File a 8e TOÁN THỰC tế tọa độ KHÔNG GIAN

8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

  
 8E.
 

BÀI TOÁN VẬN DỤNG
 VỀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Oxyz

 
 

 Dạng 132. Bài toán vận dụng viết phương trình
mặt phẳng
Câu 01. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho hình lập phương  ABCD. A ’B’C ’D ’ , 
biết   A  0; 0; 0  , B  1; 0; 0  , D  0; 1; 0   và  A’  0; 0; 1 .  Phương trình nào dưới đây là phương 
trình mặt phẳng   P   chứa đường thẳng  CD ’  và tạo với mặt phẳng   B B’D ’D   một góc 
lớn nhất? 
A.  x  y  z  0 . 

B.  x  y  z  2  0 . 

C.  x  2 y  z  3  0 . 

 

D.  x  3 y  z  4  0 . 
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.
Ta có:    B  1; 0; 0  , B’  1; 0; 1 , C  1; 1; 0  , D ’  0; 1; 1 . 
 Do đó   BB’D ’D   có phương trình:  x  y  1  0  

 

         P   tạo với   BB’D ’D   một góc lớn nhất  
     P   vuông góc với   BB’D ’D  .  
Vậy   P   chứa  CD ’  và vuông góc với   BB’D ’D   
nên phương trình   P   là:   x  y  z  0.  
x 1 y z  2
 
 và 
2
1
2
điểm  M  2; 5; 3  .  Phương  trình  nào  dưới  đây  là  phương  trình  mặt  phẳng   P    chứa    
Câu 02. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho đường thẳng   :

sao cho khoảng cách từ  M  đến mp  P   lớn nhất? 
A.  x  4 y  z  1  0 . 

B.  x  4 y  z  3  0 . 

C.  x  4 y  z  3  0 . 

D.  x  4 y  z  1  0 . 

 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.
Ta có khoảng cách từ  M  đến mặt phẳng bất kỳ chứa    không vượt quá khoảng cách 

từ  M  đến đường thẳng    và khoảng cách đó sẽ đạt giá trị lớn nhất khi mặt phẳng 

này chứa    và nhận  MH  làm vectơ pháp tuyến trong đó  H  là hình chiếu của  M  lên 
.   

Ta có  H  3; 1; 4   và  MH  1; 4; 1 .    
 
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 55


8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

Câu 03. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  hai  điểm  A  1; 2; 1 , B  0; 4; 0    và 
mặt phẳng   P  : 2 x  y  2 z  2017  0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt 
phẳng   Q   đi qua hai điểm  A , B  và tạo với mặt phẳng   P   một góc nhỏ nhất? 
A.  Q  : x  y  z  4  0 . 

B.   Q  : x  y  z  4  0 .   

C.   Q  : 2 x  y  3z  4  0 . 

D.   Q  : 2 x  y  z  4  0 . 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án B.
Nhận xét: 00   ( P ),(Q)   90 0 , nên góc   ( P),(Q)   nhỏ nhất khi cos  ( P ),(Q)   lớn nhất.

Q  : ax  b( y  4)  cz  0; A  (Q)  a  2b  c
Ta có  cos  ( P),(Q)  

2 a  b  2c
3 a 2  b2  c 2

b



a 2  b2  c 2

 

Nếu  b  0  cos  ( P),(Q)   0   ( P),(Q)   90 0
1

Nếu  b  0  cos  ( P ),(Q)  



2

c
c
2   4   5
b

b

1
2



c

2   1  3
b


1
3

.

Dấu bằng xảy ra khi  b  c ; a    c , nên phương trình mp  Q  là:  x  y  z  4  0 . 
x 1 y z 1
 
 và 
2
1
1
mặt  phẳng   P  : 2 x  y  2 z  1  0 .  Phương  trình  nào  dưới  đây  là  phương  trình  mặt 
Câu 04. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho đường thẳng   :

phẳng   Q   chứa    và tạo với   P   một góc nhỏ nhất? 
A.  2 x  y  2 z  1  0 . 

