Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHIẾU THỊ LAN ANH

MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHIẾU THỊ LAN ANH

MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH

THÁI NGUYÊN - 2015

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình được trình bày theo nhận thức của
riêng tôi. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Tài liệu tham khảo và
nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực và sự chính xác
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015
Tác giả

Khiếu Thị Lan Anh


ii

LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trịnh Thị Diệp Linh. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Cao Phong, Huyện Cao Phong,
Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt
trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015
Tác giả
Khiếu Thị Lan Anh


iii

Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Phôi và điểm kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Các điểm kì dị đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1. Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm
yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm

7
9

1.3.3. Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến)
không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Các tính chất của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp . . 10
2 Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng
hỗn hợp trong mặt phẳng

12

2.1. Định lý rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn
hợp trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

1

Mở đầu
Họ các đường cong tích phân của phương trình đặc trưng đóng vai trò
quan trọng trong lý thuyết của các phương trình đạo hàm riêng (xem [5],
[7], [13]).
Xét phương trình vi phân cấp 2 trên mặt phẳng

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ),

(1)

trong đó x, y là các tọa độ, a, b, c là các hàm số trơn, và F là hàm số nào
đó.
Phương trình đặc trưng tương ứng được định nghĩa

a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0.

(2)

Như vậy, vấn đề nghiên cứu các dạng chuẩn địa phương của phương trình
đặc trưng dẫn đến sự thay đổi trơn của các tọa độ đã có các nghiên cứu
tới thế kỷ XIX. Từ xuất phát ban đầu của bài toán cho tới cuối thế kỷ
đã nhận được các dạng chuẩn bao gồm các phương trình Laplace, phương
trình sóng, và phương trình Cibrario - Tricomi đã biết.
Các phương trình đặc trưng tương ứng với ba dạng trên là

dy 2 + dx2 = 0,

dy 2 − dx2 = 0 và dy 2 − xdx2 = 0,

(3)

(xem [4], [6], [7], [15]). Dạng chuẩn đầu tiên và dạng chuẩn thứ 2 được lấy
gần một điểm của miền xác định elliptic và hyperbolic của phương trình
ban đầu tương ứng với phương trình (2) có nghiệm 0 và hai nghiệm thực

dy : dx tại một điểm tương ứng.
Dạng thứ ba là dạng chuẩn Cibrario - Tricomi, lấy vị trí tại một điểm
điển hình của loại đường suy biến (hay đường cong biệt thức khác) của


2

phương trình, ở đây biệt thức là bằng 0 nhưng vi phân của nó khác 0,
hướng đặc trưng không tiếp xúc với đường tại điểm này. Sự chứng minh
dạng này đã được hoàn thành bởi Tricomi F. (xem [15]) nhưng còn có chỗ
thiếu sót và sau này đã được chứng minh hoàn chỉnh bởi Cibrario M. (xem
[6]). Đây là dạng chìa khóa trong công thức của vấn đề đã được nghiên
cứu bởi Tricomi và các sự thay đổi khác nhau của nó.
Danh sách hoàn thành của các dạng chuẩn địa phương của mạng đặc
trưng cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 tổng quát trong
mặt phẳng đã tìm được ở cuối thế kỷ XX, khi các dạng chuẩn trơn tìm gần
một điểm của đường suy biến, tại điểm mà hướng đặc trưng là tiếp tuyến
tới đường (xem [8], [9], [10], [11]). Nó đã chứng minh rằng, một phương
trình đặc trưng gần một điểm của tiếp tuyến này là rút gọn được đến dạng

dy 2 + (kx2 − y)dx2 = 0,

(4)

trong đó k là tham số thực, bởi phép nhân trên hàm số không triệt tiêu
trơn và sự lựa chọn thích ứng của các tọa độ trơn mới với gốc tại điểm này,
nếu các điều kiện tiêu chuẩn được đưa vào. Chính xác hơn, trường hướng
đặc trưng có thể nâng lên tới trường giá trị đơn trên mặt phương trình đã
xác định trong không gian của các hướng trên mặt phẳng (với các tọa độ
địa phương x, y, p, trong đó p = dx : dy ) bởi phương trình (2). Tại một
điểm của bề mặt này giá trị của trường hướng nâng lên được là giao của
mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt và mặt phẳng tiếp xúc xác định được 0
của dạng dy − pdx nếu các mặt phẳng này là khác nhau.
Nội dung chủ yếu của luận văn trình bày lại các kết quả trong bài báo
[3], [2]. Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo luận văn được
chia thành hai chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 đưa ra một số khái niệm, ví dụ minh họa và tính chất
cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu trong chương 2.
Chương 2. Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn


3

hợp trong mặt phẳng
Trong chương này đã trình bày định lý rút gọn và sử dụng phương pháp
chứng minh của định lý rút gọn để nhận được các kết quả về dạng chuẩn
tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng.


