Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán (áp dụng từ năm 2015) t3

Do đó AM 1 (S B D )= > AM I S D ^

S D l(A M l).

Tính d(A D ;SC ):
Ta có AD / /BC

AD / /(SB C )

^ d( AD;SC) = d (AD ;(SBC)) = d ( A;(SBC))
Kẻ AH vuông góc với BC tại H, kẻ AK vuông góc với
S H tạ iK ta c ó A K l( S B C ) .
Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,c trên

o

AD ta có EF = BC = a và AE = DF = —.

Suyra AB = BC = V a B^ + AE" = j a ^ + — = —
V
4
2

=> AH = BE = - ^
2

1
1
1
Tam giác vuông SAH có: —
=

+ — - ^ = — 1= - .
AK^
SA' AH= (a^/3)^

I

17
I5a'

AK = a, - 3 .
VI7

Vậy d(AD;SC) = AK = a ^ — .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = 2a ,
AB = 3a,CD = a . Tam giác SAD cân tại s và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa
mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 60“ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
L ờ i siải:

Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD cân tại s nên
S H l AD .
Hai mặt phang (SAD) và (ABCD) vuông góc và có giao tuyến
HD nên S H l( A B C D ) .
Kẻ

HI

vuông

góc

với

BC

tại

I

khi

đó

B C IH I
B C IS H

= > B C l(S H l) nên góc S IH = 6 0 “ chính là góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD).
Bài toán này có một ỷ nữa đỏ là tinh thế tích cùa khối chóp
S.ABCD ta tính đường cao S H vì vậy cần tính được độ dài H I.

Đe tính HI ta sử dụng công thức diện tích: HI =

2S„
BC

Diện tích tính gián tiếp(lấy diện tích cả hình thang trừ đi diện
tích hai tam giác vuông nhỏ). Độ dài BC tính thông qua tam
giác vuông. Kẻ CE song song với AD cắt AB tại E.

600

s


Tam giác vuông CEB có: CE = EB = 2a nên là tam giác vuông cân suy ra BC = 2a^/2 .
Ta có: S|^3 f —

^HAB
2.2a"

Suy ra HI =
BC

AB + CD

^UCD

2

.A D -

HA.AB

HD.CD

2

2

3a + a

-,2a

a.3a

a.a

= 2a‘

= ã y ị ĩ => SH = Hl.tan 60° = a>/6 .

2&SỈ2

Trong mặt phẳng (AB CD) dựng hình bình hành ACBE
Ta có BC / / A F => BC / /(S A E )

d(BC;SA) = d (B C ;(S A F )).

Kéo dài HI cắt AF tại T khi đó d(BC;(SAF)) = d(l;(S A F)) = — d (H ;(S A F )).
HT
-T- ' i.-r _ 2Shaf _ H A .A FsinH A F
,T c 0 _ a '/2
T a c ó :H T = — 2 ^ = -—----- —---------- = HA.sinl35 = — — .
AF
AF
Suy ra 1T = H1 + HT =

3aV2

IT

2

HT

= 3 ^ d (B C ;(S A F )) = 3d(H ;(S A F)).

Kẻ HK vuông góc với ST tại K ta có HK _L (SAF)
Tam giác vuông SHT có:

1 _

1

I

_

1

>

_ >3

HK = a,

12J
Vậy d(SA; BC) = 3HK = 3

a

.

c/íú ý. Ta có thể quy khoảng cách từ BC đến mặt phẳng (SAP) về H bằng cách kéo dài AD cắt BC tại M.
Khi đó d(B C;(SAF)) = d (M ;(S A F )) = ^ d ( H ; ( S A F ) ) .
HA
, MD
CD
1 MA
= 3 ^ d (B C ;(S A F )) = 3d(H ;(S A F)).
Theo talets ta có: —— = ----- = —=> —
MA
AB 3
HA
Ta có kết quả tương tự cách trên.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60°. Hình chiêu vuông góc
của s lên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, đường thẳng SA tạo với đáy góc 60°. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đưòng thẳng AD và SB.

Bài giải
Gọi M là trung điểm của BC, khi đó G là giao điểm của
AM và BD.
Tam giác AM = ABsin60° =

.

Góc SG i. ( ABCD) => SAG = 60° là góc giữa SA và mặt
phẳng (ABCD).
Tam giác vuông SAG có:

SG = AG tan 60° = - AM. tan 60° = - . ^ . V 3 = a
3
3 2

601


^ABC D

^SABCD

=BA.BCsin60°

^ ^^-^ABCD ~ 2

2

rV 3

~

'

6

Tính d (A D ;S B ):
Ta có: AD / /BC => A D //(S B C ) => d(AD;SB) = d(A D;(SBC)) = d(A ;(S B C ))
AM
GM

d (G ;(S B C ))-3 d (G ;(S B C ))

Kẻ GH vuông góc với SM tại H ta có GH T (SBC)
Tam giác vuông SGM có: —
GH'

^ H— ^
G M ' SG =

I _13_„„
a>/Ĩ3
+^ = ^=>G H =
a= a’
13

/
V

6

,

3aVĨ3
Suy ra d(AD;SB) = 3 G H -■
13

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, BC = a, AB = AD = 2a .
Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy góc 60°. Gọi M là trung
điểm cạnh SB, mặt phẳng (A D M ) cắt cạnh sc tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng BN và CD.

Lờ i síải:

Vì AD // BC nên MN // BC do đó N là trung điểm của sc.
í B C l AB
— :
n
Tacỏr
=z> BC 1 (SAB) ^ SBA = 60°.
B C 1 SA
'

Vì vậy SA = AB tan 60° = 23 a/3 .
c
\/
_ * CAC
_ ' c A BC + AD ^
Suy ra Vg^3 (,p —^ SA.S^g( - 3 —^ .SA.
^
.AB

'v

"'VỈ'

^‘ * '

= -.2 aV 3 , - ^

2-,C'
\

B Ì^ l'
■K-/-'
/

V. \

,2a = 2a’ V3 (đvtt).
.3 ,

Gọi E là trung diêm cùa BC khi đó AE//BC và AE = BC = a nên
ABCE là hình chữ nhật.
Gọi I là giao điểm của AC và BE khi đó I là trung điểm cùa AC, vì vậy NI//SA suy ra NI _L (A B C D ).
Ta có CD / /BE => CD / /(N B E ) ^ d(CD; BN) = d (C ;(N B E )).
ÍN IIC K
Kẻ CK vuông góc với BE tại K ta có (
' => CK 1 (N B E ).
Ị n k ib e
Tam giác vuông BCE có CK là đường cao vi vây —-!-TCK'
Vi vậy d(C D ;B N ) = CK =

602

2aV5

CB'

+ T rrr = -V + —^ => CK = —
CE’
a' 4a'

5

.


