Tài liệu Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Schur docx

1

Cao Văn Dũng
SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN




Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur



Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để
giải toán, nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi mới được áp dụng.
Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh, mong bạn đọc có them nhiều
cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết trở nên phong phú hơn.

Ta có bài toán bất đẳng thức Schur: Với các số thực không âm a,b,c ta luôn có bất
đẳng thức sau:
( )( ) ( )( ) ( )( )
0≥−−+−−+−− bcaccabcbbcabaa
.
CM:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba ≥≥
.
Đặt
0;0 ≥−=≥−= cbybax
nên bất đẳng thức được viết lại thành:
( ) ( ) ( ) ( )

.0≥+++++−+ yxxyxcxyycyyxc

( )
( )
02
222
≥++++⇔ yxxyxyxc luôn đúng do x,y,c là các số không âm.
Dấu “=” xảy ra khi
cba ==
hoặc
0; == cba
hoặc các hoán vị của nó.

Cách 2:
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba ≥≥
.
TH: 2 trong 3 số a,b,c bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
TH:
cba >>
ta chia vế trái bất đẳng thức cho
( )( )( )
0>−−− cacbba
nên bất đẳng thức
tương đương:
0>
−
+
−
−

− ba
c
ca
b
cb
a
bất đẳng thức trên luôn đúng do
.
0
0
ca
b
cb
a
cacb
ba
−
>
−



⇒
−<−<
>>


Cách 3: (Khảo sát hàm)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba ≥≥

.
Bất đẳng thức trên được viết lại:
( ) ( ) ( )
.03
333
≥+−+−+−+++ accacbbcbaababccba .
Ta xét hàm số sau:
( ) ( ) ( )
accacbbcbaababccbaaf +−+−+−+++= 3)(
333

2
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
02222
22222233)(
2222222'
≥−+−++−=−+−−−++−=
−+−+−+−=−−−−+=
cbccababacbcbacbaababa
cbcacbcababacacbabbcaxf
Nên
)(xf
đồng biến
Nên
( ) ( ) ( ) ( )
.023

2
23
≥−=+−+=≥ caccaaccacbfaf

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Cách 4: (Đánh giá)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử
cba ≥≥
.
Khi đó ta có:
( )( )
0≥−− bcacc
.
Ta xét:
( ) ( ) ( )( )
0
22
≥−+−=+−−=−−− cbababcbacacbbcaa .

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
00 ≥−−+−−⇔≥−−−−−⇒ abcbbcabaabacbbcabaa
.
Vậy cộng 2 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh .

Cách 5: (Dồn biến)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử
.cba ≤≤

Ta xét hàm số :

( ) ( ) ( ) ( )
accacbbcbaababccbacbaf +−+−+−+++= 3,,
333

Ta có
( ) ( ) ( )
.
2
,
2
,,,0
4
5
2
,
2
,,,
2






++
≥⇒≥−







−+=






++
−
cbcb
afcbafcbacb
cbcb
afcbaf

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta chỉ cần chứng minh
( )
0,, ≥bbaf

Mà
( ) ( )
.02,,
2
223
≥−=−+= baabaababbaf

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh xong.

Tài liệu tham khảo.

[1]. Phạm Kim Hùng, 2006, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức.
[2]. Cao Văn Dũng,

Nhiều cách để chứng minh cho bất đẳng thức Schur, Tạp chí toán
học tuổi thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD.