Các chuyên đề bám sát đề thi THPT quốc gia khảo sát hàm số

NGƯT. ThS. l i : HOÀNH PHÒ

C ác ch u yên đ ề

'i

BáminTĐCTHi
T H P T Q U Ố C G iA
EB


Th.s NHÀ GIÁO u ư TỦ
LÊ H O À N H P H Ò

CÁC CHUYÊN ĐÊ
BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

KHẢO SÁT
HÀM SỐ
N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC

Q ưốc

G IA HÀ N Ộ I


LỜI N Ó I ĐẦU
Các Km học sinh thân môn!
Nhằm mục dích giúp các bạn học sinh lỚỊ) 12 chuan bị thật tôl cho KY THI
TRUNG HỌC R H ổ THÒNG QUỐC GIA dạt diếm khá, diổm cao dể trúng
tuyến vào các trường Cao dang, Đại học mà mình dã xác dịnh nghề nghiệp cho

tưpng lai, theo định hướng mỏi.
Hộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuvên dề, dê các em tiện dùng trong ôn
luyện theo chư- KHẢO SÁT HÀM SỐ
- HÀM SỐ VẢ PH Ư Ơ N G TR ÌN H MŨ LÔGARIT
- NGUYÊN HÀM VẢ TÍCH PHẢN
- SỐ PHỨ C VẢ T ổ IlỢ P
- H ÌNH HỌC KHÔNG GIAN
- TỌA HỘ KHÔNG GIAN
- LƯỢNÍỈ GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG
- PH Ư Ơ N G T R ÌN H VẢ HAT DANG THỨC
Cuôn KHÁO s á t h à m s ỏ gồm có 27 phần nhỏ dê luyện tập theo chủ đề.
Từ các kiên thức và phưcing pháp giải 'l'oán căn bản và nâng cao dần dần, kết
hỢp ôn tập 'Poán lớp 10 và 11, bỏ sung và mỏ' rộng kiên thức và phương pháp
giải khác nhau, lưyộn tập thêm Toán khó, Toán tông hỢp, các bạn rèn luyện
kỹ náng làm hài và từng bước giái dũng, giái gọn các bài tập, các bài toán
trong kiểm tra. thi cử.
Dù dã cố gắng kiem tra trong (Ịuá trình hiên tập song cũng không tránh
khỏi những sai sót mà tác gia chưa thấy hôt, mong dón nhận các góp ý của
quý hạn dọc, học sinh dê lầii in sau hoàn thiện hơn.
T ác giá
LÊ HƠÀNH PHỜ


ÔN GIỚI HẠN CỦA HÀM

số

Giới hạn của hàm số tại một điếm:
Giả sử (a; b) là một khoáng chứa điểm Xo và f là một hàm sổ xác định trên tập

hợp (a; b) \ {xo}. Ta có lim f (x) = L nếu với mọi dãy số (x^ trong tập hợp (a; b)
x -> x „

\ {Xo} và lim x„ = Xo, ta đểu cỏ lim f(x^ = L.
Định nghĩa tương tự cho các giới hạn khác.

Định lý: Già sừ lim f (x) = A và lim g(x) = B (A, B e R).
X~>X^

x —*x„

Khi đó: lim ff(x) + g(x)] = A + B; lim [f(x) - g(x)J = A - B
X -> X o '

x -> x „

lim Ịf(x).g(x)J = AB; Nếu B
*->*■,

thì lim

g(x)

= —.
B

Giới hạn một bên:
Già sử hàm số f xác định trên khoảng (Xoi b) (Xo e R). Giới hạn bên phải:
lim f(x) = L nếu với mọi dãy so (Xn) trong khoảng (Xo; b) mà lim x„ = Xo, ta đểu có
X -^x J

lim f(x„) = L.
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; Xo) (Xo e R). Giới hạn bên trái:
lim f(x) = L nếu với mọi dãy số (Xn) trong khoảng (a; Xo) mà lim x„ = Xo, ta đểu có
x-^xỏ‘
lỉm f(Xr) = L.
Định lý: Nếu lim f(x) = lim f(x) = L thì hàm số f có giới hạn tại điểm Xo và
x -> x ;

x^x*

lim f(x ) = L.
Bài toán 1.1: Tính:
X- X
b) lim
X->1 ( 2 x - l) ( x - 3 )

a) lirn 1x
; ^-4
x->V3l

Giải
a ) Tacó: lini (x ^ -4 )= lirnx^- lini 4 = 3 - 4 = 1 nên lirn x " -4 = - 1 = 1 .
X -> v 3

b) Ta có: lim (x - x^) = 1 - 1 = 0
X ->1

lim (2 x - l)(x ^ -3 ) = (2 - 1)(1 -3 ) = - 2 ^ 0
x^l

nên

lim

x -x
( 2 x - l X x '- 3 )

= — = 0.
-2

x -> v 3


Bài toán 1.2: Tính;
a)

lim
—
x->(-.i)‘ X + 4 x + 3

b) lim

X+ 4

(x - 2 )^

4 -x

Giải

a) Với mọi X < -3, ta có:
Vì

x^^+l

_ x^+l

1

x^+4x + 3 ~ x + 1 'x + 3

x" +3 84
1
lim
am ------- = —— = -4 2 < 0 và lim
x->(-3)“ X +1
- 2
x->(-3r X + 3

-00, nên

x ' +3
= + 00.
lim
x^(-3)- x'' + 4x 4-3
b) Vì lim ---= +00 và lim
= ,1 ^ = ^/3 > 0 , nên
X“ 2 (x _ 2Ý
XA2 V 4 -X
V2

X+ 4
lim>‘-^2 ( x - 2 ) " ' \ 4 - x

+ 00.

