Bài giảng Tích phân hàm số lượng giác

VẤN ĐỀ 2. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1.1 Nguyên hàm của hàm số lượng giác suy trực tiếp từ đổi biến số cơ bản
Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số
3
( ) sin cosf x x x=
Ta có:
4
3 3
sin
( ) sin cos sin (sin )
4
x
f x dx x xdx xd x C= = = +
∫ ∫ ∫
Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của
( )f x tgx=
Ta có
sin (cos ) 1
( ) ln cos
cos cos 2
xdx d x
f x dx tgxdx x C
x x
= = = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
cos sin cos
( )
2 sin
x x x

f x
x
+
=
+
Ta có:
cos sin cos 2cos sin cos cos
( )
sin 2 sin 2
x x x x x x x
f x dx dx dx
x x
+ + −
= =
+ +
∫ ∫ ∫
cos (2 sin ) cos cos
cos sin ln | 2 cos |
sin 2 2 sin
x x x x
dx x dx x x C
x x
+ −
 
= = − = − + +
 ÷
+ +
 
∫ ∫
Bài 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số

sin3 .sin 4
( )
cot 2
x x
f x
tgx g x
=
+
Ta có:
sin3 .cos4 sin3 .cos4 sin3 .cos4
( )
sin cos2 cos
cot 2
cos sin 2 cos .sin 2
x x x x x x
f x dx dx dx dx
x x x
tgx g x
x x x x
= = =
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
sin 2 .sin3 .sin 4 (cos cos5 )sin 4 (sin5 sin3 sin 9 sin )
2 4
x x xdx x x xdx x x x x dx= = − = + − +
∫ ∫ ∫
1 1 1 1
cos5 cos3 cos9 cos

4 5 3 9
x x x x C
 
= − − + − +
 ÷
 
Bài 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4 4 6 6
( ) (sin cos )(sin cos )f x x x x x= + +
Ta có
2 2 2 4
1 3 5 3
( ) 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2
2 4 4 8
f x x x x x
  
= − − = − +
 ÷ ÷
  
2
2
5 1 3 1 5 3
1 (1 cos4 ) (1 cos4 ) 1 (1 cos4 ) (1 cos2 cos 4 )
4 2 8 2 4 32
15 7 3 33 7 3
cos4 (1 cos8 ) cos4 cos8
32 16 61 64 16 64
x x x x x
x x x x
 

= − − − + − = − − + − +
 ÷
 
= + + + = + +
Bài 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4
1
( )
cos sin
f x
x x
=
Ta có
4 2 4 4 2
cos cos
( ) ....
cos sin cos sin sin (1 sin )
dx xdx xdx
f x dx
x x x x x x
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫
3
1 sin 1 1 1
ln
2 sin 1 sin
3sin
x
C

x x
x
+
= − − +
−
Bài 7. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
( ) sin .sin 2 .sin5g x x x x=
Bài 8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
cos3
( )
sin
x
f x
x
=
Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) cos3 .f x x tgx=
Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) sin (2 sin 2 )
4
f x x x
π
 
= − +
 ÷
 
Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
( ) cos sin8f x x x=
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số

3 3
( ) sin cos3 cos sin3f x x x x x= +
Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4
( ) sinf x x=
Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4
( )f x tg x=
Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
sin cos
( )
sin cos
x x
f x
x x
−
=
+
(ĐS:
ln | sin cos |x x C− + +
)
Bài 16. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
cos2
( )
sin cos
x
f x
x x
=
+

(Đs:
sin cosx x C+ +
)
Bài 17. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
sin
( )
1 sin 2
x
f x
x
=
+
Ta có
2
2
sin sin
( )
(sin cos )
2cos
4
x x
f x
x x
x
π
= =
 
+
−
 ÷

 
Đặt
4 4
t x x t dx dt
π π
= − ⇒ = + ⇒ =
. Vậy:
2 2 2
2
sin
(sin cos )
2 sin 1
4
2
( )
4 cos
2cos 2cos cos
t
x x
t
f x
t
x x t
π
 
+
+
 ÷
 
 