* Tính khoảng cách 2 Ỉữa hai đườne thẳng chéo nhau cùng chiều so vói măt đáy
Bài toán này sẽ khó hơn bài toán loại trên.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB = BC = BD = a , mặt bên (SAB) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
L ờ i siải:

,
ÍS H IA B
Gọi H là trung điểm cạnh AB, ta có <
_
___ => SH _L (A B C D ).
[(S A B )l(A B C D )

Tam giác ABD đều cạnh a,
-

Vì vậy

,,

= 2S^gj, = 2 .^
'

3

V 3 a'V 3

=^SH.S^8,.d = 3 ' 2

4

=> SH = ^SA"

= ^a"

=

Vỉ

,

Tính khoảng cách: Gọi o là trung điểm cạnh BD, ta có MO//SB nên SB / /(A M C )
Vì vậy d(SB;CM ) = d(B ;(A M C ))^

3V,M

ABC

■'AMC

Ta có v , , 3 , = ld (M ; (A B C D )).S , 3 , = l . i d ( H ; ( A B C D ) ) . i s , 3 „ = l v

3

, 3 ,3

Tam giác AM C có OM - — = - ; S D = V s H '+ H D ' = J — + — = — ;
2
2
V 4
4
2
A M = J S A = -^ = ,tIẸ = ^
4
V
16
4

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’ B’C ’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,BC = 2a .
Mặt bên ACC’A ’ là hình vuông. Gọi M,N,P lần lưọl là trung điểm của AC,CC’,A ’ B’ và H là hình chiếu
cùa A lên BC. Tính thể tích khối chóp A ’ .HMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MP và HN.
B à i g iả i

Nhận xét. Rất khó tính thể tích khối chóp A ’ .HMN nếu ta
không xác định được đáy. Coi mặt đáy khối chóp này là
(A ’MN).
Ta CÓ:

s.
-"A T N
3a8

"T

d (H ;(A 'M N )) = ^ d ( B ; ( A 'M N ) ) = i £ . A B
Tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên:
C H .B C = C A = = , “

BC

=

“

:^ ^ ^ 3

BC-

4a=

4

A'


Vậy d (H ;(A 'M N )) = - A B =

3a

=> V H ,.M N = ^ d (H ;(A 'M N )).S ,

1 h 3a' _3a^
3' 4 ■ 8 ” 32

Gọi E là trung điểm của B’C ’ ta có E P //A 'C //C M ,E P = CM = —=>CMPE là hình bình hành suy ra
M P //C E = ^ M P //(B C C 'B '). Do đó d (M P ;H N ) = d(M P ;(B C C 'B ')) = d (M ;(B C C 'B ')).
Kẻ MK vuông góc với BC tại K ta có M K _L (B C C B ').
-r
AB.AC
_ a . a ^ _ a y Í3
Tacó M K = - A H = —
. : : =■=
= —— .
2
2 a/ a B' + AC'
2.2a
4
Vậy d (M P ;H N ) =

ỉa/3

Nhận xét. Nếu khối chóp có mặt đáy không là mặt đáy cùa khối lăng trụ hoặc khối chóp ban đầu ta lựa
chọn một đáy họp lý sao cho việc tính diện tích đáy và khoảng cách từ đỉnh còn lại đến đáy đó đon giản
để tính thể tích. Tương tự’ nếu hai đưòng thẳng chéo nhau không có đưòng thắng nào nằm trên mặt đáy
ta phải xác định mặt phẳng đáy mói (chứa một đường thẳng và song song với đưòng thẳng còn lại) để
quy về tính khoảng cách như các bài toán có một đường thẳng thuộc mặt đáy quen thuộc.

Dạng 3. Khối đa diện cho trước khoảng cách
Khi cho trưóc khoảng cách ta phải định chính xác công thức khoảng cách đó. Sau đó tìm ra các yểu tố
cùa khối đa diện để hoàn thiện bưóc tính thể tích, góc hoặc khoảng cách tùy thuộc vào yêu cầu đề bài.
V í dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình binh hành và SA = SB = AB = 2BC = 2a , góc
ABC = 120°. Gọi M là trung điểm của AB. Biết hình chiếu vuông góc H của s lên mặt đáy (ABCD)
năm trong tứ giác ABCD và khoảng cách từ M đên mặt phăng (SCD) băng a

Í3

. Tính thê tích khôi

chóp S.ABCD.
B

à i g i ả

i

Tam giác SAB đều nên AB T SM .
Mặt khác SH T (A B C D ) => SP4 T AB .
Do đó AB 1 (S H M ) => AB 1 HM .
Kéo dài HM cắt CD tại I ta có CD T ( S M l) .
Kẻ MK 1 SI tại K ta có M K 1 (S C D ).
Ta có SM = SBsiii60°=aV3 .
M I = d(C;AB) =

2S^bc _ AB.BCsinl20° _ a S
AB

AB

2

Xét tam giác SMI ta có: SH^ = SM^ - H M ‘ = 3a^ - EĨM' (1)
a\íĩ>

Sl =

604

MK

=

SH
Í3

r~
^ — S H =>SH - = S I'- H I ^ = S | - - ( M I - H M ) ' = - S H “ 2
^
^
4

HM

(2)


'hm = 0
So sánh (1) và (2) ta có: 3a" - H M “ = (a>/3 - 2 H M Ì' <=>
4ax/ĩ ■
^
’
HM =—^
L
5

Do H nằm trong tứ giác ABCD nên HM = 0 => H = M .
Suy ra SH = SM = aV3

V,

= ^SH.S, 3 „ = |.S H .S , 3 , . Ị a V s Ì 2 a . a . ^

a^ (đvtt).

B. BÀI TẬP RÈN L U Y Ệ N
V í dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết S.ABD là tứ diện đêu cạnh a. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giũa hai đường thẳng BD và sc.
B à ỉ g iả i
Cách 1: Goi M là trung điểm cùa AB và gọi o là giao điểm của

hai đường chéo AC và BD.
Gọi H là giao điểm của AC và DM khi đó H là tâm đưòng tròn
ngoại tiếp tam giác ABD.
Suy ra S H T (A B C D ).
Ta có: s , 3 , , = 2S,3, = AB.ADsin 60° = ^

DH = - D M = -A D s in 60°
3
3

- /ĩ

.

3

Tam giác vuông SHD có:

SH = V S D ' -D H = = j a ‘ V

3

,

3

a y ^ ạ-V3 _ a^V2

VS.ABCD = -S H .S .

3'

3 ■ 2

(đvtt).

Tính d(B D ;SC ): Kẻ OK T s c tại K ta có: J
^
’
■
[B D IA C

BD 1 (SHC) => BD 1 OK
^
^

Vậy OK là đoạn vuông góc chung của BD và sc.
^ .
4 ^ 4_
2a\Ỉ3
Tacó; CH = CO + OH = AO + O H = - A O = - D M - - ^
3
3
3
.Í2 a V 3 V

Suy ra sc = V sH "+ C H - =,
V

3

= a^/2

y

a%/ó
c
• SCH = SH
Suy ra sin

sc

3
^

aV2

_ ^

^

3

=> OK = CO.sinSCH = —^

^/3— = a—

2 3 2

Vậy d(BD;SC) = O K = -

605


Cách 2: Nhiều học sinh không nhận ra OK là đoạn vuông góc chung cùa BD và s c vậy áp dụng cách

tính khoảng cách tổng quát ta thực hiện như sau:
Trong mặt phẳng (ABCD) dựng hình bình hành BDCE.
Ta có BD / /CE => BD / /(S C E ) => d(B D ;C E) = d(B D;(SCE)) = d (0 ;(S C E )).
Đẻ ý o c J- BD => o c 1 CE do vậy chi cần kẻ OK vuông góc với s c tại K thi OK chính là khoảng cách
cần tim. Đây chính là lời giải đã trinh bày trong cách 1.
Nhận xét. Ta có thể quy về chân đường vuông góc H để thuận tiện tính toán như sau:
d (0 ;(S C E )) = ^ . d ( H ; ( S C E ) ) = |d (H ;(S C E )) ,
Kẻ HI vuông góc với s c tại I ta có HI ± ( S C E ) .
Tam giác vuông SHC có: —^