Bài toán 1.3: Tính các giới hạn một bên:
a) l i m ^ ^
X- 3

b) lim ^ ^ ^ ^
x -3
Giải

a) Vì lim (2x + 1) = 7 > 0, lim (x - 3) = 0 và X - 3 > 0 với mọi X > 3 nên:
1! 2x + l
lim ——— = + 00.
x->3* X - 3

b) Vì lim (7x + 2) = 23 > 0, lim (x - 3) = 0 và X - 3 < 0 với mọi X < 3 nên:
x->3"
x-»3
7x + 2
lim ——— = -00 .
x -3
Bài toán 1.4: Có tôn tai lim^------ - không ?
X- 2
Giải

x -2
|xTa tính các giới hạn một bên: lim ------- -, lim

X- 2 >
‘->•2- X - 2

I

I

Với mọi X > 2, ta có X - 2 = X - 2.
Do đó: lim ^ ^ = lim —— - = lim 1 = 1.
x->2"^x —2 x->2*x —2

I

I

Với mọi X < 2, ta có X - 2 = 2 - X.


X —2

2 —X

Do đó: lim
n "^------ -- - l iIim
m -----=
--- = um
lim (-1) = -1 .
2 x -2
>:~>2 x - 2
'í >2

Vì kết quả giới hạn bôn trái và bên phải lại Xo = 2 khác nhau nên không tồn tại
X - 2|
lim
;->í x - 2
Bài toán 1.5: Cho hàm số: f(x) =

[x’ - 2 x -f 3 khi x < 2
4x^ - 29

khi X > 2

Có tồn tại lim / (x) không ?
•V>2 '
Giải

'Fa tính các giới hạn một bên: lim f(x). lim f'(x):
X -> 2 ’

Với X < 2 thì f(x)

\

>?.

x" - 2x t 3 nôn lim f(x) = lim (x" - 2x t 3 ) 4 - 4 t 3 = 3.
\ »2
X>2

Với X > 2 thì f(x) ■ 4x^ - 29 ncn lim f(x) - lim (4x^ - 29) - 32 - 29 = 3
X >2

X -> 2'

Vì lim f(x) = lim f(x) - 3 ncn lim f(x) = 3.
\ >2
\ >2
N^2
Bài toán 1.6: Cho hàm số f(x) =

1'---2 ỊịỊ^ị X < 1
x -1
x + 2 + a khi 1 < X < 3

Tùy theo tham số a xét sự tồn tại giới hạn lim f ( x ) .
\ -> l

Giải

Với X < 1 thi f(x)

|x - lỊ ^ - ( x - 1)

-1 nên lim f(x) = lim (-l) = -1

Với 1 < X < 3 thì f(x) = X t 2 I a ncn lim F(x) = lim(x -f2-t-a) = 3-(-a
X >1'

X -> 1 '

Ta có 3 + a = -1 <=í> a = -4, do đó;

Khi a = -4 thi lim f(x) = -1. Khi a

-4 thì không tồn tại lim f(x ).

X ->1

X >1

BÀI T Ậ P
Bài tập 1.1: Chứng minh không tồn tại: lim sin X.
*

X—♦ + »

IID -D S

Lấy 2 dãy x„ = n;:, X,, = -- + 2n7t có lim Xn = -t 00, lim X,, = +00.
nhưng lim l’(x„) = 0 còn lim f(x'n) = 1.


Bài tập 1.2: Tính:
^ i:„ V x - 3
a) lim -------- Tx->9 9 x - x

2x + 3

b) lim

( x - 1 ) ' ‘2 x - 3

x-*\

HD-ĐS
a)

^íx - 3
^ = lim -----.
9 x -x
^-^’ x (V x + 3 )

b) lim
^
x-»l (x -1 )^ 2 x - 3

54

- 00.

Bài tập 1.3: Cho hàm sổ f(x) =

4 x '- 5 x

khi X < 2

[Vx + 7 + 4a khi X > 2
Tìm a để hàm số có giới hạn khi x-> 2.
HD-ĐS
lim f (x) = lim f(x ) <=>6 = 3 + 4 a < :í> a = —.
x->2"
x->2*

4
X+ 2 + a

Bài tập 1.4: Cho hàm sổ f(x) =

x ' -8 1

k h i \ < x <2
khì X > 3

V x-3
Tùy theo tham số a xét sự tồn tại giới hạn lim f (x ).

,Zs

- K h i a - 12(73 + 3) - 5 thì lim f(x) = 12(73 + 3 )
x->3
- Khi

\ 2 { Z + 3) - 5 thì không tồn tại lim f ( x ) .
x-^3

ÔN KHỬ DẠNG

vôĐỊNH HÀM số

Phương pháp chung: Trước khi giải bài toán tìm giới hạn là thể thử X = Xo
hoặc cho X ^ + o q X
-oo theo yêu cầu để bài để xem xét giới hạn cần tìm có
dạng vô định không.

- Neu kết quả cho giá trị xác định, căn thức xác định, phân thức xác định,... thì
dùng định lý vể các phép toán tổng, hiệu, thương để giải.
- Nếu mẫu thức tiến đến +00 hoặc -00 và tử thức tiến đến một sổ khác 0 thì giới
hạn cho bằng 0.


- Nếu mẫu thức tiến đến 0 và tử thức tiến đến một sổ khác 0 thì giới hạn là
dạng +oohoặc -oo, tuỳ theo dấu các thừa sổ, của tử và mẫu.
'

0

00

0

00

- Nêu có dang vô đinh —, —, 0. OCỊ co-oo thì chon phương pháp tương ứng đê

khử dạng vô định.
Chú ý: Thêm bớt đại lượng đơn giản nhai theo X hoặc hằng sổ mà các giới hạn
mới vẫn giữ nguyên dạng vô định.
K hử dạng vô định — k h i x —>^Xo.
- Đối với hàm phân thức, ta phân tích tử thức và mẫu thức ra thừa số dạng
(x - Xo).g(x) rồi rút gọn.
- Dổi với biểu thức chửa căn thức, ta nhân chia lượng liên hợp để khử căn, tạo
ra thừa số (x - Xo) rồi rút gọn.
- Đổi với biểu thức lượng giác, ta dùng công thức cộng, công thức nhân, công
thức biển đổi để đưa về định lý.

X-Í.0

= 1.

X

Bài toán 2.1: Tíiứi:
a) lim

X -27x
b) lim
V_k1
><-►
32 x ' - 3 x - 9

x ' -1 6
X + 6x + 8

Giải

0

a) Dạng vô định — , với mọi X ^ -2, ta có:
x^-16

_(x^-4)(x-+4)_(x-2)(x^+4)

x^+6x + 8

(x + 2Xx + 4)

„ 4
•16
Do đó: lim
-2x^+ 6x + 8

x^-27x

-32
2

x+4

= -16.

