Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tiễn

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

PHẦN 8: CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
CHỦ ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Bài 1

Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm . Đường cong c

Hướng dẫn giải:
Không mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ, khi đó ta có
x 2 + y 2 = 81

phương trình là

, khi đó thể tích của bình là hình tròn xoay bị giới hạn bởi đường

y = 0; x = −8; x = 8

x 2 + y 2 = 81

tròn

và,
8

V =π ∫

−8

(

)

8

.

81 − x 2 dx = π ∫ ( 81 − x 2 ) dx =
−8

2864
π
3

Vậy thể tích là

Bài 2

Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trạ

1


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Hướng dẫn giải:

ABCD

Giả sử nền trại là hình chữ nhật

có

AB = 3

mét,

BC = 6

mét, đỉnh của parabol là

I

. Chọn hệ trục

 3  3 
A  − ;0 ÷, B  ;0 ÷, I ( 0;3 )
Oxy
 2  2 
O
AB
tọa độ
sao cho:
là trung điểm của cạnh
,
, phương trình của
y = ax + b ( a ≠ 0 )

2

parabol có dạng :

( P)

I , A, B
, do

thuộc

nên ta có:

4
y = − x2 + 3
3

. Vậy thể tích phần

3
2

 4

V = 6.2 ∫  − x 2 + 3 ÷dx = 36(m3 )
3

0
không gian phía trong trại là :

Bài 3
Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có

Hướng dẫn giải:
Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm, ta tính diện tích một cánh hoa: Chọn hệ trục tọa
độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh

AB

A ( 1;0 ) , B ( −1;0 ) , I ( 0;3 )
,

y = ax 2 + b ( a ≠ 0 )
trình của parabol có dạng:

và đỉnh I của parabol. Phương

, Do
1

S1 =
diện tích mỗi cánh hoa là:

Vậy : Diện tích của hình là:

∫ ( −3 x

−1

2

( P)

I , A, B
thuộc

y = −3 x 2 + 3
nên ta có:

. Do đó:

+ 3) dx = 4 ( dm 2 )

 22 3

2
A = 6 
+ 4÷
÷ = 6 3 + 24 ≈ 34,39 ( dm )
4


2


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Bài 4

Tính thể tích hình xuyến tạo thành do quay hình tròn (C): x2 + (y–2)2  1 quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải:

( C)
Hình tròn

(
Ta có

I ( 0; 2 )
có tâm

, bán kính

R =1

x2 + ( y − 2) = 1
2

là

 y = 2 + 1 − x2
2
y − 1) = 1 − x 2 ( −1 ≤ x ≤ 1) ⇒ 
 y = 2 − 1 − x 2

Thể tích cần tính:
1

(


V = π ∫  2 + 1 − x2
−1 

) −( 2−
2

1 − x2

)  dx = 4π
2

2

v = 0m / s
Hướng dẫn giải:

Ta có vận tốc của chuyển động tại t (giây):
 t4 3 
v = ( t ) =  + t 2 ÷ = 2t 3 + 3t ⇒ v ( 4 ) = 140m / s
2 2 
Chọn đáp án A.

966m

3

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Hướng dẫn giải:
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :
10

S = ∫ ( 3t 2 + 5 ) dt = 966m
4

Chọn đáp án D.

1380m
Hướng dẫn giải:
v ( t0 ) = 0

t0
Gọi

là thời điểm vật dừng lại . Ta có

t0 = 16
. Suy ra

16

S = ∫ ( 160 − 10t ) dt = 1280( m)
0

Vậy

Chọn đáp án A.

240m
CHUYÊN HẠ LONG
4


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Hướng dẫn giải:

3
S ( t ) = ∫ ( 3t + 2 ) dt = t 3 + 2t + c
2
t
Quãng đường tại thời gian :

Mà

3
S ( 2 ) = 10 ⇒ c = 0 ⇒ S ( t ) = t 2 + 2t
2
t = 30s : S ( 30 ) = 1410

Tại thời điểm
Chọn đáp án A.

1
Q1 w
2
THPT LẠC HỒNG
Hướng dẫn giải:
i = i0 sin wt

t
Cường độ dòng điện tại thời điểm
π
6

Q1 = ∫ i0 sin wtdt =
0

là

i0
⇒ i0 = 2Q1w
2w

T=

2π
w

với
Chọn đáp án B.

