Luận văn: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU docx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THU THỦY

TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THU THỦY

TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2009

none

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1


Mục lục

Mở đầu

4

Chương 1.

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bài toán đặt không

chỉnh

1.1.

8

Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . .

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Bµi toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . .

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

. . . . . . . . . . . . . . . .

20

. . . . . .

24

1.1.1. Không gian Banach

1.1.2. Phiếm hàm lồi nửa liên tục dưới

1.1.3. Toán tử đơn điệu

1.2.

1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

1.2.2. Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

1.3.

Bất đẳng thức biến phân

1.3.1. Phát biểu bài toán và ví dụ

1.3.2. Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm

Chương 2.

Nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân ®¬n

®iƯu

2.1.

27

NghiƯm hiƯu chØnh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.1. Bài toán hiệu chỉnh

2

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2


. . . . . . . . . . . . .

28

2.1.3. Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh

. . . . . . . . . .

31

XÊp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh

. . . . . . . . . .

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.2. Sù héi tô của nghiệm hiệu chỉnh

2.2.

2.2.1. Xấp xỉ hữu hạn chiều

2.2.2. Tốc độ hội tụ

2.3.

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

3

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3


Mở đầu
Cho
hợp của

X
X,

là một không gian Banach phản xạ thực,
cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là

tử đơn điệu đơn trị và

tìm

x0 K

K

.

X
,

là không gian liên

A : X X

là một tập con lồi đóng trong

là toán

X . Víi f ∈ X ∗ , h·y

sao cho

A(x0 ) − f, x x0 0 x K,
ở đây

x X.

x , x

kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục

(0.1)

x X

tại

Bài toán được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân (variational

inequality). Nếu

KX

thì bài toán (0.1) có dạng phương trình toán tử

A(x) = f.

(0.2)

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu là lớp bài toán nảy sinh ra từ nhiều
vấn đề của toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các bài toán vật lý
toán, tối ưu hoá. Ngoài ra nhiều vấn đề thực tế như các bài toán cân bằng
mạng giao thông đô thị, các mô hình cân bằng kinh tế.... đều có thể mô tả
được dưới dạng của một bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Rất tiếc là bất
đẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại là bài toán đặt không chỉnh.
Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số
của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán
có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải. Vì thế nảy sinh vấn đề tìm
các phương pháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh, sao cho

khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng
gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu.

4

S húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4


Năm 1963, A. N. Tikhonov đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và
kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi
động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế.
Mục đích của đề tài luận văn nhằm nghiên cứu một phương pháp giải
ổn định bất đẳng thức biến phân đơn điệu trên cơ sở xây dựng nghiệm hiệu
chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân . Nghiên cứu sự hội tụ và
đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với toán tử ngược đơn điệu
mạnh trong không gian Banach phản xạ thực dựa trên việc chọn tham số
hiệu chỉnh tiên nghiệm.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình
bày một số kiến thức cơ bản nhất về toán tử đơn điệu, bài toán đặt không
chỉnh và bất đẳng thức biến phân.
Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bất
đẳng thức biến phân đơn điệu. Kết quả chính của chương này là đánh giá
tốc độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh được chọn
tiên nghiệm. Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều và đánh
giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này.

ở phần cuối của chương là kết

quả số có tính chất minh hoạ cho phương pháp nghiên cứu, chương trình
thực nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB.
Kết quả về sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn
chiều của bất đẳng thức biến phân (0.1) được đăng tải trên Tạp chí Khoa
học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, số 5 năm 2009.
Em mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Tiến sĩ Nguyễn
Thị Thu Thuỷ, cô đà rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt thêi gian

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5


em thùc hiƯn khãa ln vµ trùc tiÕp h­íng dÉn em hoàn thành khóa luận
này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư , tiến sĩ ở Viện Toán
học , Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt
nam, các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Khoa học nói chung và
Khoa Toán-Tin nói riêng đà hết lòng giảng dạy, truyền đạt cho em nhiÒu
kiÕn thøc khoa häc trong suèt thêi gian em học tập tại Trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, những người
bạn của tôi đà động viên và cổ vũ tôi rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua.
Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn nên khóa luận này không
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
quý báu của các quý thầy cô và toàn thể các bạn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009
Lương Thị Thu Thủ