_ x (x - 3 X x ^ +3x + 9) _ x ( x ^ + 3 x + 9)

^ 2x--3x-9~

(x-3)(2x+3)

“

2x + 3

x' - 2 7 x = 5 1 .9 ,
Do đó lim‘^32x^ - 3 x - 9
9
Bài toán 2.2: Tính:

,,,
4 x '- 5 x '+ l
a) lim----- ^
-------—
X
(x - l)(x^ + X- 2)

b) lim
X -> 1

x + x^ +X'^ + ... + x “
x-1

Giải

x -l l)() 4x‘
( 4 x' -' x- x^ '--Xx “-:
--x -l)
,
4x’ -5x'‘ +l
_ . ( xa) lim---------- 7---------- = lim--------^--------- r---------( x - l ) ( x ^ + X- 2 )
( x- l ) ( x^ + X- 2)

11


lim
X^l
= lim
x-^1

b) lim

4x - X
,

x ^ -x -l

(x - l)(4x^ + 3x^ + 2x +1)
,
_
( x - l ) ( x + X + 2)

lim

X + X -2

4x'^ + 3x^ + 2x +1 _ 10 _ 5
X + X+ 2

~T^2'

x + x^ +x^ + ...+ x" - 1 1

X —►!

x-1
lim
X-^1 x ' - l

1

X + 1 x^ + X + 1
lim
•+ — — + —
— —
+
x^l x + 1 x + 1
x+1

...+

x“ - l

x^ -1

x "-n

x '- - l

x '- l

x '- l .

x '» + x ‘^ +... + P
x+1

1 2
3
11
—+ —+ ^ + ... + — = 33.
2 2 2

2
Bài toán 2.3: Tính:
a) lim — ^
xTi
-^

x^ -1

b) lim

V x '+ 1 - 1

'‘^o

X + X

Giải

0
a) Dạng vô định — , với mọi

1, ta có

V 2 x -X “ -1

2 x - x ^ -1

X - X

x(x - l)(V 2 x - x ^ + 1 )

Do đó: lim
X^I

- ( x - 1 )^

1-x

x ( x - l) ( V 2 x - x ^ + 1)

x('y 2 x^^õí^ + l)

1-x
—ỉ-= lim - I---------------x ^ -x
x(V 2 x - x ^ + l )

=

0.

, .,.„ V x ^ + l- l
x^
_
x^
b)lim— r-------= lim---------- -. ■. ----- = lim ------------ ,
...... . = 0 .
x->0 X + x
^ ^ x (x + l)(V x'+ l+ l)
’‘-^°(x + l ) ( V x '+ l + l )
Bài toán 2.4: Tính:

a) lim
x -> 0 *

X+ l4 x

x -V x

, , ,. Vx^ - 7 x + 12
b) lim ----- ^
In
-.2
" x T r ^/ỘTx
Giải

a)V óix>0.tacó: Ĩ L tĩệ . ^
^ ệ l l
X -V x
V x ( V x - l)
V x -1
r„- ^ + 2 Vx
V x+2
2
Do đó: lim ------- = lim - 7=-— = — = -2
X -V x
-1
10


b) Với -3 <

<3

X

7 ( 3 - x ) ( 4 - x ) -ỊÃ
. ■^.v = —p=
Ậ 3 - x)(3 + x) -\/3 + X

, Vx^' - 7 x + 12
la có: ------ r-..^

^ / x '- 7 x + 12 _ 1 _ Vó
Do đó: lim —— .
—
V 9-X -'
V6
6
Bài toán 2.5: Tính:
V3X + 8 - 2

a ) lim>^->0

b) lim

5x

V

■Ự^

X—

V x -1

Giải

0

a) Dạng vô định —, với

,

0, ta có:

______3X + 8 - 8 _______ ^

_________ 3__________

5x 0 x + %Ý + 2ầJ ^ + T + 4 \

5[(ự3x + 8)' + 2ự3x + 8 + 4

ự3x + 8 - 2
5x

X ít

V3X + 8 - 2

_

3

_

1

nên lim --------------- = ---------------- = —
5x

5(4+ 4 + 4 )

20

-V x
( x - l) ( V x + l )
—^ = lim------- [ ,
-1
(x - l) [ V ( 2 x - lV + V ^ - l . V x -+Vx'

b) limx^l

Vx +1
_ 2
= limX ^l 3
\Ị{2x - \ Ý - f V 2 x - l. Vx -f Vx^ ^
Bài toán 2.6: Tính:
.,
V7 + X -I-V3-I-X - 4
b) lim-------3 J 7

----x-»l
X - 1

ằJx - 2 +
- X-t-1
a) lim -------;---------------7^1
x ^ -4 x -i-3

Giải

Ự x - 2 - f x - - x + l_ ự x ^ + l - f x ^ - x _ V ^ + 1
^

^

x'-4x-l-3

~

^

X --X

x’ -4x-l-3

x^-4x+ 3 x"-4x-l-3
x (x -l)
x - 1 ______________
(x -l)(x -3 )
(x -l)(x -3 )Ự (x -2 )' - ự x - 2 + 1

-t-

(x -3 )[V (x -2 )^ - V x - 2 + 1
Do đó; lim f(x ) = — + ^ —=
-> 1
6 —2
X

—

3

x -3

.