HI

SH

CH

1

I

=

aVó

A"

í

_ 9

P ĩ\- ~ 4a-

2aV3

3

HI = - a .
3

3

Vậy d(BD;SC) = - H l = - . — = - .
Ta cộ kết quả tương tự cách trên.
V í dụ 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A’B’C ’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a . Gọi M là
trung điểm BC, biết góc giữa mặt phẳng (A ’ BC) và mặt đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích lăng trụ
khối chóp A ’ .BCC’ B’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM.
B à i e iả ỉ

V í dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC .A’ B’C ’ có A ’ .ABC là hình chóp đều, AB = a . Gọi (p là góc giữa mặt
V3
phẳng (A ’ BC) và mặt phẳng (ABC) với cos(p = — . Tính thể tích khối chóp A ’ .BCC’ B' và khoảng
cách từ A ’ đến mặt phẳng (BCC’ B’).
B à i s iả i

Gọi M, N lần lưọt là trung điểm của BC và AB. Gọi H là
giao điểm cùa AM và CN khi đó H là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Suy ra A 'H l ( A B C ) .
í B C 1 AM
,
,
------Ta có: (
=> BC _L(A 'H M ) nên góc A MH=cp
[ BC J- A 'H
chính là góc giữa hai mặt phẳng (A ’ BC) và (ABC).
Ta có: AM = ABsin 60° =

Suy ra HM =

606

AM _ a%/3

.


1

Tam giác vuông A ’ HM có; A 'H = HM.tancp =: HM

1
3

COS" (p

= AB.ACsin60“

ỉV i

Ta có: V^,

V,

ABC' ~

_ ' A.uc
3
ABC

^ A 'A B C

. _ a^/6
6

_ I aV

a=V3 _a-’ V2
3’ 6 ■ 4
24
a ^ _ a ^
2 4
12

^ ^ A 'A B C

Tính ci(A ';(B C C 'B ')):
Ta có A A '//(B C C 'B ')^ d (A ';(B C C 'B ')) = d (A A ';(B C C 'B ')) = d (A ;(B C C 'B ')).
Ta có: B C 1 ( A 'H M ) = > ( A 'H M ) 1 ( B C C 'B ’).
Gọi p là trung điểm của B’C ’ khi đó MP là giao tuyến cùa hai mặt phẳng (A ’H M ) và (BCC’ B’).
Kẻ A K l M P t ạ i K ta c ó AK l( B C C 'B ') .
Do M P //B B ’//A A '= ^ d (A ;(B C C 'B ')) = d (A ;M P ) = d (M ;A A ').
Kẻ MI vuông góc với A A ’ tại 1 khi đó MI là đường cao của tam giác A ’AM.
a jó

Ta có:

=

=

6

AA'

AA'

a \Ì3
' 2

_a

ay/ó

6
Vậy d (A ’; ( B C C 'B ') ) - A K = - .
Nhận xét. Ta có thể quy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’ B’ ) về khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (BCC’ B’ ) như sau:
Ta có: d(A ;(B C C 'B ')) = —

.d(H;(BCC'B')) = 3 d (H ;(B C C 'B ')).

Kẻ PE song song với A ’ H cắt HM tại E khi đó PE _L (A B C ).
Ta có ME = HE - HM = A 'P - HM = AM - HM = AH = 2HM .
Suy ra d (H ;(B C C 'B ')) = -!^ .d (E ;(B C C 'B ')) = - d ( E ; (B C C 'B ')).
EM
2
Kẻ EF vuông góc với MP tại F ta có EF T ( B C C B ') .
J _ _ J _
1 _
1

____
Tam giác vuông MPE có: — = —XT + — —r = — —v +
EF- ~ EPE M ' ” A 'H '^ AH-

Vậy d (A ;(B C C ’ B')) = 3 d (H ;(B C C 'B ')) = -.d (E ;(B C C 'B ')) =

EF = ^aVóY

ía V V

a-

-

Ta có kết quả tương tự cách trên.

> Vấn đề 3. Xác định góc
* Góc 2 Ìữa đường thắng và măt phắne
Giả sử cần xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Nếu a//(P) thì góc giữa a và (P) bằng O”.

607


Neu a cắt (P), khi đó xác định đường thẳng a’ là hình chiếu của a lên
(P), khi đó góc giữa a và a’ là góc giũ’a a và mặt phẳng (P).
Trong trường hợp khó xác định hình chiếu của đưòng thẳng trên mặt
phang để xác định góc ta có thủ thuật chuyển về khoảng cách + góc.
A

■
A H _ d (A ;(P ))
sin(a;(P)) = sin AIH = —— = ^ — ^ ^ ’
AI
AI
V í dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD//BC) và AD = 2a,

/

AB = BC = CD = a .

Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD).
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính góc giữa đưòng thẳng

sc và mặt phẳng (SBD).

L ờ ì iiìải:

a) Bạn đọc tự làm.
b) Tính góc.
Chú ý tam giác ABD và ACD vuông tại B và

c.

Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
T a t a s ,a c ó Ị£ = .Ẽ £ = Ă = i
lA
AD

2a 2

\\
\\
\
5 'v

Suy ra d(A ;(S B D )) = 2d(C;(SB D))
ÍB D IS A
„
,
Tacỏ r l
‘ => B D 1 (S A B )= > B D l AH
B D IA B
'

D

Vì vậy A H T (S B D )
.

d (A ;(S B 0 ,) . AH . -

^

^ , (C ;,S B D )) A

ah

. i

Chú ý AC = V a D- - D C - = Vda' - a ' - aVI; sc = v/sA- +AC= = Vda" + 3 a ’ = a^ỉĩ
Do đó d(C;(SBD)) = - ^ = SC.sin(SC;(SBD)) = aVr.sin(SC;(SBD))
v5
^ sin (SC;(SBD)) =

=> cos(SC;(SBD)) =

__ a d
Ví dụ 2. Cho hỉnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = ----- = a,
S A l(A B C D ). Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng 45°. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và côsin góc giữa đường thẳng SD và mặt phang (SBC.
Lử i s iải:

Ta có AC - V a b " + BC' = aV2;C D = aV2 => AD" = AC^ + C D ' = 4a'

608


Vì vậy tam giác ACD vuông tại

c, do đó

s

CD 1 (S AC ).

' '■\

Do đó góc S C A = 45“ là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và

(ABCD).
Ta có SA = AC = dL^Ĩ .
V
Vi—vạy V
Vg^^gị-.p -

3

ca BC + AD
SA.S^g^.p — ' .SA.
,AB
3
2

B

I
/T- a + 2a
a’ a/2 _ ^
= - .a v 2 .—
.a = — ^— (đvtt).
3
2
2
Tính góc: Do AD//BC nên AD / /(SBC) => d(D;(SBC)) = d(A;(SBC))
Kẻ AH vuông góc với SB ta có AH _L(SBC). Tam giác vuông SAB có
1

AH '

1
-+ •
SA' A B '

AH = — ;SD = VSA- + A D ' = v/2a= + 4a' - aVỏ
3

2a'

iVỏ
Vì vậy sin(sD;(SBC)) = -^ ií^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ = — =
=i
^
>
SD
SD aVó 3
Suy ra

cos( s d ŨSBC))

= ị\

.

B à i tâp rèn Ị uyên
Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính thể
tích khối chóp S.ABC. Đáp số: Vg

a^y/3

■(đvtt).