= = = +
 ÷
 
Vậy:
2 2
2 sin 1 2 (cos ) 2
( )
4 cos 4 4 cos
cos cos
t d t dt
f x dx dt
t t
t t
 
= + = − +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 sin 1
ln
4cos 8 sin 1
t
C
t t
−
= + +
+
sin 1
2 2
4

ln
8
4cos sin 1
4 4
x
C
x x
π
π π
 
− −
 ÷
 
= + +
   
− − +
 ÷  ÷
   
Bài 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
cos .cos
4
f x
x x
π
=
 
+
 ÷

 
Ta có
2 2
2 2 cos 1 1
( ) 2 . ...
cos (cos sin ) 1
cos (cos sin ) cos
x
f x
x x x tgx
x x x x
= = = =
− −
−
Bài 19. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
cos
( )
sin 3cos
x
f x
x x
=
+
Ta có:
2
cos 1 cos2
( )
sin 3cos
4sin

3
x x
f x
x x
x
π
+
= =
 
+
+
 ÷
 
, từ đó tìm nguyên hàm
Bài 20. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
sin 2 2sin
f x
x x
=
−
Ta có:
2 2
1 sin sin
( )
2sin (cos 1)
2sin (cos 1) 2(1 cos )(cos 1)
x x
f x

x x
x x x x
= = =
−
− − −
Bài 21. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
sin
( )
3sin 4 sin 6 3sin 2
x
f x
x x x
=
− −
Ta có:
3sin 4 sin 6 3sin 2 2cos3 (3sin sin3 )x x x x x x− − = −
Bài 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
sin( )
( ) (
cos
x
f x
x
α
α
+
=
là số cho trước)

Bài 23. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
2 sin cos
f x
x x
=
+ −
Bài 24. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
1
( )
sin .cos
f x
x x
=
1.2 Hàm lượng giác với mẫu số là biểu thức thuần nhất của sin:
(sin )
n
dx
x
∫
Bài 1. Tìm nguyên hàm của
1
( )
sin
f x
x
=
Ta có:

2 2
sin (cos ) 1 cos 1
( ) ln
sin 2 cos 1
sin cos 1
dx xdx d x x
f x dx C
x x
x x
−
= = = = +
+
−
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2.
1 2 4
2 3 4
, ,
sin sin sin
dx dx dx
I I I
x x x
= = =
∫ ∫ ∫
1.3 Hàm lượng giác với mẫu số là biểu thức thuần nhất của cos:
(cos )
n
dx
x
∫

Bài 1. Tìm họ nguyên hàm của
1
( )
cos
f x
x
=
Ta có:
2 2
cos (sin ) 1 sin 1
( ) ln
cos 2 sin 1
cos sin 1
dx xdx d x x
f x dx C
x x
x x
−
= = = − = − +
+
−
∫ ∫ ∫ ∫
Vậy
33 7 3
( ) sin 4 cos8
64 64 512
f x dx x x x C= + + +
∫
Bài 2.
1 2 4

2 3 4
, ,
cos cos cos
dx dx dx
I I I
x x x
= = =
∫ ∫ ∫
1.4 Dạng
2 2
sin sin .cos cos
dx
a x b x x c x+ +
∫
Bài 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2 2
1
( )
3sin 8sin cos 5cos
f x
x x x x
=
− +
Ta có
2 2
1
( )
cos (3 8 5)
f x
x tg x tgx

=
− +
. Vậy
1 3 5
( ) ln
2 1
tgx
f x dx C
tgx
−
= +
−
∫
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
1 2
2 2
3 4
2 2 2 2
, ,
(3sin 5cos ) 1 (4cos2 7sin 2 )
,
3sin 4cos 2sin 5sin .cos 3cos
dx dx
I I
x x x x
dx dx
I I
x x x x x x
= =
− + −

= =
+ − −
∫ ∫
∫ ∫
1.5 Dạng
sin cos
dx
a x b x c+ +
∫
Bài 1.
2 2 2 2
3sin 4cos
6sin .cos 4 cos sin cos 6 4 4
2 2 2 2 2 2 2
dx dx dx
x x x x x x x
x x
tg tg
= =
+
   
