De cuong on toan Toan HK2

1
Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KỲ 2 – MÔN TOÁN 9
PHẦN I : HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Đại số (chương III, chương IV)
Xem tóm tắt kiến thức cơ bản SGK trang 26 , 61, 62.
* Hình học
Xem tóm tắt kiến thức cơ bản SGK trang 101, 102, 103, 108.
PHẦN II : HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.
A. ĐẠI SỐ :
Chương III : Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
DẠNG 1 : Giải hệ phương trình.
Phương pháp : dùng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp đồ thò.
1)
2x y = 11
3x + 4y = 11
− −



2)
0,5x + 0,3y = 1,1
0.2x y = 7,4


− −

3)
5
3x + y = 9
2

1
2x + y = 2
3







4)
2 3 3 5 1
( 5 1) 2 1 5
x y
x y

− = −


− + = −


5)
3 3 5
3 1 5
x y
x y

− =



+ = −


6)
2 4( 1)
5 3 ( ) 8
x y x
x y x y
− + = − −


+ = − + +

7)
3 2
5( ) 3 5
x y x
x y x y
+ = −


+ = − + −

8)
3 5
2
2
4 10
2

2
x y x y
x y x y
−

+ = −

− +



− =

− +

9)
3 6
1
2
1 1
0
2
x y x y
x y x y

− = −

− +




− =

− +

DẠNG 2 : Giải và biện luận hệ phương trình.
Phương pháp : để biện luận số nghiệm của một hệ phương trình ta đưa về biện luận số
nghiệm của phương trình bậc nhất.
10) Tìm m để hệ phương trình
1
3 - 1
x my m
mx y m
+ = +


+ =

a) có một nghiệm duy nhất b) vô nghiệm c) có vô số nghiệm.
11) Giải và biện luận hệ phương trình
2 2
3
mx y m
x y
+ =


− =

12) Tìm m để hệ phương trình

2
4 6
mx y m
x my m
− =


− = +

a) vô nghiệm b) có vô số nghiệm.
DẠNG 3 : Đònh tham số m để nghiệm của hệ phương trình thoả điều kiện cho trước.
Thông thường ta gặp các vấn đề : nghiệm của hệ phương trình thoả mãn những bất đẳng thức, nghiệm
của hệ phương trình thoả mãn một hệ thức , nghiệm của hệ phương trình là những số nguyên.
13) Cho hệ phương trình
1

x ay
ax y a
+ =


− + =

a) chứng minh rằng hệ PT luôn có nghiệm duy nhất với mọi a.
b) Tìm a để hệ PT có nghiệm (x ; y) sao cho x < 1 ; y < 1.
Email: Hoặc
2
Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538
14 ) Cho hệ phương trình
( 1) 1

4 2
x m y
x y
+ + =


− = −

a) Tìm m sao cho nghiệm của hệ PT thoả mãn hệ thức x
2
+ y
2
= 0,25
b) Tìm các số nguyên m để hệ PT có nghiệm x,y nguyên.
Chương IV : Hàm số y = ax
2
( a
≠
0). Phương trình bậc hai một ẩn.
I. Hàm số y = ax
2
( a
≠
0) : Một số dạng bài tập thường gặp :
a) Vẽ đồ thò hàm số y = ax
2
(P) và vẽ đồ thò hàm số y = mx + n (d) trên cùng một MP
toạ độ.
b) Xác đònh hàm số y = ax
2

( a
≠
0).
c) Không tính giá trò của hàm số, hãy so sánh f(x
1
) với f (x
2
).
d) Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghòch biến.
e) Tương giao giữa đường thẳng (d) : y = mx + n và parabôn (P) : y = ax
2
:
- Tìm điều kiện để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt, (d) tiếp xúc (P), (d) không giao
(P).
- Chứng tỏ (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt, (d) tiếp xúc (P), (d) không giao (P).
- Chứng tỏ (d) luôn tiếp xúc (P), (d) luôn cắt (P), (d) và (P) không giao nhau.
15) Cho hàm số y = f(x) = (m + 2)x
2
( m
≠
-2) có đồ thò là (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x < 0 ; nghòch biến khi x > 0.
b) Vẽ đồ thò hàm số khi m = -
1
2
. Khi đó các điểm A
3
1;
2
 

 ÷
 
; B (-2 ; -6) có thuộc đồ
thò hàm số không? Tại sao ?
c) Với m = -3. Không tính hãy so sánh f(1 -
2
) và f(2 -
3
).
d) Tìm m để (P) thoả một trong các điều kiện sau :
d1) Đi qua điểm C ( -2 ; 6)
d2) Cắt đường thẳng y = -x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 5.
16) Cho parabôn (P) : y = x
2
và đường thẳng (d) : y = 2x + m. Tìm m để (d) tiếp xúc (P). Tìm
toạ độ tiếp điểm.
17) Cho parabôn (P): y =
2
4
x
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (-1 ; -2) và tiếp xúc
với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm.
18) Cho parabôn (P) : y = x
2
và đường thẳng (d) : y = x + m.
Với giá trò nào của m thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Xác đònh toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 6.
19) Chứng tỏ đường thẳng y = 4x – 4 luôn tiếp xúc với parabôn y = x
2
.