Bài 10

(

0; T

)

.

5


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Hướng dẫn giải:
s = s( t)
Gọi

t
là quãng thời đường đi được của vật cho đến thời điểm

thời gian từ thời điểm đến

s = s( t)

đó

t=a

đến thời điểm

t =b

Quãng đường vật đi được trong khoảng

L = s ( b) − s ( a ) .

là

Mặt khác, ta đã biết

f
là một nguyên hàm của

s '( t ) = f ( t )

s( t) = F ( t) +C

C
. Thành thử, tồn tại một hằng số

, do

sao cho

. Vậy

L = s ( b ) + s ( a ) =  F ( b ) + C  −  F ( a ) + C  = F ( b ) − F ( a ) .

t
Hướng dẫn giải:

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh. Gọi

T

v(T ) = 0
là thời điểm ô tô dừng. Ta có

suy ra

20 = 40T ⇔ T = 0,5
Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây. Trong
0,5

L=

2
∫ ( 20 − 40t ) dt = ( 20t − 20t )
0

0,5

= 5(m)

0

khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển được quãng đường là

6


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

3π
4

=

t

(

s

)

(SGK 12 NC)

Hướng dẫn giải:
S=

3π
4

∫ ( 1 − 2sin 2t ) dt =

3π
−1
4

a ( t ) = 3t + t ( m / s
0

Quãng đường

2

2

)

Hướng dẫn giải:
v( t)
Gọi

v ' ( t ) = a ( t ) = 3t + t
là vận tốc của vật. Ta có

v ( 0 ) = 10
Vì

nên suy ra

C = 10

3t 2 t 3
v( t) =
+ +C
2
3

2

.Suy ra

v( t) =

3t 2 t 3
+ + 10
2
3

. Vậy
10
 3t 2 t 3

4300
S = ∫
+ + 10 ÷dt =
(m)
2 3
3

0

9,8 ( m / s

Thành thử quãng đường vật đi được là

2

)

7


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Hướng dẫn giải:
v( t)
a) Gọi

v ' ( t ) = a ( t ) = −9,8
là vận tốc của viên đạn. Ta có

v ( t ) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C
Suy ra
b) Gọi

. Vì

T

nên

C = 25

v ( t ) = −9,8t + 25.
. Vậy

0
là thời điểm đạn đạt tới độ cao lớn nhất. Tại đó viên đạn có vận tốc bằng

T=

v(T ) = 0
Vậy

v ( 0 ) = 25

.

25
≈ 2,55
9,8

. Suy ra

(giây).

2 S ≈ 31,89 ( m )
Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi xuống là

v( t) = t ( 5−t)

( m / s)

Hướng dẫn giải:
5

Vật dừng lại tại thời điểm

t =5

S = ∫ t ( 5 − t ) dt =
0

125
6

( m)

. Quãng đường vật đi được là

8


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

6( m / s)

Hướng dẫn giải:
Thời điểm
kể từ lúc

A

A

và

B

gặp nhau là 20 giây

xuất phát.

A

Đồ thị vậận tốc của
OMN .

Quãng đường

là đường gấp khúc

A

đã đi được là

OMNQ

diện tích hình thang

.

( 20 + 12 )
Diện tích của nó là

vận tốc của

Vì

B

đi được

B

, do

96 ( m )

B, A
đó lúc gặp

6
= 96
2

là đường thẳng

xuất phát cùng vị trí với

. Đồ thị

HP

A

.

nên quãng đường

B

96 ( m )
đi được là

.

9


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Mặt khác, quãng đường

vận tốc của

B

B

đã đi được bằng diện tích hình tam giác

tại thời điểm đuổi kịp

thời điểm nó đuổi kịp

A

HQ = 8

HPQ

A

96 =
. Suy ra

8 PQ
= 4 PQ
2

với

PQ
và

chính là

PQ = 24
nên

. Vậy vận tốc của

B

tại

24 ( m / s )
là

.