+ − + −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
2 2
2
2 4
1 1
2 2

2
ln
2 5
3 5
3 2 2 2 1
2 2 2
2 4 4
x x
x
d tg d tg
tg
C
x x x
x
tg tg tg
tg
   
−
 ÷  ÷
   
= = − = − +
   
+ − +
− −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )

2 sin cos
f x
x x
=
+ −
Bài 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
2sin 5cos 3
f x
x x
=
+ +
1.6 Tích phân dạng liên kết:
Cần tính
1
cos
sin cos
xdx
E
a x b x
=
+
∫
, xét tích phân liên kết
1
sin
sin cos
xdx
E

a x b x
=
+
∫
Bài 1. Tính
1
sin
3cos 7sin
xdx
I
x x
=
+
∫
Bài 2. Tính
1
sin3
2cos3 5sin 3
xdx
I
x x
=
−
∫
Bài 3. Tính
4
1
4 4
sin
cos sin

xdx
I
x x
=
+
∫
Bài 4. Tính
1
3
sin
(cos sin )
xdx
I
x x
=
+
∫
2. Một số tích phân xác định cho hàm lượng giác
Bài 1. Tính
/ 2
0
cos
7 cos2
x
I dx
x
π
=
+
∫

Ta có
/ 2 / 2 1
2 2 2
0 0 0
(sin ) 1 (sin ) 1
2 2 6 2
8 2sin 4 sin 4
d x d x du
I
x x u
π π
π
= = = =
− − −
∫ ∫ ∫
Bài 2. Tính
/ 2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
Ta có:
/ 2 /2 / 2

0 0 0
sin 2 sin (2cos 1)sin 2cos 1
(cos )
1 3cos 1 3cos 1 3cos
x x x x x
I dx dx d x
x x x
π π π
+ + +
= = = − =
+ + +
∫ ∫ ∫
0
1
2 1 34
27
1 3
t
dt
t
+
= − =
+
∫
Bài 3. Tính
1 sinI xdx
π
π
−
= −

∫
Ta có:
2
sin cos sin cos 4 2
2 2 2 2
x x x x
I dx dx
π π
π π
− −
 
= − = − =
 ÷
 
∫ ∫
Bài 4. Tính
/ 2
/ 2
| sin |I x dx
π
π
−
=
∫
(Đáp số
2I =
)
Bài 5. Tính
/ 4
/ 4

| sin 2 |I x dx
π
π
3
=
∫
(đáp số
1I =
)
Bài 6. Tính
/3
2 2
/6
cot 2I tg x g x dx
π
π
= + −
∫
, Ta có:
/3
/6
3
| cot | 2ln
2
I tgx gx dx
π
π
= − = −
∫
Bài 7. Tính

0
1 cos2I xdx
π
= +
∫
(Hướng dẫn
0
2 | cos | 2 2I x dx
π
= =
∫
)
Bài 8. Tính
0
| cos | sin (I x xdx
π
=
∫
Đáp số
4
3
I =
)
Bài 9. Tính
2
0
1 sinI xdx
π
= +
∫

(Hướng dẫn
2
0
2 sin 4 2
2 4
x
I dx
π
π
 
= + =
 ÷
 
∫
)
Bài 10. Tính
/ 2
3
/ 2
cos cos cosI x x xdx
π
π
−
= −
∫
(Đáp số
4
5
I =
)

Bài 11. Tính
/ 2
0
cos
2 cos2
xdx
I
x
π
=
+
∫
(Ta có
/ 2
2
0
(sin )
3 2sin
d x
I
x
π
=
−
∫
)
Bài 12. Tính
/ 2
/ 4
cos sin

3 sin 2
x x
I dx
x
π
π
+
=
+
∫
(Ta có
/ 2
2
/ 4
(sin cos )
6
4 (sin cos )
d x x
I
x x
π
π
π
−
= =
− −
∫
)
Bài 13. Tính tích phân
2

2
0 0
sin 2 sinI x xdx t tdt
π π
= =
∫ ∫
, tích phân từn phần kết quả
2
2 8
π
−