Giáo án ôn tập hè môn toán lớp lớp 10

Đề cơng ôn tập hè
Môn : Toán 10-năm 2010
A. Đại số
Tiết 1+2:

Bài 1: Hàm số

I.Hàm số bậc nhất:
1.Định nghĩa và các tính chất:


+Dạng : y= ax+b (a0)
+TXD: D=R
+Hàm số đồng biến nếu a > 0.
+ Hàm số nghịch biến nếu a <0.
+đồ thị là đờng thẳng đi qua hai



2.Các dạng bài tập cơ bản:

b điểm A(0;b) và B(;0).
a

Dạng 1: vẽ đồ thị hàm số:
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. y= 2x-3
Dạng2:

b. y= -x+2

c. y= -3x -2

d. y= 4x+3

Xác định hàm số biết tính chất của nó:

Bài2: Tìm a sao cho hàm số sau: y=2x - a(x-1)
a.i qua gốc toạ độ O.
b.Đi qua A(-1;2).
c. song song với đờng thẳng y= -3x-2.
Bài 3: Trong mỗi trờng hợp sau xác định a và b sao cho đờng thẳng y=ax+b
a.Cắt đờng thẳng y=2x+5 tại điểm có hoành độ bằng -2 và cắt đờng thẳng
y=-3x+4 tại điểm có tung độ bằng -2.
b.Song song với đờng thẳng y= và
đi qua giao điểm của hai đờng

11
y = xx +1
22

thẳng và y=3x+5.
Tiết 3+4:

II.Hàm số bậc hai:

1.Định nghĩa và các tính chất:
ax 2 + bx + c(a 0) +Dạng: y=
+ TXD: D=R
+Bảng Biến thiên:
+Dạng đồ thị : Đồ thị của hàm

b +bc(
ax 2 + bx
; a 0)
2a 2a 4a số y= là parabol có đỉnh là điểm
() ;có trục đối xứng là đờng thẳng x=;hớng bề lõm lên khi a>0 và xuống khi
a<0.
*Phép tịnh tiến đồ thị:Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C) ;p và q là hai số không
âm.
+Khi tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị , ta đợc đồ thị của hàm số y= f(x)+q.
+ Khi tịnh tiến (C) xuống dới q đơn vị ,ta đợc đồ thị hàm số y=f(x)-q.
+Khi tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ,ta đợc đồ thị hàm số y=f(x+p).


+Khi tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị , ta đợc đồ thị hàm số y=f(x-p).
2.Các dạng bài tập cơ bản:
Bài1: Cho hàm số: y= (C)

1 2
x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 đã cho
b. Nếu tịnh tiến (C) lên trên hai đơn vị ta đợc đồ thị hàm số nào?
c. Nếu tịnh tiến (C) xuống dới ba đơn vị ,ta đợc đồ thi hàm số nào?
d. Nếu tịnh tiến (C) sang phải một đơn vị ta đợc đồ thị hàm số nào?
e. Nếu tịnh tiến (C) sang trái bốn đơn vị ta đợc đồ thị hàm số nào?
Bài2: Cho hàm số (C)

y=

a.Vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2 2
x
3

b.Từ độ thị (C) ,bằng phép tịnh tiến hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
y=

+
2 2
x 1
3
+

+
2
y = ( x 2) 2
3
+
+

2
y = ( x 1) 2 + 2
x32 4 x + 3

Bài 3: Cho hàm số: y= (C)

y=

2
y = ( x + 3) 2

3

a.Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. Dựa vào đồ thị (C) hãy chỉ ra khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dơng
c. Dựa vào đồ thị (C) hãy chỉ ra các khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị
âm.
Bài tập tơng tự
Bài 1:Tìm hàm số y=ax+b mà đồ thị của nó đi qua hai điểm A(2;-1) và B(1;8).Hãy vẽ đồ thị đó
Bài 2: a. Tìm hàm số y=ax +b mà đồ thị của nó song song với đờng thẳng y=3x
và đi qua giao điểm của hai đờng thẳng y=-x+1 và y=2x-3
b.xác định các hệ số avà b sao cho đồ thị của hàm số y= ax+b đi qua các điểm
sau:
+A( và B(0;1)
+ M(-1;-2) và N(99;-2)

2
; 2)
3

+ P(4;2) và Q(1;1)
Bài 3:Tìm giao điểm của hai đồ thị sau:
a.y= và y= 2x+5
b. và

6 x 2 3x 1
yy == 87x x2 2+9 4x x+146

bài 4:Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
y = x 2 + 2 x 2 a.
y = x 2 + 4 x 3 b.

2 2
x +2
3


Bài 5: Xác định hàm số bậc hai y=, ax 2 4 x + c
biết rằng đồ thị của nó :
a.i qua hai điểm A(1;-2) và B(2;3)
b.Có đỉnh là I(-2;-1)
c.Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2;1)
d.Có trục đối xứng là đờng thẳng x=2 và cắt trục hoành tại điểm Q(3;0)

Tiết:5-13:

phần II : Phơng trình và hệ phơng trình

I.phơng trình dạng :ax+b=0
+ Dạng : ax+b=0 (1)
+ Cách giải và biện luận :


(1) ax=-b

b một nghiệm duy nhất: x=

a
-Nếu a=0 khi đó (1) 0x=-b
. Nếu b=0 thì phơng trình đúng với mọi xR
nghiệm

. Nếu b0 thì phơng trình (1) vô
- Nếu a 0 , thì phơng trình (1) có

1. Dạng 1 : Giải và biện luận phơng trình dạng ax+b =0
ví dụ 1: Giải và biện luận các phơng trình sau:
a. m(x+2)=3x+1
b.

m 2 ( x + 1) = 4 x + 2m

c.3(m-2)x+5=3x-2(m+1)
d .m 2 ( x 2) = 4( x m)
e.x + 3m + 2 = m 2 ( x 1)

f .(m 2 + 1) x = (3 + x)m 2 2.Dạng 2: Phơng trình quy
về dạng ax+b=0
(a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) = 0 * Dạng (1)
a x + b1 = 0(2) + Biến đổi (1)
1
a2 x + b2 = 0(3) + Giải biện luận (2) và (3)
+ kết luận.

Ví dụ2: Giải các phơng trình sau:
a.(2x-3)(3+4x)=0

b.(3x+4)(5x-2)=0

3.Dạng 3:
(ax + b) 2 = (cx + d ) 2 (1)
Ví dụ 3: giải các phơng trình

sau:

ax + b = cx + d
(1)
ax + b = (cx + d )
2
2
a.(2 x 3) = (5 2 x) ; b.(3 x + 4) 2 = (2 x + 3) 2 ; c.(4 5 x) 2 = (3 x + 1) 2

4.Dạng 4: (1)

Ví dụ 4: Giải các phơng trình sau:

ax + b = cx + d
2
y = x2
3


a. 2 x 3 = x + 3; b. x 4 = 3x 6; c. 3x + 5 = x + 1; d . 1 2 x = x + 2
5.Dạng 5:

ax + b = cx + d (1)

Ví dụ 5: Giải các phơng trình
ax + b = cx + d
(1)
sau:
ax + b = (cx + d )
a. 2 x 3 = x + 2

II.Phơng trình vô tỉ
6.Dạng 6:
(1)
Ví dụ 6: Giải các phơng trình
sau:

b. 3x + 1 = 2 x 3

f ( x) = g ( x )(1)
f ( x) 0
(1)
f ( x) = g ( x)

c. 2 x + 1 = 3 2 x

a. 2 x 1 = 3 x 2
b. 2 x 2 x + 1 = 2 x 2 + x 3
c. 3x 2 + x 4 = 3 x 2 + 2 x 2
(1)
Ví dụ 7: Giải các phơng trình
sau:

7.dạng 7:

f ( x) = g ( x)(1)

g ( x) 0

2

f ( x ) = g ( x)
4 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 1 a.
b. x 2 + 3 x 3 = 2 x 1
c. 2 x 2 3 x 1 = x + 3

các dạng bài tập tơng tự:
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a. 2(x+3)-5=3(2-x)+4

b. 3x-7=4(2x+2)-6

c.3-5x=4-(4-3x) d. 6(2-5x)

+3=4x-7
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
(5(2
(1x
x22)x5))2 22=( x(2
(3+x1)+23)
4)
=220 a.

b.

c.

Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a.(3x+1)(2x-5)=0

b.(4x+3)(5x-2)=0

c.(3-7x)(4+6x)=0 d.(1-3x)(9x+2)=0

Bài 4: Giải các phơng trình sau:
a.

b.

c.

d.

224xxx++
3312====332xxx+++x518

Bài 5: Giải các phơng trình sau:
a.

b.

c.

d.

53x2x2545x==
133xxx+ =
13 00

Bài 6: Giải các phơng trình sau:
3xx2 2+35xxx+++121===2xx+x+44 a.

d.
c.

b.

c.
c.

22xx2 33
xx +13 x==2 63xx ++31


III.Phơng trình bậc hai
1.Giải và biện luận phơng trình

ax 2 + bx + c = 0

dạng
Ví dụ: Giải và biện luận các phơng trình sau:
a.(m + 1) x 2 + (m + 3) x + 2 = 0
b.(4m + 1) x 2 4(m 1) x + m = 0

c.(m + 1) 2 x 2 2( m + 1) x + 1 + m 2 = 0 2.Các dạng phơng trình
quy về bậc hai:

a.Phơng trình trùng phơng:
ax 4 +abx2 0)
+c =0
2
x (t 0) +Cách giải: Đặt t=

+ Dạng: (
Ví dụ1: Giải các phơng trình sau:

a.x 4 5 x 2 6 = 0
b.3x 4 7 x 2 + 4 = 0

b. Phơng trình dạng: (x+a)

(x+b)(x+c)(x+d) = e trong đó a+b=c+d
* Cách giải: Đặt (x+a)(x+b) = t (*) (đk.......) Ta có phơng trình bậc hai ẩn t. giải pt
bậc hai đó tìm t . So sánh đk . thay vào (*) giải tìm x.
Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:
a.( x + 1)( x + 6)( x + 5)( x + 2) = 252; b.16( x 2 1)( x 2 + 8 x + 15) = 105
c.( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3; d .( x 2 + 3 x 4)( x 2 + x 6) = 24
( x + a ) 4 + ( x + b) 4 = c

c.Dạng :
x+

a+b
a ab b
a b * Cách Giải: Đặt .Đặt,
= t x +
a ==t +
;x+b =t
2
2 2
2
ta có pt:

(t + ) 4 + (t ) 4 = c
2t 4 + 12 2t 2 + 2 4 c = 0

Ví dụ 3: giải các phơng trình

sau:
a.( x + 3) 4 + ( x + 5) 4 = 2; b.( x 5) 4 + ( x 2) 4 = 17; c.( x 6) 4 + ( x 8) 4 = 15
ax 4 + bx3 + cx 2 bx + a = 0(*) d.Phơng trình dạng :
*Cách giải: + Xét x=0
+ , chia hai vế
của (*) cho x ,ta đợc pt:

a( x 2 +

Đặt t= ta có phơng
Ví dụ 4: Giải các phơng trình sau:

1 x 2 0 1
) + b( x ) + c = 0
x2
x
1 trình bậc hai ẩn t
(x )
x

a.x 4 + 2 x 3 6 x 2 + 2 x + 1 = 0
b.x 4 + 10 x 3 + 26 x 2 + 10 x + 1 = 0
c.x 4 4 x 3 + x 2 + 4 x + 1 = 0

e.Phơng trình a. f ( x) + b f ( x) + c = 0

dạng:

f ( x ) = t (dk :..........) + cách giải: Đặt


Ta có phơng trình:

at 2 + bt + c = 0

Ví dụ 5: Giải các phơng trình sau:
a.( x + 1)( x + 4) 3 x 2 + 5 x + 2 = 6; b.x 2 4 x 2 x 2 8 x + 12 6 = 0
c.x 2 x + 9 + x 2 x + 9 = 12; d .x 2 4 x = 3 x 2 4 x + 20 10
3
e. x 1 5 =
x 1

Bài tập tơng
tự: Phơng

trình quy về phơng trình bậc nhất và bậc hai:
1. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
f ( x) = g ( x) Dạng 1:
f ( x) = g ( x)
f ( x) = g ( x) Ví dụ :Giải các pt sau:
a. x 3 = 2 x + 5 ; b. 3x 1 = 4 2 x ; c. 3x 2 = 3x + 5 ; d . 2 x 3 = 4; e. 1 4 x = 2
f ( x) = m
f ( x) = m(m 0)
f ( x ) = m Dạng 3: (1)

Dạng 2:

f ( x) = g ( x )

Cách 1: bình phơng hai vế của pt (1), Ta đợc pt hệ quả:

Thay vào pt

(1) f 2 ( x) = g 2 ( x) x
1 ; x.....
2 .... .... x1 =; x2 = ....

(1) loại nghiệm không
thoả mãn.
A, khiA 0 Cách 2: Sử dụng định nghĩa giá
A =
A, KhiA < 0 trị tuyệt đối :


+ Nếu f(x) 0; Ta có pt f(x)=g(x)
+ nếu f(x) < 0; ta có pt -f(x)=g(x)

Cách 3:
g ( x) 0

f ( x) = g ( x) Ví dụ: Giải các phơng trình
(1)
sau:
g ( x) 0

) b.2 x + 5 = 3 x 2 ; c. 1 3 x = 2 x; d . 3 x + 1 = x 3

a. 2f x( x) 3= = gx (x5;
2.Phơng trình chứa ẩn trong dấu căn:
f ( x) f=( xm)(m0 0)(1) Dạng 1:

Đkxđ của pt:

Ví dụ: Giải các pt sau:
a. 2 x 3 = 3; b. 3 5 x = 4; c. 3x + 1 = 5; d . 2 5 x = 6; e. 1 4 x = 3
Dạng2:

f ( x) = g ( x )(1); Dkxd : f ( x) 0
Cách1:
g ( x) 0
(1)
Cách 2: Bình phơng hai vế của
f (x)f =( xg) 2=( xg)2 ( x)
pt (1), ta đợc pt hệ quả:

Ví dụ : Giải các phơng trình sau:
a. 3 x + 1 = 3 x; b. 2 x 1 = 2 x; c. 3 2 x = x 2; d . x + 1 = x 1; e. 1 2 x 2 = x 1
f . 3 x = 3 x 5; g . x + 5 = 2 x + 7; h. x 2 = x 4
k . x 4 = 4 x; l. x 2 2 x + 2 = x 1; m. 4 x 2 x + 4 = 3x + 2

(1) f ( x) = m 2


Dạng 3:
f ( x) 0
f ( x) = g ( x )
f ( x) = g ( x) Ví dụ: Giải các pt sau:

a. 2 x 3 = 1 4 x ; b. 3x 4 = x + 1; c. x 2 4 x 3 = 2 x + 4; d . x 2 + 2 x = 2 x + 4

IV.Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn:
a1 x + b1 y = c1 *.Dạng:

a2 x + b2 y = c2 **. Cách giải: Có thể dùng pp thế
hoặc cộng đại số hoặc dùng
định thức(quy tắc crame):
+Tính :
+ Biện luận:-

