GIAO AN DAY BOI DUONG HOC SINH GIỎI TOAN 7 CHON lọc

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Ngày dạy:19/9/2016
Buổi 1
Tiết 1+2+3: TÍNH TỔNG DÃY THEO QUY LUẬT
I. MỤC TIÊU BÀI HỌC:
- Kiến thức: Ôn tập, phát triển tập hợp Q, các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số hữu
tỉ.Các phép toán về lũy thừa. Từ đó vận dụng giải các bài toán tính tổng dãy theo quy luật.
- Kĩ năng: Cộng, trừ, nhân, chia 2 số hữu tỉ, so sánh 2 số hữu tỉ. giải các bài toán tính tổng
dãy theo quy luật.
- Thái độ: Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo.
II. CHUẨN BỊ:
GV: Hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với mục tiêu và vừa sức HS.
HS: Ôn tập theo HS của GV.
III.CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Tổ chức:
2. KTBC: Cho HS nêu lại các lý thuyết cơ bản đã học về số hữu tỉ ,về lũy thừa.
3. Bài mới:
I.
Lý thuyết
-GV cho hs nêu các tính chất công,trừ,nhân chia các số hữu tỉ.
- nhắc lại các phép toán về lũy thừa:
= a.a.a.a….a;
.
am+n
am-n ( a#0, m n)
n
=
n
(a.b) = an.bn
(a:b)n = an : bn ( b#0).
- Dãy số cách đều là dãy số trong đó mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay

trước cộng với một số d không đổi.
(d: là công sai của dãy số cách đều )
- Các số hạng của dãy số cách đều được kí hiệu là:
u1, u2,u3,….., un;….
Trong đó : u1là số hạng thứ nhất
u2là số hạng thứ hai
un là số hạng thứ n
-Các công thức:
+ Tính số số hạng của 1 tổng
n

+ 1

+ Tính số hạng thứ n của dãy:

Un = U1 + (n-1).d

1


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
+ Tính tổng của dãy: S
II.
Bài tập
Bài 1. Cho dãy số cách đều :1,4,7,10,13,....,202
a. Tính số số hạng của dãy trên
b. Tính số hạng thứ 50 của dãy
c. Tính tổng các số hạng của dãy trên
d. Số 100 có thuộc dãy không? Nếu có nó là số hạng thứ bao nhiêu?
e. Số 150 có thuộc dãy trên không?

HD:
Cho dãy số:1;4;7;10;13;...;202
a. Dãy trên có số số hạng là: n= (202-1):3 +1= 68 ( số)
b. Số hạng thứ 50 của dãy là: U50= 1 + (n-1).3 =148
c. Tổng của các số hạng của dãy trên là: S=
d. Vìdãy trên gồm các số chia cho 3 dư 1, mà số 100 cũng chia cho 3 dư 1 và nhỏ hơn
202 nên cũng thuộc dãy trên và là số hạng thứ
e. Vì dãy trên gồm các số chia cho 3 dư 1, mà 150 lại chia hết cho 3neen số 150
không thuộc dãy trên.
• Dạng1: Dạng toán tính tổng dãy số cách đều:
Bài 2.
Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
HD: * cách 1 : B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99)
= 1+(2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 1+49.101 = 1+4949 = 4950
* cách 2:
;

B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
+
B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100

2B = 100.99 ⇒ B = 50.99 = 4950
Bài 3: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
Lời giải:
Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp
dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000
(Tổng trên có 250 cặp số)
2

1
3
5
...
999

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Cách 2: Ta thấy:
= 2.1 - 1
= 2.2 - 1
= 2.3 - 1

= 2.500 - 1
Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số
các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:
C = 1 + 3 + ... + 997 + 999
+
C = 999 + 997 + ... + 3 + 1
2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000
2C = 1000.500 ⇒ C = 1000.250 = 250.000
Bài 4. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3
để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
Ta thấy:
10 = 2.4 + 2
12 = 2.5 + 2
14 = 2.6 + 2
...

998= 2.498+ 2
Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác
ta lại thấy: 495 =

998 − 10
+ 1 hay
2

số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1
Khi đó ta có:
D = 10 + 12 + ... + 996 + 998
+
D = 998 + 996 + ... + 12 + 10
2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008
2D = 1008.495 ⇒ D = 504.495 = 249480
(998 + 10)495
Thực chất D =
2
Bài 5. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10
Lời giải
Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với
100, khi đó ta có:
100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) +
9910 =

(1011 + 9899).98
+ 9910 = 485495 + 9910 = 495405 ⇒ E = 4954,05
2

3

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
(Ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là

(9899 − 1011)
+ 1 = 98 )
101

Bài 6. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Lời giải
Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
 a + (a + 4006) 
 .2004 = (a + 2003).2004 . Khi đó ta có:
2