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân ẩn cấp 1 trên mặt phẳng R2x,y của
hàm số trơn trong không gian của các hướng được gọi là mặt của phương
trình.
Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát là phương trình từ tập
mở trù mật hầu khắp nơi nào đó của tập hợp trong không gian tôpô được
lựa chọn.
Định nghĩa 1.2. Giới hạn trên mặt của phép chiếu tiêu chuẩn dọc theo
trục của các hướng, nghĩa là ánh xạ của mặt này trên mặt phẳng pha
(thường gọi là hướng) được gọi là gấp của phương trình ẩn.
Định nghĩa 1.3. Một ánh xạ gấp của phương trình ẩn là phép chiếu của
phương trình mặt trên mặt phẳng với các biến x, y dọc theo trục p. Một
điểm trên mặt gọi là chính quy nếu nó không là điểm tới hạn gấp của
phương trình.
Định nghĩa 1.4. Đường cong tích phân của phương trình ẩn là đường
cong tích phân của trường các hướng trên bề mặt của phương trình.
Định nghĩa 1.5. Đối với phương trình đặc trưng (2), ánh xạ đi đến điểm
của bề mặt phương trình gấp với ảnh tương ứng được gọi là phép đối hợp
gấp của phương trình.
Định nghĩa 1.6. Họ vi phân của trường véctơ v (hoặc của trường hướng),
phôi của trường véc tơ (hoặc của trường hướng) với tham số ε ∈ Rm , m ≥ 1


5

là Cvr −tương đương nếu nó dẫn đến trong các phôi khác của họ, phép Cvr −
vi đồng phôi với tham số bảo toàn sự phân lớp tự nhiên trên không gian
tham số đi tới các đường cong pha (hoặc các đường cong tương ứng) của
trường (v, ε˙ = 0) (tương ứng (v, 0)) trong chính nó.
Định nghĩa 1.7. Cvr −tương đương của các phôi của họ được gọi là mạnh
nếu nó bảo toàn tham số.

1.2.

Phôi và điểm kì dị

Định nghĩa 1.8. Hai đối tượng có tính chất giống nhau (các tập hợp, các
trường véctơ, các họ của đường cong, phép ánh xạ,...) được gọi là tương
đương tại một điểm nếu chúng trùng nhau trong lân cận của điểm đó.
Lớp tương đương của một đối tượng tại một điểm được gọi là phôi của
nó tại điểm đó.

x + |x|
2
có một phôi chung tại mỗi điểm của nửa trục x dương và các phôi khác
tại mỗi điểm khác.

Ví dụ 1.1. Các hàm số của hàm một biến g1 (x) = x và g2 (x) =

Định nghĩa 1.9. Hai sự biến dạng (của phôi) của phương trình ẩn gọi là
tương đương trơn nếu hai sự biến dạng tạo thành một trong phép vi đồng
phôi trơn khác (tương ứng phôi của phép vi đồng phôi trơn).
Định nghĩa 1.10. Sự biến dạng phôi của phương trình vi phân ẩn được
gọi là quy nạp từ phôi khác nếu phôi thứ nhất nhận được là ánh xạ trơn

của phôi thứ hai.
Định nghĩa 1.11. Với r ≥ 0 hai phôi của các đối tượng có cùng tính
chất (chẳng hạn các ánh xạ, các hàm số, các đường cong,..) được gọi là
C r −tương đương dọc theo C 1 −trường véctơ (hoặc trường của các hướng)
v (= Cvr −tương đương) nếu chúng đưa đến một phôi khác của phép C r −
vi đồng phôi đưa đến các đường cong pha (tương ứng các đường cong tích
phân) của trường v trong chính nó.
Ví dụ 1.2. Trên mặt phẳng R2x,y , cho trường véctơ v = (x, βy) với β = 1
của phôi trong O và của hai đường thẳng đi qua O trong tọa độ ban


6

Hình 1.1: Cvr −tương đương của đường thẳng trong điểm kì dị dạng yên ngựa

đầu với góc phần tư thứ nhất và thứ 3 (góc phần tư thứ 2 và thứ 4) thì
Cvr −tương đương. Thật vậy, luồng pha của trường này với thời gian t đi
đến điểm (x, y) của đường thẳng y = sx, với s = 0 trong điểm (et x, eβt y)
nằm trên đường thẳng y = e(β−1)t sx. Trực tiếp suy ra đường thẳng y = qx
s
ln
q
nếu sq > 0 trong thời gian hiện thời với t =
(Hình 1.1).
β−1

Hình 1.2:

Định nghĩa 1.12. Hai phôi (có tính chất như nhau) được gọi là phép
C k −vi đồng phôi nếu tại đó tồn tại một phôi của phép C k −vi đồng phôi

dịch chuyển phôi thứ nhất trong phôi thứ hai. Lớp các phôi của phép
C k −vi đồng phôi được gọi là một điểm kì dị C k hay đơn giản là một kì dị.
Nhận xét. Một phép C k −vi đồng phôi là ánh xạ 1 − 1 mà cùng với
nghịch đảo của nó là khả vi k lần, còn phép vi đồng phôi−C 0 gọi là phép
đồng phôi.


7

Ví dụ 1.3. Tập hợp y = x2 − 1 trong mặt phẳng có điểm kì dị như nhau
tại các điểm (−1, 0) và (1, 0) trùng với điểm kì dị của tập hợp y = |x| tại
O (Hình 1.2).

1.3.

Các điểm kì dị đơn giản

Xét hệ phương trình vi phân (xem [1])

dx


= P (x, y);
dt

 dy = Q(x, y).
dt

(1.1)

Điểm (x0 , y0 ) mà tại đó P (x0 , y0 ) = 0, Q(x0 , y0 ) = 0 được gọi là điểm
cân bằng của hệ (1.1) hoặc điểm kì dị.
Bây giờ ta xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bắt đầu
từ hệ 2 phương trình

dx


= a11 x + a12 y;
dt
(1.2)

 dy = a21 x + a22 y,
dt

a11 a12
= 0. Điểm (0, 0) là
a21 a22
điểm cân bằng của hệ (1.2). Ta hãy nghiên cứu đặc tính của các quỹ đạo
đối với hệ (1.2) ở lân cận điểm đó. Ta tìm nghiệm dưới dạng

trong đó aij (i, j = 1, 2) là các hằng số và

x = a1 ekt , y = a2 ekt .

(1.3)

Để xác định k ta có phương trình đặc trưng

a11 − k

a12
= 0.
a21
a22 − k

(1.4)

Ta sẽ xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra và đưa ra khái niệm các
điểm kì dị.
1.3.1.

Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa

Các nghiệm của (1.4) là thực và khác nhau. Trong trường hợp này có
thể xảy ra 3 trường hợp sau:


8

i. k1 < 0; k2 < 0. Điểm kì dị sẽ ổn định tiệm cận (điểm nút ổn định,
Hình 1.3a).

Hình 1.3:

ii. k1 > 0; k2 > 0. Điểm cân bằng sẽ không ổn định (điểm nút không ổn
định, Hình 1.3b).

Hình 1.4:

iii. k1 > 0; k2 < 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm yên ngựa, Hình

1.4a).

Hình 1.5:


9

1.3.2.

Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm

Các nghiệm của (1.4) là phức: k1 = p + qi; k2 = p − qi. Ở đây có 3
trường hợp sau:
i. p < 0; q = 0. Điểm cân bằng ổn định tiệm cận (tiêu điểm ổn định,
Hình 1.4b).
ii. p > 0; q = 0. Điểm cân bằng không ổn định (tiêu điểm không ổn
định, Hình 1.5a).
iii. p = 0; q = 0. Điểm cân bằng là ổn định, nhưng không ổn định tiệm
cận (tâm điểm, Hình 1.5b).
1.3.3.

Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định

Phương trình (1.4) có nghiệm kép (k1 = k2 ). Ở đây có 2 trường hợp:

Hình 1.6:

i. k1 = k2 < 0. Điểm cân bằng ổn định trên tiệm cận (điểm nút (suy
biến) ổn định, Hình 1.6a-b).
ii. k1 = k2 > 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm nút (suy biến)

không ổn định, Hình 1.6c).
Chú ý. 1. Nếu cả hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều có
phần thực âm thì điểm cân bằng ổn định tiệm cận. Còn nếu chỉ cần một
nghiệm của (1.4) có phần thực dương thì điểm cân bằng sẽ không ổn định.
2. Các kết luận tương tự cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất với hệ số hằng

dxi
=
dt

n

aij xj (i = 1, 2, ..., n).

(1.5)

j=1

3. Để ngắn gọn đôi khi ta có thể viết x˙ (y,
˙ z,
˙ ...) thay cho

dx dy dz
( , , ...).
dt dt dt


10

1.4.

Các tính chất của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 trong mặt phẳng với các biến
x, y dạng

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0,

(1.6)

trong đó a, b, c là các hàm số khả vi, F là một hàm số đã cho, và u là hàm
số chưa biết. Các miền hàm số ở đây ∆ = b2 − ac là âm và dương tương
ứng gọi là các miền elliptic và hyperbolic.
Phương trình vi phân ẩn

a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0
(trong một dạng là đối xứng với mối quan hệ dx và dy ) gọi là phương trình
đặc trưng của phương trình (1.6).
Trong lân cận mọi điểm của miền hyperbolic, đường cong tích phân
đặc trưng của hai phương trình cấp 1 mô tả 2 nhánh trơn của trường các
hướng.
Các đường cong tích phân của trường này gọi là các đặc trưng. Chúng
đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết của phương trình vi phân đạo hàm
riêng.
Trong trường hợp tổng quát, gradient của một hàm ∆ là khác 0 trên
tất cả các điểm mà ở đấy hàm số tự nó triệt tiêu. Như vậy, đường mức 0
của hàm số là đường cong trơn (một cách chính xác hơn, được nhúng trơn)
trong mặt phẳng. Đây là đường cong dạng biến đổi thay cho phương trình
(1.6) trong miền elliptic nằm trên một phía của đường, và miền hyperbolic

trên phía khác. Do đó, (1.6) là phương trình hỗn tạp trong lân cận của
mỗi điểm của đường cong này. Trong trường hợp chung, các hàm số a và
c không triệt tiêu một cách đồng thời tại một điểm nào đó trên đường của
dạng biến đổi vì nếu không thì gradient của hàm số ∆ tại điểm này có
thể cũng triệt tiêu. Do đó, trong lân cận của một điểm như thế phương
trình đặc trưng có thể đã được rút gọn về phương trình bậc 2, với mối
dx
dy
hoặc
bằng cách phân chia nó tương ứng bằng
quan hệ đạo hàm
dx
dy
dx2 hoặc dy 2 . Vì vậy, chúng ta nhận được một phương trình ẩn cấp 1 gần
giống dạng phương trình đường thay đổi không khó hơn khi tích phân hai


11

phương trình cấp 1 trơn không giải được với đạo hàm. Khi phép xấp xỉ
trên một đường của 2 hướng đặc trưng tiến đến 2 hướng khác, trên một
đường chính nó trùng khớp nhau và xác định một trường trơn của các
đường thẳng trên nó. Nói chung, trường quay khi chuyển động dọc theo
một đường và bởi vậy nó có thể tiếp xúc đường ở một vài điểm cấp 1 của
sự tiếp xúc. Tại một điểm của véctơ tiếp xúc (−∆y, ∆x) xác định một
hướng đặc trưng và thỏa mãn đường cong

a(x, y)∆2x + 2b(x, y)∆x∆y + c(x, y)∆2y = 0.
Trong một trường hợp chung, họ của các đặc trưng của các phương trình
(1.6) có một điểm kì dị gấp ở tại điểm tiếp xúc. Tính kì dị có thể là một

yên ngựa, một điểm nút, hay một tiêu điểm.
Chẳng hạn, cho phương trình

uxx + (kx2 − y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0
số không là một yên ngựa gấp, một nút gấp, hay một tiêu điểm gấp tương
1
1
, hoặc
< k . Mỗi phương trình (1.6) là
ứng đối với k < 0, 0 < k <
16
16
rút gọn được đến dạng này (với k nào đó) trong một lân cận các điểm kì
dị gấp.


12

Chương 2

Một số dạng chuẩn tắc của phương
trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong
mặt phẳng
Xét phương trình vi phân cấp 2 trên mặt phẳng

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ),

(2.1)

trong đó x, y là các tọa độ, a, b, c là các hàm số trơn, và F là hàm số nào

đó.
Phương trình đặc trưng tương ứng được định nghĩa

a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0.

