ
toán c/m vuông góc gi a đ ng v i đ ng b ng cách ữ ườ ớ ườ ằ
toán c/m vuông góc gi a đ ng v i đ ng b ng cách ữ ườ ớ ườ ằ
th c hi n tu n t và k t h p v i các m nh đ sau.ự ệ ầ ự ế ợ ớ ệ ề
th c hi n tu n t và k t h p v i các m nh đ sau.ự ệ ầ ự ế ợ ớ ệ ề

M nh đ 1:ệ ề
M nh đ 1:ệ ề


a
a
⊥
⊥
b
b


b c
b c
⇒ a ⊥c
b
c
a
P

Mệnh đề 2:
Cho đường thẳng a và mp(P)
song song với nhau. Đường
thảng nào vuông góc với (P) thì
cũng vuông góc với a.
a (P)
b ⊥ (P)
⇒ a ⊥ b
a
b

Đ nh lí 3 đ ng vuông góc:ị ườ
Đ nh lí 3 đ ng vuông góc:ị ườ


Cho đ ng th ng a khônh vuông góc v i mp (P) ươ ẳ ớ
Cho đ ng th ng a khônh vuông góc v i mp (P) ươ ẳ ớ
.Khi đó , đi u ki n c n và đ đ b vuông góc a là b ề ệ ầ ủ ể
.Khi đó , đi u ki n c n và đ đ b vuông góc a là b ề ệ ầ ủ ể
vuông góc v i hình chi u a’ c a a trên (P).ớ ế ủ
vuông góc v i hình chi u a’ c a a trên (P).ớ ế ủ
H
O
d
M
A’
B’
A
B
P
a’


Cách 4:c/m b ng ph ng pháp ph n ch ng.ằ ươ ả ứ
Cách 4:c/m b ng ph ng pháp ph n ch ng.ằ ươ ả ứ
-Gia s đi u c n ch ng minh là sai.ử ề ầ ứ
-Gia s đi u c n ch ng minh là sai.ử ề ầ ứ

-Ta ch ra đi u đó vô lí ỉ ề
-Ta ch ra đi u đó vô lí ỉ ề
-K t lu n.ế ậ
-K t lu n.ế ậ
Cách 5:v n d ng m t s ph ng pháp c/m khác :ậ ụ ộ ố ươ
Cách 5:v n d ng m t s ph ng pháp c/m khác :ậ ụ ộ ố ươ




+MP trung tr c .ự
+MP trung tr c .ự


O là trung đi m ABể
O là trung đi m ABể


M n m trong m t ph ng trung tr c AB ằ ặ ẳ ự
M n m trong m t ph ng trung tr c AB ằ ặ ẳ ự
⇒ MO ⊥ AB


P
O
A
B
M
+Dựa vào tính chất 2 mp vuông góc
(P) ⊥(Q)

(P) (Q)= ∆
a ⊥(P); a ⊥ ∆
b ⊥(Q);b ⊥ ∆
⇒ a ⊥c ∆
a
b
P
P


BÀI T P V N D NG Ậ Ậ Ụ
BÀI T P V N D NG Ậ Ậ Ụ


BÀI 1.Ch ng minh r ng n u hai c p c nh đ i ứ ằ ế ặ ạ ố
BÀI 1.Ch ng minh r ng n u hai c p c nh đ i ứ ằ ế ặ ạ ố
c a m t t di n vuông góc v i nhau thì c p ủ ộ ứ ệ ớ ặ
c a m t t di n vuông góc v i nhau thì c p ủ ộ ứ ệ ớ ặ
c nh đ i th ba cũng vuông góc v i nhauạ ố ứ ớ
c nh đ i th ba cũng vuông góc v i nhauạ ố ứ ớ
.
.


