Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LẠI THANH LOAN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH
CHUNG NHAU BA TẬP HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LẠI THANH LOAN

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH
CHUNG NHAU BA TẬP HỢP
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hướng dẫn khoa học
PGS.TS.HÀ TRẦN PHƯƠNG

THÁI NGUYÊN - 2016

i

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kì công trình nào khác. Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm
bảo sự trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữu
trí tuệ.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Tác giả

Lại Thanh Loan


ii

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người thầy tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể
các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan
trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu
trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã
giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành
luận văn của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Tác giả

Lại Thanh Loan


iii

Mục lục
Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình . . . . . . . . .

3

1.1.1. Các hàm Nevanlinna và tính chất . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Hai định lí cơ bản và quan hệ số khuyết . . . . . .

7

1.2. Hàm phân hình chung nhau ba giá trị

. . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập
hợp

13

2.1. Hàm phân hình chung nhau ba giá trị . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1. Chung nhau kể cả bội . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2. Chung nhau có trọng số . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Hàm phân hình chung nhau ba tập hợp . . . . . . . . . . .

28

2.2.1. Một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2. Vấn đề duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

47


1

Mở đầu
Năm 1929, R. Nevanlinna chứng minh hai định lí nổi tiếng về vấn đề

duy nhất cho các hàm phân hình, thường được gọi là Định lý năm điểm
và Định lý bốn điểm. Về sau có rất nhiều nhà toán học đã mở rộng những
kết quả của Nevanlinna cho những trường hợp khác nhau: hàm phân hình
chung nhau các tập điểm, kể cả bội, không kể bội,....
Cho f là một hàm phân hình, a ∈ C ∪ {∞}. Kí hiệu E(a, f ) là tập các
không điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm phân biệt
của f − a. Cho S ⊂ C ∪ {∞} là tập hợp các phần tử khác nhau. Kí hiệu
Ef (S) = ∪a∈S E(a, f );

E f (S) = ∪a∈S E(a, f ).

R. Nevanlinna đã chứng minh, nếu hai hàm phân hình khác hằng f , g
thỏa mãn
E (ai , f ) = E (ai , g)

∀i = 1, 5,

trong đó ai là các giá trị phân biệt, thì f và g phải trùng nhau.
Vào năm 1976, H. Yi ([15]) đã đặt ra câu hỏi: Có thể tìm thấy hay
không ba tập hữu hạn Sj (j = 1, 2, 3) sao cho bất kì hai hàm phân hình
thỏa mãn E (Sj , f ) = E (Sj , g) với j = (1, 2, 3) thì f ≡ g?. Vào năm 1994,
H. Yi ([15]) đã đưa ra một số kết quả để trả lời cho câu hỏi đặt ra.
Với mục đích tìm hiểu một số kết quả nghiên cứu theo hướng này, chúng
tôi chọn đề tài "Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau
ba tập hợp". Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một số kết
quả nghiên cứu của H. Yi ([16], [20]), W. C. Lin và H. Yi ([6]) về các điều
kiện xác định duy nhất hàm phân hình chung nhau ba giá trị, ba tập hợp.
Luận văn chia thành hai chương:

2

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản, trình bày những kiến thức cơ sở,
cần thiết cho việc chứng minh những kết quả trong Chương 2 như: lý
thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình chung nhau ba giá
trị, ba tập hợp.
Chương 2: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập
hợp, trình bày về hàm phân hình chung nhau ba giá trị kể cả bội và chung
nhau có trọng số; trình bày lại chứng minh một số điều kiện đủ về tính
duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp.


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình

1.1.1.

Các hàm Nevanlinna và tính chất

Trong luận văn này chúng ta luôn kí hiệu C là trường các số phức. Ta
kí hiệu các tập
D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r},
D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r},
∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r},

lần lượt là hình tròn, hình tròn đóng, đường tròn tâm z0 , bán kính r > 0.
Đặc biệt, khi z0 = 0, ta kí hiệu ngắn gọn
DR = D(0, R);

DR = D(0, R).