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC .A’ B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu cùa B’ lên mặt
đáy (ABC) trùng vói trọng tâm tam giác ABC,cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60°. Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A’ B ’C’ và côsin góc giữa đưòng thẳng AC’ và mặt bên (BCC’ B’ ).
Đáp số: cos(AC ';(BC C 'B ')):

5

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
SA = a j6 và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính góc giữa
a)
b)

sc và mặt phẳng (ABCD).
sc và mặt phẳng (SAB).

c) SB và mặt phẳng (SAC).
d) AC và mặt phẳng (SBC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = 2a, BAC = 60°. Hình chiếu của

s lên

mặt đáy (ABC)

trùng vói trung điểm cạnh BC, SA tạo vói mặt đáy góc 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc
giữa đưòng thẳng BC và mặt bên (SAB).
* Góc giữa hai đưòng thẳng
Phương pháp:
Giả sử cần xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể thực hiện như sau:

609


Loại 1. Chuyển về một góc mới
Từ một điểm A trên đường thẳng a, kẻ đường thẳng a’ đi qua A và song
song với b, khi đó (a;b) = ( a ';b ) .
Hoặc có thể xác định hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song
A

song với a và b, khi đó (a;b) = ( a ';b ') .

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc giữa
hai đường thẳng

sc và BD.

Lời íỉiải:
Gọi H là trung điểm cạnh AB, ta có
1' ^

ÍSH 1 AB

SH l(A B C D )

(S A B )l(A B C D )
T
' cSH
u _- JSA

/c a 2 —
Ta có:

4

aV3
= , a ----- =_—
—
V
4
2
1 a>/3 2 — _________
a'V3
.
,a“ —(đvtt)
3 2

Vi vạy

__ ___ I__ o

Tính sóc:
Gọi E là trung điểm của SA, gọi

o là tâm hình vuông ABCD, có OE//SC =>

Chúý SC = VSH- + HC- = x/SH‘ + HB" + BC' =

OB =
2

2

BE = SH = Ì ^ ; O E =
2
a

„

2

_2

a

2

V 4

(SC; BD) = (OE; B D ).

+ — + a= =aV2;
4

=ỉ2 l
2
o_2

3a

O E '+ OB= - BE=
2 ^ 2 ~ 4
I
-------= ——
^ =—
20E.0B
4

Suy ra cos EOB = — —

■ 2 ■ 2
Vì vậy

cos(SC;BD)

= cos EOB

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M, N lần iưọ1 là trung điểm BC và AD. Xác định
góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết MN = ã\Ỉ3 .
Lời siải:
Gọi p là trung điểm cạnh BD, ta có MP//CD, NP//AB do đó góc giũa AB và CD bằng góc giữa MP
và NP.
Tacó MP = —— = a,NP = - ^ = a.
2
2

610


Định lý hàm số côsin cho tam giác MNP ta có

cosMPN
Do đó

MP- + N P '- M N "

a-’ + a - - 3 a ‘

2MP.NP

2.a.a

cos(A B ;C D )= cosMPN

1
\

= —=> (AB;CD) = 60“ .

>£)
M

-X

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3; AC = 4. Cạnh bên SA = 2,
SAB = SAC = 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
Lờ i siải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của

s lên mặt đáy (ABC).

Lần lưọt kẻ HI, HJ vuông góc với AB và AC (I thuộc AB, J thuộc AC).
Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB 1 SI; AC 1 SJ .
Từ đó suy ra hai tam giác vuông ASI và ASJ bằng nhau(g.c.g).
Suy ra AI = AJ = SA.cos60° = 1;SI = SJ = SA.sin 60° = ^/3 .
Do đó HI = H J, vì vậy AH là phân giác trong góc A, do tam giác ABC vuông tại A nên AIHJ là hình
vuông cạnh a, vì vậy AH = ^/2 . Ta có SH = v/SA" - A H “ = V4 - 2 = ^/2 .
Vì vậy

= ^S H .S , 3, = 1 .72.1.3 .4 = 272 (đvtt).

Tính góc:
KẻIM //SB cắt SB tại M, ta có (S b I Í C ) = (IM ; IH) = cp.
Chú ý SB = 7 s A^ + AB^ - 2SA.ABcos60° = Tv .
r.- , .
. IM
Định lý Talets ta có:
SB

AM
AI _= -I= > AM
AX/ I _ 2
»4 _
— = ——
= - ; ,IM
= ——
AS
AB 3
3
3

Tam giác SHA có SH = AH = 72 nên cân tại H, suy ra HM = 7 a h ’ + A M ' -2AH.AM cos45° =

_ ^
Vì vậy cosọ = cosHIM

H I' + IM - - H M '
—

2HI.IM

7ĨÕ

, 7 10
1+ 7 - _
9 9
2.1.

71

7

Kết luận: cos(SB; AC) = ^— .
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có BC = a T l. AB = AC = aTs , tam giác SBC đều. hình chiếu cùa

s lên

mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G cùa tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc
giữa hai đưÒTig thẳng SM và AC, với M là trung điểm cạnh AB.
Lờ i siải:
Gọi H là trung điểm cạnh BC, do tam giác ABC cân tại A nên AH 1 B C .

611


AH =

= ^ 5 a = -—

GH = - A H = —
3
2
Do tam giác SBC đều nên
SB = sc = BC = aV2 ^ S H =

Jsc~ - —

Suy ra SG = V sH ' - G H “ =

= j2a=

=—

:

Vi vậy V, , 3,, = -SG.S^g,, = i.SG.AH.BC = i . a . ^ ^ . a V 2 = — (đvtt)
3
6
6
2
2

Tính góc: Do MH//AC nên (SM ;AC) = (SM ;M H)
Tacó MH = — = - ^ ; S M - V S G '+ G M ' = —
2
2
2
5a~ 5a" 6a“
c
cTTl. SM ' + M H = -S H 4^~4
4
2
Suy ra cosSMH = --------- —V---------- íi----------- ^ ----ĩ= ^ = 2SM.MH
^
a^/5
3
2 '2
Vậy cos(SM;AC) = —.
Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A’ B 'C ’ D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a^/3, A A ' = AC ==2a73 .
Hình chiểu của B xuống mặt phẳng (A 'B ’C’ D’ ) trùng với trung điểm của B ’ D’ . Tính thể tích khối hộp
ABCD.A’ B’C’ D’ và côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BB’ .
Lời sìảì:
Gọi o là tâm hình chữ nhật A ’ B’C’ D’ thì BO 1 (A 'B 'C 'D ’) .
Ta có BC = 7 a C- - A B ' = 7 l2 a ' -3 a - = 3a; BO = ^ B B ' - - - ^ ^ = 7 l2 a - -3 a Suy ra V^af.D,^.B.^,p, = BO.S,,g^.3, =3a.a73.3a =9a^73 (đvtt).
+)Tính góc: Ta có AC //A’C’ ; BBV/AA’ nên (AC ;BB') = ( A 'C ; A A ')
Tam giác vuông ABO có OA = 7 a B ' + BO" = V3a“ + 9 a ' =2a\Ỉ3
A ’A ' + A ’0 - - O A Suy ra cosA A '0 = ■
2 A 'A .A '0
Vi vậy cos(AC;BB') = cos A A '0

612

I2 a -+ 3 a --1 2 a 2.2a73.a73

1

:3a


Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại
SDC = 30°. Hình chiếu cùa

s lên mặt đáy (ABCD)

s,

nằm trên cạnh CD. Gọi M là trung điểm của SA.

