Giáo án dạy thêm toán lớp 11

Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích)

Chương IV: GIỚI HẠN
(GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC)
A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Giới hạn hữu hạn
⇔
 un = a(un – a) = 0 lim
n → +∞
b). Giới hạn vô
cực:
∞
 un = +
lim
n → +∞
∞
⇔
 un = –(–un ) = + lim
n → +∞
( Chú ý: Thay vì nlim
viết: un = a;
→ +∞
∞ = a;
un = , ta viết tắt: un ±llim
im
n → +∞
±lim
∞
un =

2. Các giới hạn đặc
biệt:
k
∞
a). lim; lim; limn 1
=+
==00 dương)
k
( với k nguyên
nn

0;..neu.. : q < 1
lim q n = 
+ ∞;.neu.. : q > 1
b).
c). limc = c ( với c là hằng số )
3. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu limun = a và limvn = b, thì:
 lim(un + vn) = a + b
 lim(un – vn) = a – b

q <1
 lim(un.vn) = a.b
S = u1 + u 2 + ... + u n + ... =

u1
1− q

 ( nếu )
b). Nếu , và limun = a, thì .

4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và
giới hạn vô cực:
a). Nếu un = a và vn =
thì .
b). Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0 n
thì
c). Nếu limun = + và limvn = a > 0 thì
lim(un.vn) = +.
5. Cấp số nhân lùi vô hạn:
a). Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân
vô hạn có công bội q thỏa mãn .
b). Công thức tính tổng của CSNLVH:

II. Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a). lim(2n2 + 3n – 1)
b). lim(– n2 – n + 3) c). lim(3n3 – n2 + n + 5)
bu≠ 0 a Bài 2 Tìm giới hạn sau:
lim n =
ulim
n ∈ N * a). b). c). d). e). f).
v; ∀
n ≥ 0u
n = ba
g). h). i). j).
k). l). m). n).
1n32+2n+3n3n3 32−
++
−3n42n+−2521+ 1
lim

lim
lim
2
3
o).
2n3 +
n−n3 +
n 222n+
6−
nn+3+
n+31+n93− 1
lim 727
±lim
∞
2
3n − 3n + 2
Bài 3:
un
limu ∀ = 0 Tìm các giới hạn sau:
lim vn n = +∞ a). b). c). d). e).
vn
f). g). h). i). j).
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
∞
a). b). c).
lim(
lim(n32nn+++225n−− 1 n−n+n−11+))1)
lim(
2
d). e). f). g).

n − 2nn−22−++32nnn2−
−+nnn2+−n31+ 1
lim
lim
lim
lim
3
3
3
3
2
2
3
3
h). i). j).
lim(
lim( 8n27n+nn23n2−n22−++n+n2−1n1−−−+−+12nnnn1−−2n2)n)
lim
Trêng THPT Nam Giang
n2 + n − n
Trang :

5n4253nn+−2 +3n72−nn2+5+11
lim
lim
lim
lim
2 212 n + 2)
((n2752nnn22+
22n−

n32nn+−)(n+
636−2nn+
3nnn−1−131)
limlim
lim
2
3
2
2nnnn ++−23n3)(
(25
nn+n−+31−11)

n
73(.−5322nn) −
+
−23.n5736nn
lim
lim n2+1nn+nn1n+1nn n +n1n+n+n1n1+n2
(52−524(353−
75+−5.7−73.5624+ 1
..33)+3+)−
+3+
−+
lim
lim
lim
lim
n +n1 nn++
11nn++11 nn+n1 n +1 n
32(−32++

).357 +++5+57+43+.21

1


Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích)
3
k).
2n + 3n 3 − n + 1
lim
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
2
a). b).
1 1 1 1n −1 − n 1
lim(lim( + + + ...++... +
) )
c).
1.3 11.−33.15 2(ĐS
.14 − : 11(2))...(
n n−(11n−)(+212n)).
+ 1)
lim(
)(
22
322
n2
Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi
vô hạn:
a).
1 1 1 1

1
S
=
1
−
+
−
+
−
+ ...;
b).
1 16 1 32
2
4
8
S = 2 −1 +
− + ....;
c).
2 +1
12 2 1
S=
+
+ + ....;
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
2 −1 2 − 2 2
a). b). ; c).
1 − 2 + 31−(+n42++1....
)(
3 n+ +...
(23+n) n− 1) − 2n

lim
lim
lim
;
;
2
n
2
d).
1 + a + a (+n...
+2+2n)(
na+n1+ 4)
lim
, ( a < 1, b < 1);
Bài 8*: Tìm các giới hạn sau:
1 + b + b 2 + ... + bnn
n
n 4 n8
a). ; b). ; c). d).
log
2(. a 2>...02) 2 )
lim(
lim
2
.
a
;
a2
lim lim ; (;a > 0)
e). f).