Cho f là hàm chỉnh hình trên mặt phẳng phức C, điểm z0 được gọi là
không điểm bội k của f nếu tồn tại một hàm chỉnh hình h(z) không triệt
tiêu trong một lân cận U của z0 sao cho trong lân cận đó hàm f được
biểu diễn dưới dạng:
f (z) = (z − z0 )k h(z).
Điều này kéo theo f (z0 ) = f (z0 ) = . . . = f (k−1) (z0 ) = 0 và f (k) (z0 ) = 0.
Với z ∈ C, khi z là không điểm bội k của hàm f thì ta kí hiệu
ordf (z) = k, trong các trường hợp khác ordf (z) = 0.


4

f1
,
f2
trong đó f1 , f2 là các hàm chỉnh hình. Một điểm z0 gọi là không điểm bội
Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C, khi đó f =

k của f nếu z0 là không điểm bội k của f1 , z0 gọi là cực điểm bội k của f
nếu z0 là không điểm bội k của f2 .
Với mỗi số thực x > 0, kí hiệu:
log+ x = max{log x, 0}.
Khi đó log x = log+ x − log+ x1 .
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng của một

hàm phân hình. Cho f là một hàm phân hình trên DR và một số thực
r > 0, trong đó 0 < R ≤ ∞, r < R. Dễ thấy:
2π

1
2π

2π

1
log f (reiϕ ) dϕ =
2π
0

2π

log+

1
f (reiϕ ) dϕ −
2π

0

log+

1
dϕ.
f (reiϕ )

0

Định nghĩa 1.1. Hàm
2π

1
m(r, f ) =
2π

log+ f (reiϕ ) dϕ,
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f . Với một số phức a, ta kí hiệu
2π

1
m r,
f −a

1
=
2π

log+

1
|f

(reiϕ )

− a|

dϕ.

0

Cho k là một số nguyên dương, ta kí hiệu n(r, 1/f ) là số không điểm
kể cả bội của f ; n(r, 1/f ) là số không điểm không kể bội của f ; n(r, f ) là
số cực điểm kể cả bội của f ; n(r, f ) là số cực điểm không kể bội của f ;
nk (r, f ) là số cực điểm bội cắt cụt bởi k của f (tức là cực điểm bội l > k
chỉ được tính k lần trong tổng nk (r, f )) trong Dr .
Định nghĩa 1.2. Hàm
r

N (r, f ) =
0

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r,
t


5

được gọi là hàm đếm kể cả bội của f (còn gọi là hàm đếm tại các cực
điểm). Hàm
r

N (r, f ) =

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r,
t

0

được gọi là đếm không kể bội. Hàm
r

Nk (r, f ) =

nk (r, f ) − nk (0, f )
+ nk (0, f ) log r,
t

0

được gọi là hàm đếm bội cắt cụt bởi k, trong đó n(0, f ) = lim n(t, f );
t→0

n(0, f ) = lim n(t, f ); nk (0, f ) = lim nk (r, f ). Số k trong nk (r, f ) được gọi
t→0

t→0

là chỉ số bội cắt cụt.
Cho f (z) là một hàm phân hình khác hằng. Ta kí hiệu S(r, f ) là đại
lượng thỏa mãn S (r, f ) = o (T (r, f )) (r → ∞, r ∈
/ E). Với một số phức
1

a, một số nguyên dương k, ta kí hiệu n k) r, f −a

là hàm đếm số không

điểm của f − a trong Dr mà bội của không điểm không lớn hơn k, kể cả
1
bội; n k) r, f −a

là hàm đếm số không điểm của f − a trong Dr mà bội

1
của không điểm không lớn hơn k và chỉ đếm 1 lần; n(k+1 r, f −a
là hàm

đếm số không điểm của f − a trong Dr mà bội của không điểm lớn hơn k,
1
kể cả bội; n(k+1 r, f −a

là hàm đếm số không điểm của f − a trong Dr

mà bội của không điểm lớn hơn k và chỉ đếm một lần. Kí hiệu
r

N k) (r, a, f ) = N k)

