Tốc độ hội tụ và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫn nhiên (tt)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (347.29 KB, 27 trang )
UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
----------------------------
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ LUẬT SỐ LỚN
ĐỐI VỚI MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Mã số: CS2013-15
Chủ nhiệm đề tài:
TS. Nguyễn Văn Huấn
Thành viên tham gia: ThS. Trần Thanh Bình
TP. Hồ Chí Minh, 03/2014
UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
----------------------------
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ LUẬT SỐ LỚN
ĐỐI VỚI MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Mã số: CS2013-15
Chủ nhiệm đề tài:
TS. Nguyễn Văn Huấn
Thành viên tham gia: ThS. Trần Thanh Bình
TP. Hồ Chí Minh, 03/2014
i
MỤC LỤC
Mở đầu
1
Chương 1. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
3
1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
4
. . . . . . . . . . .
Chương 2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với
các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
8
2.1. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn
8
. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kết luận
22
Tài liệu tham khảo
23
1
MỞ ĐẦU
Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng
dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ
đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến ngẫu
nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨os [4, 5]. Kết quả của
Hsu, Robbins và Erd¨os trở thành một định lý cơ sở và nhận được sự quan tâm
của nhiều tác giả. Một kết quả quan trọng mở rộng định lý Hsu-Robbins-Erd¨os
được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum và Katz [3]. Các tác giả đã
sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thiết lập định lý đánh giá tốc độ hội tụ
trong luật mạnh số lớn. Các kết quả trong [3, 4, 5, 7] đã mở ra những hướng
nghiên cứu có tính thời sự liên quan đến sự hội tụ đầy đủ và đánh giá tốc độ
hội tụ trong luật mạnh số lớn.
Trong lý thuyết xác suất, tính độc lập của các biến ngẫu nhiên là một tính
chất mạnh và đã được nghiên cứu rộng rãi. Sau đó, nhiều kiểu phụ thuộc khác
của các biến ngẫu nhiên cũng đã được xét đến. Chẳng hạn như: phụ thuộc
martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc
âm, phụ thuộc dương, liên kết âm, liên kết dương, mixing,...
Khái niệm các biến ngẫu nhiên liên kết âm đã được giới thiệu bởi Alam và
Saxena [1]. Sau đó, Joag-Dev và Proschan [8] đã chứng minh nhiều tính chất
quan trọng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm và chỉ ra nhiều phân phối quan
trọng trong thống kê có tính chất liên kết âm. Gần đây, Ko, Kim và Han [9] đã
phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang
trường hợp các véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd ,
trường hợp các véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực
2
khả ly và họ đã thu được sự hội tụ hầu chắc chắn cho các véctơ ngẫu nhiên liên
kết âm. Công cụ chìa khóa để họ nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn là một bất
đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm có kỳ vọng không.
Bất đẳng thức moment của Ko, Kim và Han [9] tiếp tục được sử dụng bởi Miao
[14] khi chứng minh bất đẳng thức cực đại Hájek-Rényi và bởi Thanh [17] khi
thiết lập luật mạnh số lớn.
Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tốc độ hội tụ trong luật
mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Chúng tôi
cũng chỉ ra rằng lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thực sự rộng
hơn lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm được giới thiệu bởi Ko, Kim và Han
[9]. Hơn nữa, bất đẳng thức moment trong [9] đã được nâng cấp.
Các kết quả của đề tài đã được báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần
thứ 8 (Trường Sĩ quan Thông tin, 8/2013) và đã được viết thành một bài báo
khoa học:
Nguyen Van Huan, Nguyen Van Quang and Nguyen Tran Thuan, BaumKatz type theorems for coordinatewise negatively associated random vectors in
Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, February 2014).
Về cấu trúc, ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, phần
nội dung chính của đề tài được trình bày trong hai chương.
Chương 1 chủ yếu được dành để giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên
liên kết âm theo tọa độ và chứng minh một bất đẳng thức moment đối với các
véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Các kết quả chính của Chương 1 là
Định nghĩa 1.2.2 và Mệnh đề 1.2.6.
Chương 2 trình bày điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh
số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Kỹ thuật được sử
dụng để chứng minh các kết quả này là kỹ thuật chặt cụt đơn điệu. Chúng tôi
cũng đề cập một số nhận xét và ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và
những vấn đề liên quan. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.2 và
Định lý 2.1.7.
3
CHƯƠNG 1
CÁC VÉCTƠ NGẪU NHIÊN
LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên
liên kết âm theo tọa độ và chỉ ra rằng khái niệm này tổng quát hơn khái niệm
véctơ ngẫu nhiên liên kết âm của Ko, Kim và Han [9]. Chúng tôi cũng thiết lập
bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.
Kết quả này khắc phục được sai sót trước đó trong [9]. Mục đầu của chương
được dành để trình bày phần kiến thức chuẩn bị để dùng chung cho cả đề tài.