 11 3n 5 n1! 2n − 1  1 
lim1lim
−  2 . 1.− ...2 ...1 −; 2 ;
 2 2 4 6 3 2n  n 

B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết:
1). Giới hạn hữu hạn:
Xem SGK
2). Giới hạn vô cực:
3). Các giới hạn đặc biệt:
):Định lí 1:
a). b). c).
lim
lim xc == xc0
xxx→
d). e). với k lim→→x±x0x0∞kc = +∞
=0
+∞
nguyên dương x →xlim
→± ∞ x
+ ∞; neu..k ...chan
lim x k = 
x → −∞
− ∞; neu..k ...le
f).
4). Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu và ,
lim
lim gf((xx))== M

L
xx→
→xx00
thì:
lim [ f ( x) + g ( x)] = L + M ;

thì:

f ( x) L
=
; ( M ≠ 0)
lim
g ( x) f ( xM) = L .
x→−
∞
+∞
( Chú ý:
Định lí 1 vẫn đúng khi hoặc )
):Định lí 2:
lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L
lim

x → x0
x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

5). Quy tắc về giới hạn vô cực:
;
lim
limgf( x( x) )==±L∞
x →x0x0
a). Quy tắc tìm x →
giới hạn của tích f(x).g(x):
lim f ( x)

x→ x0

lim g ( x)

x→ x0

lim f ( x).g ( x)

x→ x0

x → x0


lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M ;

x → x0


lim [ f ( x).g ( x)] = L.M ;

x → x0


;
b). Nếu và ,

0L
limf (Lfx(≥)x≥0) =

x → x0

Trêng THPT Nam Giang
Trang :

L>0
L<0

+∞

+∞

−∞

−∞

+∞

−∞

−∞

+∞

b). Quy tắc tìm giới

f ( x) hạn của thương :
g ( x)

2


Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích)
L
f ( x)
lim f ( x) lim g ( x)
x→ x0
x→ x0
lim
Dấu của
x→ x0 g ( x )
f(x)
L>0
±∞

Trêng THPT Nam Giang
Trang :

L<0

Tùy ý

+
0
0

–
+
–

0
−∞
+∞

3


Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích)
II. Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1 : Tính giới hạn :
a).
b).
c).
d).
e).
lim
(xxlim
(2 x+x22x+2+2x11+
) 1)
lim
(→
+

xx→
2x→1
→−1x1lim
Bài 2 : Tính các gới hạn sau :
x →1 2 x − 1
a).b). c).d). e).
x+3x
−
1−+6+26
−x3x
x22 2++
x3x
lim
x2→ ∞
lim
lim
Bài 3: Tìm các giới hạn sau ( khi ):
x →−
x →−
x→
2 212 x 4x
− 3x
− 124+ 2
2x +
a). b). ; c). ; d).
2x +
lim
(
2
x

−
51)
2x
lim
x35x
++1)
xlim
→ +∞(x −
2
22
2
x →−∞
→+∞
e). f). ; g).
2
xx
→−∞
lim (lim
lim
((−xx +3x
−−15x−x+++31x6+−+xx)x) + 1)
x → −∞ xx→
→+∞
−∞
2
h). ; i). j).
7x x2 +−x12
lim lim
(3 x(332+x 23x 2−
+−

x+
) 1);
x
→
−
∞
lim
x
→
+∞
;
2
k). l). ; m).
lim
(
1
+
x
−
x
).
x
−
1
x 3+x −x17+ x
x → −∞
x → +∞
lim
(
x

+
2
)
;
Bài 4: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên x →lim
+∞−∞
x3 + x
x→
x
+
10
phải và giới hạn bên trái của hàm số,tìm
các giới hạn sau:
a). ;b).; c). ; d) e).
lim lim+52−xx1−+12 2x
→1 −+
x →5− xlim
f). ; g). ; h). i). ; j). ;
−23x
x32 x+ 2
x4xx++−−
x →3x
lim
lim
lim
lim
2 2 + 5x − 3
k). l). ; m). ; n)
−+2x
−−

+
5
4
x →x( x
−
→
−x2−−
7x
→
x1)
→
0 2x
2 xx
−+2x+xx12
lim
lim
(x
−
2)
2
3
o). ; p). ; q). ; r).
2
3
−
x
−
+
2
+

1 −−x82 −x4
→
−−3) x (x
xxx→
→2(3lim
lim
xlim 92+x −x+2xx3)
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
lim
−x+→3− +
x→
1 0x →22 127
x→
+x13 − x
xx−x−−x−2x
a).
b).
c).
d).
3
lim− 2 x−2+ 3x2 − 322
2 lim
e).
f).
g).
−
−−−x72149
+−−x2x322+ 2x − 6
x
→