D=

a1 b1
a2 b2

c1 b1

a1 c1
=
c
b

c
b
;
D
=
= a1c2 a2c1
1

2
2
1
y
c2b2 Dx
a2 c2
x = D

có nghịêm duy nhất
y = Dy

D
-Nếu D=0 vàhoặc thì hệ Dyx 0

= a 1b2 a2b1 ; Dx =

Nếu D0,hệ

vô nghiệm
aD1 xx += bD
01
1y
y =c

-Nếu D= hệ có vô số

nghiệm thoả mãn pt:
1.Dạng toán 1: Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng quy tắc crame:
2 x + 3 y = 5 5 x 6 y = 4 2 x 5 y = 7 Ví dụ 1:Giải các hệ pha.
b.

c.
3 x 4 y = 1 3x + y = 7 4 x + 3 y = 1 ơng trình sau:
2. Giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Ví dụ 2: Giải và biện luận các hệ phơng trình sau:
mx + y = m + 1 mx + 4 y = m + 2 x my = 0
a.
b.
c.
x + my = 2
x + my = m
mx y = m + 1

Ví dụ 3 :

Cho hệ phơng trình:
a.tìm m để hệ có nghiệm

mx + 4 y = m + 2

x + my = m

b.Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên
x 2 y = 4 m Ví dụ 4: Cho hệ phơng trình:

2 x + y = 3m + 3 a.Tìm m để hệ có nghiệm duy

nhất

b.Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm (x;y) của hệ không phụ thuộc vào m
c.Với giá trị nào của m thì hệ có

x 2 + y 2 nghiệm (x;y) thoả mãn:đạt giá trị bé

nhất.
bài tập tơng tự
Bài1: Giải và biện luận các hệ phơng trình sau:
mx + (m 2) y = 2
(m 1) x y = 2m 2 a
; b.

2mx + 3(m 1) y = 3 x + (m 1) y = m


mx + y = 2m Bài 2:Cho hệ :

x + my = m + 1 a.Giải và biện luận hệ phơng

trình trên theo m.

b.Khi hệ có nghiệm ( tìm hệ thức liên xx00;,yy00) hệ giữa không phụ thuộc m
c.Khi hệ có nghiệm duy nhất (tìm giá xx0 0; ,yy0 0), trị nguyên của m sao cho là những số
nguyên
mx + y = 3 Bài 3: Tìm m để hệ pt sau có vô

4 x + my = 6 số nghiệm
Bài 4: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm (x;y) nguyên
a.
mx + 2 y = m + 1
mx + y = 3m
; b.

2 x + my = 2m 1 x + my = 2m + 1 Bài 5: Cho hệ pt:
a.
(m + 1) x + my = 2m 1
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mx y = m2 2
mà tích x.y đạt giá trị lớn
nhất.
V.Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn
1.Hệ gồm 1pt bậc nhất và 1 pt bậc hai:
+ Dạng :

ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey = f (1)
+Cách giải: rút 1ẩn từ pt (2) a1 x + b1 y = c1 (2)
thế vào pt (1)
Ví dụ 1: giải hệ pt sau:
9 x 2 + 4 y 2 = 36
a.
2 x + y = 5

Ví dụ 2: Giải và biện luận các hệ

pt sau theo m:
Ví dụ 3: tìm a để hệ pt

x 2 + 4 y 2 = 8 9 x 2 16 y 2 = 144
a.
b.
x + 2 y = m x y = m

sau có nghiệm duy nhất;

x2 + y2 = 1

x y = a

2.Hệ pt đối xứng loại I:

+ ĐN : Hệ hai pt chứa ẩn x,y gọi là đối xứng loại 1 nếu mỗi pt của hệ không thay
đổi nếu ta hoán vị xvà y.

này tìm SvàP.
Với mỗi cặp (S;P),(, x;y la là

Sx2+y4=P )S + Cách Giải: Đặt : , ( biến đổi hệ

đã cho về hệ hai ẩn S và P.Giải hệ
xy = P
X 2 S 2SX
4+PP) = 0

nghiệm của pt :
Lu ý : nếu hệ có nghiệm (x;y) thì cũng có nghiệm (y;x)
Ví dụ 1 : Giải các hệ pt sau:


1

x 2 y + xy 2 = 2
x
+
y

+
xy
=

x + y = 4
x + xy + y = 11

2
a. 2
; b. 2
; c. x y 5
; d.
2
2
+
+
=
0
5
x + xy + y = 13 x y + xy = 30 y x 2
xy ( x + y ) =


2
Ví dụ 2 :Cho hệ pt:

x2 + y2 = m

x + y = 6

a.Giải hệ khi m=26
b.Tìm m để hệ vô nghiệm

c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
d.Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ : tìm m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất :
x + y + xy = m xy + x + y = m + 2
a. 2
; b. 2
2
2
Hd: -Điều kiện cần: Nếu
x + y = m
x y + xy = m + 1
hệ có nghiệm (a;b) thì cũng có nghiệm(b;a),thay vào hệ ,suy ra m
-Điều kiên đủ: thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hệ và thử lại và kết luận.
Ví dụ 3: giải các hệ pt sau:
2 x 2 + 2 y 2 + 3 xy + 4 x + 4 y = 15
a. 2
(ds : (3; 5), (5;3))
2
x + xy + y = 19
3 x 2 + 3 y 2 3 xy + 2 x + 2 y + 1 = 0
1 2
2 1

b. 2 1
ds : ( ; ), ( ; )
2
3 3

3 3
2 x xy + 2 y x y 2 = 0

2
x 2 + y 2 + xy x + y + 15 = 0
c.
ds : vn(t = x)
2 x xy 2 y 3 = 0
3 x 2 + 3 y 2 5 xy x + y `1 = 0
1 + 37 1 + 37 1 37 1 37
d.
ds : (
;
), (
;
)(t = x)
6
6
6
6
3 x 3 y + xy 2 = 0

3. Hệ đối xứng loại II
+ĐN: Hệ hai pt ẩn x,y đợc gọi là đối xứng loại II nếu hoán vị x,y thì pt này biến
thành pt kia của hệ.
+Cách giải: Trừ vế với vế của hai pt của hệ ,ta đợc pt có dạng(x-y)g(x,y)=0
Từ đó ta có hai hệ pt.
Ví dụ 1 : Giải các hệ pt sau;
Ví dụ 2: Cho
hệ :

a.Giải hệ khi

y

x 3y = 4

x
x = y y x = 13x + 4 y 22 x 3 x = y 2
a.
; b. 2
; d.
x =; yc. y 2+ m
2
2
4 x 22 y 3 y = x 2 y 3x = 4 x
y = x x y = 13 y +
y = x x + m
y

2

2

2

2

m=0
b.Tìm m để hệ có nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.(hệ có nghiệm (a;b)thì cũng có nghiệm (b;a)

suy ra a=b)suy m=1
Ví dụ 3 ; Cho hệ :

x 2 + y = axy
2
y + x = axy


Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.ĐS: a=1

Cho hệ:
a.Giải hệ khi m=1

2
2
2
Ví dụ 4: Cho hệ
x = 3x + 2 y x 2 y = 2 x + y x + 1 + y 7 = 4
; b. 2
; c.
2
Giải các hệ pt trên
2
y = 3 y + 2 x y 2 x = 2 y + x y + 1 + x 7 = 4
Ví dụ 5:
4 x 2 = 5 x + 3my
2
4 y = 5 y + 3mx

b.tìm m để hệ có hai nghiệm.

Bài 4: bất phơng trình
ax+b (a0)
I.Dấu của nhị thức bậc nhất : y=
1. Bảng xét dấu:
+ a> 0:
x
f(x)
+ a< 0:

b +

a0

-

+

b +

a 0

x
f(x)
+
2. ứng dụng:

-

* Xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất :
ví dụ 1: xét dấu các nhị thức sau:

a. f(x)= 2x-5

b.f(x)= -5x-6

c.f(x)= -4x+1

d.f(x) = 2x+3

ví dụ 2:xét dấu các biểu thức sau:
a. f(x)= (2x-3)(3x+5)
b.f(x)= (2-5x)(3x-1)(x+2)

(2 x + 3)(3x 7)
2 5x
c.

f(x)=
d.f(x) = (

e.

g.f(x) = h.