1.1. Kiến thức chuẩn bị
Trong đề tài này, R là tập các số thực, C là một hằng số dương và giá
trị của nó có thể khác nhau giữa các lần xuất hiện. Cho trước số thực âm
α và hàm f : R → R, ký hiệu f (n) = o(nα ) được hiểu là f (n)/nα → 0 khi
n → ∞. Với A là một tập hợp, |A| là lực lượng của tập hợp A. H là một không
gian Hilbert thực, khả ly với phép nhân trong ·, · và chuẩn
· . Biến ngẫu
nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị thực, véctơ ngẫu nhiên
được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực
Rd hay không gian Hilbert thực khả ly. Với X là một phần tử ngẫu nhiên,
kỳ vọng và phương sai của X lần lượt được ký hiệu bởi EX và VarX . Ta
nói X có kỳ vọng không thay cho cách viết EX = 0. Với {ej , j
1} là một
cơ sở trực chuẩn của H và X là một véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H ,
X, ej sẽ được ký hiệu bởi X (j) .
Giả sử {Xn , n
1} là các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Khi đó,
4
cấu trúc của {Xn , n
1} được thể hiện dưới dạng mảng hai chiều các biến ngẫu
nhiên như sau:
(1)
(2)
X1
(1)
X2
X1
(2)
X2
(1)
Xn
Xn
...
...
...
(2)
...
... X1(d) ...
... X2(d) ...
... ...
...
(d)
...
... Xn
... ... ...,
trong đó Xn(d) là biến ngẫu nhiên với mọi n
Giả sử {X, Xn , n
1 và d
1.
1} là các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Ta xét
bất đẳng thức kẹp sau đây
C1 P(|X
(j)
| > t)
1
n
n
P(|Xk(j) | > t)
C2 P(|X (j) | > t).
(1.1.1)
k=1
Nếu tồn tại hằng số dương C1 (tương ứng, C2 ) thỏa mãn vế trái (tương ứng, vế
phải) của (1.1.1) với mọi j
1, n
1 và t
0 thì ta nói {Xn , n
1} bị chặn
dưới yếu theo tọa độ (tương ứng, bị chặn trên yếu theo tọa độ ) bởi X . Ta nói
{Xn , n
1} là các véctơ ngẫu nhiên bị chặn yếu theo tọa độ bởi X nếu nó vừa bị
chặn dưới yếu và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi X . Rõ ràng, nếu {Xn , n
1}
là các véctơ ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn yếu theo tọa độ bởi X1 .
1.2. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Khi đó, giá trị E (X − EX)(Y − EY )
(nếu tồn tại) được gọi là hiệp phương sai của X và Y , ký hiệu là Cov(X, Y ). Rõ
ràng nếu X , Y độc lập thì Cov(X, Y ) = E(XY ) − EX EY = 0.
Theo Alam và Saxena [1], họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Yi , 1
i
n}
được gọi là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời
nhau của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng
xác định trên R|A| , R|B| thì
Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B)
0
với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên được gọi
là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều
liên kết âm.
5
Ko, Kim và Han [9] đã phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu
nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian Hilbert thực khả ly. Để làm được điều này, các tác giả đã đưa ra
khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian véctơ
thực Rd . Họ hữu hạn các véctơ ngẫu nhiên {Xi , 1
n} nhận giá trị trong
i
Rd được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B
rời nhau của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương
ứng xác định trên Rd|A| , Rd|B| thì
Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B)
0
với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn các véctơ ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian véctơ thực Rd được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết
âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều liên kết âm.
Khi đó, Ko, Kim và Han [9] đã giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên
liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly theo cách tiếp cận
như sau:
1.2.1 Định nghĩa. [9] Họ {Xn , n
1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H
được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu
(1)
(2)
(d)
Xn , Xn , ..., Xn
là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong Rd với mọi d
,n
1
1.
Trong định nghĩa tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách định nghĩa khá
đơn giản về khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không
gian Hilbert thực khả ly. Chú ý rằng, khái niệm này tổng quát hơn khái niệm
các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm được đề cập trong Định nghĩa 1.2.1.
1.2.2 Định nghĩa. Họ {Xn , n
1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H
được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nếu với mỗi j
(j)
{Xn , n
1,
1} là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Hiển nhiên, các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm là các véctơ ngẫu nhiên liên kết
âm theo tọa độ. Tuy nhiên, nói chung, điều ngược lại không đúng. Ví dụ sau
đây sẽ cho ta thấy điều này.