GI I:Ả
GI I:Ả
Cho t di n ABCD .gi s ứ ệ ả ử
Cho t di n ABCD .gi s ứ ệ ả ử
AB
AB

⊥
⊥
CD và AC
CD và AC
⊥
⊥
CD .
CD .
Ta ch ng minh BC ứ
Ta ch ng minh BC ứ
⊥
⊥
AD.
AD.
A
B
C
D
B’
D’


Cách 1:c/m b ng vect ằ ơ
Cách 1:c/m b ng vect ằ ơ
BC.AD.(BA+AC).(AC+CD)=BA.AC+BA.CD+AC
BC.AD.(BA+AC).(AC+CD)=BA.AC+BA.CD+AC
2
2

+AC.CD
+AC.CD
=AC.(BA+AC+CD) (DO BA
=AC.(BA+AC+CD) (DO BA
⊥
⊥
CD)
CD)
=AC.BD =0 (DO AC
=AC.BD =0 (DO AC
⊥
⊥
BD)
BD)


V y BC ậ
V y BC ậ
⊥
⊥
AD
AD


K AH (BCD) .Ta có :ẻ
K AH (BCD) .Ta có :ẻ
CD
CD

⊥
⊥
AH
AH
CD
CD
⊥
⊥
AB
AB
T ng t ta cũng c/m đ c BD ươ ự ượ
T ng t ta cũng c/m đ c BD ươ ự ượ
⊥
⊥
CH .
CH .
Nh v y H là tr c tâm c a ư ậ ự ủ
Nh v y H là tr c tâm c a ư ậ ự ủ
∆
∆
BCD, ta có :
BCD, ta có :
BC
BC
⊥
⊥
DH
DH
BC
BC

⊥
⊥
AH
AH
A
B
D
C
D’
B’
C’ H
⇒ CD ⊥(ABH) ⇒ CD ⊥ BH
⇒ BC⊥(ADH) ⇒ BC ⊥ AD
CÁCH 2: CHỨNG MINH BẰNG HÌNH HỌC


CÁCH 3:CH NG MINH B NG PH N CH NGỨ Ằ Ả Ứ
CÁCH 3:CH NG MINH B NG PH N CH NGỨ Ằ Ả Ứ




BÀI 2.Cho t di n ABCD có ứ ệ
BÀI 2.Cho t di n ABCD có ứ ệ
AB=6cm,CD=8cm .G i I,J,K l n l t là ọ ầ ượ
AB=6cm,CD=8cm .G i I,J,K l n l t là ọ ầ ượ
trung đi m các c nh BC, AC, BD.Cho bi t ể ạ ế
trung đi m các c nh BC, AC, BD.Cho bi t ể ạ ế
JK=5cm. Ch ng minh r ng AB ứ ằ
JK=5cm. Ch ng minh r ng AB ứ ằ

⊥
⊥
CD, IJ
CD, IJ
⊥
⊥


CD.
CD.
A
B
C
D
I
J
K


BAÌ GI IẢ
BAÌ GI IẢ
IJ vá IK l n l t là hai đ ng trung bình c a haiầ ượ ườ ủ
IJ vá IK l n l t là hai đ ng trung bình c a haiầ ượ ườ ủ
tam giác ABC và BCD.
tam giác ABC và BCD.
Ta có: IJ //AB; IJ=AB/2=3cm
Ta có: IJ //AB; IJ=AB/2=3cm
IK // CD ;IK=CD/2=4cm ;JK=5cm
IK // CD ;IK=CD/2=4cm ;JK=5cm
Do đó IJ

Do đó IJ
2
2
+IK
+IK
2
2
=9+16=25=JK
=9+16=25=JK
2
2


⇒
⇒


∆
∆
IJK vuông góc
IJK vuông góc
t i I SUY RA (IJK)=90ạ
t i I SUY RA (IJK)=90ạ
0
0
;IJ // BA,IK // CD.Nên
;IJ // BA,IK // CD.Nên
(AB,CD)=JIK= 90
(AB,CD)=JIK= 90
0

0
V y AB ậ
V y AB ậ
⊥
⊥
CD. Ta có : IJ // AB. V y IJ ậ
CD. Ta có : IJ // AB. V y IJ ậ
⊥
⊥
CD
CD




Cho t di n ABCD có AB=CB và CD=AD ứ ệ
Cho t di n ABCD có AB=CB và CD=AD ứ ệ
.Ch ng minh:ứ
.Ch ng minh:ứ


AC
AC
⊥
⊥
CD.
CD.


