Một số tích phân thường gặp trong đề thi

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI
DẠNG1: Đổi biến
( ; ; ;2 )
4 2
x a t a
π π
π π
= − =
Ví dụ: Tính các tích phân sau
4
2 4
4 4
0 0
2
2
3
2
0 0
sin
) ) ln(1 tan )
sin os
sin
) ) os
1 os
x
a I dx b I x dx
x c x
x x
c I dx d I xc xdx
c x
π π

π
π
= = +
+
= =
+
∫ ∫
∫ ∫
Hướng dẫn:

0
4 4 4
2 2
4 4 4 4 4 4
0 0
2
0
2
0
2
)
2
os os os
os sin os sin os sin
x t
x t
a x t
c t c t c x
dx dt I dt dt dx
c t t c t t c x x

π π
π
π
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= − ⇒ = − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
Kết hợp với tích phân ban đầu ta có
4 4
2 2
4 4
0 0
sin os
2
os sin 2 4
x c x
I dx dx I
c x x
π π
π π
+
= = = ⇒ =
+
∫ ∫

4
0
4
4 4 4
0 0 0
0
0
4
)
4
ln 1 tan( )
4
1 tan 2
ln 1 ln ln 2 2 ln 2
1 tan 1 tan 4
ln 2
8
x t
x t
b x t
dx dt I t dt
t
dt dt dt I I
t t
I
π
π π π
π
π
π

π
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
 
= − ⇒ = − + −
 ÷
 
−
   
= + = = − ⇒ =
 ÷  ÷
+ +
   
⇒ =
∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
0
2 2
0
1
2
2 2 2
0 0 1
2
0

0
)
sin( ) sin
1 os ( ) 1 os
ost ost
2
1 os 1 os 1 2
4
x t
x t
c x t
t t
dx dt I t dt t dt
c t c t
dc dc dx
I I
c t c t x
I
π
π
π π
π
π
π
π
π π
π
π
π π π
π

−
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
−
= − ⇒ = − − = −
+ − +
= − − ⇒ = − = =
+ + +
⇒ =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
( )
0 2
3 3
2 0
2 2
3 2
0 0
3
0
0 2
2 0
2
) 2
2 os (2 ) 2 os
2 os 2 2 1 sin sin
sin

2 sin
3
0
x t
x t
d x t
dx dt I t c t dt t c tdt
c tdt I I t d t
t
t
I
π
π
π π
π
π
π
π
π π π
π π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= − ⇒ = − − − = −
= − ⇒ = − =
 
−
 ÷
 

⇒ =
∫ ∫
∫ ∫
Bài tập tương tự:
3
0
2
0
1
2
0
3
2
3 3
0
3
1) sin KQ:
4
2) sin os KQ:
3
ln( 1)
3) KQ: ln 2
1 8
sin
4) KQ:
sin os 4
x xdx
x xc xdx
x
dx

x
x
dx
x c x
π
π
π
π
π
π
π
+
+
+
∫
∫
∫
∫
DẠNG2: Đổi biến
x t
= −
Ví dụ:
1
4 2
1
1
2
1
7 5 3
4

2
4
sin
) )
2 1 3 1
sinx
)
1
3 5 7 1
)
os
x x
x x
a I dx b I dx
c I dx
x
x x x x
d I dx
c x
π
π
π
π
− −
−
−
= =
+ +
=
+

+ + + +
=
∫ ∫
∫
∫
Hướng dẫn:
1 1 1
4 4 4
1 1 1
1 1
1 1
) ,
2 . 2 .
2 1 2 1 2 1
t x
t t x
x t
x t
a x t dx dt
t t x
I dt dt dx
−
−
− −
= ⇒ =−
=− ⇒ =
= − = −
= − = =
+ + +
∫ ∫ ∫

Kết hợp với tích phân ban đầu, ta có:
1
5
4
1
1
1
2 1
2
5 5 5
x
I x dx I
−
−
= = = ⇒ =
∫
2 2 2
) ,
sin 3 .sin 3 .sin
3 1 3 1 3 1
t x
t t x
x t
x t
a x t dx dt
t t x
I dt dt dx
π π π
π π π
π π

π π
−
−
− −
=− ⇒ =
= ⇒ =−
= − = −
= − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
Kết hợp với tích phân ban đầu ta có
2
1 1 sin 2
2 sin (1 os2x)
2 2 2
2
x
I xdx c dx x
I
π π
π π
π
π
π
− −
−
 
= = − = −
 ÷
 

⇒ =
∫ ∫
1 1
2 2
1 1
1 1
1 1
) ,
sin(-t) sin(t)
0
1 1
x t
x t
c x t dx dt
I dt dt I I
t t
−
−
= ⇒ =−
=− ⇒ =
= − = −
= − = − = − ⇒ =
+ +
∫ ∫
7 5 3 7 5 3
2 2
2
4 4
4 4
4 4

4 4
4
4
4
4
) ,
3 5 7 1 3 5 7 1
os os
2
2 2 tan 4 2
os
x t
x t
d x t dx dt
t t t t t t t t
I dt dt
c t c t
I dt I t I
c t
π π
π π
π π
π π
π
π
π
π
−
−
−

= ⇒ =−
=− ⇒ =
−
= − = −
− − − − + + + + −
= − = −
= − + ⇒ = = ⇒ =
∫ ∫
∫
Bài tập tương tự
1
4
2
1
1
2
1
7 6
sinx 4
1) KQ:
x 1 2 3
1
2) KQ:
2 1 4
sin . os KQ:0
3)
x
x
I dx
x

I dx
x c xdx
I
π
π
π
π
−
−
−
+
= −
+
−
=
+
=
∫
∫
∫