6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6


Một số ký hiệu và chữ viết tắt
H

không gian Hilbert thực

X

không gian Banach thực

X

không gian liên hợp của

Rn

không gian Euclide



tập rỗng

X

n chiều

x := y

x được định nghĩa bằng y

x

với mọi

x

tồn tại

inf F (x)

xX

x

x

infimum của tập

{F (x) : x X}

I

ánh xạ đơn vị

AT

ma trận chuyển vị của ma trận

ab

a tương đương với b

A

toán tử liên hợp của toán tử

D(A)

miền xác định của toán tử

R(A)

miền giá trị của toán tử

xk x
xk

x

d·y

A

A

A

A

{xk } héi tơ m¹nh tíi x

d·y

{xk } héi tơ u tíi x

7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7


Chương 1

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bài
toán đặt không chỉnh
1.1.

Một số kiến thức bổ trợ

Trong mục này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích hàm và giải tích hàm phi tuyến có liên quan đến nội dung nghiên cứu
của đề tài. Các kiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3],
[4], [5] và [8].

1.1.1. Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1.

Không gian Banach là một không gian định chuẩn đầy

đủ.

Ví dơ 1.1.1.

Kh«ng gian

Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞

x(t) xác định và p-khả tích trên đoạn [a, b]

với các phần tử là các hàm
b
sao cho
|x(t)|p dt < , là một
a

không gian Banach với chuẩn

1/p

b
p

|x(t)| dt

x =

.

a
Cho

X

là không gian Banach thực,

Không gian liên hợp của
và kí hiệu là

X

X , tức là X

X

là không gian liên hợp của

được gọi là không gian liên hợp thứ hai của
=

L( X , R).

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8

X.
X


Định nghĩa 1.1.2.

Không gian định chuẩn

X

gọi là không gian phản x¹ nÕu

X = X ∗∗ .
VÝ dơ 1.1.2.

Lp [0, 1], p > 1

là một không gian phản xạ. Mọi không gian

định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.

Định nghĩa 1.1.3.

1) låi nÕu

TËp

M ⊂X

∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0, 1] ta cã λx + (1 − λ)y ∈ M ;

2) compact nếu mọi dÃy
một phần tử

được gọi là

{xn } M

tụ yếu đến một phần tử

hội tụ đến

Định nghĩa 1.1.4.

đều chøa mét d·y con

{xn } ⊂ M , xn → x (xn

DÃy các phần tử

gọi là hội tụ mạnh đến phần tử

xn

{xn } M

x nk

hội

x0 M ;

4) đóng (®ãng yÕu) nÕu

ta cã

x nk

x0 ∈ M ;

3) compact yÕu nếu mọi dÃy

các phần tử

đều chứa dÃy con

x0

xn

khi

x) thì x M.

trong không gian Banach

n nếu

được gọi là hội tụ yếu đến phần tử

X

được

xn x0 0. D·y
x0

nÕu víi mäi

f ∈ X∗

f (xn ) → f (x0 ) , khi n → ∞.

Ta sÏ sư dơng kÝ hiệu



để chỉ sự hội tụ mạnh và

để chỉ sự hội tụ

yếu. Với định nghĩa như trên ta có (xem [2]):
1) Tõ sù héi tơ m¹nh cđa d·y

{xn } suy ra sự hội tụ yếu của dÃy đó.

2) Giới hạn yếu cđa mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt.
3) Mäi d·y hội tụ yếu đều giới nội.
4) Nếu

X là không gian phản xạ thì xn

hội tụ trong
5) Nếu

x khi và chỉ khi d·y { f, xn }

R víi mäi f ∈ X ∗ .
xn

x0

th×

x0 ≤ limn→∞ xn

.