11


,,
_ ị / T + x + a/3 + X - 4 ị ỉ T + x - 2 ^|3 + x - 2
b) f ( x ) = ----------- ------------------------------------------------x ^ -1
X -1
X -1
, Ml+X- 2
Ta cóá: ----- 7-------=

x ’ -1

x -1

( x ' - l ) ịỊil + x ỷ + 2 ịh + x + 4
1

{ x ' + x + l)[ự(7 + x)^ + 2Ự t T
V3 + X - 2 _

x' -1

x -1

_

x

+4

1

” (x’ - 1 ) ( V ^ X +2) " (x- + X + 1)(/3T x + 2)

nên lim I (x) = — —+
3.12

= —.
3.4

9

Bài toán 2.7: Tính:
1 - cos X

a) lim-

,^
14-sinX - cosX
b) lim^— ——---------1- s i n x - c o s x

x->0

Giải

( . xV
1
2sin^~
, sin-^
. l-c o sx
2 I_ 1
2
a) lim— — = Iim-----^ = lim-}
x->0
2
X

2

2

V 2 ;
,
.
2sin^ —-t-2sin —cos —

l-fsinx-cosx
0
9
9
b) lim^---- —---------- = linỊ-------- -------------------—
^-^Ol-sinx-cosx
^->0 ^ - i X
~ .X
X
2 sm - - - 2 sin - cos —

2

2

2

X
X
sin ” -fC0S“1
2
2 ^0 +1 = -l.
lim
x->0 . X
X 0-1
s in ^ -c o s ~
2
2
Bài toán 2.8: Tính;
, , ._ 1 - V 2 x '+ 1

a) lim -------------->‘^0 l- c o s 2 x

„ 1-V2X + 1 -I- sinx
b) lim —
^------v3x-f-4-2-x
Giải

l- V 2 x '- f l
- 2 =x ■
'
a ,) ------- ::----- = -----------l-c o s 2 x
2sin^x(l + V2x^-fl)
Do đó:
12

X-To l- c o s 2 x

= -l

2

^ X
v sin x j 'l + V 2 x ^

2


b)

1- V2x + 1 +sinx

I - V 2x + 1

sinx

yj3x + 4 - 2 - x

X

X

-2

sinx^

1+ -\/2x +1

Khử dạng vô định

00
—

00

X

-2

1 - V2jr+T + sinX
Do đó lim — ,

— -------v3x + 4 - 2 - x

V3x + 4 - 2 - x

+

y

1

-1 -x
VBx + 4 + 2 + X
-1

=

0.

k h i X —> +00, X —
^-00.

- Đối với hàm phân thức, ta chia tử thức và mẫu thức cho luỹ thừa cao nhất
của X, việc này cũng như đặt thừa chung cho luỹ thừa cao nhất đỏ:
a „x "+ a iX '"-'+ ... + a ,

f(x)

b„x" +b,x"-‘ + ... + b„
0

, Oo ^

0,

bo ^

0.

khi m < n

Kết quả: lim f (x) = • — khi m = n .
± 00 khi m > n
- Đối với biếu thức chứa căn, ta nhân chia lượng liên hiệp để khử căn thức,
đưa về dạng phân thức đã nêu:

- ị = (A + B)(A - B)
A^-B^ = (A- B)(A^ + AB + B^),A^ + B^ = (A + B)(A^ - AB + B^),..
Bài toán 2.9: Tính:
,
2 x ^ - x + 10
a) lim —r— -----^ x ^ + 3 x -3

b) lim

2 x ‘‘ + 7 x '- 1 5
5x +1

Giải

J_

,

^

+ 3

,^ _ _ 2 x '- x + 10

2 ^

x ^ + 3 x -3

,

J ___ ^
X2 X3

j^^+“ x ^ + 3 x - 3

1

^

b)

10

2 x ' - x + 10

2 x ^ + 7 x -1 5

5x^+1

2+

15
X

5+ -

x '"

. ^ - nên lim

2 x '+ 7 x '- 1 5

5x^+1

_

- =

2

13


Bài toán 2.10: Tính:
,
3 x ''+ 5 x " + 7
a) lim

X ’ -1 5 x

b) lin,
x
T;:;

+^
2x ^ - 1

Giải

3 x ^ + 5x^ + 7
a)
x ' - 15x

.
5
7
3x H--- H---- :
X___ x :

, x'’ - x^ + 3
b) Ta có: —■ r
2 x^-7

. 3 x U 5x^ + 7
• llt
nên lim
X -1 5 x

= +00

15
x^
, 1 3
1- - +
, ,,_ x ^ - x ^ + 3 _ ^
x x"* nên
lim ----- ——— = 0.
7
2x - 7
2x'
x^

Bài toán 2.11: Tính:
a) lim

. ^ I^ + 2
b) lim
3x' - 5

2x - 3

Giăi

a) Với

X

> 0:

yjx^ - X

.

1
1 --+ -^
V X X

+ 5 =,

V XX

;

1 1

5

X

X

a/ x “ - x +5

im ------------im —nên lim
—^----- — = lim
2x—3
x->+co

1 5
1 5
= XU1 — + - ^ = x 1— +- ^

J^

= lim

V XX

X

X

1 1-'^

1

+

3

Khử dạng 00- 00, O.oo:

- Dặt nhãn tử chung là luỹ thừa cao nhất của X.
- Quy đồng phân số
- Nhân chia lượng liên hợp đế khử căn,...
- Chuyên về dang — hoãc — đã biết.

14

- '

X

3 x^-5

3x ^ - 5

-J l+ D ođó: lim
= lim
ý
> < ^ 3 x -5
5
X3

0

1

x- >+
x (2 - )
X

4^+ 2
b) Với X < 0;
3x'^ - 5

X

00

3-


Bài toán 2.12: Tính:

a) lim1
x-->0\ x

b) lim

—
X

x->2"

x -2

X -4 J

Giải

a) lim

I ___ \_

x~»0 ^X

x^.

. x -1
= lim 2 ■
x->0 X

Vì limíx - 1) = -1 < 0, lim X' = 0 và x^ > 0 với mọi X 0 nên: lim 1 - — ì= ■-00
X-To
x~>0
x->0 u
x^/
b) Với moi X < 2, ta có: —^
^
x -2

x+1
r-— = —;----x ^ -4
x '- 4

Vì lim(x + l) = 3 > 0 , lim ( x ^ - 4 ) = 0 và x^ - 4 < 0 v ớ i-2 < X < 2
x->2

x->2“

1
nên: limI ------------ ;— r^
x->2 \ x - 2
X--4

= -CO .

