on tap ly thuyet toan lop 12

ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN HKII
I) Hình Học Không Gian Tọa Độ
Câu 1: - Để viết phương trình mặt cầu ta cần phải biết những yếu tố nào?
Ta cần phải biết tọa độ của tâm và bán kính của mặt cầu
- Hãy nêu pt mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R?
2
2
2
Pt: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2
Câu 2: Phương trình dạng x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 là pt mặt cầu khi nào? Tìm
tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu?
Pt trên là pt mặt cầu khi a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ; mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính

R = a 2 + b2 + c2 − d
Câu 3: Phương trình mặt cầu dạng x 2 + y 2 + z 2 + mx + ny + tz + d = 0 có tọa độ tâm I là gì?
bán kính mặt cầu tính theo công thức nào?
2

2

2

m n t 
m  n   t 
Tâm I  ; ; ÷ và bán kính R =  ÷ +  ÷ +  ÷ − d
 −2 −2 −2 
 −2   −2   −2 

uuu
r

Câu 4: - Hãy nêu công thức tính tọa độ của AB ( vectơ AB)

uuu
r
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )

- Hãy nêu công thức tính độ dài của
ur
a = a12 + a22 + a32

ur
a = ( a1 ; a2 ; a3 )

ur
uur
- Hãy nêu công thức tính tích vô hướng của hai vectơ n1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) và n2 = ( a2 ; b2 ; c2 ) ?
ur uu
r
Hoành nhân hoành cộng tung nhân tung cộng cao nhân cao ( n1.n2 = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 )

ur
uur
Câu 5: - Hãy nêu công thức tính góc giữa hai vectơ n1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) và n2 = ( a2 ; b2 ; c2 )

ur uur
ur uur
ur uur
n1.n2
a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
shift cos

cos n1 , n2 = ur uur =
 → n1 , n2 = ......
2
2
2
2
2
2
n1 . n2
a1 + b1 + c1 . a2 + b2 + c2

(

)

(

)

- Hãy nêu công thức tính góc giữa hai đường thẳng a và b có VTCP lần lượt là

ur
uur
n1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) và n2 = ( a2 ; b2 ; c2 ) ?

Gọi

ϕ là góc giữa hai đường thẳng a và b

ur uu

r
cosϕ = cos n1 , n2 =

(

)

a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
a12 + b12 + c12 . a22 + b22 + c22


Câu 6: - Hãy nêu công thức tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ?
x A + xB + xC

 xG =
3

y A + yB + yC

 yG =
3

z A + zB + zC

 zG =
3


- Hãy nêu công thức tính tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB?
x +xB


xM = A

2

y
+y B

yM = A

2

z +z B

zM = A

2


Câu 7: - Để viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ta cần biết những yếu tố nào?
Ta cần phải biết tọa độ của một điểm đi qua và tọa độ của một vectơ pháp tuyến
- Hãy nêu phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và vectơ
r
pháp tuyến n = ( A; B; C ) ?
PT mặt phẳng: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0
Câu 8: - Hãy nêu điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau?

ur uu
r

ur uu
r

Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng không ( n1.n2 = 0 với n1 , n2 là vectơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng)
Câu 9: - Hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng
( α ) có PT :Ax + By + Cz + D = 0

d ( M ,( α ) ) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

Câu 10: - Cho 2 mp ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ( A2 , B2 , C2 ≠ 0 )
Hãy nêu đk để hai mp cắt nhau? song song? Trùng nhau?
A1 B1
A1 C1
B1 C1
≠
≠
≠
hoặc
hoặc
A2 B2
A2 C2
B2 C2
A B C
D
(α) / /( β ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C2 D2

A B C
D
(α) ≡ ( β ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1
A2 B2 C2 D2

( α ) và ( β ) cắt nhau

⇔

Câu 11: - Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần biết những yếu tố
nào?
Ta cần phải biết tọa độ của một điểm đi qua và tọa độ của một vectơ chỉ phương
- Hãy nêu phương trình tham số và pt chính
r tắc của đường thẳng đi qua
điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và vectơ chỉ phương u = ( u1 ; u2 ; u3 ) ?

x = x0 +u1t
x − x0 y − y0 z − z0

=
=
( dk : u1 , u2 , u3 ≠ 0 )
PTTS: y = y0 +u2t ; PT chính tắc:
u1
u2
u3
z = z +u t
0
3


Câu 12: Cho 2 đường thẳng d và d’ có pt:
x = x0/ +u1/ t /
x = x0 +u1t


d : y = y0 +u2t và d ' : y = y0/ +u 2/ t /
z = z +u t

/
/ /
0
3

z = z0 +u3t
Xét vị trí tương đối giữa d và d’
Ta kiểm tra 2 vtcp có cùng phương với nhau hay ko?
-

ur
uu
r
u
=
ku
Nếu hai vtcp cùng phương 1
và điểm M thuộc d cũng thuộc d’ thì d và
2

(

d’ trùng nhau.