12733−
x lim
−x3→2x
+3x
x6x+6x
Bài 6: a). Cho hàm số:
lim
2

2
x
−
1
neu
x ≤ −2
x
→72 x 2 −
x →3
7x
−+18
35
x +−f2x
4x
3
Tìm ; và (nếu có).
f
(x)
(x)
f (x) =  lim
x →−

22 +−
x→
( −2)
b). Cho hàm số :
x 2 2x
− 2x++13neu
neux >
x−
≤22
f (x) =  lim ff (x)
Tìm ; ; ( nếu có ).
(x)
−
+

(

4xxx−→→232

)

neu x > 2

C. HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. Tóm tắt lý thuyết:
1). Hàm số liên tục:

Trêng THPT Nam Giang
Trang :

4


Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích)
thực.
 Cho hàm số xác yx=0 ∈f (x
K)
định trên khoảng K
và .
y =f f( x(x) )= f ( x0 )
liên tục tại x0 ⇔ lim
x → x0
y = f (x)
 liên tục
b. Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác
trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm
liên tục trên từng khoảng của tập xác định của
thuộc khoảng đó.
chúng.
 liên tục trên lim+− yf =( x)f (x
= )f (ba)
x → ab
). Định lí 2:
đoạn [a;b] nếu
Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm x0. khi
nó liên tục trên khoảng (a;b) và: ;
đó:
). Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên
a). Các hàm số ; và cũng liên tục tại x0.
một đoạn được biểu diễn thị bởi một “ đường

b). Hàm số liên tục tại điểm x0. nếu
liền nét” trên khoảng đó. y
). Định lí 3: Nếu hàm số liên tục trên đoạn
[a;b] và thì tồn tại ít nhất một sao cho .
a
x
Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
2). Các định lí:
O
b
và thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm
). Định lí 1:
trong khoảng (a;b)
a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số
II. Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm ( đoạn ) cho trước.
a) . tại điểm x = –1 b). tại điểm x
 xx22 ++11 khi
khix x≠ ≤0 1

ff(x)
=
=1
(x) =  x 1− 1 khi x > 1
c). tại điểm x = 2 d). tại điểm x
 x2x−3 3x
− 1+khi
2 x = −1
khikhix x≠ ≠1 2
  2

=1
f (x)
f (x)
= =  xx2 2−−12
e). tại điểm x = –2
f). tại
xx −+44 khi x ≤ 2
khikhi
12 2
khi
x x≠x=−=
f (x)=−1 2
điểm x = 2
f (x) =  x2x+ +
2
1
khi
x
>
2

y = gf (x) g).
4x−2 3x 2 khi
khixx≤<−02
−4
khi
x
=
−
2


tại điểm
ff(x)
(x) ==  3
khixx>≥−02
1 −x x khi
x=0
h). tại điểm x = –1
f f( (xx) ).+
−gg( (xx))
i).tại điểm x = 3
 x 2 − 5x + 6
khi x ≠ 3

Bài 2: Chứng minh rằng:
f (x) =  x − 3
g ( xf 0()x)≠ 0
5
khi x = 3

a).
Hàm
số
liên
tục
trên
đoạn
[-1;1].
g ( x)
f (x) = 1 − x 2

f (cayf ∈
).(=cf()af(=
b;(x
b)0)< 0 b). Hàm số liên tục trên nữa khoảng .
f (x)[−=1;+∞x)+ 1
c). Hàm số liên tục trên khoảng (-1;1)
1
f (x) =
[−
2
;
2
]
d). Hàm số liên tục trên nữa khoảng .
2
f (x) = 8 − 2x
1− x2
e).
Hàm
số
1
f (x)[ = ;+∞
2x) + 1
f (af ).( xf)(b=)0< 0
liên tục trên nữa khoảng .
2
f). Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0
(x + 1) 2 khi x ≤ 0
Bài 3: Tìm số thực a sao cho hàm số: f (x) =  2
khi xx< >1 0

xx 2 + 2 khi
a). liên tục trên R
f (x) =  2 2
b). liên tục trên R.
a x − 3 khi
khix x≥ ≤
02
2
f (x) = 2ax
c). liên tục trên R
 x + a khi x ≥ 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương
f (x) =(1 −x a)x khi x > 2
khi x < 0
2
trình:
2
a). có ít nhất một nghiệm trên khoảng x cos x +(0;
π) x + 1 = 0
x sin
3
b). có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn
x + x +1 = 0

Trêng THPT Nam Giang
Trang :

5

Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích)
-1.

Trêng THPT Nam Giang
Trang :

6