S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = 


(a + 2003).2004 = 8030028 ⇔ a = 2004.
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Lời giải
Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … +
1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ A =

n(n + 1)[(n - 2) - (n -

n(n + 1)(n + 2)
3

* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)
Lời giải
Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4
= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
⇒ B=

(n − 1) n( n + 1)( n + 2)
4

Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Lời giải
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)
2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(3 + 3)
4.7 = 4.(4 + 3)
…….
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n

4

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
= [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =
= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =
= n(n + 1)(n + 2) +

3(2n + 2) n
n(n + 1)( n + 2) 3(2n + 2)n n(n + 1)(n + 5)
⇒ C=
+
=
2
3
2
3

Bài 4. Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2
Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là
tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:
Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … +
+ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 +
2 + 3 + … + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
n( n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
n( n + 1)( n + 2)
⇒ 12 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = =
và 1 + 2 + 3 + … + n =
3
2

3
n( n + 1) n(n + 1)(2n + 1)
=
2
6

A=

Bài 5. Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3
Lời giải
Tương tự bài toán trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)
+ … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) =
= (23 + 33 + … + n3) - (2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - (1 + 2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) -

Ta có:

n(n + 1)
⇒
2

n(n + 1)
(n − 1) n( n + 1)( n + 2)
Mà ta đã biết B =
2
4
2
(n − 1) n(n + 1)(n + 2) n( n + 1)
 n(n + 1) 
⇒ E = 1 3 + 23 + 33 + … + n 3 =

+
=
4
2
 2 

(13 + 23 + 33 + … + n3) = B +

Bài 6. (Trang 23 SGK Toán 7 tập 1)
Biết rằng 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng
S = 22 + 42 + 62 + … + 202
Lời giải
2
2
2
2
2
Ta có: S = 2 + 4 + 6 + … + 20 = (2.1) + (2.2)2 + … + (2.10)2 =
= 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + … +
102) = 4.385 = 1540.
Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ
tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có:
P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 =

n(n + 1)(2n + 1)
(theo kết quả ở trên)
6

Khi đó S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 được tính tương tự như bài trên, ta có:
5

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
S = (2.1) + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) =
2

=

4n(n + 1)(2n + 1)
2n(n + 1)(2n + 1)
=
6
3

2

 n( n + 1) 
Còn: P = 1 + 2 + 3 + … + n = 
. Ta tính S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 như sau: S =

 2 
3

3

3

3

(2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lúc này S = 8P, Vậy ta có: S =

2

2
2
 n( n + 1)  8.n ( n + 1)
=
= 2n 2 ( n + 1) 2
2 + 4 + 6 +…+ (2n) = 8 ×

2
4



3

3

3

3

Áp dụng các kết quả trên, ta có bài tập sau:
Bài 7. a) Tính A = 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2
b) Tính B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3
Lời giải
2
2
a) Theo kết quả bài trên, ta có: 1 + 2 + 32 +…+ (2n)2 =
=

2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1)
=
6
3

Mà ta thấy:
12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - [23 + 43 + 63 +…+ (2n)2] =
=

n(2n + 1)(4n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 2n 2 (2n + 1)
=
3
3
3

b) Ta có: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - [23 + 43 + 63 +…+ (2n)3] . Áp dụng kết quả bài tập trên ta có:
13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2.
Vậy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 =
= 2n4 - n2
4.Củng cố : gv nhắc lại một số các dạng toán đã chữa gồm 2 dạng như trên
5.Dặn dò: yêu cầu hs về nhà xem lại toàn bộ các bài tập đã làm trên lớp và làm bài tập về
nhà.
BTVN
2
3
63
Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 2 + 2 + … + 2
Lời giải
Cách 1:

Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263
(1)
⇒ 2S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 263)
= 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1
Cách 2:
Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + … + 262)
(1)
63
64 ⇒
64
= 1 + 2(S1 - 2 ) = 1 + 2S1 - 2
S1 = 2 - 1
2
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 3 + 33 + … + 32000 (1)
Lời giải:
Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:
Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + … + 32001
(2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
6


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000)
Hay: 2S = 3

2001

32001 − 1
⇒
-1
S=
2

Cách 2: Tương tự như cách 2 của bài trên:
Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001
2001
⇒ 2S = 32001 - 1 ⇒ S = 3 − 1
2

Ngày dạy:30/9/2016
Buổi 2
Tiết 4+5+6: GIẢI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. MỤC TIÊU BÀI HỌC:
Kiến thức:
- Giúp học sinh nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ,và một số dạng
toán nâng cao về gí trị tuyệt đối.
Kĩ năng:
- Học sinh được rèn luyện, củng cố quy tắc giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
- Phát triển tư duy qua dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
7