Bài toán 2.13: Tính:
b) lim(v>
Ix + X ■^/4 + X" )

a) lim (Vx^ + 3 - x)

X —>-00

X -> + M

Giải

a) Dạng vô định 00 - 00, lim (Vx^ +3 - x) = lim ,
-----= 0
’‘-"^ V x ^ + 3 + x
b) Với mọi X < -1, la có:
x -4
x -4
Vx^ + x -V 4 + x^ =
Vx^ + x +-\/4 + x^

x -4
1

4

X

x^

1

Do đó lim (-\/x^ + X - V4 + x ^ ) =
x-->-co

1-1

1
-Jl +
V X
1

rỉ

2

Bài toán 2.14: Tính:
a) lim (x + 2).
X -» + o o

’

m

x -1
X->1[ l - x ' '

X +X

\-x"

Giải

a) x->+oo
lim (x + 2) y1-4
X' -I- X
15


Ị(x + 2)"(x - 1) ^

lim
\

b) lim
A>1V1
Ta có

11-

m

n

1

n

(-- l, 1“ .V

1

m

1- X ; r - ,

1 _ n --(1 + X + X ' + ... + x" ')
1 -x

1 X

1-

1 -x "

(

lim

)-(,

-

n

V.. =

lim

X +X

>->y.

í,1+ 21 í, 1 ì
1V xy L x j

.V

J

XV

V. 1
>1

1-

.r

1

1+ X
•+ + ...+
+ X-f ...4' x" ' 1+ X -f ... + x" '
Do dó liiT -\ >1U - x "
T ư ongtựlhì: lim
V >1

1

..

I- X

X

+

)

1- X
..

+ X+ ...-f x"
+ X + ...+ x"

l-x j

1f 2 + . . . f ( n - l ) _ (n - l)n
2
n
N n- 1 m-

1- Jf"

1 - x" /

2

1

-)

n-1

2

Bài toán 2.15: Tính:
1
b) lim •>,
sin(x’ - 4).
' X -8

71

a) lim X tan X
V
2y

Giải

'
71'
7l'
n
a) lim X tan X = lim X .cot
' 2 ,
l
2j
V
X-

71

-- lim
.cosị \
71^
X/
• ^
^
\
?. sin X- _
V V
2j J

—

= -

1.

Lx 1 í
■ / ^ IX 1 - x " - 4 s i n ( x " - 4 )
b) lim---.....-sin(x - 4 ) = lim ,
,
'>’ x - 8
x -8
X -4
x +2
sin(.r"- 4 ) 4
1

lim 1
.
=
=
'■>’ X- -f 2.V 4-4 .V--4
12 3
BÀI T Ậ P
Bài tập 2.1: 1inh;

'

16

X

-4

b,

' >' '

3- X

■

+ ••• +

1- X
1 -x "

H D -Đ S

x^+ 2x + 4
.. x ' - 8
^----- nên lim
x-^2 X - 4
x+2

—8 (x —2)(x^ + 2x + 4)
a) —5---- =
^
(x -2 )(x + 2)
X -4
b)

x^+3V 3
3 -x ^

(x + V 3 )(x ^ -x V 3 + 3 )

x ' + 3 V3

-(X + V 3 )(x -V 3 )

3 -x ^

"

=3.

2 V3 ■

Bài tập 2.2: Tính:
x" - 1
a) lim
xTi x - 1

x^ + x^ - 2

b) lim
x“ i

X "-1

H D -Đ S

a)

x" -1

./1-1 , ^^n-1

... + x + lnên lim

x" -1
X

-1

=

— +

x-»l

x -1 ” ■

2
fx ^ -l
b) lim ----- 5-------- = lim
X -> 1
x"^ —1
i ^ x '- l
—

X ^ -0
x '- l ;

5
2

=n.
3

,

2

Bài tập 2.3: Tính:

a) lim xTõ*

b) ,i
x-í-o

X

X

H D -Đ S

X
V x ^ + X -V x _
z--------=
00.
a) lim -------------------------=+
+CO
>^^0"
X
, . Vl + 4 x .ự l + x - 1
Vl + 4xV l + x - ị l ỉ + x +ịj\ + x -1
b ) -------- --------------------------------------------------------------X
X
7

_
— Vl + 4x - 1 ự l + x - 1 . ,• Vl + 4 x .ự l + x - 1
= v l + x .------- -------- 1------—^----- nên lim ---------- —----------Y

V

X -> 0

3

V

Bài tập 2.4: Tính:
,
2x - s i n x
a) lim
« ._ v n +
x^ o‘ V ĩ^ cosx

,.
v ĩ+ ta n x - v ĩ+ sin X
b) lim---------------r------------x->0

H D -Đ S

,
2 x -s in x
2 x -s in x
2 x - s i n x _ /T
a) lim , ■ — = lim ■" —— = lim -------------= V2 .
X
x->0+ /T- . X
Vl - c o s x
>‘^0*
v 2 .s in ^

Í2sin' _
(1-------- )sinx
,^
Vl + tanx - 7 l + sinx = lim----- i .
b) lim
X -+ 0
x^(vl + ta n x + v l + sinx)

,
4
17


Bài tập 2.5: Tính:
Xy/x - 5

a) lim

X

-X

b) lim
x-y-oo l _ 3 x

+2

IID -D S
^
x4 x - 5

^
V x ''-x
a) lim —7 —------ = 0 . b) l i m ------------= + 00.
X - X + 2
1- 3x
Bài tập 2.6: Tính;

b) h m ^ y - 7—
•'■--'•r l- x ^ VX ' +3x + 4

VX -1

x-H-ty

IID -D S

a )(x ^ + 1)

x"-l

= (x + lX x ^ -x + 1).

1
X -3x + 2
b):
1-x^ Vx^+3x+4

3x
( x - l ) ( x + l)
ÍÕ r- l) (x - 2 )

^

0.

hoo.

(l-x )(l+ x + ...+ x '‘) V x^+3x + 4

Bài tập 2.7: Tính:
a) lim tan 2 X. tan
n
X —> —

b) lim

- X

sinx - S cosx
2cosx -1

4

H D-D S
.

