Bài tập các nhóm môn hàm biến phức

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
a/
b/
c/
d/
e/
f/
Giải
a/

Suy ra:
b/
Ta có:
Vậy
c/
Đặt
Mà
Suy ra:
Do đó:

Lại có:
Suy ra:
d/
Trang 1


Đặt
Giả sử với a, b

Mà
Do đó:

Suy ra:

Vậy
e/
f/
Gọi (giả sử
Có

Vậy
Bài 2: Tìm:
a/
b/
c/
d/
e/
f/
Giải
a/
Ta có:
Trang 2


Với

b/
Ta có
Suy ra:
Với
c/
Ta có

Suy ra
Với

d/
Ta có
Suy ra:
Với =.
=.
=.
=.
=.
e/
Ta có
Suy ra:
Với

Trang 3


f/
Ta có:
Suy ra:
Với

Bài 3: Xác định họ đường trong mặt phẳng z cho bởi ph ương trình:

a)

b)
c)

d)

e)

1
Re = c,(−∞ < c < +∞)
z
1
Im = c,(−∞ < c < +∞)
z
Re z 2 = c
Im z 2 = c

z − z1
= λ (λ > 0)
z − z2

f) Rez + Imz<1
Giải

a/

1
Re = c,(−∞ < c < +∞ )
z
Đặt
Suy ra:
•

•

: là trục ảo

Vậy họ đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình là đ ường tròn
tâm bán kính là
Trang 4


b/

1
Im = c,(−∞ < c < +∞ )
z

Đặt
Suy ra:
•

•

: là trục thực

Vậy họ đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình là đ ường tròn
tâm bán kính là
c/

Re z 2 = c

Đặt
Suy ra:

Mà nên
•
là hai đương thẳng và
•
là đường hypebol
•
d/

Im z 2 = c

Đặt
Suy ra Im
•
•

e/

thì y = 0 vậy họ đường của Im là trục th ực
thì vậy họ đường của Im là hypebol

z − z1
= λ (λ > 0)
z − z2

(1) (xem lại nhóm 5 giải sai)
Trang 5


(1)
Đặt với

(1)

++

Do đó:
Nên: (2)
Ta có:

Từ (3) suy ra (1) là phương trình đúng với với tâm

và bán kính
f/ Rez + Imz<1
Đặt
Có
Vậy họ đường thẳng cần tìm là phần nằm dưới đường thẳng

a)
b)
c)
d)

Bài 4: Tìm tạo ảnh trên mặt cầu Riemann của các tập hợp sau:
arg z = α
Tia
Đường tròn

| z |= r

Im z > 0
Re z > 0

| z |< 1

e)
f)

Im z <0
Giải
Trang 6


a/ Tia

arg z = α
Gọi mặt phẳng phức có tọa độ
Khi đó điểm chiếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là có tọa độ là:

Mà
thỏa mãn hệ phương trình

Vậy ảnh của
b/ Đường tròn

arg z = α

là đường tròn xác định bởi hệ (1).

| z |= r

Gọi mặt phẳng phức có tọa độ
Khi đó điểm chiếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là có tọa độ là:

Mà:
Khi đó thỏa mãn hệ phương trình

Vậy ảnh của đường tròn

| z |= r

trên mặt cầu Rieman là phần xác định

bởi hệ (2).
c/

Im z > 0
Gọi mặt phẳng phức có tọa độ
Khi đó điểm chiếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là có tọa độ là:
Mà:
Khi đó thỏa mãn hệ phương trình
Trang 7


Vậy ảnh của là nửa mặt cầu Rieman với .
d/

Re z > 0
Gọi mặt phẳng phức có tọa độ
Khi đó điểm chiếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là có tọa độ là:
Mà:
Khi đó thỏa mãn hệ phương trình

Vậy ảnh của là nửa mặt cầu Rieman với .

e/

| z |< 1

Gọi mặt phẳng phức có tọa độ
Khi đó điểm chiếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là có tọa độ là:
Mà:
Khi đó thỏa mãn hệ phương trình

Vậy tạo ảnh của là mặt xác định bởi
f/ Im z <0
Gọi mặt phẳng phức có tọa độ
Khi đó điểm chiếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là có tọa độ là:

Trang 8


Mà:
Khi đó thỏa mãn hệ phương trình

Vậy ảnh của là nửa mặt cầu Rieman với .
Bài 5: Xét sự hội tụ của các chuỗi số phức sau:

a)

b)

d)

c)

e)

f)
Giải

a/

(1)
Xét chuỗi môđun:

Xét sự hội tụ của chuỗi (2):
Chuỗi (1) hội tụ.
Suy ra chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối.

b/

(1)
Xét chuỗi môđun. Ta có:
Xét sự hội tụ của chuỗi môđun. Ta có:

Trang 9


Chuỗi (2) hội tụ chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối.

c/
Ta có:
Theo điều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ.