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

NhËn xÐt: Mét sè tr­êng hỵp tõ héi tơ u có thể suy ra hội tụ mạnh là:

1)

X

2)

{xn } M , ở đây M

là không gian hữu hạn chiều.

Định lý 1.1.1.

và giả sử dÃy
trong

là một tập compact trong

(Banach-Steinhaus) Cho

{ fn , x }

X

bị chặn với mọi

X.

là không gian Banach,

x X.

Khi đó dÃy

fn X

{fn }

bị chặn

X .

Định lý 1.1.2.

hội tụ yếu đến

Giả sử

xX

hội tụ mạnh tới

{fn } X

hoặc

hội tụ mạnh đến

f X

và

{xn } X

{fn } ⊂ X ∗ héi tơ u ®Õn f ∈ X ∗ vµ {xn } ⊂ X

x ∈ X. Khi đó lim fn , xn = f, x .

Định nghĩa 1.1.5.

n

Cho

X

là không gian Banach phản xạ thực,

X

được gọi

là không gian cã tÝnh chÊt Ephimov-Stechkin (hay tÝnh chÊt E-S) nÕu trong

X

sự hội tụ yếu các phần tử

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

xn

x

và sự hội tụ chuẩn

xn x 0

xn x

.

1.1.2. Phiếm hàm lồi nửa liên tục dưới

Cho

X, Y

là các không gian Banach, toán tử

tử đơn trị. Chúng ta kí hiệu miền xác định của

A:XY

là một toán

A là D(A) víi

D(A) = domA = {x ∈ X|Ax = ∅}

vµ miền giá trị là

R(A) = {f Y |f Ax, x D(A)}.
Định nghĩa 1.1.6.

1)

Toán tử

A gọi là tuyến tÝnh nÕu

A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2

víi mäi

x1 , x 2 ∈ X ;

10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10


2)
NÕu

f

A(αx) = αAx víi mäi x ∈ X , ∀α R.

Y R

thì ta có phiếm hàm tuyến tính

f

với miền xác định của hàm

là

domf = {x X|f (x) = }.
Định nghĩa 1.1.7.

Toán tử

A được gọi là một toán tử tuyến tính liên tục nếu

nó là toán tử tuyến tính, đồng thời là toán tử liên tục giữa hai không gian

X

vµ

Y.

VÝ dơ 1.1.3.

Cho

X = Rk , Y = Rm , toán tử A được xác định bởi
A(x1 , x2 , ..., xk ) = (y1 , y2 , ..., ym )

víi

k

yi =

aij xj ,

i = 1, . . . , m

(1.1)

j=1
trong đó

aij

tử tuyến tính

Rk

vào

là các hằng số.

A

Ma trận

(aij )kìm

và (1.1) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính từ

Rm . Một toán tử tuyến tính từ Rk

Định nghĩa 1.1.8.

Toán tử tuyến tính

(giới nội) nếu tồn tại số

Cho

vào

Rm

bao giờ cũng liên tục.

A : X Y

được gọi là bị chặn

K > 0 thỏa mÃn:
Ax

Ví dụ 1.1.4.

gọi là ma trận cđa to¸n

Y

K. x

X,

∀x ∈ X.

A : L2 [a, b] → L2 [a, b] là một toán tử xác định bởi
b

(A)(x) =

K(x, s)ϕ(s)ds,
a

11

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11


trong đó

K(x, s) là một hàm hai biến có bình phương khả tích, nghĩa là
b

b

K 2 (x, s)dxds = N 2 < .
a
Khi đó,

a

A là một toán tử tuyến tính liên tục. Toán tử này gọi là toán tử tích

phân Fredholm sinh bởi hạch

Cho

Định nghĩa 1.1.9.

K(x, s).

A:XY

là một toán tử tuyến tính liên tục. Khi

đó số

K. x , x X}

inf{K, K > 0 : Ax
được gọi là chuẩn của toán tử

A, kí hiệu là A

.

Nhận xét:

1) Ba chuẩn thường dùng trong

n

x

1

là:

n

|xi |, x

=

2

2

|xi |

=

i=1
ở đây

Rn

1/2

, x



= max |xi |,

i=1

1in

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .

2) Trong không gian hữu hạn chiều

A được cho bëi ma trËn (aij )n
i,j=1

tö tuyÕn tÝnh
ma trËn

Rn , khi có một cơ sở cố định, toán
thì ba chuẩn tương ứng của

A là:
n

A

1

|aij |, A

= max

1jn

trong đó

= { max i (A A)} , A
1in



|aij |,

= max

1in

j=1

i (AT A) là các giá trị riêng của ma trận đối xứng AT A.

ta sẽ viết

Kí hiệu

2

i=1

Với toán tử

Y,

n
1
2

T

r:XY

từ không gian Banach

r(x) = o( x )

với

x X ,

nếu

X vào không gian Banach

r(x)/ x → 0

khi

x → θX .

L(X, Y ) lµ tËp tÊt cả các toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y .

12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12


Cho

Định nghĩa 1.1.10.

X

A:XY

vào không gian Banach

là một toán tử từ không gian Banach

Y . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm

x X , nếu tồn t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o( h ),
víi mäi

h thuộc một lân cận của điểm . Nếu tồn tại thì T
A tại x, và ta viết A (x) = T .

hàm Fréchet của

Hàm

Định nghĩa 1.1.11.

với mọi

x, y X

f : X R {+}

được gọi là lồi trên

f

X

nếu

ta cã

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 t)f (y),
Hàm

được gọi là đạo

lồi ngặt trên

X

t [0, 1].

nếu bất đẳng thức trên không xảy ra dấu bằng với

x = y.
Định nghĩa 1.1.12.

nếu với mọi dÃy

Hàm

f :XR

được gọi là nửa liên tục dưới trên

X

{xn } : xn → x th×
lim inf f (xn ) ≥ f (x), x X.
n

Định nghĩa 1.1.13.

X

nếu với mọi dÃy

Hàm

f : X R được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên

{xn } : xn

x thì

lim inf f (xn ) f (x), x X.
n

Định nghĩa 1.1.14.

Hàm

1) chính thường nếu
2) hữu hạn nếu

f : X R được gọi là

domf = ∅ vµ f (x) > −∞, ∀x ∈ X;

|f (x)| < ∞, ∀x ∈ X.

13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13


Định nghĩa 1.1.15.

tồn tại

x X

Hàm

f

được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm

f (x + y) f (x)
= x , y ,
+0

x

được gọi là đạo hàm Gâteaux của

Định nghĩa 1.1.16.

cầu đơn vị

kéo theo

nếu

sao cho

y X.

lim

và

xX

f

tại

Không gian định chuÈn

S = {∀x ∈ X : x = 1}
x+y < 2

của

x, kí hiệu là f (x).

X

X

được gọi là lồi chặt nếu mặt

là lồi chặt, tức là từ

(nói cách khác biên của

S

x, y S

không chứa bất kì một

đoạn thẳng nào).

Ví dơ 1.1.5.

Kh«ng gian

Lp [a, b], 1 < p < ∞ là không gian lồi chặt.

1.1.3. Toán tử đơn điệu

Cho

X

vào

A : X X là toán tử đơn trị từ không gian Banach phản xạ thực

X với miền xác định là D(A) X

(thông thường ta coi

nếu không nói gì thêm) và miền giá trị (miền ảnh)

Định nghĩa 1.1.17.

Toán tử

D(A) X

R(A) nằm trong X .

A được gọi là đơn điệu nếu

A(x) A(y), x y 0,

x, y D(A).

A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi x = y .
Định nghĩa 1.1.18.

Nếu

x X

tử xác định không âm, kí hiệu là

Nhận xét: Nếu

A

ta có

Ax, x 0 thì A được gọi là toán

A 0.

là một toán tử tuyến tính trong không gian Banach

thì tính đơn điệu tương đương với tính xác định không âm của toán tử.

14

S húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14

X


Định nghĩa 1.1.19.

không âm

Toán tử

A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm

(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ
A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ),

NÕu

δ(t) = cA t2

víi

cA

∀x, y D(A).

là một hằng số dương thì toán tử

A được gọi là đơn

điệu mạnh.