^

71

, ,

71

71

..

a) Dặt t = — - x t h ì x = — - t, X--> — < = > t^ 0
4
4
4
lim tan2x.tan( — - x) = lim C0t2t. tant ■
í
4
ĨTo
'-»0
2
^4

x -—> —
X
4

b) lim

sinx - V3 cosx

2

2 cos X - 1

S '

3

ÔN HÀM SỐ LIÊN TỤC
Hàm số Hên tục

- Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; h) và Xo ^ (a; h). Hàm số f liên tục
tại điểm Xo nếu: lim f(x) = f(Xo).
x->x„

Hùm sổ không liên lục tại Xo gọi là gián đoạn lại XoHàm sỗ f liên tục trên khoang K nếu flién lục lại mọi diêm thuộc tập hợp đó.
18


Hàm sổ fliên lục Irên đoạn [a; b] nếu (liên tục trên khoảng (a; b)
và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b).
x->a^
x^b“
- Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm sổ liên tục tại một điếm là những hàm
sổ liên tục tại điếm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu lại điếm đó phải
khác 0).
- Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên lục trên tập xác định cùa chúng.
Các hàm sổ lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác
định của chủng.
Bài toán 3.1; Xét sự liên tục của các hàm số:
'x “ - 3 x + 2
a) f(x ) =

khi

X- 2

khi

tại Xo = 2.
X

í(x + l)^ k h ix < 0

b )f(x )=

[x^ + 2

=2

tạ ix = 0.

khi x> 0
Giải

a) Ta có f(Xo) = f(2) = 1
^7
^
^_ X '-3 x + 2 (x - l)(x -2 )
Với moi x ^ 2 i a có: f(x) = ------- ^ = X - 1
X- 2
X- 2

,

Do đó lim f(x) = lim (x-1) = 1 = f(2).
x-*2

x->2

Vậy hàm số f liên tục tại điểm Xo = 2.
b ) T acó: lim f(x ) = lim (x +1)^ = 1
x->0“

x^O'"

lim f (x) = lim (x^ + 2) = 2 ít lim f (x)
x-»0^

x->0*

x->0

Do đó không tồn tại lim f (x) nên hàm số gián đoạn tại X = 0.
x-»0

Bài toán 3.2: Chứng minh các hàm số sau liên lục ừên tập xác định.

'ỰỊ x - 2
a) f(x)

khi x ^ 2

X- 2

b) g(x) = V s-2 x ^
khi x = 2
Giải

a) Hàm số f xác định trên R.
Với X

•v/ĩx- 2
2 thì f(x) = — ----- liên tuc.
X-2
19


Với X = 2 thì f(2) = — và lim f (x) = lim
—3
x->2
“^2 x - 2
4x - 8
4
= lim -------------- F' ---------- = = ------ I = lim—
7= = = — ^— — z-------(x - 2)[v i6 x ' + 2V4x + 4]
^ 2ự4x + 4
= — = f(2) nên f liên tục. Vậy hàm số liên tục trên R.
b) Hàm số g(x) = ^J8-2x^ xác định trên D = [-2; 2]
Với mọi Xo e (-2; 2) ta có: lim g(x) = J s - 2 x ^ = f(Xp)
Do đó hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2)
và lim ^(x) = 0 = g ( - 2 ) , lim g(x) = 0 = g(2)

Vậy hàm số g liên tục trên D = [-2; 2].
Bài toán 3.3: Tìm các khoảng, nửa khoảng mà hàm số liên tục
a) f(x)

X + 3x + 4

b) g(x) = V x + T - 2-v/x- 3 .

2x + l

Giải

1
a) Điều kiện 2 x + l9 tO < » x íẾ -—, V ì f l à hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên
tập xác định D = (-oo; - —) u

; +oo).

b) Điều kiện: x + 1 > O v à x > 3 o x > 3 nên D = [3; +oo)
Vậy g liên tục trên D = [3; +oo).
Bài toán 3.4: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số
2 sin x
a) f(x) = tanx 4- 2cotx
b) g(x) = ^
------sin X - v3 cosx
Giái

a) Hàm số y = tanx liên tục tại X

— + kTĩ, k e z .

y = cotx liên tục tại X kn, k e z .
Do đó hàm số f(x) = tanx + 2cosx gián đoạn tại các điểm
ĩí ,
,
, 71 ,
_
X = — + k 7ĩ, x = k7i<=>x = k —, k e z.
2
2
b) Hàm số g(x) gián đoạn tại các điểm x:
sinx - ^|2 cosx = 0 <=> ị- sinx - ^ cosx = 0
2
2
20


<=> sin(x - —) = 0 < = > x - ^ = k 7 ĩ< = > x = ^ + kĩi, k e z.
3
3
3
Bài toán 3.5: Tìm các giá trị tham số a để hàm số liên tục trên R.
9
í
.ỈZĨ
2
xsin^ khix>0
6ax^ +
khi X 5^0
a)f(x)=<

b) g(x) ^
X
a c o s í-5 khix< 0
khix = 0
Giải

a) Với

X

2
> 0 thì f(x) = xsin— liên tục
X

Với X < 0 thì f(x) = acosx - 5 liên tục
Với X = 0 thì f(0) = a.cosO - 5 - a - 5
lim f (x) = lim (a cos X - 5) = a - 5 = f (0)
x-»0"

»->•<'

. 2
2
lim f(x ) = lim x s in —= 0 (vì xsin — < |x|, X > 0 )
x->0*

x-»0*

X

X

Vậy hàm số liên tục trên R <=>a-5 = 0<=>a = 5.
b) Với

Với

X

liên tục.