Tính thể tích khối chóp M .ABD và côsin góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
Lời ỉỉiái:

Tam giác vuông SCD có SH

Suy ra

a a^/3
SC.SD _ 0 ’ 2 _
CD ~
a
~

= ld (M ;(A B C D )).S ,,„ = 1

4
= ^ (đ v tt).

Tính íióc:
Gọi 1 là trung điểm

sc, ta có M1//SC nên góc giữa AC và DM bằng góc giữa DM và MI.

DH = DScos30° = — ; AH = n/ a D ' + DH- = — ;SA = V s h ' + A H ' =
4
4
,
^ ,
D1=VSD- + S I“

aJĨ3
4

|2 ( d S' + D A ') - S A V

.J

4

2

ĩ

4

7a- a '_ 1 3 a '
M I' + D M - - D P _ 1 6 ^ 2
16 _ V Ĩ4
Suy ra cosDMI =
2M1.DM
28
&'JĨ_ _a
^^4 '7 2
Vì vậy cos(DM ;AC):

cos DMI

7Ĩ4

Bài tâp rèn lu yên
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC = 3a . Hình chiếu cùa
đáy trùng vói tâm

o của

s lên mặt

mặt đáy (ABCD), SO = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc

giữa hai đưòiig thẳng SA và MB, với M là trung điểm canh

sc. Đáp số:

cosíSA; M b ] =

'
'Ó

I

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,SB = a^/3 . Tam giác
SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi M,N lần lưọt là trung điểm các cạnh
AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.AMND và côsin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Đáp số:

cos(SM ;D N)

= T!^

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = 2a,
AD = DC = a,SA _L AD,SA

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và côsin góc giữa hai đưòng

thẳng SD và BC. Đáp số: cos(SD;BC) = —— .
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’ B’C’ D’ cạnh a. Gọi M, N, p lần lưọl là trung điểm các cạnh
BB’,CD,A’ D’ . Tính côsin góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. Đáp số; cos(M P;C'N) =

.

613


Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và
sc. Biết rằng BM vuông góc với AN. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Đáp số: Vịs ABC

^VỈ4
24

(đvtt).

Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm s c, biết SA vuông
góc với BM. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Đáp số: Vg

4a'

Bài 7. Cho tứ diện ABCD có các mặt (ABC) và (ABD) là các tam giác đều cạnh a, các mặt (ACD) và
(BCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích tứ diện ABCD và góc giũa hai đường thẳng AD và BC.
3VÕ
—
Đáp SỐ: V , 3 „ = ^ ; ( A D ; B C ) = 60“ .
* Sử dung véc tơ

Trường hợp khó xác định góc bằng phương pháp truyền thống trên ta có thể đổi qua bài toán góc giữa
hai véc tơ, giả sử trên hai đường thẳng a và b có lần lưọ1 các véc tơ chỉ phương là a, b khi đó
a.b
cos a;b “ I I I
\
/
a.b
Cltú ý. Biểu diễn các véc tơ theo véc tơ đường cao của khối chóp.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BAC = 120°. Cạnh bên SA = a%/3 và
vuông góc vói mặt đáy (ABC); góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và côsin góc giữa hai đường thẳng s c và BI, với 1 là trung điểm của cạnh AC.
Lời siải:

Gọi M là trung điểm cạnh BC, ta có
í

AM

1

BC

S A IB C
c

B C T (S A M )=> S M A = 60°.

AN4_
Suy ra AM
= ..- —
tan 60°

_ a V 3

V3

= a => AC = —
= 2a .
sin 30°

Vì vậy V3, 3, = ^S A .S , 3, = i.S A .i.A B .A C s in l2 0 °

= —.a%/3.2a.2a.— = a^ (đvtt).

6
2
Tính sóc:
Ta có: BỈ.SC = B Ĩ(s à + à c ) = SẤ.BĨ + BĨ.ÃC = BĨ.ĂC = BI.ACcosẤỈB .
Chú ý BI = V a B' + AP - 2AB.AI cos 120° = ^4a° + a- - 2 . 2 a . a . j = aV?;
+
AB
a + Idi" —43“
2
cos AIB = ------- ------—------- —-------------p=—“ = —
2A1.B1
2.a.aV7
V?

614

_ Ic' k '’

d ~_

—'vSA*' + AC*" = vSa + 4a —

rĩ


Suy ra BI.SC = a V 7 .2 a .- i = 4a"
^
J ĩ
Vậy

cosỊ b I; A c Ị

c o s

(

\

b

Ĩ;S

c

]

I

= — ^— = — 7=— 7= - —.
BI.SC aV7.aV? 7

= —.

Ví dụ 2. Cho hỉnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

c và D,

AD = 3a, BC = CD = 4a .

Cạnh bên SA = aV3 và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi E là điểm trên cạnh AD sao cho AE = a ,

F là trung điểm cạnh CD. Tính thể tích khối chóp S.DEBE và côsin góc giữa hai đưòng thẳng SE và BF.
L ờ i siải:
Ta có SogpB = Sdeb + SopB = ^ DE.BC + ^ DF.BC
:\
= —2a.4a + —2a.4a =8a^
2
2

í 1 '

Suy ra Vso^Bp =^SA.S^PBP =^.aV3.8a= =

^

\

í- ^ V ,

(đvtt).

; V/
■

■

-'T ’ ỉ
\.

Tính sóc:
Ta có: SẼ.BF = (sẤ + Ã e ) ( b C + CF) = ÃẼ.BC = a.4a = 4 a '.

Suy ra cos(SE;BF)= cos^SE,B f Ị

|s e -b f |

4 ,2

^

SE.BF

2a.2aVs

5

Ví dụ 3. (A/2008) Cho hình làng trụ ABC.A’ B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB = a, AC = aV3 và hình chiếu vuông góc của A ’ lên mặt đáy (ABC) là trung điểm của
cạnh BC. Tính thể tích khối chóp A ’ .ABC và tính côsin góc giữa hai đưòng thẳng A A ’ và B’C’ .
Lờ i sìái:
Gọi Fỉ là trung điểm BC, suy ra A'F1 ± (A B C ).

f

_

^c-

1
Ta có AH = - BC = - V a - +3a- = a .
2

2
Do đó A 'H = V a ’A ‘ - AH- = V 4 a -- a - =aV3 .
Vi vậy V^,^BC = ^ A 'H .S ^ bc = ^ -a V 3 .^ .a .a V 3 -y (đ v tt).
Tính sóc:
Do B ’CV/BC nên góc giữa A A ' và B’C’ chính là góc giũa A A ’ và BC.
Ta có ÃÃ*'.BC = (ÃH + HÃ').BC = ÃĨÍ.BC = AH.BC.cosẤĨĨC .
rTTA A H ‘ + H C - - A C ' a '+ a - - 3 a ‘
Chú ý cosAHC = -------— —------------ = ----------------- =
2AH.HC
2a.a
Suy ra ẤẤ''.BC = AH.BC.cosẤĨÌC = a . 2 a . - - = -a"

1
2
cos(Ấ a V b c )

=

-a
2a.2a

Vi vậy c o s (A A B C ) = —.

615


Chú ý. Tam giác HB’ A ’ vuông tại A ’ nên HB' = V a 'B'^ + A ' H ’ = 2a = BB'=Í> AHBB' cân tại B’ .
Góc giữa A A ’ và B ’C’ là góc giữa BB’ và BC, từ đó dễ có cos(AA';BC) = —.
4
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng A B C .A’ B’ C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a,

A A ’ = 2aV2 . Gọi D, E lần lưọt là điểm đối xứng của B’. C’ qua A ’ . Gọi M là trung điểm AD. Mặt
phẳng (M B ’ C’ ) cắt AE tại N. Tính thể tích khối chóp A B ’ C’ MN và góc giữa hai đường thẳng A B ’
và C’ M.
Lời siăi:
Do B’CV/DE nên MN//DE do đó N là trung điểm của AE.
Tacó

=-AA'.Sg,c.DE =-.2aV2.2.2a.a = ^ ^ ^ ( đ v t t ) .