(2.2)

Các hướng đặc trưng tại một điểm là các nghiệm của phương trình này.
Tại một điểm ở đó có thể có hai hướng đặc trưng, trong đó có hai hướng
ảo tương ứng với giá trị của biệt thức D := b2 − ac là dương, bằng 0, và
âm.
Một điểm của sự trùng khớp các mặt phẳng là các điểm kì dị của trường
hướng nâng lên được, và sự thích hợp chính xác tới các điểm của tiếp tuyến
của trường hướng đặc trưng với dạng đường suy biến. Nó được biểu diễn
gần một điểm kì dị của trường nâng lên được, ở đó tồn tại trường véctơ
trơn xác định trường hướng ở ngoài điểm. Khi đó điểm là một kì dị của
trường véctơ này. Dạng chuẩn (4) có thể nhận được trong tất cả các trường
hợp khi tồn tại trường véctơ cho dạng chuẩn, điểm này là không suy biến
và trường là tuyến tính hóa gần điểm. Trong trường hợp này tham số


13

1 + α2
α(α + 1)−2
đối với một yên ngựa hay một điểm nút và k =
k=
4
16
đối với một tiêu điểm, ở đây số mũ α được định nghĩa như tỉ số của giá

trị riêng với môđun lớn nhất của sự mở rộng trường véctơ tại điểm đi đến
trường với môđun nhỏ nhất trong hai trường hợp đầu, và môđun của tỉ
số phần ảo của giá trị riêng tới phần thực trong trường hợp thứ 3. Trong
1
và
3 trường hợp này tham số là nhỏ hơn 0, lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn
16
1
lớn hơn , tương ứng. Ở đây, tham số k trong phương trình đặc trưng có
16
1
thể rút gọn bất kỳ trong khoảng tương ứng, ví dụ tương ứng −1, , và 1
20
(xem [12], [13], [8], [9]) bởi sự thay đổi liên tiếp của các tọa độ.
Định lý rút gọn là một định lý quan trọng, hiện nay nó là chìa khóa
trong các chứng minh của các dạng chuẩn (xem [8], [9]). Định lý này quy
về vấn đề của các dạng chuẩn cho phương trình (2.2) gần điểm của tiếp
tuyến của trường đặc trưng với đường suy biến theo lý thuyết các dạng
chuẩn của cặp đối hợp gấp hoán vị trên phương trình bề mặt, các điểm
với các tọa độ x, y giống nhau và một trường véctơ trên bề mặt xác định
trường hướng nâng lên được gần điểm kì dị của các trường.
Ở đây các kết quả chứng minh định lý rút gọn cho trường hợp của các
họ của phương trình (2.2) khi các hệ số phương trình trơn phụ thuộc tham
số ε với số chiều hữu hạn. Sau đó, sử dụng định lý này và các kết quả
đã biết cho dạng chuẩn với biến dạng trơn của phôi của phương trình đặc
trưng tại điểm tiếp tuyến của hướng đặc trưng với đường suy biến, khi
điểm kì dị của trường véctơ nâng được là không suy biến và thêm vào đó
số mũ α là số vô tỉ trong trường hợp của yên ngựa và không là số tự nhiên
cho trường hợp điểm nút.
Khi đó nhận được các dạng chuẩn cho các họ, gần các điểm mà phép

nhân bởi hàm số không triệt tiêu và sự lựa chọn của các tọa độ x, y thích
hợp phụ thuộc tham số của họ và của các hàm số trơn cho trước nào đó,
giống như trong (4) nhưng với k là một hàm số đã biết trên tham số này.
Chú ý rằng, tập hợp cho các họ của các phương trình(2.2) là các dạng
chuẩn đối với phương trình Laplace, phương trình sóng, và phương trình
Cibrario - Tricomi là như nhau.


14

Đây là các sự phân nhánh địa phương đã nhận được bởi các họ của các
đường cong tích phân của phương trình (2.2) trong trường hợp tham số
một chiều hay tham số hai chiều.

2.1.

Định lý rút gọn

Cho một họ trơn của phương trình (2.1) với tham số ε hữu hạn chiều,
phân tích dáng điệu của họ tương ứng của lưới đặc trưng gần điểm P của
đường suy biến, ở đây sự khác nhau của biệt thức là khác 0 và hướng đặc
trưng là tiếp tuyến tới đường, và cho một vài dạng chuẩn của các họ đặc
trưng gần điểm trên các tọa độ trơn hay đủ trơn. Trong chương này luôn
giả thiết phương trình là địa phương gần điểm nghiên cứu.
Mệnh đề 2.1. Một họ trơn của phương trình

a(x, y, ε)dy 2 − 2b(x, y, ε)dxdy + c(x, y, ε)dx2 = 0,

(2.3)

với tham số ε hữu hạn chiều gần điểm P của đường cong biệt thức, trong
đó D(P ) = 0, dD(P ) = 0 và hướng đặc trưng là tiếp tuyến tới đường cong.
Khi đó nhận được dạng

dy 2 + c(x, y, ε)dx2 = 0

(2.4)