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 7
Thái độ: Cẩn thận, chính xác, khoa học.
II. CHUẨN BỊ
GV: SGK, giáo án.
HS : Chuẩn bò trước bài ở nhà , học kó bài cũ , xem trước bài

mới.
III. C¸c ho¹t ®éng d¹y häc
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ: trong bài
3. Bài mới:
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số
a (a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số khơng âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
TQ: Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a
Nếu a < 0 ⇒ a = −a
Nếu x-a ≥ 0=> = x-a
Nếu x-a ≤ 0=> = a-x
2.Tính chất
Giá trị tuyệt đối của mọi số đều khơng âm
TQ: a ≥ 0 với mọi a ∈ R
Cụ thể:
=0 <=> a=0
≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có
giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
a = b

TQ: a = b ⇔ 
a = −b
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc
bằng giá trị tuyệt đối của nó.
TQ: − a ≤ a ≤ a và − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ 0
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: Nếu a < b < 0 ⇒ a > b

* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
TQ: Nếu 0 < a < b ⇒ a < b
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
TQ: a.b = a . b
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
TQ:

a
a
=
b
b

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
8


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
2

TQ: a = a 2
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ: a + b ≥ a + b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0
Bổ sung:
* Với m > 0 thì

x  x >m
x >m⇔ 

x < − m

II. Các dạng toán:
A. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A(x)= k (Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước)
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số
đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có A( x) = 0 ⇒ A( x) = 0
 A( x) = k
 A( x) = − k

- Nếu k > 0 thì ta có: A( x) = k ⇒ 
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 2 x − 5 = 4

b)

1 5
1
− − 2x =
3 4
4

c) x +

4
− − 3,75 = − − 2,15
15

Bài 1.2: Tìm x, biết:
9
4

1
11 3
1 7
15
3
1
21
x 2
=2
b) + : 4 x − =
c) − 2,5 : x + = 3 d) + 3 : − = 6
3
4 2
5 2
4
4
2
5
4 3
2. Dạng 2: A(x)= B(x) (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)

a) 6,5 − : x +

* Cách giải:
a = b

 A( x) = B( x )

Vận dụng tính chất: a = b ⇔ 
ta có: A( x) = B( x) ⇒ 
a = −b
 A( x) = − B( x)
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a) 5 x − 4 = x + 2

b) 2 x − 3 − 3x + 2 = 0

c) 2 + 3x = 4 x − 3

d) 7 x + 1 − 5 x + 6 = 0

Bài 2.2: Tìm x, biết:
a)

3
1
x + = 4x − 1
2
2

b)

5
7 5
3
7

2
4
1
7
5 1
x − − x + = 0 c) x + = x − d) x + − x + 5 = 0
4
2 8
5
5
3
3
4
8
6 2

9


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
3. Dạng 3: A(x)= B(x) (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối
của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
A( x) = B ( x ) (1)
Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)
 A( x) = B( x )

(1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒ 
Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*)
 A( x) = − B( x)

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a
Nếu a < 0 ⇒ a = −a
Ta giải như sau: A( x) = B( x) (1)
• Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện)
• Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều
kiện)
Bài 3.1: Tìm x, biết:
a)

1
x = 3 − 2x
2

b) x − 1 = 3x + 2

c) 5 x = x − 12

d) 7 − x = 5 x + 1

Bài 3.2: Tìm x, biết:
a)

3
1
x + = 4x − 1
2
2

b)

5
7 5
3
7
2
4
1
7
5 1
x − − x + = 0 c) x + = x − d) x + − x + 5 = 0
4
2 8
5
5
3
3
4
8
6 2

4. Dạng 4: A(x)= B(x) (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối
của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
A( x) = B ( x ) (1)
Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)
 A( x) = B( x )

(1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒ 
Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*)

 A( x) = − B( x)
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a
Nếu a < 0 ⇒ a = −a
Ta giải như sau: A( x) = B( x) (1)
• Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện)
• Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều
kiện)
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a)

1
x = 3 − 2x
2

b) x − 1 = 3x + 2

c) 5 x = x − 12

d) 7 − x = 5 x + 1

5. Dạng 5: A + B = 0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
10


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi
các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A + B = 0

A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0
A = 0
B2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ 
B = 0

B1: đánh giá:

Bài 5.1: Tìm x, y thoả mãn:
b) x − y + y +

a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0

9
=0
25

c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0

Bài 5.2: Tìm x, y thoả mãn:
3
4

11 23
+
y = 0 c) x − 2007 + y − 2008 = 0
17 13
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A + B ≤ 0 (1)

a) 5 − x +

2
y −3 = 0
7

A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0

2
3

1
2

3
4

b) − + x + 1,5 −

(2)
A = 0
B = 0

Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔ 

Bài 5.3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5 x + 1 + 6 y − 8 ≤ 0

b) x + 2 y + 4 y − 3 ≤ 0
c) x − y + 2 + 2 y + 1 ≤ 0
Bài 5.4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12 x + 8 + 11 y − 5 ≤ 0
b) 3x + 2 y + 4 y − 1 ≤ 0
c) x + y − 7 + xy − 10 ≤ 0
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của
luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 5.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
2007
2008
+ y+4
=0
a) x − y − 2 + y + 3 = 0
b) x − 3 y
2006
2008
c) ( x + y ) + 2007 y − 1 = 0
d) x − y − 5 + 2007( y − 3) = 0
Bài 5.6: Tìm x, y thoả mãn :
5
4
a) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0
b) 2( x − 5) + 5 2 y − 7 = 0
c) 3( x − 2 y )