V , ^ , b' _ A M
Va.deb'

an

A D 'A E

__ 1 .

_

4 ’ v,,g,,,

am

_ 1

AD

2
I?'-

V' ' A B’C’MN

-V.

v 4 " '2 y

_ 3 8a^>/2
8■ 3

= a'y/2(đvtt).
B'

Tính sóc:
Ta có: Ã B '.C ^ = ( Ấ ^ ’ - Ã “^ ) . - ( c ^ + C ' d )

I
T-.VC —
1
= ( Ấ 'B '- A 'Ấ ) . - ( A 'A - A 'C ’ + A 'D - A 'C ') = - Ị Ã 'B '. A ’D - A ' A ' Ị = - ( - 4 a - - 8 a ') = -6a=
|2 (C ’A - + C ’ D = ) -A D '
C h ú ý C M . ^ ^ --------4

|2 Í9 a -+ 5 a -)-1 2 a "
: 2a;

AB' = V a A '- + A 'B '‘ = Vsa' +4a“ = 2aV3
Suy ra cos(AB ';C 'M ) =

cos( a b A c m

6a-

)

73

~2a.2a^/3~ 2
Suy ra góc giữa A B ’ và C’ M bằng 30°.
B à i tâp rèn ỉ uyên
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a^/3 . Hình chiếu của

s lên mặt đáy (ABC) trùng vói

trung điểm M của cạnh BC, góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 60°.

Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc giữa hai đường thẳng
Đáp số: Vịs ABC

4

sc và AM.

VIÕ
;cos(SC; a m ) :
'
^ 5 2

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,SB = aV3 ; mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi M,N lần lưọt là trung điểm các cạnh AB,BC. Tính thể tích

khối chóp S.BMDN và côsin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Đáp số: Vsbmdn = -^ ^ ;c o s (S M ;D N ) = ^ .
616


Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4^/2 . Cạnh bên s c = 2 và vuông góc
với mặt đáy (ABC). Gọi !VI,N lần lưọl là trung điểm cùa BC và AB. Tính thể tích khối chóp S.ANMC
và góc, khoảng cách giữa hai đưòng thẳng SM và CN.
Đáp SỐ: V s , , ^ , = ^ ; ( S M ; C N ) = 45“; d ( S M ; C N ) = ^

.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a^/3 và vuông góc với mặt
đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ACD và côsin góc giữa hai đưòng thẳng SB và AC.
Đáp số; Vg

C^/^

;cos(SB; AC) =

* Góc giữa hai măt phắng
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a . Cạnh bên SA = a và
vuông góc vói mặt đáy (ABCD). Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ACD và
côsin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Đáp số: V|^| ^£,,3 = — ;cos((SBC);(SCD)) =
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC =

.
AD

■= a,

SA 1 (ABCD). Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng 45°. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và góc giũa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD). Đáp số: 60°.
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’ B’C’ . cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a,
BAC = 120° . Gọi I là trung điểm của CC’ . Chứng minh tam giác A B ’ l vuông và tính côsin góc giĩra hai
mặt phẳng (ABM) và (ABC). Đáp số: cos((ABT);(ABC)) =

.

* Chửng minh vuông góc
Loại 1. Đường thang vuông góc vói đưòng thẳng
Thông thưòng để chửng minh đường thắng d vuông góc vói đưòng thắng d’, ta chứng minh d vuông
góc vói mặt phắng (P) chứa d’ .
Hoặc chỉ ra rằng d//a, trong đó a vuông góc với d’ .
Ví dụ 1. (B/2002) Cho hình lập phương ABCD.A’ B’C’ D. Gọi M,N,P lần lưọt là trung điểm cùa BB’ ,
CD và A ’ D’ . Chứng minh rằng MP vuông góc với C’N.
Lờ i siải:
Gọi E là trung điểm cạnh c c , ta có ME//BC//A’ D’ . Ta có ME 1 (CDD'C')=> ME 1 C'N .
Trong hình vuông CDD’C’ dễ chứng minh được:
C'N 1 D ’ E = > C 'N T (M P D 'E )= ^ C 'N IM P (Đ P C M ).
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi M,N,P lần Iưọ1 là trung điểm các cạnh
SB,BC và CD. Tính thể tích khối chóp S.ANPD và chứng minh AM vuông góc vói BP.
Líri siải:
,
„
ÍS H IA D
Gọi H là trung diêm cùa AD, ta có <
_
___ =>S H T(A B C D )

[(S A D )l(A B C D )

617


Ta có S H - , SA=-

s

AD^

2

_ = ‘^A
s B___
■S
_ - S"^PNC
CD
^ANB

a‘ _

2

^A N P D

Vi vạy

— SH.S^«JP[J

3

a \Ỉ3

1

a

1 a a _ 5a'

2 '^ 'ĩ

Ĩ ' 2 ’ 2 '~ ~ Y

1 asỈ3 5a- _ 5a^V3
3

2

8

48

/ ■
(đvtt).

Ta có AH//CN và AH = CN nên AHCN là hình bình hành, vì vậy AN//HC.
D I chứng minh được BP vuông góc với HC, suy ra PB _L (SHC) => BP _L s c .
Mặt khác MN//SC suy ra

ÍB P IA N
Ịb

=> BP l( A M N )

p im n

BP 1 AM (ĐPCM).
’

> Vấn đề 4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Bước 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2. Vẽ trực đường ngoài ngoại tiếp đa giác đáy-gọi là d.
Bước 3. Vẽ mặt phang trung trực của cạnh bên-gọi là (P), chú ý tận dụng cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Bước 4. Gọi I là giao điểm của d và (P), khi đó 1 là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện cần tìm.
Chú ý tính bán kính theo 2 cách.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC = ãyỈ3 . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy (ABC); cạnh bên s c tạo với mặt đáy góc 60“ . Tính thể tích khối chóp S.ABC
và xác định tâm - bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Lời ưiải:
Ta có:
Do SA vuông góc với mặt đáy (ABC) nên góc SCA = 60“ -là góc
giữa s c và mặt đáy (ABC).

//(-

Tam giác vuông SAC có SA = ACtan60° = 2a\Ỉ3 .
Vì vậy: WsAíìc =^SA.S^ bc - j.2aV3.^.a.aV3 =a^ (đvtt).
Gọi M là trung điểm AC, do tam giác ABC vuông tại B nên M là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

H-''
B

Từ M kẻ Mt vuông góc với mặt đáy (ABC), Dựng mặt phẳng trung trực (P) của SA. Khi đó (P) cắt Mt
tại 1, và 1chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Chú ý I chính là trung điểm cạnh sc.
AC
Vì vậy R = SI = ■

VsA^ -r AC- _ yj\2 a ^+ 4a^

■= 2a.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BAC = 120“ . Cạnh bên SA = 2a\Ỉ3 và
vuông góc với mặt đáy (ABC); mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 60“. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và xác định tâm bán bính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

618


Lờ i siải:
Gọi M là trung điểm cạnh BC, do tam giác ABC cân tại A nên
B C l AM .
Mặt khác BC vuông góc với SA nên BC ± (S A M ).
Vi vây:

s1vĩẦ= 60°

AM = SA cot60 = 2a73.4=r = 2a.