6
2), {Yn , n = 1, 2, ..., d}
1.2.3 Ví dụ. Giả sử d là một số nguyên dương (d
là các biến ngẫu nhiên và không là các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Ta xét
họ Xn = (Xn(1) , Xn(2) , ..., Xn(d) ), n = 1, 2, ..., d các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị
trong Rd như sau: Với mỗi n = 1, 2, ..., d, Xn(n) = Yn và với mỗi j = 1, 2, ..., d,
(j)
{Xn , n = 1, 2, ..., d} là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó {Xn , n = 1, 2, ..., d}
là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, tuy nhiên {Xn , n = 1, 2, ..., d}
không là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm.
Ko, Kim và Han [9] đã thu được sự hội tụ hầu chắc chắn cho các véctơ ngẫu
nhiên liên kết âm. Công cụ chìa khóa để chứng minh kết quả này là một bất
đẳng thức moment được cung cấp bởi mệnh đề sau đây.
1.2.4 Mệnh đề. [9] Giả sử {Xn , n
1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm, có
kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và E Xn
k
E
max
1 k n
2
< ∞, n
1. Khi đó ta có
n
E Xi 2 , n
Xi
i=1
2
(1.2.1)
1.
i=1
Nhớ rằng Bổ đề 1.2.4 cần được nâng cấp. Sự hạn chế của bổ đề này sẽ được
chỉ ra trong ví dụ sau.
1.2.5 Ví dụ. Giả sử {X, Xn , n
1} là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối, có kỳ vọng không và moment cấp hai hữu hạn. Khi đó
k
E
max
1 k 2
2
Xi
= E max{|X1 |, |X1 + X2 |}
2
i=1
|X1 | + |X1 + X2 | + |X1 | − |X1 + X2 |
=E
2
1
1
= EX12 + EX22 + E|X22 + 2X1 X2 |
2
2
1
1
EX12 + EX22 + |EX22 + 2E(X1 X2 )|
2
2
2
2
= EX1 + EX2 .
2
Do đó, nếu ta xét X là biến ngẫu nhiên đối xứng, nhận giá trong tập {−1; 1} thì
E|X22 + 2X1 X2 | = |EX22 + 2E(X1 X2 )|. Vì vậy (1.2.1) sai.
7
Mệnh đề sau đây sẽ tổng quát và nâng cấp Mệnh đề 1.2.4. Kết quả này đã
được chứng minh bởi Shao [16] trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết
âm nhận giá trị thực.
1.2.6 Mệnh đề. Giả sử {Xn , n
1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo
2
tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và E Xn
< ∞, n
1. Khi đó
ta có
k
E
n
2
1 k n
E Xi 2 , n
2
Xi
max
1.
i=1
i=1
Chứng minh. Theo Bổ đề 4 của Matula [13],
k
E
Xi
max
1 k n
∞
2
=E
k
max
1 k n
i=1
2
Xi , ej
j=1
i=1
∞
k
max
E
1 k n
j=1
2
Xi , ej
i=1
∞
=
k
E max
max
1 k n
j=1
∞
k
E
j=1
∞
(j)
Xi
max
1 k n
(j)
Xi
i=1
k
2
;
i=1
1 k n
∞
2
+
(j)
2
− Xi
max
1 k n
2
i=1
k
E
j=1
(j)
− Xi
max
i=1
n
E Xi(j)
2
2
j=1 i=1
n
E Xi 2 .
=2
i=1
Do đó, mệnh đề được chứng minh.
1.2.7 Nhận xét. Từ Mệnh đề 1.2.6 và lược đồ chứng minh Định lý 3.4 của Ko,
Kim và Han [9], điều thú vị dễ nhận thấy là kết quả chính trong [9] (cũng như
Miao [14, Định lý 3.2 và Định lý 3.3], Thanh [17, Định lý 2.2 và Định lý 3.1])
không chỉ đúng cho lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm mà còn đúng cho lớp
rộng hơn - lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.
8
CHƯƠNG 2
TỐC ĐỘ HỘI TỤ
TRONG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC VÉCTƠ
NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội
tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.
Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết quả này là kỹ thuật chặt cụt đơn
điệu. Chúng tôi cũng đề cập một số nhận xét và ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho
các kết quả chính và những vấn đề liên quan.
2.1. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn
Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng
dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ
đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến
ngẫu nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨os [4, 5]. Kết
quả của Hsu, Robbins và Erd¨os đã trở thành một định lý cơ sở của lý thuyết xác
suất với tên gọi là định lý Hsu-Robbins-Erd¨
os. Một kết quả quan trọng mở rộng
định lý Hsu-Robbins-Erd¨os được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum và
Katz [3]. Các tác giả đã sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thu được định
lý đánh giá tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn như sau:
2.1.1 Định lý. [3] Giả sử r, α là hai số thực (r > 1; α > 1/2; αr > 1), {Xn , n
1}
là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và có kỳ vọng không. Khi đó ba
phát biểu sau là tương đương:
(a) E|X1 |r < ∞.
9
∞
(b)
n
n
αr−2
n=1
∞
k=1
αr−2
(c)
Xk > εnα < ∞ với mọi ε > 0.
P
n
n=1
1
P sup α
k nk
k
Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0.
l=1
Định lý 2.1.1 đã được nghiên cứu cho nhiều lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc
khác nhau. Đối với trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết âm, một số kết
quả quan trọng thuộc về Shao [16], Kuczmaszewska [10], Baek, Choi và Niu [2],
Kuczmaszewska và Lagodowski [11], cùng với một số tác giả khác.
Dựa vào công cụ chìa khóa là bất đẳng thức moment được đề cập trong Mệnh
đề 1.2.6, trong định lý sau đây, chúng tôi thiết lập tốc độ hội tụ trong luật mạnh
số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.
2.1.2 Định lý. Giả sử r, α là hai số thực (1
r < 2; αr > 1), {Xn , n
1} là các
véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong
H và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X . Nếu
∞
E|X (j) |r < ∞
(2.1.1)
j=1
thì
∞
k
αr−2
n
P
n=1
Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0.
max
1 k n
(2.1.2)
l=1
Để chứng minh Định lý 2.1.2, ta cần bổ đề dưới đây. Chú ý rằng, việc chứng
minh bổ đề này khá đơn giản trong trường hợp H hữu hạn chiều.
2.1.3 Bổ đề. Giả sử p, r, α là các số thực dương (r < p; αr > 1), X là một véctơ
ngẫu nhiên nhận giá trị trong H và thỏa mãn điều kiện (2.1.1). Khi đó
∞
∞
nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) |
j=1 n=1
nα ) < ∞.
10
Chứng minh (Bổ đề 2.1.3). Ta có
∞
∞
nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) |
nα )
nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) |
1)
j=1 n=1
∞ ∞
=
j=1 n=1
∞ ∞
nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(1 < |X (j) |
+
nα )
j=1 n=1
= I1 + I2 .
Từ điều kiện (2.1.1) kéo theo
∞
∞
nα(r−p)−1 < ∞.
(j) r
E|X |
I1
n=1
j=1
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra I2 < ∞. Thật vậy,
∞
∞
nα
α(r−p)−1
I2 = p
xp−1 P |X (j) | I(1 < |X (j) |
n
0
j=1 n=1
∞ ∞
1
n
p
α(r−p)−1
xp−1 P |X (j) | > 1 dx
0
j=1 n=1
∞ ∞
nα
n
+p
nα ) > x dx
α(r−p)−1
xp−1 P |X (j) | > x dx
1
j=1 n=1
∞
∞
(j) r
∞
E|X |
n
α(r−p)−1
n
α(r−p)−1
P |X (j) | > k α k pα−1
n
+C
n=1
j=1
∞
j=1 n=1
k=1
∞
=C +C
I3 (j),
j=1
và
∞
∞
P |X (j) | > k α k pα−1
I3 (j) =
k=1
∞
n=k
∞
(j)
α
P |X | > k k
C
nα(r−p)−1
k
k=1
C
=
α(p − r)
1
pα−1
xα(p−r)+1
∞
k αr−1 P |X (j) | > k α
k=1
dx
11
∞
∞
k
=C
P nα < |X (j) |
αr−1
n=k
k=1
∞
nαr P nαr < |X (j) |r
C
(n + 1)α
(n + 1)αr
n=1
C E|X (j) |r .
Vì hằng số C ở số hạng sau cùng chỉ phụ thuộc vào p, r và α nên I2 < ∞.
Chứng minh (Định lý 2.1.2). Với n, k, j
(j)
(j)
(j)
Ynk = Xk I(|Xk |
1, đặt
(j)
(j)
nα ) + nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα );
∞
(j)
Ynk ej .
Ynk =
j=1
Khi đó, với mọi ε > 0,
∞
k
n
αr−2
P
n=1
∞
=
n
αr−2
P
n=1
∞
Xl > εnα
max
1 k n
l=1
k
∞
(j)
Xl ej > εnα
max
1 k n
l=1 j=1
(j)
nαr−2 P max max |Xk | > nα
1 k n j 1
n=1
∞
+
k
n
αr−2
n=1
∞
P
∞
(j)
Ynl ej > εnα
max
1 k n
l=1 j=1
n
P(|Xk(j) | > nα )
nαr−2
n=1
∞
j=1 k=1
∞
k
+
n
αr−2
∞
∞
P
n=1
Ynl > εnα
max
1 k n
l=1
nαr−1 P(|X (j) | > nα )
C
(sử dụng (1.1.1))
j=1 n=1
∞
+
k
n
αr−2
n=1
∞
+
n
n=1
αr−2
P
(Ynl − EYnl ) > εnα /2
max
1 k n
l=1
1
P α max
n 1 k n
= J1 + J2 + J3 .
k
EYnl > ε/2
l=1
12
Bằng những lập luận đưa ra ở phần cuối trong chứng minh Bổ đề 2.1.3, ta chỉ
ra được J1 < ∞.