với c là hàm số trơn nào đó, c(O) = 0 = cx (O) = cy (O), sau khi nhân
hàm số trơn không triệt tiêu với sự lựa chọn thích hợp của các tọa độ trơn
với gốc O tại điểm này.
Chứng minh. Lựa chọn điểm P với ε = ε0 trong hệ của các tọa độ địa
phương trơn sao cho hướng đặc trưng trong tọa độ ban đầu trùng với
hướng của trục hoành.
Các tọa độ địa phương trong không gian của các hướng trên mặt phẳng
dy
và họ của phương trình (2.3) được
gần điểm gốc có thể lấy x, y , và p =
dx
viết dưới dạng

a(x, y, ε)p2 − 2b(x, y, ε)p + c(x, y, ε) = 0,
có a(O) = 0 = b(O) = c(O), cy (O) = 0, vì theo điều kiện D(O) = 0 và
|Dx (O)| + |Dy (O)| = 0 và hướng đặc trưng tiếp xúc đường suy biến. Nếu


15

khử được hệ số b thì b = 0, chia phương trình cuối cho a địa phương gần
điểm gốc chúng ta nhận được dạng cần tìm của họ.

Triệt tiêu hệ số b, lựa chọn tọa độ tham số mới y˜ như sau y = Y (x, y˜, ε),
trong đó Y là hàm số trơn nào đó. Khi đó nhận được

d˜
y
dy
= Yx (x, y˜, ε) + Yy˜(x, y˜, ε) .
dx
dx
Tiếp theo, đặt tọa độ mới trong họ của phương trình, nhận được phương
trình

d˜
y
Yx + Yy˜
dx

2

− 2b(x, Y, ε) Yx + Yy˜

d˜
y
dx

+ c(x, Y, ε) = 0,

biến đổi phương trình trên ta nhận được

d˜

y
dx

2

d˜
y
+ c(x, Y, ε) + Yx2 − 2b(x, Y, ε)Yx = 0.
dx
(2.5)
d˜
y
đủ để biểu thức trong ngoặc
Do đó, triệt tiêu số hạng với đạo hàm
dx
vuông bằng 0
Yx ≡ b(x, Y, ε).
Yy˜2

+ 2Yy˜[Yx − b(x, Y, ε)]

Phương trình này với đạo hàm riêng cấp một và họ trơn của phương
trình đặc trưng xác định trường véctơ (1, 0, 0) không tiếp xúc mặt phẳng
tọa độ x = 0. Vì địa phương gần gốc có duy nhất nghiệm trơn nếu các
trơn tùy ý ban đầu nào đó trên mặt phẳng x = 0. Lấy nghiệm này của
phương trình nếu Y (0, y˜, ε) = y˜ trên bề mặt của phương trình. Do bổ đề
Hadamard [4] nên nghiệm có thể viết dưới dạng

Y (x, y˜, ε) = y˜ + xB(x, y˜, ε),
trong đó B là hàm số trơn nào đó.

Thế biểu thức trên vào phương trình (15) và nhận được phương trình
gần O trên hàm số trơn

Yy˜2 = (1 + xB(x, y˜, ε))2 ,
chúng ta nhận được dạng cần tìm của phương trình với hàm số C mới nào
đó với C = C(x, y, ε). Mệnh đề được chứng minh.


16

Gần gốc cho một giá trị tham số, đối hợp gấp σ của phương trình này
có dạng
(x, p) → (x, −p)
(2.6)
dy
trên phương trình mặt. Trường hướng phương
trong các tọa độ x và p =
dx
trình trong các tọa độ này có thể tính toán được bởi vi phân vế trái của
phương trình p2 + c(x, y, ε) = 0 và thay thế pdx bởi dy . Khi đó trường
hướng phương trình có dạng (−2p : cx + pcy ) có thể xác định được trên
bề mặt phương trình bởi trường véctơ

v := (−2p, cx + pcy ).
Gốc là điểm kì dị của trường véctơ này, và thêm vào đó trên đường của
các điểm cố định của phép đối hợp gấp (đối hợp gấp với p = 0) trường
này là 0 hoặc có hướng thẳng đứng, với hướng thẳng đứng là hướng của
trục p.
Tại điểm (x, p) của bề mặt phương trình, ảnh của trường v dưới đối hợp
gấp là