B.  10 x  7 y  13z  3  0 .   

C.  2 x  y  z  0 . 

D.   x  6 y  4 z  5  0 . 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án B.
Gọi  A  là giao điểm của  d  và   P  , m  là giao tuyến của   P   và   Q  .  Lấy điểm  I  trên  d . 

  là góc 
Gọi H là hình chiếu của I trên   P  , dựng  HE  vuông góc với  m , suy ra  φ  IEH
giữa   P   và   Q   
IH
IH

. Dấu  "  "  xảy ra khi  E  A.   
HE HA

  
 
Khi đó đường thẳng  m  vuông góc với  d , chọn   um  dd ; nP  ,  nQ  ud ; um  . 




   tan  

Câu

05.

Trong 

không 

gian 

với 

hệ 

tọa 

độ 

Oxyz ,  

cho 

mặt 

cầu 

x6 y2 z2


.  Phương 
3

2
2
trình  nào  dưới  đây  là  phương  trình  mặt  phẳng   P    đi  qua  M  4; 3; 4  ,  song  song  với 

S  : ( x  1)

2

 ( y  2)2  ( z  3)2  9   và  đường  thẳng     :

đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu   S  ? 
A.  2 x  y  2 z  19  0 . 

B.  x  2 y  2 z  1  0 . 

C.  2 x  2 y  z  18  0 . 

D.  2 x  y  2 z  10  0 . 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

 

[ Nguyễn Văn Lực ] | 56


8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.

Gọi  n   a; b; c   là vecto pháp tuyến của   P   
Ta có  3a  2b  2c  0   
Điều kiện tiếp xúc ta có  3a  b  c  3 a2  b2  c 2   
Từ đó suy ra  2b  c ,  b  2c   
Suy ra hai mặt phẳng ở  A  và  C .  
C loại vì chứa   . 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 57


8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

 Dạng 133. Bài toán vận dụng tổng hợp về tọa
độ không gian Oxyz
Câu 06. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  bốn  điểm  A  1; 2; 0  ,   B  2; 1; 1 ,  
C  3; 1; 0   và  D  5; 1; 2  . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm  A  và  B  và cách 

đều  C  và  D . 
A.  1 . 

B.  2 . 

C.  4 . 

Lời giải tham khảo 

D. Vô số mặt phẳng. 

Chọn đáp án D.
Kiểm tra  ta được  AB  song song với  CD  nên  có vô số mặt phẳng mặt phẳng đi qua 
hai điểm  A  và  B  và cách đều  C  và  D . 
Câu 07.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   Cho  các  điểm  A  1; 0; 0  , B  0; 1; 0  ,  
C  0; 0; 1 , D  0; 0; 0  .   Hỏi  có  bao  nhiêu  điểm    cách  đều  4   mặt  phẳng   ABC  ,  BCD  ,  

CDA  ,  DAB  ?  
A.  8 . 

B.  5 . 

C.  1 . 
Lời giải tham khảo 

D.  4 . 

Chọn đáp án A.
Gọi  I  x; y ; z   cách đều  4  mặt ta có  x  y  z 

x y  z 1
3

, phương trình có  8  

nghiệm. 
Câu 08.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  bốn  điểm  A  1; –2; 0  , B  0; –1; 1 ,  

C  2; 1; –1  và  D  3; 1; 4  .  Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chia tứ diện  ABCD  thành 
2  phần có thể tích bằng nhau ? 
A.  4  mặt phẳng. 
C.  8  mặt phẳng. 