Chứng tỏ đường thẳng y = 2x – 1 luôn tiếp xúc với parabôn y = x
2
.
Chứng tỏ đường thẳng y = 8x – 4 luôn cắt parabôn y = x
2
tại 2 điểm phân biệt.
Chứng tỏ đường thẳng y = - 4x + 3 luôn cắt parabôn y = 4x
2
tại 2 điểm phân biệt.
Email: Hoặc
3
Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538
II. Phương trình bậc hai một ẩn : Một số dạng bài tập cơ bản :
a) Giải phương trình bậc hai khuyết b.
b) Giải phương trình bậc hai khuyết c.
c) Giải phương trình bậc hai đủ :
 a + b + c = 0
⇒
phương trình có 2 nghiệm x
1
= 1 ; x
2
= c/a
 a – b + c = 0
⇒
phương trình có 2 nghiệm x
1
= -1 ; x
2
= -c/a

 Dùng công thức nghiệm tổng quát hay công thức nghiệm thu gọn.
d) Giải phương trình quy về phương trình bậc hai.
Phương trình trùng phương – Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Phương trình tích.
20) Giải các phương trình sau :
1) x
2
– 2x = 0 2) 2x
2
+ 5x = 0 3) 2x
2
– 1 = 0 4) x
2
+ 5 = 0
5) x
2
+ x – 1 = 0 6) 2x
2
– 3x – 5 = 0 7) x
2
– 4x + 4 = 0
8) x
2
+ 6x + 15 = 0 9) 4x
2
+ 21x – 18 = 0 10) 4x
2
+
5
x – 11 = 0
11) x

2
–(
2
+ 1)x +
2
=0 12) (1 +
2
)x
2
– x -
2
= 0
13) x
2
– 2(1 +
2
)x + 4 + 3
2
= 0 14) (2x – 1)
2
– (x + 1)(x + 3) = 0
15) (3x
2
+ 2x = 4)
2
– (x
2
– 4)
2
= 0 16) (x

2
– 9)(x – 3) – (x
2
– 1)(9 – x
2
) = 0
17) x
4
– 13x
2
+ 36 = 0 18) 9x
4
+ 6x
2
+ 1 = 0 19) 2x
4
– 7x
2
– 4 = 0
20)
1
5
3
x
x
+ =
−
21)
1 1 2 1
2 2 1

x x x
x x x
+ − +
+ =
+ − +
22)
1 4 1 3
2
4 1
x x
x x
+ −
− =
+ +
23)
60 60
1
1x x
− =
+
24)
2
14 4 7 1
9 3 3 3
x
x x x x
−
+ = −
− + + −
25) (3x

2
+ 10x + 80)(4x
2
– 23x + 28) = 0
Số nghiệm của phương trình bậc hai : Một số dạng bài tập cơ bản
- Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm, vô nghiệm với mọi m.
- Tìm giá trò của tham số để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm, có nghiệm
kép, vô nghiệm.
21 ) Chứng tỏ phương trình x
2
– 2(m – 1)x + m – 3 = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
22) Chứng tỏ phương trình x
2
– 2mx + 2m
2
– 4m - 1 = 0 luôn vô nghiệm với mọi m.
23) Chứng tỏ phương trình x
2
–(m – 1)x + 3(2m + 1) = 0 có nghiệm với mọi m.
24) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó :
a) x
2
– (m – 2)x + 4 = 0 b) x
2
+ 2(m + 3)x + 3 = 0
c) (m – 1)x
2
+ 2x – 1 = 0 d) x
2
+ (m – 1)x + m – 2 = 0

25) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau vô nghiệm :
a) 3x
2
– 2x + m = 0 c) x
2
– 2(m + 2)x + (m + 1)(m – 3) = 0
b) x
2
–(2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 d) x
2
+ 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0
26) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
a) -2x
2
+ 3x + m
2
– 1 = 0 b) x
2
+ (m + 3)x + m + 1 = 0
c) x
2
– (1 + 2m)x – 2(m – 1) = 0
27) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm :
a) 2x
2
+ 3x + m – 1 = 0 b) x
2
+ 2(m – 2)x + 2m

2
– 4m – 5 = 0
Email: Hoặc
4
Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538
28 ) Cho phương trình x
2
+ 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0. Đònh m để :
a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả :
α
) 2x
1
+ 3x
2
= 1