1
r,
f −a

=

1
1
n k) t, f −a
− n k) 0, f −a

t

dt

0

+ n k) 0,
r

N(k+1 (r, a, f ) = N(k+1

1
r,
f −a

=

1
log r,
f −a

1
1
n(k+1 t, f −a

− n(k+1 0, f −a

t
0

+ n(k+1

0,

1
log r
f −a

dt


6

và
r

N k) (r, a, f ) = N k)

1
r,
f −a

=

1

1
n k) t, f −a
− n k) 0, f −a

t

dt

0

+ n k) 0,
r

N (k+1 (r, a, f ) = N (k+1

1
r,
f −a

=

1
log r,
f −a

1
1
n(k+1 t, f −a
− n(k+1 0, f −a

t

dt

0

+ n(k+1

0,

1
log r.
f −a

Mệnh đề 1.1. Giả sử b1 , b2 , . . . , bN là các cực điểm khác 0 của f trong
đĩa Dr , khi đó:
N

N (r, f ) =

log
ν=1

r
+ n(0, f ) log r.
|bν |

(1.1)

Định nghĩa 1.3. Hàm

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ),
gọi là hàm đặc trưng của hàm f .
Với một số phức a, ta có
1
1
1
) = m(r,
) + N (r,
).
T (r,
f −a
f −a
f −a
Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) và hàm đếm N (r, f )
là ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó còn gọi là các hàm
Nevanlinna. Lý thuyết Nevanlinna nghiên cứu quan hệ giữa tốc độ tăng
của ba hàm. Từ định nghĩa tích phân Lebesgue-Stieltjes ta có
1
r
N (r, ) = (ord+
(ord+
0 f ) log r +
z f ) log | |,
f
z
z∈D ,z=0

(1.2)

r

trong đó ord+
z f = max{0, ordz f } chỉ là bội của không điểm tại z. Chú ý
1
rằng N r, f −a
đo số lần f nhận giá trị a.

Định lý sau đây cho thấy một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàm
đếm, hàm đặc trưng:


7

Định lý 1.1. Cho các hàm phân hình f1 , f2 , . . . , fp , khi đó
p

(1)

p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(2)

ν=1
p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(3)

fν ) ≤

N (r,

fν ) ≤

N (r,

fν ) ≤

T (r,

T (r, fν ) + log p;
ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1

1.1.2.

N (r, fν );
ν=1
p

ν=1
p

(6)

N (r, fν );
ν=1
p

ν=1
p

(5)

m(r, fν );
ν=1
p

ν=1
p

(4)

m(r, fν ) + log p;

T (r, fν ).
ν=1

Hai định lí cơ bản và quan hệ số khuyết

Định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai

Định lý 1.2. (Định lý cơ bản thứ nhất) Cho f ≡ 0 là một hàm phân
hình khác hằng trên Cp , với mọi a ∈ Cp ta có
m(r,

1
1
) + N (r,
) = T (r, f ) + O(1),
f −a
f −a

tương đương với
1
) = T (r, f ) + O(1).
f −a
Giả sử f là một hàm phân hình, r > 0. Hàm
1
Nram (r, f ) = N (r, ) + 2N (r, f ) − N (r, f ),
f
T (r,

gọi là giá trị phân nhánh của hàm f . Hiển nhiên Nram (r, f ) ≥ 0.

Định lý 1.3. (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình khác
hằng trên C, a1 , . . . , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt. Đặt
δ = min {1, |ai − aj |} , A = max{1, |ai |},
i=j