* Giải các bất phơng trình

(22x 5)(1
13+x 3+x5)3
f ( xxf)(=x) 4)(2
= 3x2)
x +

x 291 x2 x 3

ví dụ 3: Giải các bất phơng trình sau:
a.

1
2
3
3
> 2; b.
4; c.
< 1; d .
2; e.(2 x 3)(4 x) 0; f .( x + 3)(3x + 5) > 0
2x 1
3x + 1
2 x + 3
4 x + 1

ví dụ 4: Giải các bất phơng trình sau:
a. 2 x 3 + x 2 2 x + 5; b. 3 x + 2 + x 1 < 0; c. 2 x + 5 + 3 x 1 0
ví dụ 5: Giải các bất phơng trình sau:
3x 22x 4
2x34;2>
d3x. 34>

b.

c.

d.

4 x + 3 < 5 x 3 ; f 1 3 x 4 x + 2 ; g. 2 3 x 3 x + 1

e.
ví dụ 6: Giải các bất phơng trình sau:

a 2 x 3 3x + 1 0; b. 2 4 x 2 x + 5; c. 4 x 1 + 3 x + 5 > 2; d . 3 4 x 3x + 1 < 0
ví dụ 7: Giải các bất phơng trình sau:


a.

1
2
3
1
2
1
1
2
<
; b.
>
c.

; d.

x 2 x + 1 2 x 1 3x + 2 4 x 3 3 x + 5
x 3 x +1

II.Dấu của tam thức bậc hai:
1.đồ thị hàm số y=(a0) và dấu của ax 2 +bx + c
f(x)
2. ứng dụng :
!. xét dấu tam thức bậc hai:
a.f(x)=

b. f(x)=

c.f(x)=

2xx22+

+3653xx+
+2974

d.f(x)=
!!.giải bất phơng trình bậc hai:
ví dụ1 : giải các bất phơng trình sau:
2
2+
x 12
+ 37x2 x269>0 0 a.
x
2
2
f. 2x +35x +13

>10

2
xx22 + 34xx++ 23

b.

2

d.

e.

c.-

!!!. xét dấu các biểu thức
ví dụ 2: xét dấu các biểu thức sau:
( x 2x2 8x9)(3
+ 15)(
x 2 x24x3+x1) 4) a.f(x)=
b.f(x)=(
2x 3
x 2 + 4 x + 3 c.
;
d
.
f
(
x
)
=
x2 5x + 6

2x + 1
Ví dụ 3: Giải các hệ bất phơng trình sau:
f ( x) =

2 222
36xxx+x++12
+2818
<0>
00
2xxx 713
2222
+55x7xx++
+6375<000
3
2x2xxx20

a.

b.

c.

d.

*Dạng toán 1: Tìm giá tri của

tham số để tam thức bậc hai giữ nguyên dấu.
pp: Cho tam thức bậc hai f(x) =(a0) ax 2 +bx + c
+ f(x) => 0 với mọi x
+ f(x) = 0 với mọi x

ax 2 +
bx<+0c

a > 0 + f(x) =< 0 với mọi x
ax 2 +
bx+0c

a > 0 + f(x) = 0 với mọi x

<
ax 2 +bx
+ 0c

a < 0

ax 2 +bx
+ 0c

a < 0

Ví dụ 4: tìm m ,để các bất phơng trình sau vô nghiệm:
2
2
(1 (24m
m)+x3)
+x20
3(+m62+
mx2)
+x4>m0 0 a. (vn)

163
m
7

b. ()


Ví dụ 5: Tìm m ,để các bất phơng trình sau đúng với mọi x:
(m + 1)
x2 +
(2
2(m 1) x + 3m
< 0 3 0 a.

b.

Ví dụ 6: Tìm m để các pt sau có nghiệm:
(m + 4) x 2 + 2( m 2) x + 2m + 1 = 0; b.(2m 1) x 2 + (3m + 1) x + m 1 = 0
c.(m 2 + 5) x 2 (m + 4) x + 2 = 0
Ví dụ 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn dơng :
2
(2xm
+a(1)
.m
x x2 2+
2)
4(xxm+32m
3)
mx+15

b.

c.

Ví dụ 8: Tìm tập xác đinh của các hàm số sau :
a. f ( x) =

2x 1
; b. f ( x ) =
x2 4

x2 5x + 4
; c. f ( x) =
3x 2

1
2
+
x 1 x + 3

Bài tập tơng tự:
Bài 1:
m + 1) x 2 2mx + 4(m + 1) Cho tam thức bậc hai: f(x)=(
a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x


b. tìm m để f(x) 0 với mọi x

c.tìm m để bất phơng trình f(x) >0 vô nghiệm
d.Tìm m đẻ bất phơng trình f(x) < 0 vô nghiệm

Bài 2:Tìm m sao cho với mọi x,ta có:
a.

b.

mx
5 x22 10
x +x m
5><00
m +mx
2)2x2 2((3
mm1)1)x x++4m
10 0 c.

d.(

mx 2 2(m 1) x + m 3 = 0 Bài 3:Tìm các giá trị của m
sao cho phơng trình:
a.Có hai nghiệm ttrái dấu.
b.Có hai nghiệm dơng.
c. Có hai nghiệm âm.
x 4 + (1 2m) x 2 + a 2 1 = 0 Bài 4: Tìm m sao cho phơng
trình:
a. Vô nghiệm;

b.có đúng 1 nghiệm

d. Có đúng 3 nghiệm

c. Có đúng hai nghiệm

e. Có đúng 4 nghiệm
2

2mx + 4(m + 1) Bài 5 : Cho tam thức f(x)= (m+1)x

a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x.
b. Tìm m để f(x) 0 với mọi x.
c.Tìm m để bất pt f(x)>0 vô nghiệm
d.Tìm m để bất pt f(x) < 0 vô nghiệm.




Bài 6: Tìm m để các biểu thức sau luôn dơng :
2
x 2 a.x(m
+42)
x+
x +m8m5+ 1

b.
c.

(3m +c1)
.xx2 2+4(3
xm
+ (+m1)x1)+2m + 4
d.
Bài 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:

(m 4)
(mx+2 +2)(xm2 + 1)
5 xx + 42m 1 a.

b.

Bài 8: giải các bất phơng trình sau:
xa2x. 22 xx 3+x12+< 8x +35
> 1
xx22x+41x + 1 xx+12
Dạng toán 2: Giải bất phơng trình chứa căn thức
1. (1)
Bài tập 1: Giải các bất phơng
trình sau:
PhầnIII: Tiết14-23 :

b.

c.

f ( xf )( x<) g(0x )

(1) g ( x ) 0
f ( x) g 2 ( x)


Góc lợng giác và công thức lợng giác

I.Kiến thức cơ bản:
1.các công thức lợng giác cơ bản:

1

, + k , k Z
2
cos
2
2.Giá trị lợng
1

giác của các c.1 + cot 2 =
, k , k Z ; d .tan .cot = 1, k , k Z
2
sin
2
cung đối
a.sin 2 + cos 2 = 1; b.1 + tan 2 =

nhau:
a.cos( ) = cos ; b.sin( ) = sin ; c.tan( ) = tan ; d .cot( ) = cot
3. Gia trị lợng giác của hai cung bù nhau:
a.sin( ) = sin ; b.cos( ) = cos ; c.tan( ) = tan ; d .cot( ) = cot
4. Giá trị lợng giác của các cung hơn kém :
a.sin( + ) = sin ; b.cos( + ) = cos ; c.tan( + ) = tan ; d .cot( + ) = cot
5.Gia trị lợng giác của các cung phụ nhau:





a.sin( ) = cos ; b.cos( ) = sin ; c.tan( ) = cot ; d .cot( ) = tan

2
2
2
2

kém :
2




a.sin( + ) = cos ; b.cos( + ) = sin ; c.tan( + ) = cot ; d .cot( + ) = tan
2
2
2
2

6.Giá trị lợng giác của các cung hơn


7.C«ng thøc céng:
a. cos(a-b)= cosacosb+ sinasinb
c.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

b.cos(a+b)= cosacosb- sinasinb
d.sin(a+b)= sinacosb+ cosasinb

tan a −tan
tanab+ tan b
tan(a + b) =

− tan
b tan b cot a cot b + 1
cot a cot1b+−tan
1 1tan
g.cot(a + b) =
; h.cot(a − b) =
cot a + cot b
cot a − cot b

e.tan(a-b)=

f.