d/

(1)
Xét chuỗi môđun.
Ta có:
Ta có:
Suy ra chuỗi (2) hội tụ
Do đó chuỗi (1) là hội tụ tuyệt đối.

e/
Ta xét dãy
Xét
Suy ra dãy đã cho là hội tụ.

f/

(1)
Xét chuỗi môđun. Ta có:
Xét
Suy ra chuỗi (2) phân kỳ.
Vậy chuỗi (1) phân kỳ.
Trang 10


Bài 6: Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

a)

b)

d)

c)

e)

f)
Giải

a/
Ta có
Vậy bán kính bằng 2.

b/

(1)
Đặt khi đó chuỗi (1) trở thành

+ Xét chuỗi ta có:
Suy ra chuỗi có bán kính hội tụ r = 1 và miền hội tụ
là bán kính hình tròn mở tâm i + 1, bán kính là .

c/
Ta có

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là . Chuỗi đã cho h ội t ụ v ới m ọi

d/

(1)

Đặt . Như vậy
Trang 11


Vậy (1) hội tụ mà , phân kỳ mà
Miền hội tụ là hình tròn tâm –i với bán kính là 1.

e/
Ta có:

Đặt

Ta có:

Chuỗi hội tụ khi

Vậy chuỗi hội tụ khi , phân kỳ khi.

Trang 12


f/
Đặt

Miền hội tụ là phần trong hình tròn tâm O bán kính r =1
Bài 7: Cho ánh xạ

. Tìm:

a/ Ảnh của đường x=c

b/ Ảnh của đường y=c
c/ Ảnh của đường x=y
d/ Ảnh của đường |z| =r.
e/ Tạo ảnh của đường u=c
f/Tạo ảnh của đường v=c
Giải
a/ Đặt
Thay x = c ta được:

•

thì

Đây là nửa mặt phẳng bên trái t
rục Ou.
•
•

ta
có

Hay
Đây là parabol có trục là Ou.
b/ Gọi
Trang 13


Ta có:

Nếu :

•

Hay ảnh của đường y = c là họ parabol
Nếu:

•

Hay ảnh của đường thẳng y = c là trục thực.
c/ Đặt
Theo đề:
Vậy ảnh của đường y = x là nửa trên của trục Ov.
d/ Đặt
Ta có
• Trường hợp r = 0 thì:
Vậy ảnh của đường qua ảnh xạ là gốc tọa độ.
• Trường hợp r 0 thì:
Ta có

Vậy ảnh của đường tròn qua ánh xạ là đường tròn tâm O bán kính là
e/ Đặt
Theo đề: u = c thì:
•
•
•

Nếu c = 0 thì , là 2 phương trình đường thẳng.
Nếu c > 0 ta có, đây là hyperbol có trục là Ox.
Nếu c < 0 ta có : đây là hypebol có trục là Oy.

f/ Đặt
Trang 14


Tạo ảnh của đường v = c. Thay v = c vào phương trình ta đ ược 2xy = c.
•

Nếu

Tạo ảnh của đường v = c là hypebol .
•

Nếu

Tạo ảnh của đường v = c là 2 đường thẳng x = 0, y = 0
Bài 8 : Cho ánh xạ

. Tìm

:
a/ Ảnh của đường x=c
b/ Ảnh của đường y=c
c/ Ảnh của đường y=x
d/ Ảnh của đường |z| =1
e/ Tạo ảnh của đường u=c
f/ Tạo ảnh của đường v = c
Giải
a/ Ta có
Nếu c = 0 thì ta có:
Nên ảnh của x = c là trục ảo trừ gốc tọa độ trên

• Nếu thì:
•

Khi đó:
Nên ảnh của đường thẳng x = c là đường tròn tâm ( bán kính tr ừ gốc
tọa độ trên
b/ Ta có
Nếu c = 0 thì ta có:
Nên ảnh của y = 0c là trục thực trừ gốc tọa độ trên .
• Nếu thì:
•

Khi đó:
Nên ảnh của đường th
Trang 15


ẳng y = c là đường tròn tâm ( bán kính trừ gốc tọa đ ộ trên
c/ Ta có
Khi đó thì
Ta có
Vậy ảnh của đường thẳng qua ánh xạ là đường thẳng .
d/ Ta có
Theo đề
Lại có:
Vậy ảnh của đường tròn là đường tròn tâm O (0;0) bán kính là 1.
e/ Ta có

•

Nếu c = 0

Nên tạo ảnh của đường u = c là trục ảo.
•

Nếu thì:

Nên tạo ảnh của đường u = c là đường y = x qua ánh xạ là đ ường th ẳng
u + x=0
f/ Ta có
Vì nên
• Nếu thì
Tạo ảnh là trục thực.
•

Nếu thì

Tạo ảnh là đường tròn tâm ( bán kính .
Bài 9: Tìm ảnh của đường qua ánh xạ
Giải
Trang 16


Đặt

Xét
Suy ra: .
Vậy ảnh của làm đường tròn
Bài 10: Tìm ảnh của đường qua ánh xạ
Giải