8
q

(q − 1) T (r, f ) ≤ N (r, f ) +

N r,

1
f − aj

− NRam (r, f ) − log r + Sf

N r,

1
f − aj

− log r + Sf ,

j=1
q

≤ N (r, f ) +
j=1

trong đó
q

log µ (ρ0 , f − aj ) − logµ (ρ0 , f ) + (q − 1) log

Sf =
j=1

A
.
δ

Quan hệ số khuyết, điểm bỏ được Picard

Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C, a ∈ C ∪ {∞} và k là một số
nguyên dương. Ta kí hiệu:
1
1
N (r,
)
)
f −a
f −a
δf (a) = lim inf
= 1 − lim sup
;
r→∞
T (r, f )
T (r, f )

r→∞
1
)
Nk (r,
f −a
k
;
δf (a) = 1 − lim sup
T (r, f )
r→∞
1
N (r,
)
f −a
Θf (a) = 1 − lim sup
;
T (r, f )
r→∞
1
1
N (r,
) − N (r,
)
f −a
f −a
.
θf (a) = lim inf
r→∞
T (r, f )
m(r,

Định nghĩa 1.4. δf (a) được gọi là số khuyết, δfk (a) là số khuyết bội cắt
cụt bởi một số nguyên dương k của f tại a, Θf (a) gọi là số khuyết không
kể bội, θf (a) gọi là bậc của bội của số khuyết.
Nhận xét

1
) = 0, với mọi r do đó
f −a
δf (a) = 1. Chẳng hạn f (z) = ez thì δf (0) = 1.

1. Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N (r,


9

1
) = o(T (r, f )) khi đó δf (a) = 1. Như vậy số khuyết
f −a
bằng 1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó.

2. Nếu N (r,

3. Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có
0

δf (a)

δfk (a)

Θf (a)

1.

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ
đề quan hệ số khuyết.
Định lý 1.4. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập hợp
các giá trị của a mà Θf (a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có
δf (a) + θf (a)
a∈C∪{∞}

Θf (a)

2.

a∈C∪{∞}

Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm phân hình trên C. Một phần tử
a ∈ C ∪ {∞} được gọi là giá trị bỏ được Picard của f nếu a ∈
/ f (C).
1
Để ý rằng, nếu a là một điểm bỏ được Picard thì N r, f −a

= 0, do

đó δf (a) = 1. Bởi vậy một hàm nguyên có duy nhất một giá trị bỏ được
Picard là ∞.
Định lý 1.5. Mỗi hàm phân hình trên C có nhiều nhất là hai điểm bỏ
được Picard.
1.2.

Hàm phân hình chung nhau ba giá trị

1.2.1.

Khái niệm mở đầu

Cho f là một hàm phân hình, a ∈ C ∪ {∞}. Kí hiệu E(a, f ) là tập các
không điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm phân biệt
của f − a. Cho S ⊂ C ∪ {∞} là tập hợp các phần tử khác nhau. Kí hiệu
Ef (S) = ∪a∈S E(a, f );

E f (S) = ∪a∈S E(a, f ).

Định nghĩa 1.6. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu
E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau giá trị a CM, nếu E(a, f ) =


10

E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau giá trị a IM. Nếu Ef (S) = Eg (S)
thì ta nói f và g chung nhau tập hợp S CM. Nếu E f (S) = E g (S) thì ta
nói f và g chung nhau tập hợp S IM.
Định nghĩa 1.7. Cho k là một số tự nhiên hoặc ∞, a là một số phức.
Ta kí hiệu Ek (a, f ) là tập tất cả các không điểm của f − a với một không
điểm bội m được tính m lần nếu m ≤ k và k + 1 lần nếu m > k.
Cho S ⊂ C ∪ {∞}, với f và g là hai hàm phân hình khác hằng. Ta định
nghĩa Ef (S, k) như sau
Ef (S, k) = ∪ Ek (a, f ),
a∈S

với k là một số tự nhiên hoặc ∞.
Định nghĩa 1.8. Cho k là một số tự nhiên hoặc ∞, a là một số phức.
Nếu Ek (a, f ) = Ek (a, g), thì f và g chung nhau a- giá trị với trọng số k.
Định nghĩa hàm ý rằng, nếu f và g chung nhau a giá trị với trọng số k,
thì z0 là không điểm của f − a với bội m(≤ k) khi và chỉ khi z0 là không
điểm của g − a với bội m(≤ k) và z0 là không điểm của f − a với bội
m(> k) khi và chỉ khi z0 là không điểm của g − a với bội n(> k), với m
không nhất thiết phải bằng n.
Ta viết f và g chung nhau (a, k) có nghĩa là f và g chung nhau a với
trọng số k. Rõ ràng, nếu f và g chung nhau (a, k) thì f và g chung nhau
(a, p) với tất cả số nguyên p: 0 ≤ p < k. Từ định nghĩa ta thấy f và g
chung nhau a giá trị CM khi và chỉ khi f và g chung (a, ∞); f và g chung
nhau a giá trị IM khi và chỉ khi f và g chung (a, 0).
1.2.2.