(j)
,k
Dễ thấy rằng {Ynk
do đó {Ynk , k
1} là các biến ngẫu nhiên liên kết âm với mọi j
1,
1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Từ bất đẳng
thức Markov và Mệnh đề 1.2.6 ta có
∞
J2
k
α(r−2)−2
C
n
n=1
∞
1 k n
n=1
∞
E Ynk − EYnk
2
k=1
n
nα(r−2)−2
C
l=1
n
nα(r−2)−2
C
2
(Ynl − EYnl )
max
E
n=1
∞ ∞
=C
E Ynk
2
k=1
n
n
(j) 2
E(Ynk
) .
α(r−2)−2
j=1 n=1
k=1
(j) 2
(j)
(j)
(j)
Nhớ rằng E(Ynk
) = n2α P(|Xk | > nα ) + E (Xk )2 I(|Xk |
nα ) . Theo Bổ đề
2.1 của Gut [6],
∞
∞
n
n
(j) 2
E(Ynk
)
α(r−2)−2
n=1
nαr−1 P(|X (j) | > nα )
C
n=1
∞
k=1
nα(r−2)−1 E (X (j) )2 I(|X (j) |
+C
nα )
n=1
∞
nαr−1 P(|X (j) | > nα ).
+C
n=1
Vì các hằng số trên không phụ thuộc vào j nên Bồ đề 2.1.3 đảm bảo rằng J2 < ∞.
Để chứng minh J3 < ∞, ta chỉ cần chỉ ra J4 = o(1), trong đó
1
J4 = α max
n 1 k n
Nhận xét rằng EXl(j) = 0 với mọi l
J4
1
max
nα 1 k n
∞
k
EYnl(j)
j=1
l=1
k
EYnl .
l=1
1 và j
1. Khi đó theo (2.1.1),
13
1
max
nα 1 k n
1
max
nα 1 k n
∞
k
(j)
(j)
Xl I(|Xl |
E
j=1
l=1
∞
k
α
n )
C
j=1
(j)
j=1 k=1
n P |X (j) | > nα
j=1
l=1
∞
n P |X (j) | > n1/r
j=1
j=1
∞
C
n
nα P |Xk | > nα
E Xl(j) I(|Xl(j) | > nα ) + C
E |X (j) |I(|X (j) | > nα ) + C
nαr−1
∞
∞
∞
nα−1
1
+ α
n
∞
E |X (j) |r I(|X (j) | > n1/r ) = o(1).
E|X (j) |r + C
j=1
j=1
Vì vậy J3 < ∞. Định lý được chứng minh.
2.1.4 Nhận xét. Từ (2.1.2) và Bồ đề 4 của Lai [12] ta có
∞
αr−2
n
n=1
1
P sup α
k nk
k
Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0.
l=1
Khi đó, theo bổ đề Kronecker,
1
P sup α
k nk
k
Xl > ε = o n1−αr
với mọi ε > 0.
l=1
Vì vậy, kết luận (2.1.2) trong Định lý 2.1.2 đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật
mạnh số lớn.
2.1.5 Nhận xét. Định lý 2.1.2 vẫn đúng nếu điều kiện {Xn , n
1} bị chặn trên
yếu theo tọa độ bởi X được thay thế bằng điều kiện yếu hơn sau đây
1
n
n
∞
∞
P(|Xk(j) |
k=1 j=1
> t)
P(|X (j) | > t),
C
n
1, t
0.
j=1
Phần chứng minh của Nhận xét 2.1.5 là tương tự như đối với Định lý 2.1.2
với một số thay đổi nhỏ nên sẽ không được đề cập.
2.1.6 Nhận xét. Trong trường hợp 0 < r < 1, kết luận của Định lý 2.1.2 vẫn
đúng mà không cần đến giả thiết các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
và kỳ vọng không.
14
Chứng minh. Từ những lập luận được đề cập ở phần đầu trong chứng minh của
Định lý 2.1.2, nhận xét trên là rõ ràng nếu ta chỉ ra được
∞
k
αr−2
n
Ynl > εnα < ∞ với mọi ε > 0.
max
P
1 k n
n=1
(2.1.3)
l=1
Thật vậy,
∞
k
αr−2
n
1 k n
n=1
∞
n=1
∞ ∞
E Ynk
k=1
n
n
C
k=1
n
P(|Xk(j) | > nα )
nαr−2
=C
j=1 n=1
∞ ∞
k=1
n
n
+C
j=1 n=1
∞
E |Xk(j) |I(|Xk(j) |
nα )
nα(r−1)−1 E |X (j) |I(|X (j) |
nα )
α(r−1)−2
k=1
∞
C +C
+C
(j)
|
E|Ynk
α(r−1)−2
j=1 n=1
∞ ∞
∞
l=1
n
nα(r−1)−2
C
Ynl > εnα
max
P
j=1 n=1
∞
αr−1
n
P(|X (j) | > nα ) < ∞
(từ Bổ đề 2.1.3).
j=1 n=1
Vì vậy (2.1.3) đúng.