V3

C\

Suy ra BC = 2CM = 2 AM tan 60° = 4aV3 .
Vì vậy Vg^gc = -S A .-A M .B C = -.2aN/3.2a.4aA/3 =8a'(đvtt).
3
2
6

\:Á
-^
x / y
Sr'
B

Dựng hình binh hành ABDC ta có DA = DC = DB = 2AM = 4a ,
nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Dựng Dt vuông góc với mặt đáy (ABC). Dựng mặt phang trung trực của SA-gọi là (P). Giao điểm I của
Dt và (P) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Gọi H là trung điểm của SA, có AH ID là hình chữ nhật.
Vì vậy R = IB = yJìD^ + DB^ = V a H’ + DB^ = V3a^ + I6a^ = a%/Ĩ9 .
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’ B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a . Cạnh bên
A 'A = a V Ỉ , gọi M là trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp B’ .ACC’A ’ và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện A B ’CM.
Lời siải:
ổ'
TT-

Ta có S^B^ = -B A .B C = —

. VABC A

Suy ra Vg,

_ c
—
S^gi^.AA — ^ .av2 — ^
2

— V^BCA BT'

Y

2 a-^V2
3'

\

(đvtt).

2

M

Gọi 0 | là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC, 0 | là
giao điểm cùa BJ(J là trung điểm cùa AC) và đường trung
J

trực cùa MC (có 0 |K //B A , K là trung điểm MC).

K

- ,:|c

■ ■' 'ito,

Gọi 0 |t là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC thì 0 |t
song song với BB’ và tâm

o mặt cầu phải tìm thuộc 0|t.

Khi đó R ' = oc- - x ' + 0 ,C “ (x = 0 ,0 )
Vi 0|C là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC nên
ANAN/K-Ar-

0

AM.~.aV2

A M .-.aV 2
2

AM.MC.AC
2
,c =--^------------------=_4S
^^AMC_

AM

‘2S
^^ABC

Chú ý AM = V a B^ + BM^ =

=•

iVs

619


Vì vậy

0,c

ì^ỉ\õ

rì

R =X +^

Mặt khác R“ =O B'" = 0 [" + ^ ^

/1

8

\

(1)

= 0!~

(vói I là trung điểm B’C). Hình chiếu của I lên (ABC)

trùng với M, vì vậy 10" = ( 0 |0 - M l)" + 0 |M "
4I _
Chú' ý' NMI
= ----- = —— ; 0r v, M -_ 0r ,v Cr - ^_
2
2
'
'
n \

Vi vậy R‘

X-

aV 2^'

5a
3a
+— +“
8
4

4

(2)

T,. ,,, .
5aV2
3aVĨÕ
Từ (1) và (2) suy ra X = ——— ; R =8
8
Ví dụ 4. Cho hình hộp A B C D .A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a\Ỉ3, BD = 3a, hình chiếu
vuông góc của B lên mặt phẳng (A 'B 'C 'D ') là trung điểm của A 'C . Biết rằng côsin của góc tạo bỏi
,

_

hai mặt phẳng (ABCD) và (C D D 'C ) bằng —— . Tính theo a thể tích khối hộp A B C D .A 'B 'C 'D ' và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A 'B C 'D '.

Lời siăi:
Áp dụng định lý côsin cho tam giác A 'B 'D '
=> B ^^Ã ^'-12 0'’.
Do đó A 'B 'C , A 'C 'D ' là các tam giác đều cạnh aV3.

n

Gọi 0 = A ’C 'n B 'D ', ta có BO 1 (A 'B 'C 'D ').
Ké 0 H 1 A 'B ' tại H, suy ra A 'B 'l( B H O ) .
Do đó Ị(A B Õ Ậ ^ C D D 'C ')Ị = BHÒ.
Từ cosBHQ 7

=> tan BHO = -4=7.
73

BO = HO.tan BĨĨỒ = A '0.sin 60”. Ặ - =
73
2
Vậy VABCD A ’ B'C’D'

^ . a A a V 3 . s in 6 0 " = —

Vì B0 = —— = —A 'C ' nên tam giác A 'B C ' vuông tại fí. Vì B'D'_L ( A 'B C ) nên B 'D ' là trục đưòng
tròn ngoại tiếp tam giác A 'B C . Gọi G là tâm của tam giác đều A 'C 'D '. Khi đó G A' = GC' = GD' và
GA' = GB = GC' nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A 'B C 'D '. Mặt cầu này có bán kính
R =G D ' = - O D ' = - . — = a.
3
3 2

620


B à i tâp rèn lu vé n
Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bàng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 45”. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Đáp số: Tâm mặt cầu trùng với tâm mặt đáy tam giác ABC, bán kính R =

a^/3

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a\Ỉ2 .
Mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy (ABC), SB = sc = a, BSC = 120“ . Tính thể tích khối chóp
S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Đáp số; Vjs

ABC

12

-;R s

ABC

:a .

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với
mặt đáy (ABCD). Gọi E là trung điểm CD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABE.
. p_aV4Ĩ
Đáp sô: R = —
.
4
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B. AB = BC = a, AD = 2a .
Cạnh bên SA vuông góc vói mặt đáy ABCD và SA = a . Gọi E là trung điếm của AD. Tính thế tích
khối chóp S.CDE và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =:a>/3 . Hỉnh chiếu của
lên mặt đáy (ABCD) trùng vói trung điểm H cạnh AB. Cạnh bên

sc tạo vói

s

mặt đáy (ABCD) góc 60”.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC.
c) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMC, vói M là trung điểm cạnh CD.

Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC .A’ B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a\Ỉ2 . Góc giữa hai
mặt phắng (ABC) và (A B 'C ’ ) bằng 60°. Hình chiếu của A lên mặt đáy (A 'B ’C’ ) là trung điểm H của
A ’ B ’ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’ B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AH B’C’ .
n '

T
Đap so:

V

-

2

.D

-

g

Bài 7. Cho hỉnh trụ có đường cao bằng h. Tam giác ABC nội tiếp một trong hai đường tròn đáy của
hình trụ, AB = BC,ABC = 30°. Kẻ hai đưò'ng sinh A A ’ và BB’ . Gọi M,N,P lần lưọt là trung điểm của
A ’ B; BC và AC. Tính thể tích khối chóp A'.M NP và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP. Biết
h ^

R
28 '
Bài 8. Cho hình hộp AB C D .A ’ B’ C’ D’ có góc giũa CA' và mặt đáy (ABCD) bằng 30°. Góc giữa hai
mặt phẳng (A"BC) và (ABCD) bằng 45°; khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phắng (A'C D) bằng a. Gọi E
là trung điểm cạnh CD. Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A A ’ DE.

góc giữa CB' và trục của hình trụ bằng 30°. Đáp số: v^,

Đáp sô:

V ^ b c d a ' b ’C’ d '

2

=

g

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. BAD = 60°. Hình chiếu của s lên
mặt đáy (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho CA = 3CH . Gọi E, F lần Iưọt là trung điếm của sc
và SD. Biết rằng BE vuông góc vói CF. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện SBCD. Đáp số: Vg

a-síĨ4 „
3aV42
R=
12
28

621


CHUYÊN ĐỂ 11. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
> Vấn đề 1. Véc tơ và phép toán cơ bản
* Tích có hướng của hai véc tơ và các phép toán cơ bán
Với

hai véc

tơ

a

= ( X | ; y p Z | ) , b = ( x 2; y , ; Z j )
/

tơ là một

véc

tơ

được xác

\

yi

=

a ;b

k h i đ ó t í c h c ó h ư Ó T ig c ủ a h a i v é c

z,

X,

Zj

X2

Yi

9

\ y,

2,

9

Chú ý Ị^ã,bJ J.a,Ị^ã,bJ_Lb;