2004

1
+4y+ =0

2

d)

1

x + 3y −1 +  2 y − 
2


b)

3 x − y + 10 y +

2000

=0

Bài 5.7: Tìm x, y thoả mãn:
a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0
c)

13
1
 x− 
24
2

2006

+

2007 4
6
y+
≤0
2008 5
25

5

7

2
≤0
3

2008
2007
d) 2007 2 x − y + 2008 y − 4 ≤ 0

6. Dạng 6: A + B = A + B
* Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b
11


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Từ đó ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a) x + 5 + 3 − x = 8

b) x − 2 + x − 5 = 3

c) 3x − 5 + 3 x + 1 = 6

d) 2 x − 3 + 2 x + 5 = 11
e) x + 1 + 2 x − 3 = 3 x − 2
f) x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2
B. Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A + B = m với m ≥ 0
* Cách giải:
A = 0
B = 0

* Nếu m = 0 thì ta có A + B = 0 ⇔ 

* Nếu m > 0 ta giải như sau:
A + B = m (1)
Do A ≥ 0 nên từ (1) ta có: 0 ≤ B ≤ m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
2
a) x − 2007 + x − 2008 = 0 b) x − y − 2 + y + 3 = 0
c) ( x + y ) + 2 y − 1 = 0
d) x + 4 + y − 2 = 3
2. Dạng 2: A + B < m với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
A + B < m (1)
A ≥ 0
 ⇒ A + B ≥ 0 (2)
B ≥ 0

Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ A + B < m từ đó giải bài toán A + B = k như dạng 1 với
Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x + y ≤ 3 b) x + 5 + y − 2 ≤ 4
c) 2 x + 1 + y − 4 ≤ 3 d) 3x + y + 5 ≤ 4

0≤k
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x − 1 + 4 − x = 3 b) x + 2 + x − 3 = 5 c) x + 1 + x − 6 = 7 d) 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8
C – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
• Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1
a) A = x − 3,5 + 4,1 − x

b) B = − x + 3,5 + x − 4,1

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A = x + 1,3 − x − 2,5

b) B = − x − 1,3 + x − 2,5

D.Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
12


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất
đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 0,5 − x − 3,5

b) B = − 1,4 − x − 2

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 1,7 + 3,4 − x

b) B = x + 2,8 − 3,5

c) C = 3,7 + 4,3 − x

4.Củng cố : gv nhắc lại một số các dạng toán đã chữa gồm các dạng như trên
5.Dặn dò: yêu cầu hs về nhà xem lại toàn bộ các bài tập đã làm trên .Chuẩn bị xem trước
các dạng toán tìm x .
Ngày dạy:07/10/2016
Buổi 3
Tiết 7+8+9: GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM X
I. MỤC TIÊU BÀI HỌC:
1. Kiến thức:
giúp hs nắm được một số dạng toán cơ bản và khó trong các bài toán tìm x.
2. kỹ năng : gv giúp học sinh có kỹ năng làm tốt các bài toán tìn x
3. Thái độ: Hs có thái độ tích cực trong giờ học .
II. CHUẨN BỊ:
-Gv: chuẩn bị giáo án lên lớp, bảng phụ
-Hs: học bài cũ ,chuẩn bị bài mới.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1.Ổn định tổ chức:
2. KTBC: trong bài
3. Bài mới:

I. lý thuyết
1. Nêu quy tắc chuyển vế đổi dấu
2.Nêu cách tìm các số hạng chưa biết, tìm số bị trừ, số trừ, số bị chia, số chia.
3.Nêu một số dạng toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối…
A(x)= B(x)
A(x)= B(x)

A+B=0
A(x)=k

II.
13

Bài tập


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Bµi 1: T×m x, biÕt:
a)

x =
3, 5

b)

x =
−
2, 7

c)

3
x + −
5 =
−
2
4

GV: hd và cho hs lên bảng làm bài tập.