Dưới các giả thiết của Định lý 2.1.2, (2.1.1) kéo theo (2.1.2). Một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là điều ngược lại có đúng không. Câu trả lời trong trường hợp
này là không (xem Ví dụ 2.2.1 trong mục tiếp theo). Vậy điều kiện nào sẽ đảm
bảo cho (2.1.1) đúng? Định lý sau đây sẽ giải quyết vấn đề này.
2.1.7 Định lý. Giả sử r, α là hai số thực dương thỏa mãn αr
1, {Xn , n
1}
là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị
trong H và bị chặn yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X với
∞
E |X (j) |r I(|X (j) |
j=1
1) < ∞.
(2.1.4)
15
Nếu
∞
∞
k
n
αr−2
(j)
1 k n
j=1 n=1
> εnα < ∞ với mọi ε > 0
Xl
max
P
(2.1.5)
l=1
thì (2.1.1) đúng.
Chứng minh. Vì (2.1.4) đúng nên
∞
∞
∞
(j) r
(j) r
(j)
E |X | I(|X |
E|X | =
j=1
j=1
j=1
E |X (j) |r I(|X (j) | > 1)
1) +
∞
∞
(k + 1)αr P k α < |X (j) |
C+
(k + 1)α
j=1 k=1
∞
∞
k
nαr−1 P k α < |X (j) |
C +C
j=1 k=1
∞ ∞
(k + 1)α
n=1
nαr−1 P |X (j) | > nα .
=C +C
j=1 n=1
Do đó, ta chỉ cần chứng minh
∞
∞
nαr−1 P |X (j) | > nα < ∞.
(2.1.6)
j=1 n=1
Trước hết, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương n0 để
∞
∞
(j)
α
P |X | > n
n
P max |Xk(j) | > nα
C
j=1
với mọi n > n0 .
1 k n
j=1
(2.1.7)
Từ (1.1.1) ta có
n
C1 n P |X
(j)
P |Xk(j) | > nα
α
|>n
k=1
n
=
P |Xk(j) | > nα ;
max
l=k;1 l n
|Xl |
P |Xk(j) | > nα ;
max
|Xl | > nα
k=1
n
+
k=1
l=k;1 l n
P max |Xk(j) | > nα + K1 .
1 k n
(j)
nα
(j)
(2.1.8)
16
Và cũng từ (1.1.1),
n
K1
(j)
(j)
I(|Xk | > nα ) I( max |Xl | > nα )
E
1 l n
k=1
n
(j)
(j)
(j)
I(|Xk | > nα ) − P(|Xk | > nα ) I max |Xl | > nα )
=E
1 l n
k=1
n
P(|Xk(j) | > nα ) I max |Xl(j) | > nα
+E
1 l n
k=1
(j)
K2 + C2 n P(|X (j) | > nα ) P max |Xl | > nα .
(2.1.9)
1 l n
(j)
(j)
1, {I(Xk > nα ), k
Nhớ rằng với mọi n, j
1} và {I(Xk < −nα ), k
1} là các
biến ngẫu nhiên liên kết âm. Khi đó K2 được đánh giá như sau:
n
(j)
P max |Xl(j) | > nα
I(|Xk | > nα )
Var
K2
1 l n
k=1
n
n
(j)
I(Xk
2Var
>
nα )
(j)
I(Xk < −nα )
+ 2Var
k=1
P max |Xl(j) | > nα
1 l n
k=1
n
n
Var
2
(j)
I(Xk
>
nα )
k=1
Var I(Xk(j) < −nα )
+
k=1
P max |Xl(j) | > nα
1 l n
n
P(|Xk(j) | > nα ) P max |Xl(j) | > nα
2
1 l n
k=1
2
a
n
P(|Xk(j) | > nα ) +
k=1
a
P max |Xl(j) | > nα
2
1 l n
2C2 n
a
P(|X (j) | > nα ) + P max |Xl(j) | > nα ,
a
2
1 l n
(2.1.10)
trong đó a > 4C2 /C1 . Kết hợp (2.1.8)-(2.1.10), ta thu được
C1 −
2C2
n P(|X (j) | > nα )
a
1+
a
P max |Xk(j) | > nα
2
1 k n
(j)
+ C2 n P(|X (j) | > nα ) P max |Xl | > nα .
1 l n
(2.1.11)
Mặt khác, (2.1.5) kéo theo
∞
∞
nαr−2 P
j=1 n=1
(j)
max |Xk | > εnα < ∞ với mọi ε > 0.