BÀI GI I:Ả

BÀI GI I:Ả


Cách 1:
Cách 1:


G i I là trung đi m c a AC .ọ ể ủ
G i I là trung đi m c a AC .ọ ể ủ


BA=BC
BA=BC
⇒
⇒
BA
BA
⊥
⊥
AC (1)
AC (1)


DA=DC
DA=DC
⇒
⇒
DI
DI
⊥

⊥
AC (2)
AC (2)


T (1) và (2) suy ra AC (BDI) ừ
T (1) và (2) suy ra AC (BDI) ừ


⇒
⇒


AC
AC
⊥
⊥
BD
BD
A
B
C
D
I




Cách 2:
Cách 2:

AC.BD =2AI .(BI+ID)
AC.BD =2AI .(BI+ID)


=2AI.BI+2AI.ID (Do AI
=2AI.BI+2AI.ID (Do AI
⊥
⊥
BI và AI
BI và AI
⊥
⊥
ID )
ID )


= 0
= 0


Suy ra AC
Suy ra AC
⊥
⊥
BD.(dpcm)
BD.(dpcm)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
.Cho hình vuông ABCD.Trên đường thẳng

vuông góc mp của hình vuông tại A lấy điểm
S.C/M :(Gợi ý : dùng định lí 3 đường vuông góc)
a,CD ⊥ SD và BC ⊥ SB b, BD ⊥ SC
c, Vẽ AH ⊥ SD , C/M AH ⊥ HC
Ví dụ 1


K
M
A
B
C
D
H
Ví dụ 2
Cho tứ diện đều ABCD,AH vuông góc
(BCD),M là trung điểm AH.
Chứng minh rằng :
a)Các cạnh đối diện của tứ diện vuông
góc với nhau từng đôi.
b)Ba đường thẳng MB,MC,MD vuông
góc với nhau từng đôi.


K
S
A
B
C
I

Ví dụ 3
Cho hình tròn tâm O,đường kính AB nằm
trong mặt phẳng (P).Trên đường vuông
góc với (P) tại A lấy điểm S,trên dường
tròn (O) lấy điểm C,kẻ AI vuông góc
SC,AK vuông góc AB.Chứng minh rằng:
a)Các mặt tứ diện SABC là các tam giác
vuông.
b) AI vuông góc IK,IK vuông góc SB.


I
S
A
B C
D
Vi du 4
Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là
hình thang ABCD
vuông ở A và
B,AD=2AB=2BC.
a)Chứng minh
các mặt bên của
hình chóp là
những tam giác
vuông.
b)Gọi I là trung
điểm của AD
chứng minh BI

vuông góc SC và
CI vuông góc SD.


B
A
S
C
D
N
M
P
Ví dụ 6
Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là hình
vuông ,SA vuông góc
với đáy .Một mặt
phẳng qua A và vuông
góc với SC tại N,cắt
SB tại M,cắt SD tại P.
a)Chứng minh :AM
vuông góc SB;AN
vuông góc SC;AP
vuông góc SD.
b)Chứng minh MP
vuông góc SC;MC
vuông góc AN
c)Tìm diện tích thiết
diện AMNP khi
SA=AB=a.

α


I
A
S
C
B
H
Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC có
SA vuông góc
(ABC),AB=AC,I là trung
điểm của BC
AH vuông góc SI.Chứng
minh:
a)BC vuông góc AH.
b)AH vuông góc SB.
c)SC không vuông góc
với AI.
⊥