Ôn tập chương 3 toán hình học 11

ÔN TẬP CHƯƠNG 3
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Chứng minh vuông góc
a. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
 Phương pháp 1: a  b  u.v  0 ( với u, v lần lượt là các VTCP của a và b).
 Phương pháp 2: b c và a  c  a  b .
 Phương pháp 3: d     và a      d  a .
 Phương pháp 4: Áp dụng tính chất hình học phẳng.
b. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 Phương pháp 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a, b
cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng    thì d vuông góc với    .
 Phương pháp 2: a b và a      b     .
 Phương pháp 3:   



và a      a   .

c. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Phương pháp: Nếu mặt phẳng    chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

 

thì    vuông góc với    .

Ví dụ: Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a   

2) 
ab

b







a  d
1) 
a b
b  d


a



a   
 b  
3) 

b  a


a
4) 

b


a    
b
5) 

b  a


      
      
6) 












      
  
7) 













b


2. Phương pháp xác định góc
a. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng
 Phương pháp 1: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng
a’ và b’ cùng đi qua điểm O và lần lượt song song với hai đường a và b.
 Phương pháp 2: Nếu gọi u,v lần lượt là VTCP của hai đường thẳng a và b thì

 

cos u, v 

u.v
u.v

b. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng    không vuông góc với nhau bằng
góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc d’ của d lên   
c. Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng
 Phương pháp 1: Góc giữa hai mặt phẳng    và    bằng góc giữa hai đường
thẳng a và b cùng đi qua điểm I trên giao tuyến d        , đồng thời a và b

lần lượt chứa trong hai mặt phẳng    ,    và a, b cùng vuông góc với d.
 Phương pháp 2: Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng    và    .
Ta có: S '  S.cos 

3. Phương pháp xác định các loại khoảng cách
a. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng khoảng cách từ điểm O đến
hình chiếu vuông góc H của O lên đường thẳng a.
Kí hiệu: d  O,a  OH
b. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm O đến
hình chiếu vuông góc H của O lên mặt phẳng    .
Kí hiệu: d  O,      OH .
c. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    . Khoảng cách từ đường thẳng
a đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm A trên đường thẳng a đến hình
chiếu vuông góc A’ của A lên mặt phẳng    .


Kí hiệu: d  a,      d  A,      AA ', A     .
d. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng    và    song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng    và

 

bằng khoảng cách từ điểm M     đến hình chiếu vuông góc M’ của M

lên mặt phẳng    .
Kí hiệu: d     ,    d M,    MM',M    
e. Đường vuông góc chung – khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với
mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
 Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại
M, N thì độ dài MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
II. BÀI TẬP

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, các mặt bên
(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD), cạnh bên SC hợp với đáy
một góc 300.
a) Chứng minh SA vuông góc với mặt đáy (ABCD).
b) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông.
c) Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.
d) Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
e) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a, mặt bên
SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD).
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh SE vuông góc với (ABCD). Tính tan của góc giữa SC và
mặt phẳng(ABCD).
b) Chứng minh (SEF) vuông góc (SCD). Tính khoảng cách từ E đến
mặt phẳng (SCD).
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
d) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).


Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là tâm hình vuông
ABCD và A’B’C’D’.
a) Chứng minh IJ vuông góc với (A’B’CD).
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm B’C’, C’D’.

Chứng minh MD’ vuông góc (AA’N).
c) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng DD’ và A’C.