1 k n
(2.1.12)
17
Vậy nên
∞
∞
n(αr−1)
2
n=1
(j)
max n |Xk | > ε 2nα
P
1 k 2
j=1
∞
2n+1 −1
∞
C
(j)
max n |Xk | > ε 2nα
P
1 k 2
j=1 n=1
∞
∞ 2
n+1
m=2n
−1
(j)
max |Xk | > (ε/2α )mα
mαr−2 P
C
j=1 n=1 m=2n
∞ ∞
αr−2
C
mαr−2
n
j=1 n=1
P
1 k m
(j)
max |Xk | > (ε/2α )nα < ∞.
1 k n
Điều này đảm bảo rằng
∞
P max |Xk(j) | > nα = o(1),
1 k n
j=1
nên tồn tại số nguyên dương n0 sao cho
∞
2
a
P max |Xl(j) | > nα
1 l n
j=1
với mọi n > n0 .
Do đó, (2.1.11) kéo theo
C1 −
4C2
n P(|X (j) | > nα )
a
1+
a
P max |Xk(j) | > nα
2
1 k n
với mọi n > n0 .
Vì a > 4C2 /C1 và n0 không phụ thuộc vào j nên (2.1.7) đúng.
Khi đó (2.1.7) và (2.1.12) kéo theo
∞
∞
nαr−1 P |X (j) | > nα
j=1 n=1
∞ n0
=
∞
n
αr−1
∞
nαr−1 P |X (j) | > nα
+
j=1 n=n0 +1
n
P |Xk(j) | > nα
nαr−2
C
α
P |X | > n
j=1 n=1
∞ n0
j=1 n=1
∞
∞
k=1
(j)
nαr−2 P max |Xk | > nα
+C
C
(j)
j=1 n=n0 +1
∞ ∞
αr−2
n
j=1 n=1
1 k n
P max |Xk(j) | > nα < ∞,
1 k n
18
nghĩa là (2.1.6) đúng.
Liên quan đến Định lý 2.1.7, ta có thể chỉ ra tính khả dụng của kết quả
này cũng như vai trò của hai điều kiện (2.1.4), (2.1.5) (xem chi tiết ba ví dụ
2.2.2-2.2.4 trong mục tiếp theo).
Nhớ rằng nếu r
2 thì điều kiện (2.1.1) mạnh hơn điều kiện
E X
r
< ∞.
(2.1.13)
Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt khi H hữu hạn chiều thì (2.1.1) và (2.1.13)
tương đương. Hơn nữa, ta có hệ quả sau đây.
2.1.8 Hệ quả. Giả sử r, α là hai số thực dương (1
gian Hilbert thực hữu hạn chiều, {Xn , n
r < 2; αr > 1), H là không
1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm
theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn yếu theo tọa độ
bởi véctơ ngẫu nhiên X . Khi đó (2.1.1), (2.1.2), (2.1.5), (2.1.13) là tương đương.
Chứng minh. Vì H hữu hạn chiều nên (2.1.4) đúng. Hơn nữa, (2.1.1) và (2.1.2)
lần lượt tương đương với (2.1.13) và (2.1.5). Phần chứng minh còn lại của hệ
quả được suy ra từ các định lý 2.1.2 và 2.1.7.
2.2. Một số ví dụ
Trong mục này, chúng tôi trình bày bốn ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho Định
lý 2.1.2 và Định lý 2.1.7.
Ví dụ đầu tiên sẽ chỉ ra rằng, dưới các giả thiết của Định lý 2.1.2, điều kiện
(2.1.1) không thể được suy ra từ kết luận (2.1.2).
2.2.1 Ví dụ. Ta xét không gian
2
gồm các dãy số thực bình phương khả tổng
x = {xk , k
2
là x =
1} với chuẩn trong
∞
2 1/2 .
k=1 xk
Giả sử {Xn , n
là véctơ ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và nhận giá trị trong
P X1(j) = ±j −1/r = 1/2 với mọi j
là không gian dạng p với mọi r < p
gian dạng p).
1. Vì
2
2
1}
thỏa mãn
là không gian dạng 2 nên nó cũng
2 (xem chi tiết trong Pisier [15] về không
19
Khi đó, với mọi ε > 0,
∞
k
n
αr−2
Xl > εnα
max
P
1 k n
n=1
∞
l=1
k
α(r−p)−2
C
n
E
n=1
∞
nα(r−p)−1 E X1
=C
p
C
Xl
max
1 k n
∞
p
n
n=1
l=1
∞
p
p/2
1
nα(r−p)−1 E
n=1
E Xk
k=1
∞
=C
n=1
n
α(r−p)−2
j=1
< ∞,
j 2/r
nghĩa là (2.1.2) đúng. Tuy nhiên, (2.1.1) sai vì
∞
∞
E|X1(j) |r
1
= ∞.
j
=
j=1
j=1
Ba ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho Định lý 2.1.7. Dễ thấy rằng nếu (2.1.4)
không được thỏa mãn thì kết luận (2.1.1) sai. Tuy nhiên, (2.1.4) không là
điều kiện tầm thường. Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng, trong Định lý 2.1.7, chúng
ta không thể bỏ điều kiện (2.1.4) hoặc thậm chí thay thế nó bởi điều kiện yếu
hơn E |X (j) |r I(|X (j) |
1) = o(1) khi j → ∞.
