Bài giảng chi tiết hàm số

BAØI 2: HAØM SOÁ


NOI DUNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1-

ẹềNH

NGHểA

HAỉM
SO SO
2- HAỉM
NGệễẽC
3- HAỉM LệễẽNG GIAC
NGệễẽC
4HYPERBOLIC

HAỉM


XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA BIỂU THỨC
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Quen

thuộc

(dạng

hiện):
f(x)
VD: y = yx2=, y
= ex

Dạng
Biểu
thức:

 x = x( t )

 y = y( t )

tham số
VD: x = 1 + t, y = 1 – t →
Đường
VD: x =thẳng
acost, y = asint →
Đường tròn
Dạng ẩn F(x, y) = 0 ⇒ y = f(x)
2
2
x
y
(implicit)
VD:
Đtròn x2 + y2 – + − 1 = 0
16 9
4 = 0,

CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

Hàm y = xα
 MXĐ : α tự nhiên ⇒ D=R,
α nguyên âm ⇒ D=R\{0},

lim xαα= ∈
0(αR(nói
< 0)
chung)
D=(0,
x→+∞
lim xα⇒
= +∞
(α > 0);+∞ )
x→+∞

(hàm căn: tuỳ tính chẵn
lẻ)
 Tính đơn điệu (chỉ xét x > 0):
α > 0 → Tăng, α < 0 → Giảm
lim x α = 0(α < 0) lim x α = +∞(α > 0)
x →+∞

x →+∞


ĐỒ THỊ HÀM LUỸ THỪA

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------n

y = x : n tự nhiê
n, chẵ
n

n

y = x : n tự nhiê
n, lẻ

y = xα :α < 0

y = xα : α > 1

α

y = x : 0<α < 1


HÀM MŨy = ax (a > 0)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 MXĐ: R;

MGT: (0,

+
∞ ) điệu : a > 1 ⇒ Hàm tăng,

 Đơn
0 < a < 1 ⇒ Hàm giảm
 Giới hạn
a :> 1: lim a x = +∞ & lim a x = 0 ;

x →+∞
x →−∞

x
x
0
<
a
<
1:
lim
a
=
0
&
lim
a
= +∞

x →+∞
x →−∞


ĐỒ THỊ HÀM MŨ
y = ax , a > 1

ĐỒ THỊ HÀM MŨ
y = a x ,0 < a < 1

y = ax , a > 1


HAỉM logarit
y = logax (a >0)
----------------------------------------------------------------- MXẹ: x > 0, MGT :
R
ẹụn ủieọu: a > 1 TAấNG , 0 < a <
1 GIAM
Ghaùn
a > 1: lim log a x = + & lim log a x =
x +
x 0 +

log a x = & lim log a x = +
0 < a < 1: xlim
+
x 0 +


ĐỒ THỊ HÀM LOGARIT
y = log a ( x ), a > 1


ĐỒ THỊ HÀM LOGARIT

y = log a ( x ), a > 1

y = log a ( x ), 0

HÀM MŨ, LOGARIT: SO SÁNH VỚI LUỸ
THỪA khi x→+∞
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khi a > 1 & α > 0: Cùng ↑, →
+∞ , nhưng mũ nhanh hơn
luỹ thừa, lũy thừa nhanh
hơn log.

y = ax, a
>1
y = xα , α
>0
y =logax, a
>1


HAỉM LệễẽNG GIAC: sinx, cosx
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = sinx, y = cosx MXẹ: R, MGT:[1, 1],
Tuan hoaứn
y = sin x
y = cos x

HAØM LÖÔÏNG GIAÙC: tanx, cotx
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = tanx (x ≠ π/2 + k π), y = cotx (x ≠ kπ):
MGT: R, TC ñöùng
y = tanx
y = cotx


HÀM NGƯC
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm số y = f(x): X → Y thỏa: với mọi y ∈Y,
pt f(x) = y có nghiệm x duy nhất gọi là 1
song ánh.
Ví
dụ:
•Hàm số y = f(x) = 2x + 3 là song ánh
trên R vì f : R → R
và pt y = f(x) = 2x + 3 có duy nhất
nghiệm x = (y – 3 )/2


•Hàm số y = x2 (R → R+) không là
song ánh trên R
x=± y
vì pt y = x2 không có duy nhất
nghiệm
•Hàm số y = x2 là song ánh trên

R+(f: R+ → R+)
x= y

(

(

vì pt y = x2 không có duy nhất
nghiệm

)

)


HÀM NGƯC
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu f : X → Y
thì ϕ : Y → X
x y=
y  x = ϕ(y) , với y
=f(x)
f(x)
gọi là hàm ngược của f
là song
ánh
Ký hiệu hàm ngược :
ϕ = f −1
Cách tìm hàm ngược:

1. Từ pt y = f(x) , giải tìm nghiệm x = f–
1
(y)
2. Đổi vai trò của x, y trong biểu
thức nghiệm.


Ví dụ
1. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) =
2x + 3 trên R
•B1: giải pt y = f(x)
y −3
y = 2x + 3 ⇔ x =
2
Biểu thức hàm ngược x = f −1 ( y ) = y − 1
2
theo y :
•B2: Đổi vai trò của
x, y :

x −1
y = f (x) =
2
−1


2. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) =
x2 trên R+
y = f ( x ) = x 2
−1

⇔
x
=
y
=
f
(y )

x ≥ 0
y = f −1 ( x ) = x

Vậ
y:

3. Tìm hàm ngược của hàm số y
= f(x) = ex
x
f : R → R+, với mỗi y = f ( x ) = e ⇔ x = ln y
y>0:
Vậy y = f −1 ( x ) = ln x
:


Đồ thị của haøm y = f(x) vaø y = f-1(x) ñoái x
ñöôøng thaúng y = x.


HÀM LƯNG GIÁC NGƯC
•Lưu ý: các hàm lượng giác trên toàn bộ
miền xác đònh không phải là song ánh

( pt y = f(x) có vô số nghiệm)

•Các góc ϕ và
π ϕ có cùng

Các góc ϕ
và ϕ có cùng


HÀM LƯNG GIÁC NGƯC
--------------------------------------------------------------------------− π , π 
là
song
ánh
y = sin x


2
2


trên
 π π  s/a

sin :  − , 
 2 2

tồn tại hàm
ngược

[−1,1]

y = sin x = arcsin x :[ −1,1]

− π , π 
 2 2 

Miền
xác
đònh

Miền
giá
trò

−1

π π

y = sin x , x ∈  − ,  ⇔ x = arcsin y
 2 2


y =sin
x


y=
arcsin x

y =sin
x


y = cos x

là song ánh [ 0, π ]
trên
s/a

cos : [ 0, π ]

[−1,1]

tồn tại hàm
ngược

y = cos −1 x = arccos x :[−1,1]
Miền
xác
đònh

[ 0,π ]
Miền
giá
trò

y = cos x , x ∈ [ 0, π ] ⇔ x = arccos y