8.C«ng thøc gãc nh©n ®«i:
cos 2 a − sin 2 a
a.cos 2a = 2 cos 2 a − 1
1 − 2sin 2 a

(sin a + cos a) 2 − 1
2 tan a
cot 2 a − 1
; b.sin 2a = 2sin a cos a
; c.tan 2a =
;
d
.cot
2
a
=
1 − tan 2 a

2 cot a
2
1 − (sin a − cos a)

1 − tan 2 a
2 tan a Ta còng cã : a.
cos 2a =
;
b
.sin
2
a
=
1 + tan 2 a
1 + tan 2 a
9.C«ng thøc biÓu diÔn theo t=tan
a
2t
1− t2 2
2t
1− t2
a.sin a =
;
b
.cos
a
=
;
c
.tan

a
=
;
d
.cot
a
=
1+ t2
1+ t2
1− t2
2t
10. C«ng thøc nh©n ba:
a.sin 3a = 3sin a − 4 sin 3 a; b.cos 3a = 4 cos3 a − 3cos a
11.C«ng thøc
h¹ bËc :
12.C«ng
thøc
biÕn

c.tan 3a =

tan a(3 − tan 2 a)
π
cot 3 a − 3cot a
(
a
,3
a
≠
+

k
π
);
d
.cot
3
a
=
1 − 3 tan 2 a
2
3cot 2 a − 1

1 + cos 2a
1 − cos 2a
1
; b.sin 2 a =
; c.sin a cos a = sin 2a
2
2
2
1 − cos 2a
− sin 3a + 3sin a
cos 3a + 3cos a
d .tan 2 a =
; e.sin 3 a =
; f .cos3 a =
1 + cos 2a
4
4
a.cos 2 a =

®æi tÝch thµnh tæng:
1
1
[ cos(a − b) + cos(a + b) ] ; b.sin a sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b) ]
2
2
*§Æc
1
1
biÖt: c.sin a cos b = [ sin(a − b) + sin(a + b) ] ; d .cos a sin b = [sin(a + b) − sin( a − b)]
π2
π
π2
π
a.4 cos x cos( − x ) cos( + x) = cos 3 x; b.4 cos x.cos( − x) cos( + x) = cos 3 x
3
3
3
3
13.C«ng
π
π
thøc
c.4 tan x.tan( − x ).tan( + x) = tan 3x
3
3
biÕn
a.cos a cos b =

®æi tæng thµnh tÝch :
a+b
a −b
a+b
a −b
a.cos a + cos b = 2 cos
cos
; b.cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
2
2
sin(a ± b)
π2
cos(sin(
a +ab)+ b)
sin(b − a)
e.tan a ± tan b = h.tan a + cot
(aa, b=≠ + akπ;+k);;
.cot
f
.cot
a
−
tan
a
+
b
cot

=
b
=
;
l
.cot
(
a
,
a
b
−
≠
tan
k
π
a
);
=
g
.cot
2
cot
a
b
a −b
a+b
a − b 2−acot b =
cos
a cos

sin
2 2a
sina asin
a sin
b =b2 cos
sin a sin b
c.sin
a +bsin b = 2sin
cos
; d .sin
−cos
sin
sin
2
2
2
2
§Æc biÖt :( y=

y = A sin x +AB2 cos
+ B x2 cos(
= A
a 2−+βB))2 sin( x + ϕ )


Trong đó: (

2
A2

=
2 ) B
cos =A + B 0;0
;sin
2
2

A +B
A2 + B 2
*sin x + cos x = 2 sin( x + ) = 2cos( x )
4
4


*sin x cos x = 2 sin( x ) = 2 cos(*cos
x + a ) sin a = 2 sin( a) = 2 cos( + a)
4
4
4
4

14.bảng giá trị lợng giác của các cung đặc biệt


2

a
hslg

-

3
-

900
-

600

-

sina
-1


4



-


4


3


2

2
3

3
4

5
6



900

1200

1350

1500

1800

1

3
2

2
2

1
2

0

00

300

300

450

600

3
2

2
2

1
2

0

1
2

2

2

3
2

1

3
2

2
2

1
2

0

1
3

2
2

tana
kx


6

-

1
2

0

0

450

cosa


6

3

-1

3
2


1
3

1

3

đ
cota
0



0

kx

1
2

3



2
2

-1



3
2

-1

1
3

0

đ


1
3

3
-1

kx

3

1

1
3

0



1

3

-1

3

đ

kx
đ

Ví dụ 1: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích để
tính :
1
4 Sin700 ( DS = 2)
0
sin10
b.cos140 + cos1340 + cos1060 ( DS = 0)
a.sin 200 + 2sin 400 sin100 0 = sin 400
a.

Ví dụ 2: CMR:

sin(450 + a) cos(450 + a)
b.
= tan a
sin(450 + a) + cos(450 + a)
c.sin 2000 sin 3100 _ cos 3400 cos 500 =
sin(a+b)

Ví dụ 3: biến đổi thành
3 tích:
2 a.A=sina+sinb+

b.B= cosa+cosb+cos(a+b)+1

c.C=1+sina+sinb

d.D=sin3a=sin3a+sin 5a+sin7a

II. Các dạng bài tập cơ bản:
1.sử dụng các công thức lợng giác cơ bản :
cung biết :
Bài 1 : Tính các giá trị lợng giác của


2
3

3
b.cos = , < <
; c.tan a.sin
=< 3,<= < < ; d .cot = 2, 0 < < 2
3
2
24
Bài 2: CMR:
k
sin 2

,k Z :
= cos cos3 ; b.sin 4 a = cos 4 a 2 cos 2 a + 1
2
tan + cot
a.với
và b.

c.tan 2 a.sin 2 a = tan 2 a sin 2 a; d . sin 4 a + 4 cos 2 a + cos 4 a + 4sin 2 a = 3
Bài 3: Cho cosa - sin a = 0,2. Tính cos3 a sin 3 a
giá trị của biểu thức A = ( A=0,296)
Bài 4:cho sina+
cosa=.Tính gia

a. A = sin a cos a; b.B = sin 3 a4 + cos3 a; c.C = sin a cos a
3

trị các biểu thức sau :


Bài 5:CMR:

2. Sử dụng hệ thức về giá trị lợng giác của các cung có liên quan đặc biệt :
Bài 1 : CMR:
3
3
a) = cos a; b.cos( a) = sin a
2
2
0
3

tan1200 + cot1350 + sin 3150 2 cos
2 +2102
sin( a) cot( + a)

2
2
c.
.
= sin a
Bài 2 : Tính giá trị của
2
tan( + a) tan(a 3 )
biểu thức : A=
2
a.sin(

( A=)
Bài 3: Rút gọn biểu thức
sau: B=
3. sử dụng công thức cộng :
A=
Tính : Biết :


5
1 + sin( a) + cos( + a)
4
4
( B = 1)