Bµi 2. Tìm x, biết:
3 3
 2
−  + x ÷= ;
35  5
 7
3
3 2
3 2 3
a) ⇔ + x =
− ⇔x=
− −
5
35 7
35 7 5
3 − 10 − 21 −28
−4
⇔x=
=
⇔ x=

35
35
5

a)

5 x − 1 = 0
 x = 1/ 5
b) ⇔ 
⇔
1
2 x − = 0
 x = 1/ 6
3


1

b) ( 5 x − 1)  2 x − ÷ = 0
3


c)

1
3 3
1
−3
:x= − ⇔ :x=
7

14 7
7
14
1 −3
2
⇔x= :
⇔ x=−
7 14
3

c) ⇔

3 1
3
+ :x=
7 7
14

Bài 3. Tìm giá trị n nguyên dương:
a)

1 n
.16 = 2n ;
8

b) 27 < 3n < 243

c. 32 ≥ 2n > 4

Bài làm

a)

1 n
.16 = 2n ;
8

=> 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1

b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài 4. Tìm x, biết :
a.

x −1 x − 2 x − 3
x −4
+
−
=
2004 2003 2002 2001

14


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7


x −1
x −2
x −3
x −4
−1 +

−1 −
+1 =
−1
2004
2003
2002
2001



x − 2005 x − 2005 x − 2005 x − 2005
+
−
=
2004
2003
2002
2001



( x − 2005)(

1
1
1
1
+
−
−

)=0
2004 2003 2002 2001

x- 2005 = 0
X=2005




b. )

45 − x 40 − x 35 − x 30 − x
+
+
+
+4= 0
1963 1968 1973 1978

GV: tách 4 thành 4 số 1 rồi kết hợp cộng với từng phân thức.
Bài 5. Tìm x, y, z biết:
x
2

a. =

y
;
3

y z

=
4 5

và

x 2 − y 2 = −16

GV : quy đồng các tỉ số chứa y, rồi bình phương cả tử và mẫu, và áp dụng tc của dãy tỉ
số băng nhau dê tìm x,y,z.
b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:
y+z−x z+x− y x+ y−z
=
=
x
y
z

Hãy tính giá trị biểu thức:
 x 
y  z 
B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷.
y 
z  x 


Ta có:

y+z−x z+x− y x+ y−z
y+z
z+x

x+ y
=
=
⇒
−1 =
−1 =
−1
x
y
z
x
y
z
y + z z + x x + y 2( x + y + z)
⇒
=
=
=
=2
x
y
z
x+ y+ z

 x 
x+ y y+z z+x
y  z 
.
.
⇒ B =  1 + ÷ 1 + ÷1 + ÷ =

y
z
x
y 
z  x 

x+ y z+x y+z
=
.
.
= 2.2.2 = 8
z
y
x

c)

3x 3 y
3z
=
=
và 2 x 2 + 2 y 2 − z 2 = 1
8
64 216
15

Vậy B=8


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

4.Củng cố : nhắc lại một số dạng toán đã được làm trong giờ học
5. Dặn dò : về xem lại các bài toán đã làm và làm BTVN
BTVN : 1. Tìm x, biết x ∈ Q và:
a) 3,5 − x = 2,3 ;

b) 1,5 - x − 0,3 = 0;

c) x − 2,5 + 3,5 − x = 0 .

HDVN

1. a) Xét 2 trường hợp:
- Nếu 3,5 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3,5 , ta có:
3,5 - x = 2,3 ⇔ x = 1,2 (t/m)
- Nếu 3,5 - x < 0 ⇔ x > 3,5, ta có:
3,5 - x = - 2,3 ⇔x = 5,8 (t/m)
Vậy x = 1,2 hoặc x = 5,8

b) ⇔ x − 0,3 = 1,5 . Xét 2 trường hợp:
- Nếu x - 0,3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0,3 , ta có:
x - 0,3 = 1,5 ⇔ x = 1,8 t(/m)
- Nếu x - 0,3 < 0 ⇔ x < 0,3, ta có:
x - 0,3 = - 1,5 ⇔ x = -1,2 (t/m)
Vậy x = 1,8 hoặc x = - 1,2.

c) Vì x − 2,5 ≥ 0 và 3,5 − x ≥ 0 nên
 x − 2,5 = 0
 x = 2,5
x − 2,5 + 3, 5 − x = 0 ⇔ 
⇔

3,5 − x = 0
 x = 3,5

Điều này không thể đồng thời xảy ra.
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn ĐK này.

16


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

Ngày dạy: 14/10/2016
Tiết 10+11+12. GIẢI TOÁN VỀ LŨY THỪA
I. Mục tiêu bài học:
1/ Kiến thức:
- HS được củng cố các kiến thức về CT của 1 số hữu tỉ
- Khắc sâu ĐN, quy ước và các quy tắc về lũy thừa. Vận dụng giải một số bài toán âng cao.
2/ Kỹ năng:
- HS biết vận dụng kiến thức trong các bài toán dạng tính toán tìm x, hoặc so sánh các số...
3/ Thái độ:
- HS có sự sáng tạo khi vận dụng kiến thức
II. Chuẩn bị:
- GV: Bảng phụ bài tập trắc nghiệm, HT bài tập
- HS : Ôn KT về luỹ thừa.
III. Tổ chức các hoạt động dạy học:
1. Ổn định tổ chức: (1’)
2. Kiểm tra bài cũ: Nêu các công thức về lũy thừa đã học?
3. Bài mới:
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên.