Một số tính chất

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số bổ đề về tính chất của các
hàm phân hình khi chung nhau ba giá trị hoặc tập hợp. Các bổ đề này
cần thiết cho việc chứng minh các kết quả trong Chương 2.
Bổ đề 1.1 ([16]). Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằng, với


11

f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM . Khi đó
e−q − 1
g = −p
,

e −1

eq − 1
,
f= p
e −1

trong đó p và q là những hàm nguyên với ep ≡ 1, eq ≡ 1, eq−p ≡ 1 và
T (r, g) + T (r, ep ) + T (r, eq ) = O (T (r, f ))

(r ∈
/ E) .

Bổ đề 1.2 ([16]). Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằng và
c1 , c2 , c3 là ba hằng số khác không. Nếu
c1 f + c2 g ≡ c3 ,
thì
T (r, f ) < N r,

1
f

+ N r,

1
g

+ N (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.3 ([13]). Cho p(z) là một hàm nguyên khác hằng, khi đó

T (r, p ) = o (T (r, ep ))

(r ∈
/ E).

Cho f là một hàm phân hình, ta kí hiệu n1 (r, f ) là số cực điểm đơn
của f trong |z| ≤ r. N1 (r, f ) là hàm đếm tương ứng với n1 (r, f ). Kí hiệu
N2 (r, f ) = N (r, f ) − N1 (r, f ).
Các hàm N2 r, f1

1
và N2 r, f −1
được định nghĩa tương tự.

Bổ đề 1.4 ([16]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, với f và
g chung nhau 0, 1, ∞ CM . Khi đó
N2 (r, f ) + N2 r,

1
f

+ N2 r,

1
f −1

= S(r, f ).

Bổ đề 1.5 ([20]). Cho
H=

f
2f
−
f
f −1

−(

g
2g
−
),
g
g−1

(1.3)

với f và g là hai hàm phân hình khác hằng. Nếu f và g chung (1, 1) và
H ≡ 0, thì
N 1) (r, 1, f ) ≤ N (r, H) + S (r, f ) + S(r, g).

(1.4)


12

Bổ đề 1.6 ([3]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chung (0, 0),
(∞, 0) và (1, 0). Khi đó
T (r, f ) = O (T (r, g))

(r ∈
/ E)

(1.5)

T (r, g) = O (T (r, f ))

(r ∈
/ E).

(1.6)

và

Từ (1.5) và (1.6) ta thấy S(r, f ) = S(r, g).
Bổ đề 1.7 ([20]). Cho H xác định bởi (1.3) và H ≡ 0. Nếu f và g chung
(0, 1), (∞, 1), (1, 1) và
N (2 (r, 0, f ) + N (2 (r, f ) + N (2 (r, 1, f ) = S(r),

(1.7)

thì
T (r, f ) ≤ 2N 1) (r, 0, f ) + 2N 1) (r, f ) − m (r, 1, g) + S(r).

(1.8)

Bổ đề 1.8 ([20]). Cho H xác định bởi (1.3) và H ≡ 0. Nếu f và g chung
(0, 0), (∞, 0) và (1, 0) thì f và g chung (0, ∞), (∞, ∞) và (1, ∞).
Bổ đề 1.9 ([?]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chung (0, ∞),

(∞, ∞) và (1, ∞), khi đó
N(2 (r, 0, f ) + N(2 (r, f ) + N(2 (r, 1, f ) = S(r).
Bổ đề 1.10 ([20]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chung
(0, k1 ), (∞, k2 ) và (1, k3 ), với kj (j = 1, 2, 3) là các số nguyên dương thỏa
mãn
k1 k2 k3 > k1 + k2 + k3 + 2,

(1.9)

N (2 (r, 0, f ) + N (2 (r, f ) + N (2 (r, 1, f ) = S(r).