B.  6  mặt phẳng.   
D. Có vô số mặt phẳng. 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án D.
MN AN AP 1
.
.
  thì 
AB AC CB 2
mp  MNP   chia khối tứ diện  ABCD  thành hai phần có thể tích bằng nhau có vô số 

Trên các cạnh  AB, AC , AD  lấy lần lượt  M , N , P  sao cho 

mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu. 
Câu 09. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  bốn  điểm  A  1; –2; 0  , B  0; –1; 1 ,  
C  2; 1; –1  và  D  3; 1; 4  . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ? 

A.  1  mặt phẳng. 
C.  7  mặt phẳng. 

B.  4  mặt phẳng.   
D. Có vô số mặt phẳng. 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án C.



Ta có:  AB   1; 1; 1 ; AC   1; 3; 1 ; AD   2; 3; 4  .  
  
Khi đó:   AB; AC  .AD  24  0  do vậy  A , B, C , D  không đồng phẳng 


File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 58


8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

Do đó có  7  mặt phẳng cách đều  4  điểm đã cho bao gồm. 
+) Mặt phẳng qua trung điểm của  AD  và song song với mặt phẳng   ABC   
+) Mặt phẳng qua trung điểm của  AB  và song song với mặt phẳng   ACD   
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của  AC  và song song với mặt phẳng   ABD   
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của  AB  và song song với mặt phẳng   BCD   
+) Mặt phẳng qua trung điểm của  AB  và  CD  đồng thời song song với  BC  và  AD  
+) Mặt phẳng qua trung điểm của  AD  và  BC  đồng thời song song với  AB  và  CD  
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với  BC  và  AD
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho điểm  M  1; 2; 3   và mặt phẳng   P   
qua  M cắt  Ox ,  Oy ,  Oz tại  A  a; 0; 0  ,  B  0; b; 0  ,  B  0; 0; c    (với  a , b , c  0 ).  Với  giá  trị 
 
 

 
nào của  a , b , c  thì thể tích khối tứ diện  OABC  ( O là gốc tọa độ) nhỏ nhất? 
A. a  9, b  6, c  3.  
 
C.  a  3, b  6, c  9.  

B.  a  6, b  3, c  9.  

 

D.  a  6, b  9, c  3.  
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án C.
x y z
   1 . 
a b c
1 2 3
Vì đó mặt   P   đi qua  M  1; 2; 3   nên ta có:     1  1  
a b c
1
Nên thể tích khối tứ diện  OABC   là :  V  a.b.c  2   
6
Phương trình mặt phẳng là   P  :

1 2 3
6
a.b.c
   33


 27 . Vậy thể tích lớn nhất là:  V  27 . 
a b c
a.b.c
6
x y z
Vậy  a  3; b  6; c  9 . Phương trình là:   P  :    1  6 x  3 y  2 z  18  0.  
3 6 9
Ta có:  1 

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng   P  : 3 x  3 y  4 z  16  0 , 
x 1 y  3 z  5


 và  điểm  M  2 ; 3 ; 1 .  Gọi  A  là điểm thuộc đường 
1
2
1
thẳng  d , B  là hình chiểu của  A  trên mặt phẳng   P  . Tìm tọa độ điểm  A  biết tam giác 
đường  thẳng  d :

MAB  cân tại  M . 
A.  A  3 ; 1; 3  . 

B.  A  1 ; 3 ; 5  . 

C.  A  2 ; 1 ; 4  . 

D.  A  0; 5; 6  . 

Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án A.
Gọi  H  là trung điểm  AB  và  A ’  là điểm đối xứng của  A  qua  M . 
 MH / / A ' B
 A ' B  AB  A '   P  . 
Khi đó:  
MH

AB

Vì  M  là trung điểm  AA’  nên  A  t  3; 2t  9; t  3  .  
Mà  A’   P     t  2  A  3; 1; 3  . 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 59


8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

Câu

12.

Trong 
2

không 
2

gian 

với 

hệ 

tọa 

Oxyz ,  

độ 

cho 

mặt 

cầu 

2

S  :  x  1   y  1   z  1  1   và  mặt  phẳng   P  : x  y  z  5  0 .  Điểm  M   thuộc 
mặt phẳng   P   sao cho qua  M  kẻ tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu   S   tiếp xúc với mặt cầu 
S   tại  N  thỏa mãn  MN  nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 
A.  M  1; 3; 1 . 
 