2
2
sin ( a) + sin ( + a)
4
4
Bài 1 : CMR :
sin(a b) sin(b c)
sin(c a )
+
+
=0
cos a.cos b cos b.cos c cos c.c os a
Bài 2 :
4
2
sin(2asin
a );cos(2
= ; a< +a < )
6 5 2
3

Bài 3: a.Biết sin a= và . tính tan(a+
3
< a)<
2 35
4
8
sin a = (00 < a < 900 ),sin b = (900 < b < 1800 )

b.Biết :. Tính: cos(a+b) và sin(a-b)
5
17
c. cho hai góc nhọn a và b với
1
1
; tan b =
2
3 tana=.Tính a+b
d.Biết tan(a+.Tính tana

) = m, m 1
4
4. Sử dụng các công thức nhân
đôi và công thức hạ bậc :
Bài 1 : CMR:
1
3
3
5
a.cos 4 a + sin 4 a = cos 4a + ; b.cos 6 a + sin 6 a = cos 4a +
4
4
8
8
Bài 2 : Tính :



a. A = sin .cos .cos ; b.B = sin10 0 sin 50 0 sin 70 0

16
16
8


Bài 3: CMR: sinxcosxcos2xcos4x=
áp dụng tính giá trị của :

1
cos8 x
8

a. A = sin 60 sin 42 0 sin 660 sin 780 ; b.B = cos


3
5
cos
cos
7
7
7

Bài 4: CMR:
a.cot a + tan a =

2
sin 2a
1 cos 2a
; b.cot a tan a = 2 cot 2a; c.

= tan a; d .
= tan 2 a
sin 2a
1 + cos 2a
1 + cos 2a

Bài 5: tính:
a. A = sin

11
5


5
7
11
11

cos
( A = sin 2 ); b.B = sin sin
sin
sin
(sin
= cos ....)
12
12
12
24
24
24

24
24
24
1
c.C = cos100 cos 50 0 cos 700 ; d .D = cos 20 0 cos 400 cos80 0 ( D = )
8

Bài 6: Rút gọn :
Bài 7: Chừng minh các

a.

tan 2a
; b. 1 + sin a 1 sin a
tan 4a tan 2a

biểu thức sau không phụ thuộc vào a:
a. A = 2(sin 6 a + coa 6 a ) 3(sin 4 a + cos 4 a )
b.B = 4(sin 4 a + cos 4 a ) cos 4a

c.C = 8(cos8 a sin 8 a) cos 6a 7 cos 2a 5. Sử dụng công thức
biến đổi tích thành

tổng :
Bài 1: cho A =cos(a+b) sin(a-b)+cos(b+c) sin(b-c)+ cos(c+d) sin(c-d)
+cos(d+a)sin(d-a).
CMR : A= 0
Bài 2: CMR:

sin 200.sin 40 0 sin 80 0 =

6. Sử dụng công thức biến

3
8

đổi tổng thành tích :
Bài 1; Cho tam giác ABC . CMR:
a.sin A + sin B + sin C = 4 cos

sin
cosB+cosC=1+ 4

A
B
C
cos cos ; b.cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 2 cos A cos B cos C
2
2
2

c.cosA+
A
B
C
sin sin ; d .sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C
2
2
2

Bài 2: Cho tam giác ABC .CMR:
a.tan

A
B
B
C
C
A
sin 2 A(sin 2 B + sin 2C )
tan + tan tan + tan tan = 1; b.sin 3 A cos( B C ) =
2
2
2
2
2
2
2


5
7
cos + cos
+ cos
=0
Bài 4: Tính A= nhân hai vế
29
49
169
cos

+sin
cos )( A+=cos
) ( HD :
7
7 7
27
với
Bài 3: CMR:


ôn tập hè : Môn hình học
Bài 1: Tiết:1

Véc tơ

I.Véc tơ và các phép toán trên véc tơ:
uuur uuur uuur
AB + BC = AC 1. phép cộng véc tơ:
uuur uuu
r uuu
r
OB OA = AB 2. Hiệu của hai véc tơ:
3. Tích véc tơ véctơ một số:

rr rrr r r
ba(ba=a,bkb
0) chỉ khi : có một số k sao cho:
uuur
uuur
+ Ba điểm A,B ,C thẳng hàng khi và AB = k AC

chỉ khi có số k khác 0 để :
+Cho và khi đó cùng phơng khi và

4.trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
uuur uuur
uuu
r
+ Nếu I là trung điểm của AB thì MA + MB = 2MI
với mọi M,ta có:
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
+ Nếu G là trọng tâm tam giác MA + MB + MC = 3MG
ABC thì với mọi điểm M, ta có:
II. Hệ trục toạ độ:
1.Hệ trục toạ độ và toạ độ của véc tơ:
a. Hệ trục toạ độ:
b.toạ độ của véc tơ: Trong

ur
ur ur r r
U = ( x; y )
U U = xi + y j

mặt phẳng Oxy,cho
véctơ ,khi đó ta nói:
Lu ý: cho thì:
c.Toạ độ của một điểm: Trong
mặt phẳng toạ độ Oxy, cho

ur
ur
ur ( x;ury );V ( x , ;=yx, ),
U
uuu
r r r
U =uV
OM = xiy+=yyj,

điểm M. ta nói M (x;y) hay M=(x;y)
d. Lien hệ giữa toạ độ của véc tơ và toạ độ của điểm trong mặt phẳng;
uuur
ABx=A ;(yxAB);Bx(Ax; By;ByB )y A ) Cho A(.Ta có:
2.Toạ độ của các véc tơ

r r r r r
u + v; u v; ku

3.Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng , toạ độ trọng tâm của tam giác :
x A + xB + Gọi M là trungđiểm của

x
=
M

thẳng AB, ta có:
2

y = y A + yB +Gọi G là trọng tâm tam

M
2
giác ABC, Ta có:
III.các dạng bài tập áp dụng:
1.Tìm toạ độ của điểm

đoạn
x A + xB + xC

xG =
3

y = y A + y B + yC
G
3


Ví dụ1: cho tam giác ABC. b Biết các trung điểm của BC, CA, AB lần lợt là M(1;2);N(1;1) và P( 3:4)
Ví dụ 2:cho hình bình hành ABCD .Biết A(3;2) , B(-11;0) C(5;4). tìm toạ độ
điểm D
Ví dụ 3: cho ba điểm A(1;4) B(-2;2) và C(4;0)
a. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
uuuu
r
b.Tính toạ độ của véctơ với M là trung AM điểm của BC
c.Tính toạ độ của trọng tâm G của tam giác ABC
Ví dụ 4: cho véctơ

r
r

a = (2m + 1;3m 2); b = (2;1)

a.tìm m để hai véctơ trên
cùng phơng

r
b.Tìm toạ độ của véctơ có độ dài bằng b 1 vàcùng phơng với

Ví dụ 5: cho hai điểm A(-2;1) và B(-4;5)
a.Tìm điểm M trên trục Ox sao cho A,B,M thẳng hàng
b.Tìm N trên trục Ox sao cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO;
c.Tìm giao điểm I của hai đờng chéo của hình thang.
Bài tập tơng tự:
Bài 1: Cho tam giác ABC, biết A(2;-2) ,B(10;-6), C nằm trên Oy, trọng tâm G nằm
trên trục Ox.Tìm toạ độ của C và G
Bài 2 :a. Cho A(-1;8), B(1;6) và C(3;4) CMR A,B,C thẳng hàng
b. Cho A(1;1) , B(3;2) và C (m+4;2m+1) . tìm m để A,B ,C thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC .Các điểm M(1;1) N(2;3) ,P(0;-4) lần lợt là trung điểm của
các cạnh BC , CA;AB. Tính toạ đọ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ ,cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) ,C(9;-5)
a.CMR A,B ,C thẳng hàng
b.Tìm toạ độ điểm D sao cho a là trung điểm của BD
c.Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho A ,B ,E thẳng hàng.
Bài 5: TRong mặt phẳng cho các điểm A(1;2) ,B(4;0) C(m;m-2)
a.Tìm m để C nằm trên trục hoành , trục tung
b.Tìm toạ độ điểm D để tứ giác OADB là hình bình hành
c.Tìm m để tứ giác OACB là hình thang.