β
) x
1
+ x
2
+ 2x
1
x
2

≤
6

γ
) A = 12 – 10x
1
x
2
–(x
1
2
+ x
2
2
) đạt GTNN
III. Hệ thức Vi-ét : Một số dạng bài tập cơ bản :
1. Không giải phương trình, nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
2. Biết một nghiệm của phương trình bậc hai, tìm nghiệm còn lại.
3. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệ của phương trình bậc hai.
4. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
5. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó.
6. Không giải ph/trình, tính giá trò của biểu thức chứa 2 nghiệm x
1
, x
2
của ph/trình.
7. Cho phương trình chứa tham số. Tìm giá trò của tham số để phương trình có 2 nghiệm
x
1

, x
2
thoả mãn một hệ thức chứa x
1
, x
2
.
8. Cho phương trình chứa tham số. Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x
1
, x
2
độc
lập đối với tham số.
9. Xét dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai.
10.Phân tích một tam thức bậc hai ra thừa số.
29) Không giải phương trình x
2
– 2x – 15 = 0. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình. Tính
a) x
1
2
+ x
2
2
b)
2 2

1 2
1 1
x x
+
c) x
1
3
+ x
2
3
d) x
1
2
– x
2
2
e) (x
1
– x
2
)
2
g)
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
x x x x
+ −

+
30 ) Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm x
1
, x
2
như sau :
a) x
1
=
3
+ 2 ; x
2
=
3
b) x
1
=
1
6 2 3−
; x
2
=
1
6 2 3+
c) x
1
. x
2
= 4 và x
1

2
+ x
2
2
= 17
31) cho phương trình x
2
+ (m – 3)x + 1 – 2m = 0.
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm giá trò của m để :
b1) phương trình có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm còn lại.
b2) phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b3) Phương trình có 2 nghiệm cùng dương.
b4) Phương trình có 2 nghiệm cùng âm.
b5) Phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
b6) Phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả 2x
1
+ x
2
= 3
b7) Phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả (x
1

– x
2
)
2
= 2
c) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình độc lập với tham số m.
Email: Hoặc
5
Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538
IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình :
32) Hai người ở hai đòa điểm A và B cách nhau 3,6km ; khởi hành cùng một lúc.đi ngược
chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc
như trường hợp trên nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp
nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
33) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vò là
2 và nếu thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban
đầu là 682.
34) Hai đòa điểm A và B cách nhau 150km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều
nhau và gặp nhau tại C cách A là 90km.. Nêu1 vận tốc vẫn không đổi nhưng ô tô đi từ B đi
trước ô tô đi từ A là 50 phút thì hai xe gặp nhau chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của
mỗi ô tô.
35) Theo kế hoạch, một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Đến ngày làm việc có 2 xe bò
hỏng nên các xe còn lại phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe ? Biết rằng
trọng tải các xe là như nhau.
36) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 2 giớ 55 phút.
Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất có thể chảy nhanh đầy bể hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi mỗi
vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
37) Một người gởi tiết kiệm tại hai nơi. Một nơi có lãi suất 9%, nơi kia là 11% trong một
năm. Số tiến anh ta có là 12000000 đồng , trong năm đầu anh ta nhận được 1180000 tiến
lãi. Hỏi anh ta gởi mỗi nơi bao nhiêu tiền ?

38) Nếu tăng chiếu dài thêm 4cm và tăng chiều rộng thêm 6cm thì diện tích hình chữ nhật
đó sẽ tăng lên 140cm
2
. Ngoài ra, diện tích sẽ giảm đi 68cm
2
nếu ta giảm chiều dài 4cm và
giảm chiều rộng 4cm. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
39) Hai tỉnh A và B cách nhau 225 km. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi
từ B đến A. Sau 3 giờ chúng gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng ô tô đi từ tỉnh A
có vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô đi từ tỉnh B là 5km/h.
40) Hai thành phố A và B cách nhau 180km. Một xe ô tô k/hành từ A, một xe gắn máy khởi
hành từ B cùng một lúc đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô phải đi thêm 2 giờ
nữa mới tới B, còn xe gắn máy phải đi thêm 4 giờ 30 phút nữa mới tới A. Tính v/tốc của
mỗi xe ?
41) Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính
vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
42) Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động trong 4 giờ thì xong 2/3 công việc. Nếu để
mỗi lớp làm riêng thì 9A làm cả công việc công việc xong trước lớp 9B là 5 giờ. Hỏi làm
riêng thì mỗi lớp làm xong cả công việc trong thời gian bao lâu ?
43) Một ca nô đi xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian xuôi dòng lâu
hơn thời gian ngược dòng là 1 giớ và vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là
6km/h. Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng.
Email: Hoặc