X2

Y2 ,

Ị^ả,bJ =|ã|.|b|.sin(a,b);

Cos(ỉ;b) =

|^a,bJ = Õ = > a //b

.
|a .|b|

^ x f + y f+ Z | .7 X2 + y j+ Z 2

Nếu XịX, + y,y 2 + Z|Zj = 0 => a -L b .
Diện tích, thể tích trong không gian Oxyz
Diện tích tam giác ABC khi đó
Thể tích tứ diện ABCD:

= —ỊỊ^AB, AC j | .
= —|^AB,ACj.AD

Thể tích khối hộp ABCD.A’ B’C’ D’ ; V ABCD A 'B 'C 'D '

[ a b ,a c ].a

a

'

Ví dụ 1. Cho bổn điểm A(2; 3; 1), B ( - l; 2; 0),C(1; 1; -2 ) và D(2; 3; 4).
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Chứng minh A, B,

c, D là bốn đỉnh

một tứ diện và tính thể tích tứ diện đó. Tính khoảng cách từ D

đến mặt phang (ABC).
c) Tim toạ độ chân đường phân giác trong góc A, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm cùa tam
giác ABC.

Hướng dẫn giải
a) Tacó ÃB = (-3 ;-1 ;-1 ),Ã C = (-1 ;-2 ;-3 )= > [Ã B ,Ã c ] = (1;-8;5).
SLiyra s . ,, 4

|[Ă B ,Ã c ]Ị =

b) Ta có Ã ĩ) = (0;0;3)

* (~ ỵ . i T . j|ĩ( d v d .) .

[Ã B ,Ã c ].Ã D = 3.5 = 1 5 ^ 0 .

Vậy A,B,C,D không đồng phẳng hay chúng là bốn đỉnh của một tứ diện.
Suy ra v , g „ = 1 |[Ã B ,Ã c ].Ã d | = ^ = ^(đvtt).
5
Vì vậy d(D;(ABC)):

622

3VABCD

Vĩõ

3VĨÕ
'2

2


c) Gọi E là chân đường phân giác trong góc A ta có

EB

AB

EC ~ AC

'14

=>EB = - j — Èc
V l4

r14! - '

- 1 - X e = - y |ị( > - X E )

+2
<=> 2 - y r = - ^ ( ’ - y E )

yr =■
+1

-Z e
E = - -^14^( - 2 - Zịe:)7

+1
MI - 11
+ 2 -2 J -14
.
V14

-I
V i vậy E
14

+1

VI4

+1

V14

+1

Gọi H là toạ độ trực tâm tam giác ABC. Khi đó BH 1 AB;CH _L AC; H e (A B C ).
2

__ _ _

X= —

AB.CH = 0
Do vậy

(x + l) + 2 ( y - 2 ) + 3z = 0

ÃC.BH = 0
[ ấ b ,ã c ].ã h

Vậy H

<=> s 3 ( x - l) + ( y - l ) + (z + 2) = 0 o
( x - 2 ) - 8 ( y - 3 ) + 5 ( z - l) = 0
=o

15
29

z=—

2 29
I
, ,
l l 5 15 3,

Gọi 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có
lA - - I B -

( x - 2 ) = + ( y - 3 ) - + ( z - l) = = ( x + l) - + ( y - 2 ) ^ + z -

IB" = IC"

o < ! (x + l)- + ( y - 2 ) ‘ +z" = ( x - l ) ' + ( y - l ) - + (z + 2)-

[ ã b ,ả c ] . ã ì = o

( x - 2 ) - 8 ( y - 3 ) + 5 ( z - l) = 0
X = 11

6x + 2y + 2z = 9

Ĩ5

<=>-í 4 x - 2 y - 4 z = 1

y=11
30

x - 8 y + 5z = -17

z=“ T
3
V - vậy
.1
Vì
1
U 5 30

3

623


Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(4; 0; 0), B(b; c; 0) vói b, c dương thoả mãn
AB = 2n/ĨÕ,ẤÕB = 45“ .
a) Tim toạ độ điểm

c thuộc tia Oz sao cho tử diện OABC có thể tích bằng 8.

b) Tim toạ độ điểm D thuộc Ox, điểm E thuộc Oz sao cho tam giác ABD cân lại D và tử diện ABDE có
thể tích bằng 20.
H u óhịỉ (lần ỊỊỈái
Trưóc tiên ta tim toạ độ điểm B, ta có OẤ = (4;0;0),OB = (b ;c;0 ).
’( b - 4 ) - + c' =40
Theo giả thiết ta có <

, 4x/b^+ c
a) Vì

o {

4b
n/2

b= 6
c=6

=> B(6;6;0)

c thuộc tia Oz nên C(0; 0; c) vói c dương.

Ta có [Õ A ;O b ] = (0;0;24),ÕC = (0;0; c).
Vi vây Vo^Bc = -rÕ Ấ ,Õ B ].Õ C = 4c = 8 <=> c = 2 ^ C (0;0;2).
6L
J
b) Gọi D(d;0;0) thuộc Ox vi tam giác ABD cân tại D nên DA = DB .
cg>(d-4)" = ( d - 6 ) ' + 3 6 o d = 14zg> D(14;0;0).
Gọi điểm E(0;0;e) thuộc Oz ta có AD = (10;0;0) => 1^A D ,Ấ b J = (0;0;60).
Vi vậy

a d ,a b ].aẽ

= 10 e =20<=>e = ±2=í> E(0;0;±2).

B ài tâp rèn Ị uyên
Bài 1. Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho A(2; 3; -1 ), B (l; -1 ; 4), C(-2; 1; 6).
a) Xác định toạ độ trong tâm G của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính thế tích tử diện ABCD biết D(3; 4; 5).
d) Tim toạ độ điềm E sao cho ABCE là hình thang cân.
Bài 2. Trong không gian Oxyz cho A(4; 2; I ), B ( - l; 0; 3), C(2; -2 ; 0), D(-3; 2; 1).
a) Chứng minh rằng A, B,

c, D là bốn đỉnh một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ A.
c) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thắng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ 0.xyz cho A(5; 3; 1), B(2; 3; -4), C(1; 2; 0).
a) Tìm toạ độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều.
b) Tim toạ độ điềm E sao cho SA, SB, s c đôi một vuông góc.
710
2
7^
7
^77 11 33 ^
Đáp số: D ( 2 : 6 ; - l ) , D ^ y ; - ^ ; - ^ j v à E(3; l;-2 ), E ^ ^ ; y
,3 ■ 3 '

4^

4'

3.

Bài 4. Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho hình hộp ABCD.ATTC’ D' biết A( 1; -2; 3), C( 1; 4; 5),
B '(-3; 3; 2) và D'(5; 3; 2). Tìm toạ độ các đinh còn lại của hình hộp đã cho.
Bài 5. Trong không gian vói hệ trục toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng ABC .A’ B 'C ' biết A(1;0;1),
B(2;0;0), C(0;l;0) và thể tích khối lăng trụ bằng 3, tam giác A13C vuông. Tim toạ độ các đĩnh còn lại
của lăng trụ đã cho.

624