Bài 6 : Trong mặt phẳng toạ độ , cho ba điểm A(-1;3) ; B(4;2) ; C(3;5)

a. CMR : A, B ,C không thẳng hàng

uuur
uuur
AD = 3BC
c.Tìm toạ độ điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho

Bài 2: tích vô hớng của hai véctơ và ứng dụng
I Kiến thức cơ bản:

Cho vectơ , khi đó ta có:
3.Độ dài véctơ ,góc giữa hai
vectơ;

rr r r
r r
a.b = a . b .cos( a; b) 1.Định nghĩa:
2. Công thức về toạ độ :
rr
r
a (.bx1=; yx11);.xb2 (+x2y;1y. y2 2)

r
r
a ( x1 ; y1 ); b( x2 ; y2 )
r
a. a = x12 + y12
rr
r r

a.b
x1 x2 + y1 y2
r a;rb) = rr r r =
cos(
2
a b aa.b. =
b 0 xx11 x+2 y+12 y. 1 yx222 =+ 0y22
uuu
r
uuu
r
A( x A ; y A ); B ( xB ; yB ) AB ( xB x A ; y B y A ) AB = ( xB x A ) 2 + ( y B y A ) 2 d.cho
II. Các

Cho hai vectơ;,khi đó ta có:
b.
c.

dạng bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho tam giác ABC,với A(10;5);B(-1;-1);C(6;0).CMR tam giác ABC vuông tại B
Bài 2:Trong mặt phẳng toạ độ , cho
a.CMR;tam giác ABC vuông tại A.

3 tam giác ABC,có A(4;6),B(1;4),C(7:.
)
2

b.Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
r r
Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ trong a, b các trờng hợp sau:

r
r
a.a(1; 2); b( 1; 3)
r
r
Bài 3: Cho hai điểm A(2;4) và
b.a (3; 4); b(4;3)
r
r
B(1;1).Tìm toạ độ điểm C,sao
c.a (2;5); b(3; 7)
cho tam giác ABCvuông cân tại B
(C(4;0) và C(-2;2) )
Bài 4: Cho hai điểm A(5;4) ,B(3;-2).một điểm M di động trên Ox,tìm giá trị nhỏ
nhất của :


A=
Bài 5: Cho tam giác ABC, có A(-4;1),

uuur uuur
MA + MB .

B(2;4),C(2;-2).
a. Tính chu vi và diện tích tam giác

5 ABC.(C=6(1+);S=18)
uuur
uur
b.Tìm toạ độ trọng tâm G,trực

GH 11=;1)

2
GI
;1
42 tiếp tam giác ABC.Từ đó suy ra (H();I(tâm H,và tâm I của đờng tròn ngoại
Bài 6:Cho tam giác ABC,có A(5;3),B(2;-1),C(-1;5).
a. Tính toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
b.Tính toạ độ chân đờng cao hạ từ A.
Bài 7: Cho hai điểm A(1;2),B(6;3).Tìm toạ độ điểm C nằm trên Ox sao cho tam
giác ABC vuông tại C.
Bài 8:Cho ba điểm A(1;-3),B(0;2),C(4;5).Xác định toạ độ ba điểm E,F,G,biết rằng:
uuu
r
uuu
r uuur
a.CE = 3 AB 4 AC
uuur uuur uuur r
Bài 9:Cho ba điểm
b. AF + 217
BF 20
4CF = 0
;
3 3 chân đờng phân giác trongcủa góc
A(1;2),B(4;6),C(9;8).xác định toạ độ
BAC ( D() )
Bài 10: cho tam giác ABC,có A(-3;6),B(1;-2),C(6;3)xác định toạ độ tâm I của đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS:I(1;3)
Bài 11: Biết A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD .Tìm toạ độ các
đỉnh C và

Bài 3: Hệ thức lợng trong tam giác
I.Kiến thức cơ bản:
1. định lí côsin: trong tam giác ABC, ta có :
+ a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A
+b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B

+c 2 = a 2 + b2 2ab cos C Hệ quả:
2. Định lí
sin:Trong tam giác ABC, ta có:
3.Công thức trung tuyến :
b2 + c2 a2

2
4 4.Công
2
2
a + c b 2 thức
b.mb2 =

2
4 tính
2
2
a + b c 2 diện
2
c.mc =

2
4 tích
a.ma2 =

tamgiác :
II.Các Dạng toán cơ bản:
Dạng toán 1: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một

b2 + c2 a2
a.cos A =
a
b
c2bc
=
= 2 2 = 2R
c b2
sin A sin B asin+C
b.cos B =
2ac
2
a + b2 c2
c.cos C =
2ab
1
1
1
a.S = aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1

b.S = bc sin A = ac sin B = ab sin C
2
2
2
abc
c.S =
4R
d .S = pr
e.S =

p( p a )( p b)( p c)

số yếu tố cho trớc .
pp:+ sử dụng trực tiếp định lí sin và định lí côsin
+ sử dụng các hệ thức khác .
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC,có

3 b=7cm,c=5cmvà cosA=.
5


a.Tính a,sinA và diện tích S của tam giác ABC.
b. Tính đờng cao xuất phát từ đỉnh A ha và bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC,có BC=40cm,CA=13cm,AB=37cm.Tính góc nhỏ nhất
của tam giác
Ví dụ 3:Cho tam giác ABC,biết A=60,

h0a b=8cm,c=5cm. Tính đờng cao ,bán
kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

uuur uuur
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC,có
AB. AC AB=5cm,BC=7cm,CA=8cm.Tính và
góc A
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết a=21cm,b=17cm,c=10cm
a.Tính diệnn tích tam giác và chiều cao ha .
b.tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
c.Tính độ dài đờng trung tuyến

ma

Dạng toán 2: chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam
giác.
pp: dùng các hệ thức cơ bản đã học để biến đổi .
Ví dụ 1: cho tam giác
ABC.gọi G là trọng tâm

1
GA2 + GB 2 + GC 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )
3

tam giác CMR:
Ví dụ 2:trong tam giác ABC.CMR: a=bcosC+ccosB
Ví dụ 3: trong tam giác ABC, có BC=a,CA=b,AB=c và đờng trung tuyến AM=c.
CMR:
a.a 2 = 2(b 2 c 2 )
b.sin 2 A = 2(sin 2 B sin 2 C )
Dạng toán 3: Giải tam giác:
*giả thiết bài toán có thể cho:
+Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g,c,g);

+ Biết một góc và hai cạnh kề vế nó (c,g,c);
+ biết ba cạnh (c,c,c)
pp:Để tìm các yếu tố còn lại tra sử dụng các định lí sin,cosin, định lí về tổng ba
góc trong tam giác .có thể sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông.
Ví dụ 1; Giải tam giác ABC, biết :
a.c = 35cm, A = 400 , C = 120 0 ; b.a = 7cm, b = 23cm, C = 130 0 ; c.a = 14cm, b = 18cm, c = 20cm
Bài tập tơng tự :
Bài1: cho tam giác ABC,có B và

600 , C = 450

BC=a.
a.Tính độ dài hai cạnh AB và AC
cos 750 =

6 2 b.CMR:
4


Bài 2: Cho tam giác ABC,có

A = 600 c=35,b=20,

a. Tính chiều cao h.

a

b.Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
c.Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác .
cot A + cot B + cot C =

a 2 + b 2 + c 2 Bài 3: CMR trong tam giác
R
ABC,ta có :
abc

Bài 4: CMR trong tam giác ABC, ta có :
a.b 2 c 2 = a (b cos C c cos B ); b.(b 2 c 2 ) cos A = a(c cos C b cos B; c.sin C = sin A cos B + sin B cos A
Bài 5:Tam giác ABC,có BC=12,CA=13,trung tuyến AM=8.
a.Tính diện tích tam giác ABC.
b.Tính góc B
Bài 6: Giải tam giác ABC, biết :
a.a=6,3;b=6,3;.

C = 540
A = 600 ; B = 400 b.c=14;.

c.a=6;b=7,3;c=4,8.

Bài 4: Phơng trình tổng quát và phơng trình tham số của đờng thẳng
A.Kiến thức cơ bản :
I.Phơng trình tham số của đờng thẳng :
ur
1Cho đờng thẳng d có véctơ
x0 (+ux1u0;;1uty20))
x = M
U
(t R )

chỉ phơng ;đi qua điểm .Khi

y = y0 + u2t
đó pt tham số của đờng thẳng d
là:
+Nếu d có véctơ chỉ phơng là

ur
y M
yU00(=(uux1k20; ;u( xy2 0)) x0 )
u1
,thì có hệ số góc là k=.pt đờng

thẳng qua ,có hệ số góc k là:
+ Nếu k là hệ số góc của d thì một

ur
U (1; k ) véctơ chỉ phơng của d là

2.Ví dụ:
ví dụ1; viết pt tham số của đờng thẳng d trong các trờng hợp sau:
ur
U (3; 2) a.d qua A(-2;3) có véctơ chỉ phơng
b. d qua hai điểm M(1;-3) và N(-2;5)
c. d qua B(3;-2) có hệ số góc k=2
II.phơng trình tổng quát của đờng thẳng:
r
A( x xM
(0 Ax
)n0+((0AxB+;0(;BBy
yy)0)0 y) 0 ) = 0 1. Cho đờng thẳng d có véctơ
pháp tuyến và đi qua điểm .Khi đó

phơng trình tổng quát của đờng
thẳng d có dạng: ,hay Ax+By +C=0(với C=)


+nếu d có véctơ pháp

r
r
r
n( A; B) vtcp : u ( B; A)(u ( B; A))

tuyến là
2.Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:
Cho hai đờng thẳng ;
1 : A1 x +1B,1y 2+ C1 = 0 Khi đó để xét vị trí tơng đối
2 ; A2 x + B2 y + C2 = 0 của .ta xét hệ:
(I)

A1 x + B1 y + C1 = 0
+Nếu hệ (I) vn thì song song với A2 x + B
2 y12 + C2 = 0
+ Nếu hệ (I) có 1 nghiệm thì
12
cắt
+ Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì trùng 12
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối của các cặp đờng thẳng sau:
a.d1 : 2 x + 3 y + 1 = 0; d 2 : 4 x 3 y 7 = 0
b.d3 : 4 x 2 y + 3 = 0; d 4 : 6 x 3 y 2 = 0 Ví 1 : 3 x 4 y + 1 = 0; 2 : 4 x + 3 y 7 = 0
c.d5 : 2 x 3 y + 4 0; d 6 : 4 x 6 y + 8 = 0 dụ 2: Cho hai đờng
thẳng

a.Tìm giao điểm của hai đờng thẳng trên.
b.tính góc giữa hai đờng thẳng và .
3.Góc giữa hai đờng thẳng:
cho hai đờng thẳng lần lợt có
véctơ pháp t uyến là:thì:

12

uur
uuu
r
;

n1 (A1 ; B
);
n
1
1
2 2( A2 ; B2 )

ur uu
r
ur uu
r
n1.n2
cos(1 ; 2 ) = cos(n1 ; n2 ) = ur uu
r =
n1 . n2

A1. A2 + B1.B2

A12 + B12 . A22 + B22

4. Khoảng cách từ

một điểm đến một đờng thẳng :
M Ax
( x ;+y By
) + C +khoảng cách từ đến đờng
M 0 ; ) = 0 00 0 0
A2 + B 2 thẳng : Ax+By +C=0 là:d(
thành hai nửa có bờ là đờng thẳng , ta
+đờng thẳng chia mặt phẳng Oxy
luôn có:
( M 1 ) =MAx
y1 )1 + C > 0 *Một nửa mf chứa các
1 (1x+
1 ; By
điểm,thoã mãn:
( M 2 )M=2 Ax
( x22; +y2By
) 2 + C * Một nửa mf chứa các điểm
,thoả mãn:< 0
Ví dụ 1: viết pt tổng quát của đờng thẳng d trong các trờng hợp sau:
r
a.d qua A(3;4) có véctơ pt là
n(5; 2)
r
b.d qua B(-2;5) có véctơ chỉ phơng u (4; 3) là
Ví dụ 2: cho tam giác ABC có A(3;-

1),B(6;2) C(1;4).

a. Viết pttq của các cạnh của tam giác ABC.
b.Viết phơng trình tổng quát của các đờng cao của tam giác
c.Viết pt các đờng trung tuyến của tam giác ABC.
ví dụ 3: a.tính khoảng cách từ A(3;5) đến đờng thẳng a:3x+4y+1=0


b.Tính khoảng cách từ B(2;4) đến đờng thẳng b: 4x-3y+2=0
Ví dụ 4: Cho đờng thẳng d:x-y+2=0 và hai điểm O(0;0), A(2;0) .
a.Chứng tỏ rằng Avà O nằm cùng một phía so với d.
b.Tìm điểm đối xứng với O qua d.

O,
c.Tìm điểm M trên d sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất .
B.các dạng bài tập cơ bản :
1. lập pt của đờng thẳng:
bài 1: Cho tam giác ABC,có A(3;2),B(1;1),C(-1;4).Viết pt tổng quát của :
a.đờng cao AH và đờng thẳng BC.
b.Đờng trung trực của AB.
c.đờng trung bình ứng với AB.
d.Đờng phân giác trong của góc A.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD,biết pt cạnh AB là: 2x-y+5=0,đờng thẳng AD qua
gốc toạ độ O và tâm hình chữ nhật là I(4;5).Viết pt các cạnh còn lại.
Bài 3: Cho đờng thẳng d: 3x-4y-12=0.
a. tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục toạ độ ;
b.viết pt đờng thẳng đối xứng với d
c. Viết pt đờng thẳng đối xứng với d

d , qua Ox;

d ,, qua điểm I(-1;1).

Bài 4: Cho tam giác ABC,có A(1;2),B(3;-4),C(0;6).viết pt tham số và tổng quát của
các đờng thẳng sau:
a.đờng thẳng BC;
b.đờng cao BH;
đờng thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với đờng thẳng
d:3x-7y=0.
2.Tìm điểm trên đờng thẳng thoã mãn điều kiện cho trớc :

A(0;1) một khoảng bằng 5.

x = 2 + 2t Bài 1: cho đờng thẳng d; có pt:

y = 3 + t a. Tìm điểm M trên d và cách điểm

b.Tìm toạ độ giao điểm của d và đờng thẳng a: x+y+1=0.
c.Tìm điểm M trên d sao cho AM ngắn nhất .
BàI 2: a. Tìm trên trục hoành điểm

2 5 cách đờng thẳng d: 2x+y-7=0 một

khoảng là .
b.Tìm trên đờng thẳng a: x+y+5 =0 điểm cách đờng thẳngb: 3x-4y+4=0 một
khoảng là 2
Bài 3: Cho hình vuông ABCD,có pt các cạnh AB: 3x-2y-1=0 ;CD:3x-2y-5=0 và tâm I
thuộc đờng thẳng x+y-1=0.
a.Tìm toạ độ điểm I.