(1.10)

thì


13

Chương 2

Vấn đề duy nhất của hàm phân hình
chung nhau ba tập hợp
2.1.

Hàm phân hình chung nhau ba giá trị

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày lại một số kết quả về vấn đề
duy nhất cho các hàm phân hình chung nhau ba giá trị được một số tác
giả chứng minh trong thời gian gần đây.
2.1.1.

Chung nhau kể cả bội

Năm 1980, H. Ueda đã chứng minh
Định lý 2.1 ([9]). Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằng
sao cho f và g chung nhau 0, 1 CM , cho a = 0, 1 là một số phức hữu
hạn. Nếu a là số khuyết của f thì (1 − a) là số khuyết của g và
(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a).
Chú ý rằng, hai hàm nguyên luôn chung nhau giá trị ∞. Năm 1988, H.
Yi đã mở rộng Định lý 2.1 và thu được kết quả sau
Định lý 2.2 ([11]). Cho f và g là hai hàm nguyên phân biệt khác hằng
sao cho f và g chung nhau 0, 1 CM , cho a = 0, 1 là một số phức hữu hạn.
Nếu δ(a, f ) > 1/3, thì a và 1 − a lần lượt là các giá trị bỏ được Picard của
f và g, hơn nữa (f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a).


14

Năm 1992, S. Z. Ye mở rộng các định lí trên của hàm phân hình và thu
được các kết quả sau
Định lý 2.3 ([7]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho f
và g chung nhau 0, 1, ∞ CM . Cho a = 0, 1 là một số phức hữu hạn. Nếu
δ (a, f ) + δ (∞, f ) > 4/3,
thì a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của f ; 1 − a, ∞ là các giá trị bỏ được
Picard của g và
(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a).
Định lý 2.4 ([7]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho
f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM . Cho a1 , a2 , ..., ap là p (≥ 1) số phức hữu
hạn phân biệt, aj = 0, (j = 1, 2, ..., p). Nếu
p

δ (aj , f ) + δ (∞, f ) >
j=1

2 (p + 1)
,
p+2

thì tồn tại một và chỉ một ak trong a1 , a2 , ..., ap sao cho ak , ∞ là các giá
trị bỏ được Picard của f ; 1 − ak , ∞ là các giá trị bỏ được Picard của g và
(f − ak ) (g + ak − 1) ≡ ak (1 − ak ).
Năm 1995, H. Yi đã chứng minh các định lý sau
Định lý 2.5 ([16]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho
f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM . Cho a = 0, 1 là một số phức hữu hạn.
Nếu
N r,

1
f −a

= T (r, f ) + S (r, f )

và
N (r, f ) = T (r, f ) + S(r, f ),
thì a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của f ; 1 − a, ∞ là các giá trị bỏ được
Picard của g và
(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a).


15

Chứng minh. Từ giả thiết và Bổ đề 1.1 ta có
e−q − 1
eq − 1
, g = −p
,
f= p
e −1
e −1

(2.1)

trong đó p và q là những hàm nguyên với ep ≡ 1, eq ≡ 1, eq−p ≡ 1 và
T (r, g) + T (r, ep ) + T (r, eq ) = O (T (r, f ))

(r ∈
/ E) .