0 thì f(x) = 6ax^ +

X

= 0 thì f(0) = 1

lA
lim f {x) - lim 6ox^ + — = lim(6ax^ + 1)= 1
x->0* ’
x->0'
V
7
í'
ixl^
lim f(x ) = lim 6ax^ + — = lim(6ax^ -1 ) = -1 .
x->0'
x->0
x-^o
X

Vì f gián đoạn tại X = 0 với mọi a nên không tồn tại a để hàm số liên tục trên R.
Bài toán 3.6: Tuỳ theo tham số, xét sự liên tục của hàm số:
-v/x-1
ự ĩ-\
ax + b

f(x) =

x^ + 4 x + 3
x '-9

khi x > 1
khi - 3 < X <1
khi

X

< -3
Giải

_ _
Tập xác định D = R. Với
Với -3 <

X

X

> 1 thì f(x) =

^ —Ị
—- liên tục.
ự ĩ-1

< 1 thì f(x) = ax + b liên tục.
21


Với X < -3 thì f(x) =

X + 4x + 3

liên tục.
x ^ -9
Với X = 1 thì f(l) = a + b
lim f(x ) = lim(ax + b) = a + b = f(l)
x->r

x~+l“

V x -l
( x - l ) ( V ^ + 'V x+1) _
ị[x^ + \ f x + l 3
lim f (x) = lim — 1 —— = lim-^^------— —7=— ------ lim ----------- 7=— ---- = —
”
'
IN/ /
. IN
^^1+
I

-X
v x _ 1’ ■ ’ ■
(x
- l)(V
x +1)
^fx
+ ■1,
Với

= -3 thì f(-3) = -3a + b
lim f( x ) = lim (ax + b) = -3 a + b = f(-3 )
x-X-3)*
x->(-3)^
X

lin i,f(x)= lim/
.^(-3)"

x->(-3)’

X

-9

+

lim / - -)(? + .3) ,
X“^(-ír ( x - 3 ) ( x + 3)

lirn

X+ 1
X -3

•2
-6

1
3

Vậy; a + b = — -3a + b 3Ế — thì f gián đoạn tại X = -3
2
a + b 3*

-3a + b = — thì f gián đoạn tại X = 1

a +h^

-3a -t b 3Ế — thì f gián đoạn tại X = -3, X = 1

3
1
7
29
a + b = ^ ; -3a + b = — < = > a = ^ , b = ^ thì f liên tục trên R.
2

3

24

24

Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; hj. Nếu f(a) ^f(h ) thì với mỗi số thực M
nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại it nhất một điểm c e (a; b) sao chof(c) = M.
Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
Ta có thê xét hàm số y = f(x), kiêm tra tính chất liên tục.
Neu f(x) liên tục trên đoạn [a;bj và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c thuộc khoảng(a;b)
để f(c) = 0 tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm X = c thuộc khoảng (a;b).
Chú ỷ :

1) Neu có lim f (x) = -00 thì tồn tại a < 0, \a\ khá lớn để f(a) < 0.
JC—
>-00 '

Neu có lim / ( x ) = +00 thì tồn tại b > 0, h khá lớn để f(b) > 0.
.r~^+00

2) Nếu tổngf(a) +f(b) + f(c) + ... = ớ thì tồn tại hai sổ m, n trong đó để
f(m).f(n) < 0.
3) Phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm. Trên miền liên tục đó, tìm k + 1 giá
trị ơị <Ơ 2 <...<ớr^^i mà k + 1 giá trị hàm sổ lưong ứng / '( « , ) ; / ( « 2 );...;/'(a^._^i)
đoi dẩu liên tiếp. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhẩt k nghiệm thuộc k
khoảng rời nhau (cr,; «2 (<^2 ỉ
)•
22

Bài toán 3.7: Chứng minh mọi phương trình bậc lẻ đều có ít nhất 1 nghiệm.
Gìái:
Phương trình bậc lẻ có dạng
2m+l
aox
+ aix^"’ + ... 4- a2mX + a 2m+i = 0, ao 0, m là số tự nhiên.
Xét hàm số P(x) = aox^'"’^' + aix^'" f ... + a 2mX + a 2m+i , khi đó hàm đa thức
P(x) xác định và liên tục trên R.
- Xét ao > 0 thì lim P{x) = -00 nên tồn tại a < 0 để P(a) < 0 và lim P{x) = +00
'
x—
>+00
nên tồn tại b > 0 để P(b) > 0
- Xét ao < 0 thì tương tự lim P{x) = +00 nên tồn tại a < 0 để P(a) > 0 và
X-+-00
lim P{x) = -00 nên tồn tại b > 0 để P(b) < 0.
x->+X)

Do đó trong 2 trường hợp thì luôn có P(a). P(b) < 0 nên phương trình bậc lẻ
P(x) =0 luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm.
Cách khác: chia 2 vổ cho hệ số khác 0 là ao để còn 1 trường hợp.
Kết quả; phương trình bậc 3 luôn luôn có nghiệm.
Bài toán 3.8: Chứng minh phuxmg trình ax^ + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm với
mọi tham số thỏa mãn: 5a + 4b + 6c = 0.
Giải
Xét f(x) - ax^ + bx + c , khi dó f(x) liên tục trên R
Ta có f(0) = c, f(2) = 4a + 2b +c, f { —) = —+ —+ f
nên f(0) + 4. / ( - ) + f(2) = 5a + 4b + 6c = 0
do đó tồn tại 2 giá trị p, q e Ịo; —;2 | thoả j \ p ) . f { q ) < 0
nên phương trinh luôn luôn có nghiệm với mọi tham số a,b,c.

Bài toán 3.9: Chứng minh rằng phương trình x^ + X + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm
âm lớn hơn -1.
Giải
Hàm số f(x) ==x^ + X + 1 liên tục trên đoạn [-1; 0].
Ta có f(-l) = -1 và f(0) = 1. Vì f(-l) f(0) < 0 nên tồn tại ít nhất một điểm c 6 (-1; 0)
sao cho f(c) = 0 vì c > -1 nên đó là nghiệm âm lớn hơn -1 của phương ữình đã cho.
Bài toán 3.10: Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm:
a.sinSx + b.cos2x + c.cosx + sinx = 0 với mọi a,b,c.
Giải:
Xét hàm số f(x) = a.sin3x + b.cos2x + c.cosx + sinx, khi đó f(x) liên tục trên R.
23


Ta có f(0) = b+ c, f( —)= - a- b+ 1, f(7ĩ) = b - c, f( — )= a - b - 1
nên f(0) + f( —) + f(7ĩ) + f( — ) = 0 với mọi a,b,c

Do dó ,ôn „ i 2 giá trị

. | o ; f ; . ; f Ị dtoá n p ) . m . 0

nên phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi tham số a,b,c.
Bài toán 3.11: Chứng minh phương trình:
mx'* + 2x“ -

X

- m = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với mọi m.
Giải'.
7

Xét m = 0; PT; 2x - x = 0<=>x = 0 hoặc
Xét m

X

1
= —: có 2 nghiệm .