4000
=
1 + 0, 5t

N '( t )

Hướng dẫn giải:

N ( t) = ∫

4000
dt = 8000 ln ( 1 + 0,5t ) + 250000
1 + 0,5t

Ta có:
N ( 10 ) = 8000 ln 6 + 250000 ≈ 264334

Kết quả :

≈ 264334

6

(

m / s)

SGK BT 12 NC

Hướng dẫn giải:

v( t) = ∫
Ta có:

3
dt = 3ln ( t + 1) + c
t +1
mà

10


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

v ( 0 ) = 6 ⇒ c = 6 ⇒ v ( t ) = 3ln ( t + 1) + 6
v ( 10 ) = 3ln11 + 6 ≈ 13 ( m / s )
≈ 13 ( m / s )
Kết quả:

sin ( π t )
1
v( t) =
+
( m / s)
2π
π
SGK BT 12 NC

Hướng dẫn giải:
1,5

S=

0

Quãng đường

 1

∫  2π +

sin ( π t ) 

3
1
+ 2 ≈ 0,34
 dt =
π 
4π π

t +4
v ( t ) = 1, 2 +
t +3
2

( m / s)
SGK BT 12 NC

Hướng dẫn giải:

f ( x ) =− x + 160x − 4800
2

11


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Quãng đường

4


t2 + 4 
S = ∫ 1, 2 +
dt = 0,8 − 13ln 3 + 13ln 7 ≈ 11,81
t + 3 
0 

Hướng dẫn giải :
f ( x ) = ( 120 − x ) x − ( 120 − x ) 40 = − x 2 + 160 x − 4800
Lợi nhuận hàng tháng của nhà sản xuất là :
Chọn đáp án D.

12m / s

2

Hướng dẫn giải :

Vận tại thời điểm

t

giây là

Gia tốc tại thời điểm

t

v ( t ) = ( s ( t ) ) ' = 3t 2 − 6t + 4

giây là

Suy ra gia tốc tại thời điểm

a ( t ) = ( v ( t ) ) ' = 6t − 6

t − 2s

a ( 2) = 6
giây là

Chọn đáp án B.

12m / s
Hướng dẫn giải :

v( t) = ∫

2
dt = 2 ln ( t + 1) + c
t +1

Ta có
12


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

v ( 0 ) = 5 ⇔ 2 ln ( 0 + 1) + c = 5 ⇔ c = 5
Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là :

.

v ( t ) = 2 ln ( t + 1) + 5
Nên
v ( 10 ) = 2 ln ( 11) + 5 ≈ 9,8
Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là :
Chọn đáp án A.

43π ( dm

3

)

3dm
5dm
3dm

Hướng dẫn giải :
Đặt hệ trúc với tâm

O

, là tâm của mặt cầu ; đường thẳng đứng là

Ox

Oy
, đường ngang là

; đường tròn

x 2 + y 2 = 25
lớn có phương trình

13


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Thể tích là do hình giới hạn bởi

Ox

y = 25 − x 2 , x = 3, x = −3

, đường cong

quay quanh

Ox

là

3

V = π ∫ ( 25 − x 2 ) dx = 132π

S = 109m.
−3

. Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải :

v ( t ) = ∫ a ( t ) dt =

10
+ C.
1 + 2t

Ta có
v ( 0 ) = 30 ⇔ C = 20
Theo đề ta có
2

 10

S = ∫
+ 20 ÷dt = 5ln 5 + 100 ≈ 108m.
2t + 1

0

Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là :

14


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Chọn đáp án C.

Bài 26
Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với

Hình 1

Hình 2

2250
V =
π cm
4
Hướng dẫn giải :
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy
y = 225 − x 2 , x ∈ [ −15;15]
là nửa hình tròn có phương trình :
Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục

Ox

tại điểm có

x, x ∈ [ −15;15]
hoành độ
S ( x)
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là

(xem hình)

NP = y, MN = NP tan 450 = y = 15 − x2

Dễ thấy
15


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

S ( x) =
Khi đó

1
1
1
1
MN .NP = ( 225 − x 2 ) S ( x ) = MN .NP = ( 225 − x 2 )
2
2
2
2

15

V=

∫ S ( x ) dx = 2250cm

3

−15

Suy ra thể tích hình nêm là
Chọn đáp án A.

P2 ( t ) = 200 + 5t
Hướng dẫn giải :
Khoảng thời gian để tốc độ sinh lợi nhuận để dự án hai bằng một nửa dự án lần một khi:
t = 5 + 5 15
P1 ( t ) = 2 P2 ( t ) ⇔ 50 + t 2 = 400 + 10t ⇔ t 2 − 10t − 350 = 0 ⇔ 
t = 5 − 5 15
⇒ t = 5 + 5 15

năm

Lợi nhuận vượt trong khoảng thời gian

L=

5+ 5 15

∫

0

=

 P2 ( t ) − P1 ( t )  dt =

5 + 5 15

0 ≤ t ≤ 5 + 5 15

sẽ xác định bằng tích phân sau:

∫ ( 400 + 10t ) − ( 50 + t )  dt
2

0

5+ 5 15

∫ ( 350 + 10t − t ) dt
2

0

16


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

1  5+ 5

=  350t + 5t 2 − t 3 ÷
3 0


15

= 6674, 6
Chọn đáp án A.

Bài 28

 10

2
v=
+ 20 ÷ cm / s
 1 + 2t 
Hướng dẫn giải :
Trước hết để giải bài toán này ta cũng chú ý. Biểu thức vận tốc

v

theo thời gian

t

có gia tốc

a

là:

v = ∫ a.dt

v = ∫ adt = ∫

−20

( 1 + 2t )

2

dt

Áp dụng công thức trên , ta có :
Đến đây ta đặt :
u = 1 + 2t ⇒ du = 2dt ⇒ dt =

v=∫

du
2

−10
10
10
du = ∫ −10u −2 du = + K =

+K
u
u
1 + 2t
17


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

t = 0, v = 30 ⇒ K = 20
Với

Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là :

 10

v=
+ 20 ÷ cm / s 2 .
 1 + 2t


Chọn đáp án D.
Nhận xét: dựa trên nội dung công thức trên ta có thể tính toán, trả lời các câu hỏi trong Vật Lí
ứng dụng và trong đời sống. Ta theo dõi các ví dụ tiếp theo.

v = −9,8t − 13
Hướng dẫn giải :
a = −9,8 ( m / s 2 )

Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc
Ta có biểu thức vận tốc

v

theo thời gian

t

có gia tốc

a

là :

v = ∫ adt = ∫ −9,8dt = −9,8t + C
t = 0, v = 15m / s ⇒ C = 15
Ở đây, với :

v = −9,8t + 15
Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng :
Đến đây, ta nghĩ đến việc nếu lấy tích phân của vận tốc
Do đó, ta xét bài toán ứng dụng tiếp theo dưới đây.

v

lần nữa thì sẽ cho ta kết quả gì?

18

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Chọn đáp án A.

6.875 ( m )
Hướng dẫn giải :
a = −9,8 ( m / s 2 )
Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc
Ta có biểu thức vận tốc

v

theo thời gian

t

có gia tốc

a

là :

v = ∫ adt = ∫ −9,8dt = −9,8t + C
t = 0, v = 15m / s ⇒ C = 15
Ở đây, với
Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng:
v = −9,8t + 15

Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta sẽ có được bểu thức quãng đường:

s = ∫ vdt = ∫ ( −9,8t + 15 ) dt = −4,9 t 2 + 15t + K

Theo đề bài, ta được khi

t = 0 ⇒ s = 0 ⇒ K = 0.

s = −4,9t 2 + 15t.
Vậy biểu thức tọa độ của quảng đường là :
t = 2,5 ( s )
Khi

s = 6,875 ( m )
, ta sẽ được

19


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

Chọn đáp án D.

127, 5 ( m )
Hướng dẫn giải :
Muốn tìm quãng đường, ta lấy tích phân hàm vận tốc, ta được:

s = ∫ vdt = ∫ ( v0 + at ) dt = ∫ ( 5 + at ) dt

Do đó, quãng đường có biểu thức là :
1
s = v0t + at 2 + C.
2

Khi

( 1)
.

t =0⇒s =0⇒C =0

t = 5 ( s ) , a = 9,8 ( m / s 2 ) .
Theo đề bài :

( 1)
Thay vào phương trình của

ta được :

1
s = 5.5 + 9,8.52 = 147.5 ( m )
2
Chọn đáp án A.

8m
Hướng dẫn giải :
20

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Ô tô còn đi thêm được 2 giây.
2

2

4t 2
s = ∫ v ( t ) = ∫ ( −4t + 8) dt = ( −
+ 8t )
2
0
0

2

= 8( m)

0

Quãng đường cần tìm là :
Chọn đáp án D.