(2.2)

Ta xét bốn trường hợp sau
Trường hợp 1: Giả sử ep ≡ c (= 0, 1).
Từ (2.1) ta có
eq − 1
f=
c−1

(2.3)

eq − 1 − a (c − 1)

f −a=
.
c−1

(2.4)

và

Nếu −1 − a (c − 1) = 0, từ (2.4) ta có
N r,

1
f −a

= T (r, f ) + S(r, f ),

điều này mâu thuẫn giả thiết của Định lí 2.5. Khi đó −1 − a(c − 1) = 0
và c = (a − 1)/a.
Mặt khác từ (2.1) ta được
f = a − aeq
và
g = (1 − a) − (1 − a) e−q .
Vì vậy a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của f ; 1 − a, ∞ là các giá trị bỏ
được Picard của g và
(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a).
Trường hợp 2: Giả sử eq ≡ c (= 0, 1).
Từ (2.1) ta có
f=

c−1

.
ep − 1


16

Vì vậy

N (r, f ) = T (r, f ) + S (r, f ),

điều này mâu thuẫn của Định lí 2.5.
Trường hợp 3: Giả sử eq−p ≡ c (= 0, 1).
Từ (2.1) ta có

c−1
cep − 1
=
c
+
.
ep − 1
ep − 1
N (r, f ) = T (r, f ) + S(r, f ), đó là mâu thuẫn.
f=

Vì vậy

Trường hợp 4: Giả sử không có một ep , eq , eq−p là hằng số.
Rõ ràng là p ≡ 0, q ≡ 0, p ≡ q . Từ Bổ đề 1.1 và Bổ đề 1.3 ta có
T (r, p ) + T (r, q ) = S(r, f ).

(2.5)

Đặt
h=

q
.
p

(2.6)

Từ (2.5) và (2.6) ta được h ≡ 0, 1 và
T (r, h) = S(r, f ).
Nếu
q (h − 1) − h ≡ 0,
bằng phép lấy tích phân ta có
h − 1 = c1 e q ,
trong đó c1 là hằng số, c1 = 0. Từ (2.6) và (2.7) ta được
q
c1 e q + 1

=p.

Lấy tích phân ta được
c1 + e−q = c2 e−p ,
trong đó c2 là hằng số, c2 = 0. Vì vậy
c2 e−p − e−q = c1 .
Từ Bổ đề 1.2 ta được
T r, e−p = S(r, e−p ),

(2.7)


17

điều đó là không thể xảy ra. Vì thế
q (h − 1) − h ≡ 0.
Từ (2.1) ta có
f −h=

eq − hep + h − 1
.
ep − 1

(2.8)

Đặt
F = (f − h) (ep − 1) = eq − hep + h − 1,
Khi đó
F
(eq − hep + h − 1) − q (eq − hep + h − 1)
−q =
F
(f − h) (ep − 1)
q (h − 1) − h
,
=
f −h
vì vậy

1
(F /F ) − q
=
.
f − h q (h − 1) − h

(2.9)

F
F

(2.10)

Từ (2.9) ta được
m r,

1
f −h

≤ m r,

+ S (r, f ) = S (r, f )

và
N2 r,

1
f −h

= S(r, f ).

(2.11)

Mặt khác, từ (2.1) ta có
f −g
= eq − 1
g−1
và

g
q ep − p eq + (p − q )
=
.
g
(eq − 1) (ep − 1)

Do đó
g (f − g) q ep − p eq + (p − q )
=
.
g (g − 1)
ep − 1

(2.12)


18

Từ (2.6) và (2.8) ta được
q ep − p eq + (p − q )

.
−p (f − h) =
ep − 1

(2.13)

Từ (2.12) và (2.13) suy ra
−p (f − h) =

g (f − g)
.
g (g − 1)

(2.14)

Mặt khác, từ Bổ đề 1.4 và (2.11) ta có
N r,

1
f −h

= N r,

1
g

+ N0 (r) + S(r, f ),

(2.15)

trong đó N0 (r) là hàm đếm số không điểm của f − g mà không là không
điểm của g và g − 1. Từ (2.10) và (2.15) ta được
T (r, f ) = T (r, f − h) + S (r, f )
1
1
+ N r,
+ S (r, f )
f −h
f −h
1
= N r,
+ N0 (r) + S(r, f ).
g
= m r,

Do đó
T (r, f ) − N r,

1
g

= N0 (r) + S(r, f ).

(2.16)

= N0 (r) + S(r, f ).