Đặt
Theo đề
(1)
Ta có:

Thay (*) vào (1)
Vậy ảnh của đường qua ánh xạ là đường thẳng .
Bài 11: Tìm ảnh của đường qua ánh xạ
Giải
Đặt
Khi đó

Ta có phương trình tham số:

Trang 17


Đặt
Khi đó:

Và

Mặt khác, ta có:

Vậy ảnh cần tìm là đường elip có phương trình là.
Bài 12: Tìm ảnh của đường qua ánh xạ
Giải
Đặt
Khi đó

Ta có phương trình tham số:

Đặt
Khi đó:

Trang 18


Và

Mặt khác, ta có:

Vậy ảnh cần tìm là đường elip có phương trình là.
Bài 13: Tìm ảnh của đường qua ánh xạ
Giải
Đặt
Khi đó (Nhóm chưa giải xong)
Bài 14: Tìm ảnh của đường qua ánh xạ
Giải
Đặt

Khi đó
Mà hay
Suy ra:
Vậy ảnh của đường qua ánh xạ là đường tròn tâm O(0;0) bán kính là 1.
Bài 15: Xác định giá trị của hàm sau tại để hàm liên tục t ại .
a)
b)
c)
d)

Trang 19


e)
f)
Giải
a/
Để hàm liên tục tại thì và
Chọn dãy:

Ta có:

Do đó không có giá trị nào của hàm tại để hàm liên tục.
b/
Để hàm liên tục tại thì và
Gọi,

Chọn dãy:

Suy ra :

Do đó không có giá trị nào của hàm tại để hàm liên tục.
c/
Để hàm liên tục tại thì và
Ta có
Khi thì
Trang 20

Ta đặt , thì . Nên liên tục tại .

d/
Để hàm liên tục tại thì và
Chọn dãy:

Khi đó ta có

(Cô kiểm tra lại bài này hơi vô lý chỗ chọn dãy)
Và nên hàm liên tục tại .
e/
Giải
Để hàm liên tục tại thì và
Ta có:

Xét
Chọn dãy

Chọn dãy

Vì nên
Xét
Chọn dãy

Trang 21


Chọn dãy

Vì nên

Vậy không bổ sung được giá trị nào để hàm số đã cho liên tục tại .
f/
Chọn dãy:

Thì:
;
Do đó không có giá trị nào của hàm tại để hàm liên tục.
Bài 16: Tìm các hằng số a, b để là kh ả vi.
Giải
Ta có:

Vì và là hàm liên tục trên Nên để hàm là kh ả vi thì :

Vậy thì hàm là khả vi.
Bài 17: Tìm các hằng số a, b, c để là kh ả vi.
Giải
Ta có:

Vì và là hàm liên tục trên Nên để hàm là kh ả vi thì :

Vậy với thì hàm là khả vi.
Bài 18: Chứng minh rằng hàm chỉ khả vi tại .
Giải
Trang 22


Đặt
Xét hàm
Khi đó:
Vì và là hàm liên tục trên . Nên kiểm tra các điều kiện Cauchy-Rieman

ta thấy:

Do đó hàm không khả vi tại
Xét tại ta có:

Suy ra: hàm có đạo hàm tại.
Vậy hàm chỉ khả vi tại .
Bài 19: Chứng minh rằng hàm chỉ khả vi tại
Giải
Đặt

Ta có
Vì và là hàm liên tục trên

Để hàm chỉ khả vi trên thì:

Vậy hàm chỉ khả vi tại
Bài 20: Xét tính khả vi của hàm .
Giải
Đặt

Trang 23


Vì và là hàm liên tục trên

ta có:
Không thỏa điều kiện Cauchy-Rieman
Vậy không khả vi .
Bài 21: Xét tính khả vi của hàm

Giải
Đặt

Vì và là hàm liên tục trên

Để khả vi thì phải thỏa điều kiện Cauchy-Rieman.

Vậy chỉ khả vi tại .
Bài 22: Chứng minh hàm Thỏa mãn điều kiện Cauchy-Rieman tại nh ưng
không khả vi tại đó.
Giải
Ta có:
Vì và là hàm liên tục trên

Và
Ta có:
Nên thỏa điều kiện Cauchy-Rieman tại
• Xét tính khả vi tại

Trang 24


Xét
Mà

Với ta chọn dãy

Chọn dãy

Từ và

Do đó không khả vi tại
Vậy hàm Thỏa mãn điều kiện Cauchy-Rieman tại nhưng không kh ả vi
tại đó.
Bài 23: Chứng minh rằng hàm không khả vi tại bất kì điểm nào trên .
Giải
Đặt

Vì và là hàm liên tục trên

ta có:
Không thỏa điều kiện Cauchy-Rieman
Vậy không khả vi .

Bài 24: Chứng minh hàm thỏa mãn điều kiện Cauchy-Rieman tại nh ưng
không khả vi tại đó.
Giải
Trang 25