V = a

3

Hướng dẫn giải :

b

V = ∫ S ( x ) dx
a

Ta thừa nhận công thức :

(*)

S ( x)
Trong đó

là diện tích của thiết diện của vật thể

x ∈ [ a; b ]

. Thiết diện này vuông góc với trục

a, b
với

V

V

là các cận ứng với hai mặt phẳng song song và vuông góc với trục

Ox

Ox

,tại

, giới hạn vật thể

.

Việc nắm giữ vững công thức (*) giúp quý độc giả có thể tính được thể tích của vật thể mà đề bài đã yêu
cầu, cụ thể như sau:
Oxyz
V
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ
vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể
giới hạn bởi hai mặt
x2 + y 2 = a2 , x2 + z 2 = a2 ( a > 0)
trụ:

21


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

x ∈ [ 0; a ]
, thiết diện của vật thể (vuông

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi
Ox

y= a −x
2

x

2

góc với trục
) tại
là một hình vuông có cạnh
vẽ). Do đó diện tích thiết diện sẽ là:

( chính là phần gạch chéo trong hình

S ( x ) = a 2 − x 2 . a 2 − x 2 = a 2 − x 2 x ∈ [ 0; a ] .
Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
a
a

x 3  a 16a3
V = 8∫ S ( x ) dx = 8∫ ( a 2 − x 2 ) dx = 8  a 2 x − ÷ =
30
3

0
0

Chọn đáp án A.

10 ( m )

Hướng dẫn giải :
t0 = 0 ( s )
Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm

t = 5( s)
đến thời điểm

5

5

5

0

0

0

s = ∫ v ( t ) = ∫ ( 2t + 5 ) dt = ( t 2 + 5t )

là :

= 50 ( m )

Quãng đường cần tìm là :
Chọn đáp án A.

22

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

0, 34 ( m )
Hướng dẫn giải :
Vật đi được 1,5 giây.
Quãng đường cần tìm là :
1,5
 1 sin ( π t ) 
1
3
1
 t

s = ∫ v ( t ) dt = ∫ 
+
− cos π t ÷ =
+ 2 ≈ 0,34 ( m )
÷dt = 
2π
π 
4π π
 2π π
0
0
0 
1,5

1,5

Chọn đáp án D.

2, 66 ( cm )
Hướng dẫn giải :

Thời gian bơm nước được 6 giây.
Mức nước càn tìm là :
6

6

4
1
3
h ( t ) = ∫ h ' ( t ) dt = ∫ 3 t + 8dt = ( t + 8 ) 3
5
20
0
0

6

0

4
3
12
= ×14 3 − ≈ 2, 66 ( cm )

20
5

Chọn đáp án D.

8π − 2 3
S=
3

23


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Hướng dẫn giải :
I ( 3;3)
Phương trình đường tròn tâm

bán kính

Phương trình hoành độ giao điểm ta được :

R=2

( x − 3)

2

+ ( y − 3) = 4
2

là

( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 = 4  X 2 + Y 2 = 4
⇒

 X − Y + 2 = 0
 x − y + 2 = 0


− 6− 2
 X1 =
2
⇔

6− 2
X2 =

2

S=

∫(

X2

X1

)

X2

X + 2 + 4 − X 2 dX + 2 ∫ 4 − X 2 dX =
X1

8π + 3 3
3

Chọn đáp án A.

( 0, 6; 0, 7 )
Hướng dẫn giải :

Phương trình hoành độ giao điểm ta được :


x2
y =
⇒ x = ±2
2

2
2
x + y = 8


24

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

2

x2 
4
4
S1 = 2 ∫  8 − x 2 − ÷dx = 2π + ; S = S
−
S
=
6
π
−
2
hinhtron
1
2 
3
0
3

S1
≈ 0, 435
S2
Suy ra

Chọn đáp án C.

14
Hướng dẫn giải :
Ta có
1

1

0

0

S = ∫ x 2 x 2 + 1dx = ∫ ( x 3 + x ) d

(

)

1

1

0

0

x 2 + 1 = ( x 3 + x ) x 2 + 1 − ∫ x 2 + 1 ( 3 x 2 + 1) dx

1

= 2 2 − 3S − ∫ x 2 + 1dx
0

1

T = ∫ x 2 + 1dx

a = 3, b = 2, c = 8

0

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần để tính

được

Chọn đáp án C.

25