(2.17)

Bằng phương pháp tương tự, ta có

T (r, g) − N r,

1
f

Từ Định lí cơ bản thứ hai và (2.16) ta được
T (r, f ) + T (r, g) ≤ T (r, f ) + N r,
− N r,
= N r,

1
g

1
g

1
g

+ N r,

1
g−1

+ S (r, f )
+ N r,

+ N0 (r) + S (r, f )

1

g−1

+ N (r, g)

+ N (r, g)


19

≤ N r,

1
f −g

+ N (r, g) + S (r, f )

≤ T (r, f − g) + N (r, g) + S (r, f )
≤ m (r, f ) + m (r, g) + N (r, f − g) + N (r, g) + S (r, f )
≤ m (r, f ) + m (r, g) + N (r, f ) + N (r, g) + S (r, f )
= T (r, f ) + T (r, g) + S(r, f ).
Do đó
T (r, f ) + T (r, g) = N r,

1
g

+ N r,

1
g−1

+ N (r, g) + N0 (r) + S(r, f ).

(2.18)

Sử dụng Định lí cơ bản thứ hai, (2.7) và (2.8) ta có
1
1
1
2T (r, f ) ≤ N r,
+ N r,
+ N r,
f
f −1
f −a
1
+ N (r, f ) − N r,
+ S (r, f )
f
1
1
1
≤ N r,
+ N r,
+ N r,
g
g−1
f −a
+ N (r, g) + N0 (r) − T (r, g) + S (r, f )
= T (r, f ) + N r,

1
f −a

+ S (r, f )

≤ 2T (r, f ) + S(r, f ).
Do đó
1
= T (r, f ) + S(r, f ),
f −a
điều này mâu thuẫn với giả thiết của Định lí 2.5. Định lí 2.5 được chứng
N r,

minh.
Định lý 2.6 ([16]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho
f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM , cho a = 0, 1 là một số phức hữu hạn.
Nếu δ(a, f ) > 0, δ(∞, f ) > 0 thì a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của f ;
1 − a, ∞ là các giá trị bỏ được Picard của g và
(f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a).


20

Ví dụ 2.1. Cho f (z) = e2z + 1 / (ez + 1) , g (z) = e−2z + 1 / (e−z + 1) ,
a = 2. Ta dễ thấy f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM và
N (r, f ) = T (r, f ) + S(r, f ),
δ (∞, f ) = 1/2 > 0. Với
e2z − 2ez − 1
f (z) − a =

,
ez + 1
ta có
và δ (a, f ) = 0.

1
= T (r, f ) + S (r, f )
N r, f −a

(f − a) (g + a − 1) ≡ a (1 − a) là hiển nhiên.

Ví dụ 2.2. Cho f (z) = 2/ (1 + ez ), g (z) = 2/ (1 + e−z ), a = 2. Ta dễ
thấy f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM và
N (r, f ) = T (r, f ) + S(r, f ),
δ (∞, f ) = 0. Với
f (z) − a = −

2ez
,
1 + ez

ta có

1
N r, f −a
= T (r, f ) + S (r, f )

và δ (a, f ) = 1 > 0.

(f − a) (g + a − 1) ≡ a (1 − a) là hiển nhiên.

Ví dụ 2.3. Cho f (z) = 1/ (ez + 1), g (z) = 1/ (e−z + 1), a = 2. Ta dễ
thấy f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM và
N (r, f ) = T (r, f ) + S(r, f ),
δ (∞, f ) = 0. Với
f (z) − a = −
ta có
và δ (a, f ) = 0.

2ez + 1
,
ez + 1

1
N r, f −a
= T (r, f ) + S (r, f )

(f − a) (g + a − 1) ≡ a (1 − a) là hiển nhiên.

Định lý sau đây là một mở rộng của Định lí 2.5.
Định lý 2.7 ([16]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho
f và g chung nhau 0, 1, ∞ CM . Cho a = 0, 1 là một số phức hữu hạn.
Nếu
N r,

1
f −a

= T (r, f ) + S(r, f ),