B.  M  1; 3; 1 . 
 
C. Không tồn tại điểm  M . 
 

D. Điểm  M   thuộc một đường tròn có tâm   1; 2; 3  , bán kính bằng  1 thuộc   P  . 
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án A.
Tâm của   S   là  I  1; 1; 1  và bán kính của   S   là  R  1.  
Ta có:  MN 2  IM 2 – R2  IH 2 – R 2  
Trong đó  H  là hình chiếu của  I  trên   P   
Vậy:  MN  nhỏ nhất     M  là hình chiếu của  I  trên   P  . Vậy  M  1; 3; 1  
x4 y5 z

  
1
2
3
mặt phẳng     chứa đường thẳng  d  sao cho khoảng cách từ  O  đến     đạt giá trị lớn 
Câu 13. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  đường  thẳng  d :

nhất. Tìm tọa độ giao điểm  M  của     và trục  Ox . 
A. M  3; 0; 0  .  

9

C.  M  ; 0; 0  .  
2

Lời giải tham khảo 

B.  M  6; 0; 0  .  

D.  M  9; 0; 0  .  

Chọn đáp án D.
Gọi     là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:     
Tọa độ hình chiếu của  O  trên đường thẳng là  M . Ta có tọa độ  M  là:  M  3; 3; 3 





Gọi  H  là hình chiếu của  M  trên mặt phẳng cần lập ta có:  d O ,    OH  OM . 
Vậy khoảng các lớn nhất băng  OM    : x  y  z  9  0
Vậy tọa độ giao điểm của     với  Ox  là  N  9; 0; 0  .  
Câu 14. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  mặt  cầu   S    và  mặt  phẳng   P   
không có điểm chung. Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng   P   sao cho qua  điểm đó 
kể tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu   S   thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến tiếp điểm đạt 
giá trị nhỏ nhất? 
A.  1  điểm. 
C. không có điểm nào. 

B.  2  điểm. 
 
D. có  vô số điểm. 
Lời giải tham khảo 

Chọn đáp án A.
Gọi điêm M thuộc mặt phẳng   P  . kẻ tiếp tuyến  MA  ( A  là tiếp điểm).  

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 60


8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

MA2  MI 2  R2 (với  I  là tâm cố định, R không đổi)  MA  nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, 
khi M là hình chiếu của  I  trên   P   ( chú ý mặt cầu   S   và mặt phẳng   P   không có 
điểm chung). 
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng   P  : x  2 y  2 z  5  0  và 
hai điểm  A  3; 0; 1 , B  1; 1; 3  . Phương trình nào dưới đây là phương trình đi qua  A  
và song song với   P  , đồng thời khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất? 
x1 y


31
12
x y3
C. 


21
11
A. 

z2
. 
4
z 1
. 
4

x 1 y  4 z

 . 
3
12
11
x  3 y z 1
D. 


. 
26
11
2
Lời giải tham khảo 
B. 

 

Chọn đáp án D.
Đường thẳng  d  cần viết nằm trong mặt phẳng   Q   qua  A  và song song với   P  . 
Pt   Q   là:  x  2 y  2z  1  0 . Để khoảng cách từ  B  đến  d  là nhỏ nhất thì  d  phải đi 
qua  A  và điểm  H  là hình chiếu vuông góc của  B  trên   Q  . 
 1 11 7 
Ta có  H   ; ;  .  
 9 9 9
Phương trình   d  là phương trình đường thẳng qua  AH .  
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho hai điểm  A  1; 2; 2  ; B  5; 4; 4   và mặt 
phẳng   P  : 2 x  y  z  6  0.   Gọi  M   là điểm  thay  đổi  thuộc   P  ,  tính giá trị  nhỏ  nhất 

của  MA2  MB2 . 
A.  60 . 