Luỹ thừa bậc n ủa một số hữu tỉ, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn
x.x.x...x
1): xn = 14 2n 43 ( x ∈ Q, n ∈ N, n > 1)

Quy ước: x1 = x;

x0 = 1;

(x ≠ 0)
n

a
 a  an
Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng ( a, b ∈ Z , b ≠ 0 ) , ta có:  ÷ = n
b
b b

2, Tính chất:
xm . xn = xm+n
xm
= x m−n
n
x
1
x-n = n
x

(x ≠ 0)
(x ≠ 0)
17

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
(xm)n = xm.n

(x.y)m = xm. ym

n

x
xn
  = n
y
 y

(y ≠ 0)

Bài tập
• Dạng toán tìm thành phần trong cơ số của lũy thừa:
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a, x3 = -27
b, (2x – 1)3 = 8
c, (x – 2)2 = 16
d, (2x – 3)2 = 9
Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm
được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.
a, x3 = -27
b, (2x – 1)3 = 8
x3 = (-3)3
(2x – 1)3 = (-2)3

 x = -3
=> 2x – 1 = - 2
Vậy x = - 3
2x = -2 + 1= - 1
II.

−1
2
−1
Vậy x =
2

=> x =

c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
=> 2x -3 =3
hoặc
2x -3 = -3
2x = 6
2x = 0
x=3
x=0
Vậy x = 3 hoặc x = 0 .
d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42
=> x – 2 = -4
hoặc
x–2=4
x = -2
x=6
Vậy x = -2 hoặc x = 6

Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết :
x2 = x5
x 2 = 0
x = x => x – x = 0 => x .(x - 1) = 0 =>  3
 x − 1 = 0
2

5

5

2

2

3

Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết :
(3y - 1)10 = (3y - 1)20
Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành :

x = 0

=> 

x = 0

=> 
x = 1
x = 1

(*)
10
x = x20
3

x = 0
x = 0

=>  10
=>  x = −1
x = 1
 x = 1
1
+) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y =
3
2
+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y =
3

 x 10 = 0
Giải tương tự bài 2 ở trên ta được :  10
 x − 1 = 0

+) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0
18


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Vậy

y=

1 2
; ;0
3 3

*Dạng toán tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Bài 1 : Tìm n ∈ N biết :
a, 2008n = 1

c, 32-n. 16n = 1024

b, 5n + 5n+2 = 650

d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162

a, 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0
b, 5n + 5n+2 = 650
5n + 5n.52 = 650
5n.(1 + 25) = 650=> 5n = 650 : 26
5n = 25 = 52=> n = 2
c, 32-n. 16n = 1024
(25)-n. (24)n = 1024
2-5n. 24n = 210
2-n = 210=> n = -10

d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
3n-1 + 5 . 3n-1 = 162
=>6 . 3n-1 = 162
3n-1 = 27 = 33

=> n – 1 = 3
n=4

Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
2m + 2n = 2m+n
Giáo viên gợi ý :
2m + 2n = 2m+n
2m+n – 2m – 2n = 0
=> 2m.2n -2m -2n + 1 = 1
2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1
(2m - 1)( 2n - 1) = 1
V× 2m ≥ 1 , 2n ≥ 1
2 m − 1 = 1
Nên từ (*) =>  n
2 − 1 = 1

(*)
∀ m,n ∈

m

m = 1
2 = 2
=>  n
=> 

n = 1
2 = 2

Vậy : m = n = 1

* So sánh hai lũy thừa
Bài 1 . So sánh :

19

N


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
a, (-32)9 và (-16)13

b, (-5)30 và (-3)50

c (

− 1 100
−1
) và ( )500
16
2

Hướng dẫn : Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên
a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
(-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52
V× 245 < 252 nªn -245 > - 252
Vậy (-32)9 > (-16)13
b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
(-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10
Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50
c, Ta có : (

− 1 100
1
1
− 1100
) = 100 = 100 = 400
16
16
2
16

Vì 2400 < 2500 nên

1
2

400

Bài 2 . So sánh A và B biết :

=

1
2

500

. Vậy (

(

− 1 500
1
(−1) 500
) =
= 500
500
2
2
2

− 1 100
−1
) > ( )500
16
2

2008 2008 + 1
A=
2008 2009 + 1

;

2008 2007 + 1
B=
2008 2008 + 1

2008 2008 + 1
< 1 nên
2008 2009 + 1

Vì A =
A=

>

còn

2008.(2008 2007 + 1)
2008 + 2008
2008 2008 + 1 2008 2008 + 1 + 2007
<
=
=
2009
+ 2008 2008.(2008 2008 + 1)
2008 2009 + 1 2008 2009 + 1 + 2007 2008
2008 2007 + 1
=B
2008 2008 + 1