Định nghĩa 1.1.20.

Toán tử A được gọi là h-liên tục trên X nếu A(x+ty)

Ax khi t 0 với x, y X và d-liên tục nÕu xn → x th× suy ra Axn
Chó ý r»ng nếu

A

h-liên

là toán tử đơn điệu và

tục thì

A

là toán tử

Ax.
d-liên

tục.

Định nghĩa 1.1.21.

Toán tử

A được gọi là toán tử bức, nếu

lim

x +
Định nghĩa 1.1.22.

A(x), x
= +.
x

ánh xạ U s : X X (nói chung đa trị) xác định bởi

U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x

s1

. x = x s }, s 2

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian

X.

thì

Us

thường được viết là

chuẩn tắc của

X.

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho

Khi

s = 2

U

và được gọi là ánh xạ đối ngẫu

trong mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.1.1.

(xem [5]) Giả sử

X

là một không gian Banach. Khi đó,

1)

U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mọi R;

2)

U

là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi

X

là không gian lồi chặt.

15

S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15

Nhận xét:

H,

1) Trong không gian Hilbert
toán tử đơn vị
2)

I

trong

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là

H.

ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó

tồn tại trong mọi không gian Banach.
Với
gian

Rn

X = Lp (), 1 < p <

và

thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

(U x)(t) = x
Giả thiết rằng ánh xạ đối ngẫu

2p

Us

U



là một tập đo được của không

có dạng

|x(t)|p2 x(t),

t .

thỏa m·n

U s (x) − U s (y), x − y ≥ mU x − y s ,
U s (x) − U s (y) ≤ C(R) x − y ν ,
ë đây

(1.2)

0 < 1,

(1.3)

C(R) là một hàm dương và đơn điệu tăng theo R = max{ x , y }

(xem [1] vµ tµi liƯu dÉn). NÕu
vµ

mU > 0,

X lµ không gian Hilbert H thì mU = 1, = 1

C(R) = 1.

Định lý 1.1.3.

(xem [5]) Nếu

đối ngẫu chuẩn tắc
Hơn nữa, nếu

X

X

là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ

U : X X

là toán tử đơn điệu, bức và

là không gian Banach lồi chặt thì

U

d-liên

tục.

là toán tử đơn điệu

chặt.

Định nghĩa 1.1.23.

Cho

X

là không gian Banach phản xạ,

một phiếm hàm lồi, chính thường trên

f :X R

là

X . Ta định nghĩa f (x) bëi

∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) ≤ f (y) + x∗ , x − y , y X}.

Phần tử

x X

được gọi là dưới Gradient của hàm

gọi là dưới vi phân của

f

tại

f

tại

x và f (x) được

x.

16

S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên

16


Nhận xét:

1)

f (x) là toán tử đơn điệu (nói chung đa trị) từ X

2)

X .

f (x) là một tập lồi đóng.

1.2.

vào

Bài toán đặt không chỉnh

1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

A(x) = f,
ở đây

A : X Y

gian Banach

Y, f

(1.4)

là một toán tử từ không gian Banach

là phần tử thuộc

Y.

X

vào không

Sau đây là một định nghĩa của J.

Hadamard:

Định nghĩa 1.2.1.

Cho

A

là một toán tử từ không gian

X

vào không gian

Y . Bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu
1) phương trình

A(x) = f

có nghiệm với mọi

f Y;

2) nghiệm duy nhất và;
3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mÃn thì bài toán
(1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Nhận xét:

1) Bài toán tìm nghiệm

x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x = R(f ),

được gọi là ổn định trên cặp không gian

(X, Y ) nếu với mỗi > 0 có thĨ t×m

17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17


®­ỵc mét sè

δ(ε) > 0,

sao cho tõ

ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε)

ta cã

ρX (x1 , x2 ) ≤ ε,

ë ®©y

f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X.

x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ),

2) Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại đặt
không chỉnh trên cặp không gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.4) thường được cho bởi đo
đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác
mÃn

f f .

Giả sử

x

thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi
không chỉnh thì

x

f

ta chỉ biết xấp xỉ

là nghiệm của (1.4) với

0

thì

f f

nói chung không hội tụ đến

f

f

của nó thoả

thay bởi

f

(giả

nhưng với bài toán đặt

x.

1.2.2. Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Sau đây ta sẽ chỉ ra một ví dụ về toán tử

A

mà (1.4) là bài toán đặt

không chỉnh.

Định nghĩa 1.2.2.

Toán tử (phi tuyến)

A được gọi là liên tục mạnh, nếu nó

ánh xạ mọi dÃy hội tụ yếu thành dÃy hội tụ mạnh tức là nếu

xn

x suy ra

Axn Ax.
Mệnh đề 1.2.1.

Nếu

(xem [4]) Cho

X

và

Y

là các không gian Banach thực.

A là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.
Nếu

A

là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.4) (vô hạn chiều) nói

chung là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy,giả sử
tụ yếu đến

x, xn

liên tục mạnh của

x , xn → x

vµ

{xn } lµ mét d·y chØ héi

yn = A(xn ), y = A(x).

A suy ra yn → y

Khi ®ã do tính

và nghiệm của phương trình

A(x) = f

không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.

18

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18


Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán
tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định
toán tử

A

D(A)

của

là hữu hạn chiều thì mọi dÃy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó

chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính

compact với miền ảnh

R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A1 nói chung

là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình

A(x) = f

là bài toán đặt

chỉnh.

Ví dụ 1.2.1.

Hệ phương trình


x + x + x
 1
=3
2
3



x1 + 1.02x2 + x3 = 3.02



x + x + 1.01x = 3.01

1
2
3
cã nghiƯm lµ

x1 = 1; x2 = 1 và x3 = 1. Trong khi đó hệ phương trình

x + x + x
1
=3
2
3



x1 + 1.02x2 + 1.03x3 = 3.05



1.003x + x + x
= 3.06
1
2
3

cã nghiÖm lµ

x1 = 20; x2 = −56 vµ x3 = 39.

Ta thÊy mét thay ®ỉi nhá cđa hƯ sè trong hƯ phương trình ban đầu đà kéo

theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Do vậy, đây là một bài toán đặt
không chỉnh.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình (1.4), nên ta cần
phải có một tiêu chuẩn cho sù lùa chän cđa nghiƯm. Ta sÏ sư dơng nghiƯm

x0

cã

x∗ -chuÈn nhá nhÊt.

19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19


Định nghĩa 1.2.3.

Nghiệm

x0

được gọi là nghiệm có

x -chuẩn

nhỏ nhất

của phương tr×nh (1.4) nÕu

x0 − x∗ = min x − x∗ ,
x∈S0

S0 = {x ∈ X : A(x) = A(x0 ) = f }.

với

1.3.

Bất đẳng thức biến phân

1.3.1. Phát biểu bài toán và ví dụ

Cho
của

X.

X

là không gian Banach phản xạ thực,

X, A : X X

là một toán tử đơn trị và

X
K

là không gian liên hợp

là tập con lồi đóng của

Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: víi

h·y t×m

x0 ∈ K

sao cho

A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0,
VÝ dô 1.3.1.

x0 ∈ J

f ∈ X ,

Cho

f (x)

x K.

là một hàm thực khả vi trên

J = [a, b].

(1.5)
H·y t×m

sao cho

f (x0 ) = min f (x).
xJ

Có ba khả năng xảy ra:
1) Nếu

a < x0 < b th× f (x0 ) = 0;

2) NÕu

x0 = a thì f (x0 ) 0 và;

3) Nếu

x0 = b thì f (x0 ) 0.

Những phát biểu này có thĨ tỉng qu¸t b»ng c¸ch viÕt nh­ sau:

f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0,

∀x ∈ J,

20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20


đây là một bất đẳng thức biến phân.
Trong trường hợp

A là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm F : X →

R ∪ {+∞} låi chÝnh th­êng nưa liªn tơc dưới và f 0 X

thì bất đẳng

thức biến phân (1.5) tương đương với bài toán cực trị lồi không khả vi

min F (x).