B.  50 . 

200
. 
3
Lời giải tham khảo 

C. 

D. 

2968
. 
25

Chọn đáp án A.
AB2
AB2
2
Ta có  MA  MB  2 MI 
 2d  I ; ( P )  
 60  với  I  là trung điểm của  AB.   
2
2
2

2

2

Câu 17. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  bốn  điểm  A  1; 2; 1 , B  2; 1; 1 ,  
C  1; 1; 2  . Tập hợp tất cả các điểm  M  trên mặt phẳng    : 3 x  6 y  6 z  1  0  sao cho 
     
MA.MB  .MB.MC  .MC.MA  0   là hình nào trong các hình sau? 
A. một đường tròn.  B. một mặt cầu. 
C. một điểm. 
D. một mặt phẳng. 
Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.
     
Gọi  G  là trọng tâm tam giác  ABC  ta có  MA.MB  .MB.MC  .MC.MA  0  
     
1
 3 MG 2  GA.GB  .GB.GC  .GC.GA  0  MG   
3
1
Vì  d  G ,( )     nên  M  là hình chiếu của  G  trên    : 3 x  6 y  6 z  1  0 .  
3
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 61

8E. Bài toán vận dụng về tọa độ không gian Oxyz

Câu 18. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  hai  điểm  A  1; 2; 2  , B  3; 4; 4    và 
mặt  phẳng   P  : 2 x  y – z  6  0.   Tìm  tọa  độ  điểm  M   nằm  trên   P    sao  cho 

MA2  MB2   nhỏ nhất. 
A.  M  2; 1; 1 . 

B.  M  3; 1; 1 . 

C.  M  2; 1; 3  . 

D.  M  3; 1; 1 . 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án C.





Áp dung công thức  2 MA2  MB2  4 MI 2  AB2   với  I  là trung điểm của đoạn  AB .               
Vậy để  MA2  MB2  đạt giá trị nhỏ  nhất khi  MI  nhỏ nhất. Hay  M  là hình chiếu 
vuông góc của  I  trên   P  . 
I  2; 3; 1 , ta tìm được  M  2; 1; 3  .  

Câu 19. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  hai  điểm  A  1; 2; 1 , B  0; 4; 0    và 
mặt  phẳng   P  : 2 x  y  2 z  2015  0 .  Gọi     là  góc  nhỏ  nhất  giữa  mặt  phẳng   Q    đi 
qua hai điểm  A , B  và tạo với mặt phẳng   P  . Tính giá trị của cos  . 
A. cos  

1
. 
9

1
. 
6

B.  cos  

C.  cos  

2
. 
3

D.  cos  

1
3

. 

Lời giải tham khảo 
Chọn đáp án D.
Mặt phẳng   Q   đi qua điểm  B  nên có phương trình dạng 

a

ax  b  y  4   cz  0  Q 

2



 b2  c 2  0  

Mà điểm  A  cũng thuộc   Q   nên  a.1  b  2  4   c  1  0  a  2b  c  1 . 

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng   P  : nP   2; 1; 2   

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng   Q  : nQ   a; b; c   
Gọi    là góc tạo bởi hai mặt phẳng   P  ,  Q  . Khi đó ta có 
 
nP .nQ
2 a  b  2c
cos    
 2  
nP . nQ
3. a 2  b2  c 2
Thế  a  2b  c  1  vào   2   ta được  
cos 

3b



b

3. 5b2  4bc  2c 2
5b2  4bc  2c 2
+) Nếu  b  0  cos =0   =900 . 
1

+) Nếu  b  0  cos 
2
c
c
2   4   5
b
b

File word liên hệ qua

 

1
2

c
c
2   4   5
b
b

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168



1
2

c

2   1  3
b




1
3

[ Nguyễn Văn Lực ] | 62