Vậy A < B

* Tính toán trên các lũy thừa.
Bài 1: Thực hiện phép tính có lũy thừa:
2
 3  2  5  3   3  2
25
9 64 8
25 48 503

 1
a, 4. 1 ÷ + 25  ÷ :  ÷  :  ÷ = 4. + 25. . . = + =
16
16 125 27
4 15 60
 4
 4   4    2 
0

2 1
1

b, 2 + 3.  ÷ − 1 + ( −2 ) :  .8 =8 + 3 – 1 + 64 = 74
2
2

3

20


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
6



c, 3 −  − ÷
 7
6

d, ( 5

)

−5 −1

2

1
1
1
+  ÷ : 2 = 3 −1 + = 2
8
8
2

1
1
−2
1
55.
. 5
5 2
1 1
1
2
1
. ÷ . 5 =
 1  10 = 5 .2 . 5.2 5 = 3 =
( )

2
8
 ÷
 2  10
2

12 10
2.6 4
46.95 + 69.120
212.310 + 29.39.3.5 2 .3 (1 + 5)
=
=
=
=
11 11
4 12
11
12 12
11 11
3.5 5
2 .3 (6 − 1)
8 .3 − 6
2 .3 − 2 .3

e,
g,

A=

2 30.5 7 + 213.5 27

2 27.5 7 + 210.5 27

Hướng dẫn : a, A =

213.5 7 ( 217 + .5 20 )
2 30.5 7 + 213.5 27
=
= 23 = 8
210.5 7 ( 217 + 5 20 )
2 27.5 7 + 210.5 27

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 100
2 2
2
2
1 1
1
1
1
Hướng dẫn : A = + 2 + 3 + ....... + 99 + 100
2 2
2
2
2
1 1
1
1

2A = 1+ + 2 + 3 + ....... + 99
2 2
2
2
1 1
1
1
1 1
1
1
=> 2A – A =(1+ + 2 + 3 + ....... + 99 ) – ( + 2 + 3 + ....... + 100 )
2 2
2 2
2
2
2
2
1 1 1
1
1
1
1
1
1
A = 1+ − + 2 − 2 + 3 − 3 + ....... + 99 − 99 − 100
2 2 2
2
2
2
2

2
2
1
A = 1 - 100
2

Bài 2 . Tính :A =

Bài 3: Tìm tập hợp các số nguyên x biết rằng
5
5
31  
1
 1
4 : 2 − 7 < x <  3 : 3,2 + 4,5.1  :  − 21 
9 18
45  
2
 5

Bài giải: Ta có: - 5 < x < 0,4 (x ∈ Z). Nên các số cần tìm: x ∈ { − 4;−3;−2;−1}
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1)
Lời giải:
Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:
Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + … + 32001
(2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
2
3
2001
3S - 2S = (3 + 3 + 3 + … + 3 ) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000)

32001 − 1
Hay: 2S = 32001 - 1 ⇒ S =
2

Cách 2: Tương tự như cách 2 của bài trên:
Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001
2001
⇒ 2S = 32001 - 1 ⇒ S = 3 − 1
2

*) Tổng quát hoá ta có:
21


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Sn = 1 + q + q2 + q3 + … + qn (1)
Khi đó ta có:
Cách 1:
qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1
(2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = q
Cách 2:

n+1

-1 ⇒ S=

q n +1 − 1
q −1

Sn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = 1 + q(Sn - qn)
= 1 + qSn - qn+1 ⇒ qSn - Sn = qn+1 - 1 hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1
⇒ S=

q n +1 − 1
q −1

Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B
Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).2 6
= 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 6 + 26 + 26 + 26 + 26 + 2 6
= 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 6 + 26 + 26 + 26 + 26 + 2 5 + 2 5
(Vì 26 = 2.25). Vậy rõ ràng ta thấy B > A
Cách 2: Áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn,
thật vậy:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29 (1)
2A = 2 + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 29)
= 210 - 1 hay A = 210 - 1
Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28
Vậy B > A
* Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với
B mà không gặp mấy khó khăn.
4.Củng cố : nhắc lại một số dạng toán đã được làm trong giờ học
5. Dặn dò : về xem lại các bài toán đã làm và làm BTVN
Bài 1 . Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1)
Ta có:
6S = 6 + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) +

+ 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*)
Đặt S' = 6 + 62 + 63 + … + 699 ⇒ 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 ⇒
100
100
100
⇒ S' = 6 − 6 thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 - 6 − 6 = 499.6 + 1
5
5
5
499.6100 + 1
⇒ S=
25

22


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 7

Ngày dạy: 21/10/2016
Tiết 13+14+15. CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
I. MỤC TIÊU BÀI HỌC:
Kiến thức: - Học sinh nắm vững tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau,vận dụng các tính chất đó vào giải các bài tập chứng minh tỉ
lệ thức.
Kĩ năng: Rèn luyện khả năng trình bày một bài toán.
Thái độ : Tích cực trong học tập, trong hoạt động nhóm và cẩn thận trong khi tính tốn và
biến đổi
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: giáo án
Học sinh: Xem lại kiến thức bài tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

III. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ:
?Viết tính chất của dãy tỉ số bằng nhau?
3. Bài mới:
I. LÝ THUYẾT
Một số chú ý về các cơng thức tính tỉ lệ thức.
1.
2.