σ∗ v(x, p) = (2p, −cx + pcy ).
Như vậy, định thức của ma trận với cột v và σ∗ v có tại điểm (x, p) giá
trị 4p2 cy . Do cy (O) = 0 định thức cấp 2 bằng 0 trên đường của các điểm
cố định của đối hợp gấp. Đặc biệt các trường v và σ∗ v chỉ là cộng tuyến
trên đường. Sự tính toán này đưa đến giới thiệu một số khái niệm của tính
tương thích dưới đây.
Định nghĩa 2.1. Trong mặt phẳng, trường véctơ và một đối hợp vi phân
với một đường của các điểm cố định gọi là tương thích tại một điểm của
đường nếu gần điểm này định thức của ma trận xác định được bởi trường
và ảnh của nó dưới phép đối hợp có định thức cấp 2 bằng 0 .
Định nghĩa 2.2. Trong mặt phẳng, một trường hướng và một đối hợp vi
phân với một đường của các điểm cố định gọi là tương thích tại một điểm
của đường nếu trường đó có thể xác định được bởi một trường véctơ cho
tương thích với đối hợp tại điểm này.
Tương thích của phôi xác định tương tự.
Hai đối tượng (các hàm số hay các phôi của các hàm số, các ánh xạ,...)
gọi là C r −tương đương dọc theo một trường véctơ vi phân v (= Cvr −tương


17

đương) nếu chúng có thể biến đổi vào trong bởi ánh xạ C r −đồng phôi các
đường cong tích phân của trường vào trong nó. Cho các họ của các đối
tượng Cvr −tương đương là C r −đồng phôi bảo toàn cấu trúc tự nhiên lên
trên tham số ε của họ và ánh xạ các đường cong của trường (v, ε˙ = 0) vào
trong nó; Cvr −tương đương là mạnh, nếu nó bảo toàn tham số.
Định nghĩa 2.3. Trường véctơ v liên tục và phép đối hợp vi phân σ với
điểm cố định tuyến tính được gọi là tương thích trong điểm của sự tuyến
tính này nếu gần điểm xác định định thức cấp hai của ma trận cột v và
σ∗ v bằng O.

Hình 2.1:

Định nghĩa 2.4. Trường của các hướng và phép đối hợp là tương thích
trong điểm của sự tuyến tính nếu trường này có thể cho trường véctơ liên
tục thích hợp với phép đối hợp trong điểm.
Định nghĩa tương tự đối với họ của một cặp trường liên tục và phép đối
hợp vi phân.
Ví dụ 2.1. Trên mặt phẳng R2x,y trường véctơ (x, αy), α > 1 và phép đối
hợp
(α + 1)x − 2αy 2x − (α + 1)y
(x, y) →
,
α−1
α−1
tương ứng hầu khắp trên điểm cố định tuyến tính của phép đối hợp.
Định lý 2.1. (Định lý rút gọn)
Nếu với giá trị tham số cố định đã cho nào đó đủ đóng tới O, hai phôi
tại gốc của các họ trơn (v, σ1 ) và (v, σ2 ) của các cặp tương thích các trường
hướng và các phép đối hợp với cặp tham số chiều hữu hạn như nhau, bề


18

mặt của điểm cố định các phép đối hợp đi qua gốc tọa độ là Cv∞ −tương
đương mạnh. Khi đó trường v là đường hoành tới đường của các điểm cố
định của các phép đối hợp hầu khắp nơi.
Chứng minh. Sử dụng phương pháp chứng minh đã sử dụng trong [8] đối
với các trường hợp có tham số. Gần gốc của các tọa độ trơn địa phương
x, y, ε, các tọa độ phân lớp qua tham số, lựa chọn bề mặt của các điểm cố

định giống như tọa độ mặt phẳng y = 0, còn họ của phép đối hợp σ1 có
dạng (x, y, ε) → (x, −y, ε). Hiển nhiên sự lựa chọn tọa độ này hoàn toàn
có thể được, chẳng hạn đối với sự biến dạng trơn tùy ý của F với tham số
ε của hàm số trơn tùy ý f , |fx (O)| + |fy (O)| = 0 đi qua O, bề mặt không
tiếp xúc đạo hàm riêng theo hướng của phép đối hợp σ1 trong O, với các
tọa độ chuẩn địa phương có thể lấy x = f + σ1∗ f và y = f − σ1∗ f không
biến đổi tọa độ dọc theo trục của tham số.
Ký hiệu v = (v1 , v2 ) và tính toán họ tương ứng của phép đối hợp σ1 với
trường này chúng ta nhận được