2.2.2 Ví dụ. Giả sử p, r là hai số thực dương (r < p
{Xn , n
2; p
1). Ta xét dãy
1} như trong Ví dụ 2.2.1. Khi đó, với mọi ε > 0,
∞
∞
k
n
αr−2
j=1 n=1
∞
P
(j)
max
l=1
∞
k
α(r−p)−2
C
n
j=1 n=1
∞ ∞
E
l=1
E|Xk(j) |p
(vì R là không gian dạng p)
k=1
∞
α(r−p)−1
n
j=1 n=1
p
Xl
n
j=1 n=1
∞ ∞
=C
(j)
max
1 k n
nα(r−p)−2
C
> εnα
Xl
1 k n
E|X1(j) |p
=C
∞
n
α(r−p)−1
n=1
j=1
1
j p/r
< ∞,
và do đó (2.1.5) đúng. Ta cũng dễ dàng chỉ ra được E |X (j) |r I(|X (j) |
Tuy nhiên kết luận (2.1.1) không được đảm bảo.
1) = o(1).
20
Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho vai trò của điều kiện (2.1.5). Chúng tôi sẽ
chỉ ra rằng kết luận của Định lý 2.1.7 có thể sai nếu điều kiện (2.1.5) không
được thỏa mãn.
2.2.3 Ví dụ. Giả sử r > 2, {Yn , n
1} là các biến ngẫu nhiên đối xứng, độc
lập, cùng phân phối thỏa mãn E|Y1 |r/2 = ∞, |Yn | < ∞ với mọi n
n
1. Với mỗi
1, đặt
∞
(j)
Xn
r/2
= Yn I(j − 1
|Yn |
< j),
j
(j)
Xn e j ,
1; Xn =
j=1
trong đó {ej , j
(j)
{Xn , n
1} là một cơ sở trực chuẩn của
2.
Khi đó, với mỗi j
1,
1} là các biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập và cùng phân phối. Hơn
nữa, vì
∞
∞
(j) 2
Xn
=
Yn2
j=1
nên {Xn , n
(j)
< ∞, EXn = E
X n ej
= 0,
n
1
j=1
1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng
không, nhận giá trị trong
2
và bị chặn yếu bởi X1 . Nhận thấy
∞
E |X1(j) |r I(|X1(j) |
(1)
(1)
1)
(2)
(2)
1) < ∞,
1) = E |X1 |r I(|X1 |
j=1
+ E |X1 |r I(|X1 |
do đó (2.1.4) được thỏa mãn. Với α = 2/r và ε = 1, ta sẽ chỉ ra rằng chuỗi trong
(2.1.5) phân kỳ. Thật vậy,
∞
∞
k
αr−2
n
P
j=1 n=1
∞ ∞
(j)
max
1 k n
Xl
l=1
∞
P
(j)
|X1 |
2/r
>n
j=1 n=1
∞
∞
> εnα
∞
P |X1(j) |r/2 > n
=
n=1 j=1
P j−1
n=1 j=n+2
E|Y1 |r/2 − 2 = ∞.
|Y1 |r/2 < j
21
Vì vậy, (2.1.4) không kéo theo (2.1.5). Hơn nữa, trong trường hợp này
∞
∞
E|X1(j) |r
(j)
|X1 |r = E|Y1 |r = ∞,
=E
j=1
j=1
nghĩa là (2.1.1) sai.
Ví dụ cuối cùng sẽ chỉ ra một trường hợp mà cả hai điều kiện (2.1.4) và
(2.1.5) đều được thỏa mãn. Vì vậy, Định lý 2.1.7 đảm bảo rằng kết luận (2.1.1)
đúng.
2.2.4 Ví dụ. Giả sử 0 < s < r < 2, {Xn , n
cùng phân phối, nhận giá trị trong
j
2
1} là các véctơ ngẫu nhiên độc lập,
thỏa mãn P X1(j) = ±j −1/s = 1/2 với mọi
1. Bằng những lập luận tương tự như đối với Ví dụ 2.2.2, ta có thể chỉ ra
được rằng hai điều kiện (2.1.4) và (2.1.5) được thỏa mãn.
22
KẾT LUẬN
Đề tài tập trung nghiên cứu về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với
các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Đề tài đã thu được các kết quả
sau đây:
- Giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ và chỉ ra
rằng khái niệm này tổng quát hơn khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm của
Ko, Kim và Han [9];
- Thiết lập bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm
theo tọa độ, kết quả này nâng cấp một kết quả trước đó trong [9];
- Cung cấp điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối
với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ;
- Cung cấp sáu ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và những vấn đề
liên quan.