2 2 1
0: phương trình X + — X - — X - 1 = 0
m
m

Đặt f { x ) = x ‘^ + — x^
m

^- x - \ thì f liên tục trên D = R
m

Vì lim f(x) = +c» => 3 a < 0 để f(a) > 0, f(0) = -1 < 0
X -^-co

Vì lim f(x) = +oo=í> 3ị3 > 0 để f(P) > 0
X -^+ co

Nên f(a).f(0) < 0 và f(0).f(P) < 0
Vậy phương trình luôn luôn có 2 nghiệm với mọi m.
Bài toán 3.12: Chứng minh phương trình: 2x^ - 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Giải

Đặt f(x) = 2x^ - 6x + 1 thì f liên tục trên R
Chọn f(-2) = -3, f(0) = 1, f(l) = -3, f(2) = 5,
Do đó f(-2).f(0) < 0; f(0) ,f(l) <0 và f(l).f(2) <0.
Nên phương trình có 3 nghiệm thuộc 3 khoảng rời nhau:
( - 2 ; 0 ) ,( 0 ; l ,v à ( l ; 2 ) .
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Bài toán 3.13: Chứng minh phương trình: x^ - 5x^ + 4x - 1 = 0 có 5 nghiệm phân biệt.
Giải:

Xét hàm sổ f(x) = x^ - 5x^ + 4x - 1 , khi đó f(x) liên tục trên R.
Ta có f<-2) = - 1 , f ( - | )

, f(0) = - l , f ( i ) = ^

Do đó f(-2 ).f(-| )<0; ị - ị ).f(0) <0; f(0).f(i) <0;
24

, f(l) = - 1 , f(3 )= 119

).fỊl) <0; f(l).f(3) = -119 <0.


Bài toán 3.14: Cho phưong trình x'" +1 = 4x'^^fx" -1 . Tìm số n nguyên dưoTig
bé nhất dế phưong trình có nghiệm.
Giải

Ta có diều kiện x" - 1 > 0. Ncu n lé thi X > 1, còn nếu n chẵn, khi phương trinh
có nghiệm thì phái có nghiệm X > 1. Do dó ta chi cần xét X > 1.
Áp dụng bất dẳng thức Côsi
+1 = (x ' +]){x^ - x ' + l) = (x ' + l)(.v '(x ' -1 ) + 1)

> 2x" .2x’ .^|x'' -1 = 4 x '

x' - 1

> 4x ’ .Vx' - 1 > 4x‘' .^|X' - 1 > 4 x ' .^Jx -1
do dó phương trình không có nghiệm khi n

1,2,3,4.

Xét n = 5, phưtmg trình trở thành x '“ + 1 = 4x ' ^Ịx' - 1
Đặt / (x) = x'" + 1- 4x'^ ylx’’ -1 , khi dó í'(x) liên tục trên {1; 100)
'la có l'( 1) = 2 > 0, /(-^-) = ( ^)'^ +1 - 4( ^ ) ' - 1

<0

nên f(x) có nghiệm X > 1.
Vậy giá trị n nguyên dưcrng bé nhất cần tìm là n 5.
BÀI T Ậ P
Bài tập 3.1: Xét sự liên lục của hàm so
X a) ,/(x)

khi X ^ 1

x -1
2
1

X- 2
b) g(x) =
1

X

.
tại x„

1

khi X = 1
khi X <1
tại X

1

khi x> 1
ỈID -D S

a) lim f(x) =lim (x^ ( X I 1) ÍỂ f(l): gián đoạn lại X(, ^ 1
X ♦!

\

*\

b) lim ^ ( x ) = -1 = lim )í(x)
V >r

\

g( 1) nên liên tục lại X

1.

>1

Bài tập 3.2: (?hímg minh các hàm so sau liên lục Ircn tập xác dịnh:
(2x + l)sin X - c o s \ \
a) l( x ) - ^
.
Xsin X

x’ + X- 2
b)g(x)

X7 x -3

khi X > 1
khi X <
25


lỉD -Đ S

a) Hàm số liên tục trên D = R \ {kĩi / k e Z}.
b) Hàm số g liên tục trên R.
Bài tập 3.3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại X = 2.
V x + 2 -2
x ^ -3 x + 2
khi X < 2
a) f(x) =
x --2 x

b )g (x ) = V ^ - 3
mx + m +1 khi X > 2
X " -3 m x

khi

X

Ti 2

k h ix = 2

ÍỈD -Đ S

a) Hàm f liên tục tại

X

= 2 khi và chỉ khi

lim f{x)= lim f(x )= f(2) o
v-»2"'

3m + 1 = - <=> m =

x->2'

b) Hàm g liên tuc tai

2

X

= 2 <=> lim ^(x) = ^(2)
•'->2

6

.

m=— .
12

Bài tập 3.4: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi a,b,c:
ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0
lỉD -Đ S

Đặt f(x) = V 'r thì f liên tục trên D= R
Chọn f(a).f(b).f(c) = -a^b“c^

(b-c)" (c-a)^ < 0

Và f(0) = a^b^ +- b^c^ -t- a^c^ > 0 .
Bài tập 3.5: Chứng minh phương trình x^ - 3mx^ + 4(m-2)x + 1- 9m= 0 luôn luôn
có nghiệm với mọi m
IID -D S

Giới hạn hàm số VT là - 00 và + 00 khi X lần lượt tiến đến - 00 và + 00 .
Bài tập 3.6: Chứng minh phương trình ax^ + bx f c = 0 luôn luôn có nghiệm với
+ — = 0 ,/ « > 0 .

mọi tham sổ a,b,c thỏa mãn: —- — +
m +2 m +\ m
IID -Đ S

Xét f(x) = ax^ + bx + c , khi đó f(x) liên tục trên R,

-c
Chọn f(0) = c và / ( - - “ ) =
'w + 2 ' m{m + 2)
Bài tập 3.7: Chứng minh phương trinh x^ -

m+\

.......... 'm + 2
X-

lỉD -Đ S

Dùng thêm bất đẳng thức Côsi.
26

-c
m{m + 2)

2 = 0 có nghiệm

X()

<

0.

e (ịÍ2 ; 2).