v1 (x, y, ε)
v2 (x, y, ε)
= − v1 (x, y, ε)v2 (x, −y, ε)−
v1 (x, −y, ε) −v2 (x, −y, ε)
− v1 (x, −y, ε)v2 (x, y, ε)
có định thức cấp hai bằng 0 trên bề mặt y = 0 của các điểm cố định của
phép đối hợp. Nói riêng, trên bề mặt của các điểm cố định, phép đối hợp
có v1 v2 ≡ 0. Khi đó, theo tính toán trường v do sự lựa chọn các tọa độ
v1 (x, 0, ε) ≡ 0, còn hướng của trục Oy (= (0, 1, 0)) là các hướng riêng với
giá trị riêng −1 của phép đối hợp tuyến tính trên bề mặt của các điểm cố
định.
Vì vậy, phép đối hợp tuyến tính trên bề mặt này trùng nhau, suy ra
trong sự lựa chọn các tọa độ địa phương gần điểm O của họ σ2 đưa ra
dạng
(x, y, ε) → (x + y 2 r(x, y, ε), −y + y 2 s(x, y, ε), ε),
(2.7)
với r, s là các hàm số trơn nào đó. Thực vậy, viết họ đối hợp σ2 dưới dạng

σ2 : (x, y, ε) → (X(x, y, ε), Y (x, y, ε), ε)
trong đó X, Y là các hàm số trơn nào đó. Vì sự trùng nhau tuyến tính

19

trên mặt phẳng của các điểm cố định

Xx (x, 0, ε) ≡ 1, Xy (x, 0, ε) ≡ 0, Yx (x, 0, ε) ≡ 0, Yy (x, 0, ε) ≡ 1.
Từ đẳng thức đầu tiên nhận được dạng

Xx (x, y, ε) = x + yX1 (x, y, ε),
với X1 là hàm số trơn nào đó, đẳng thức thứ hai nhận được

X1 (x, 0, ε) ≡ 0.
Từ đây theo bổ đề Hadamard gần gốc O nhận được dạng

X1 (x, y, ε) = y 2 r(x, y, ε),
với r là hàm số trơn nào đó. Lập luận tương tự đối với hàm số Y . Do (2.7)
tồn tại họ các tọa độ

ζ = x + y 2 R(x, y, ε), η = y + y 2 S(x, y, ε),
ở đây R và S là các hàm số trơn cùng với ε, họ của các phép đối hợp σ2
có dạng (ζ, η, ε) → (ζ, −η, ε).
Tọa độ địa phương gần gốc O, xét sự biến dạng trơn

γt : (ζt , ηt , ε) → (ζt , −ηt , ε)
họ của phép đối hợp σ1 trong σ2 , ở đây

ζt = x + ty 2 R(x, y, ε), ηt = y + ty 2 S(x, y, ε).
Chúng ta có γ0 = σ1 , γ1 = σ2 . Ký hiệu Vt là trường của sự biến dạng vi
phân của phép đối hợp tương ứng vận tốc của điểm ảnh chuyển động nếu

phép đối hợp từ họ của sự biến dạng trơn của phép đối hợp này là dạng
đã nói ở trên. Khi đó Vt có phần tử O dọc theo trục tham số.
Bổ đề 2.1. Trường V là trường biến dạng vi phân của sự biến dạng phân
lớp trơn của họ σ khi và chỉ khi σ∗ V = −V .
Bổ đề 2.2. Một biến dạng phân lớp trơn g đồng nhất với vận tốc h thì
họ của các phép đối hợp σ : (x, y, ε) → (x, −y, ε) là biến dạng với vận tốc
h − σ∗ h.


20

Hình 2.2:

Hình 2.3:

Bổ đề này chứng minh tương tự như trong tài liệu [8], [9]. Do Bổ đề
(2.2) chứng minh định lý là địa phương đủ gần đoạn [0, 1] của trục t, vận
tốc biến dạng có thể viết dưới dạng

Vt = ft v − (γt∗ ft )γt∗ v,

(2.8)

trong đó v là trường véctơ và ft là một hàm số trơn trên t theo các biến
x, y, ε. Chỉ ra rằng, sự biểu diễn như vậy quả thực xảy ra.
Thật vậy, việc giải được phương trình đồng điều (2.8) với ft dựa trên
độ tương thích của mỗi họ từ các họ đối hợp σ1 , σ2 với họ của trường v ,
sự tương thích cuối cùng của họ với họ của phép đối hợp γt với tất cả
t ∈ [0, 1].
Vận tốc của sự biến dạng V = 0 (chỉ số t bỏ đi) trên đường cong

y = 0(η = 0), vì vậy có thể viết dưới dạng

V = η2

h(ζ, η, ε)
r(ζ, η, ε)

,

(2.9)

với các hàm số trơn h và r nào đó.
Do Bổ đề (2.1) vận tốc của sự biến dạng phải thỏa mãn đẳng thức