3.
4. Vì
5.
6. Vì
7.
II.

BÀI TẬP

Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.

23


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Bài tập 1: Tìm x, y biết:

x y

= và x + y = 20
2 3

Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x + y x + y 20
= =
=
=
=4
2 3 2+3
5
5
x
y
⇒ = 4 ⇒ x = 2.4 ⇒ x = 8 ;
= 4 ⇒ y = 3.4 ⇒ y = 12
2
3
Vậy: x = 8 ; y = 12 .

Bài tập 2: Tìm x, y biết.

x : ( −3) = y : 5 và y − x = 24

Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
Giải: Từ: x : ( −3) = y : 5 ⇒

x y
y x

=
⇒
=
5 −3
−3 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

y x y − x 24
= =
=
= −3
−3 5 −3 − 5 −8
x
y
⇒ = −3 ⇒ x = 5. ( −3) ⇒ x = −15 ;
= −3 ⇒ y = −3. ( −3) ⇒ y = 9
5
−3
Vậy: x = −15 ; y = 9 .
x y
z
= =
Bài tập 3: Tìm x, y, z biết.
và x + y − z = 10
8 12 15
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y
z

x + y − z 10
= = =
= =2
8 12 15 8 + 12 − 15 5
⇒ x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ; z = 15.2 = 30
Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z = 30 .
x y z
Bài tập 4: Tìm x, y, z biết. = = và. 2 x + 3 y + z = 34
2 3 4
Giải:
Ta có:

x y z 2x 3 y z
= = =
=
=
2 3 4 4 12 4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y z 2 x + 3 y + z 34
=
= =
=
=2
4
9 4
4+9+ 4
17
⇒ x = 2.2 ⇒ x = 4 ; y = 3.2 ⇒ y = 6 ; z = 4.2 ⇒ z = 8

24


GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Vậy: x = 4 ; y = 6 ; z = 8 .
x −1 y − 2 z − 3
=
=
Bài tập 5: Tìm x, y, z biết.
và x − 2 y + 3z = 14 .
2
3
4
Phân tích đề bài: Cách làm giống bài 4
x − 1 y − 2 z − 3 x − 1 2 y − 4 3z − 9
=
=
=
=
=
Giải:
Ta có:
2
3
4
2
6
12
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x − 1 2 y − 4 3 z − 9 x − 1 − 2 y + 4 + 3z − 9 x − 2 y + 3 z − 6 14 − 6

=
=
=
=
=
=1
2
6
12
2 − 6 + 12
8
8
x −1
y−2
⇒
= 1⇒ x −1 = 2 ⇒ x = 3 ;
= 1 ⇒ y − 2 = 3 ⇒ y = 5 . Vậy: x = 3 ; y = 5 ; z = 7
3
2
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài tập 6: Tìm x, y biết. 7 x = 9 y và 10 x − 8 y = 68
Phân tích đề bài: Ta viết đẳng thức 7 x = 9 y về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó vận dụng
cách làm ở bài 4.
x y 10 x 8 y
=
Giải: Từ: 7 x = 9 y ⇒ = =
9 7 90 56
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

10 x 8 y 10 x − 8 y 68

=
=
=
=2
90 56 90 − 56 34
x
y
= 2 ⇒ y = 7.2 ⇒ y = 14
⇒ = 2 ⇒ x = 9.2 ⇒ x = 18 ;
7
9
Vậy: x = 18 ; y = 14 .
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết. 2 x = 3 y = 4 z và x + y + z = 169 .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2 x = 3 y = 4 z về dạng dãy tỉ số bằng nhau sao cho
hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng, bằng 1.
Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: BCNN ( 2;3; 4 ) = 12 ] sau đó làm như ví dụ 3
Giải: Từ: 2 x = 3 y = 4 z ⇒

2x 3 y 4z x y z
=
=
= = =
12 12 12 6 4 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y z x + y + z 169
= = =
=
= 13

6 4 3 6 + 4 + 3 13
⇒ x = 6.13 ⇒ x = 78 ; y = 4.13 ⇒ y = 52 ; z = 3.13 ⇒ z = 39

Vậy: x = 78 ; y = 52 ; z = 39 .
x y
= và x. y = 112
Bài tập 8: Tìm x, y biết.
4 7

25