(1.6)

xX

Khi

KX

thì bài toán (1.5) có dạng phương trình toán tử (1.4). Ta có các

kết quả sau.

Bổ đề 1.3.1.

(xem [3]) Cho

X

là một không gian Banach thực,

A là một toán tử h-liên tục từ X

vào

và

X . Khi ®ã, nÕu cã

A(x) − f, x − x0 ≥ 0,
thì

f X

x X

(1.7)

A(x0 ) = f.
Nếu

A

là một toán tử đơn điệu trên

X

thì điều kiện trên tương đương

với

A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0,
Chøng minh. Gi¶ sư

tån tại vectơ

x0

không là nghiệm của phương trình

z = 0 trong X

1
z
2

Ax = f , khi ®ã

A(x0 ) − f > 0.

A là toán tử h-liên tục nên với t > 0 kh¸ bÐ ta cã
| A(x0 − tz) − A(x0 ), z |

Từ

(1.8)

sao cho

A(x0 ) f, z >
Mặt khác do

∀x ∈ X.

1
z
3

A(x0 ) − f .

Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X, thay x bëi x0 tz

ta được

A(x0 tz) f, (x0 tz) − x0 ≥ 0

21

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21

(1.9)

hay

A(x0 − tz) − f + A(x0 ) − A(x0 ), −tz ≥ 0.
Suy ra

A(x0 − tz) − A(x0 ), tz + A(x0 ) f, tz 0.
Bất đẳng thức này tương đương với

A(x0 tz) A(x0 ), −z ≥ A(x0 ) − f, z .
Do ®ã

| A(x0 − tz) − A(x0 ), z |≥| A(x0 ) − f, z |>
điều này mâu thuẫn với (1.9). Do vậy
tử

x0

1
z
2

A(x0 ) f > 0,

là nghiệm của phương trình toán

Ax = f.
Bây giờ ta chứng minh (1.7)

(1.8). Thật vậy, do

A

là toán tử đơn

điệu nên ta có

Ax Ax0 , x x0 0,

x X, x0 X.

Bất đẳng thức này tương đương với

0 Ax Ax0 , x − x0 = (Ax − f ) − (Ax0 − f ), x − x0
hay

Ax − f, x − x0 ≥ Ax0 − f, x − x0 .
Ta chøng minh (1.8)
nªn

⇒ (1.7). ThËt vËy Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X,

∀t ∈ (0, 1) ta cã
A[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 ≥ 0,

∀x ∈ X,

suy ra

t A[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 ≥ 0,

∀x ∈ X.

22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22


Chia cả hai vế của bất đẳng thức này cho
tính chất

t

sau đó cho

t0

và sử dụng

h-liên tục của toán tử A ta được điều cần chứng minh.
2

Bổ đề 1.3.1 gọi là Bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đÃ
chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert. Sau này
chính ông và Browder đà chứng minh một cách độc lập trong không gian
Banach.

Mệnh đề 1.3.1.

(xem [6]) Giả sư

F : X → R ∪ {+∞} lµ mét phiÕm hàm

lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên
Gâteaux
i)

x0

F

X

và khả vi Gâteaux với đạo hàm

giả thiết là liên tục. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

là nghiệm của bài to¸n

(1.6);

ii)

F (x0 ), x − x0 ≥ 0,

∀x ∈ X;

(1.10)

F (x), x − x0 ≥ 0,

∀x ∈ X.

(1.11)

iii)

Chøng minh.

(*) Tr­íc hết ta chứng minh
nghiệm của bài toán

i)

tương đương với

ii).

Thật vậy, nếu

x0

là

(1.6) thì với x X, [0, 1] ta cã
F (x0 ) ≤ F ((1 − λ)x0 + x).

Từ đây suy ra

1
F (x0 + (x x0 )) − F (x0 ) ≥ 0.
λ

(1.12)

23

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23