(

ur

)

uu
r

)

- Nếu hai vtcp cùng phương u1 = ku2 và điểm M thuộc d nhưng không thuộc d’ thì
d và d’ song song nhau.

ur
uu
r
u
≠
ku
- Nếu hai vtcp không cùng phương 1
2 ∀k ∈ R và hpt :

(

)

x0 +u1t = x0/ +u1/ t /

/
/ /
y0 +u2t = y0 +u2t vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau

/
/ /
z0 +u3t = z0 +u3t

(

ur

uu
r

)

- Nếu hai vtcp không cùng phương u1 ≠ ku2 ∀k ∈ R và hpt :

x0 +u1t = x0/ +u1/ t /

/
/ /
y0 +u2 t = y0 +u2t có một nghiệm duy nhất thì d và d’ cắt nhau tại H(....)

/
/ /

z0 +u3t = z0 +u3t
Câu 13: Cho đường thẳng d và mp ( α )
x = x0 +u1t

d : y = y0 +u 2t ( 1) và ( α) :Ax +By +Cz +D =0
z = z +u t
0
3


( 2)

Hãy nêu cách tìm số giao điểm giữa d và ( α ) ?

Thay pt đt d vào pt mp ( α ) ( thay (1) vào (2)) ta đươc pt ẩn t

- Nếu pt vô nghiệm thì d và ( α ) không có điểm chung (d và ( α ) song song nhau)
- Nếu pt có 1 nghiệm thì d và ( α ) có 1 điểm chung (d và ( α ) cắt nhau tai H(...))
- Nếu pt vô số nghiệm thì d và ( α ) có vô số điểm chung (d nằm trong ( α ) )

Câu 14: - Hãy nêu cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mp ( α )

+ Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc ( α ) ( d có vtcp là vtpt của ( α ) ). Viết
ptts của đường thẳng d
+ Gọi H là giao điểm giữa d và ( α ) , tìm tọa độ điểm H. Khi đó H là hình chiếu
vuông góc của M lên ( α ) .

- Hãy nêu cách tìm điểm đối xứng của M qua mp ( α ) ?

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( α )

+ Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua ( α ) , khi đó H là trung điểm của MM’. Tìm
tọa độ M’ dựa vào công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng.


Câu 15: - Hãy nêu cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d
+ Gọi ( α ) là mặt phẳng qua M và vuông góc d ( ( α ) có vtpt là vtcp của d). Viết pttq
của mặt phẳng ( α )

+ Gọi H là giao điểm giữa d và ( α ) , tìm tọa độ điểm H. Khi đó H là hình chiếu
vuông góc của M lên đường thẳng d.
- Hãy nêu cách tìm điểm đối xứng của M qua đường thẳng d?
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.
+ Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua d, khi đó H là trung điểm của MM’. Tìm tọa
độ M’ dựa vào công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng.
Câu 16: - Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
ur uuu
r uuur


n
=
AB
Ta chọn điểm đi qua là A ( hoặc B hoặc C) và vectơ pháp tuyến
 , AC  hoặc
ur uuu
r uuur
ur uuu
r uuur
n =  AB, BC  hoặc n =  BA, BC  .......

- Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó mặt phẳng trung trực có điểm đi
uuu
r
qua là I có và vectơ pháp tuyến là AB
- Hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S )
tại điểm M ?
uuur
Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu, khi đó mặt phẳng ( α ) đi qua M và có vtpt là IM
Câu 17: Khi viết pt mp ta cần lưu ý:
- VTpt của mp là vectơ có giá vuông góc với mp
- Hai mặt phẳng song song nhau thì vtpt của mp này cũng là vtpt của mp kia
- Đường thẳng vuông góc với mp thì vtcp của đường thẳng là vtpt của mặt phẳng.
- Tích có hướng của hai vectơ có giá song song hoặc nằm trong mp sẽ là vtpt của
mp.
- Mp (Oxy) có pt: z = 0; (Oxz) có pt: y = 0; (Oyz) có pt: x = 0
Câu 18: - Hãy nêu cách chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện
+ Viết pt mặt phẳng (BCD)
+ Chứng tỏ điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) ( thế tọa độ điểm A vào pt mp
(BCD) thấy không thỏa). Từ đó suy ra A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện
- Hãy nêu cách tính độ dài đường cao của hình chóp A. BCD ?
Độ dài đường cao của hình chóp A. BCD bằng khoảng cách từ A đến mp (BCD)
Câu 19: - Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB?
+ Gọi I là trung điểm AB, tìm tọa độ điểm I
+ Tính độ dài đoạn thẳng AB
+ Khi đó mặt cầu sẽ có tâm là I và bán kính R =

AB
2

- Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua điểm M ?
+ Tính độ dài AM
+ Khi đó mặt cầu có tâm là A và bán kính R = AM
- Hãy nêu cách viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt
phẳng ( α ) ?

Tính khoảng cách từ I đến mp ( α ) . Khi đó mặt cầu có tâm I và bán kính
R = d ( I,( α ) )


Câu 20: - Hãy nêu cách viết ptts của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?
uuu
r
Đường thẳng AB có điểm đi qua là A hoặc B, vtcp là AB
- Hãy nêu cách viết ptts của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mp ( α ) ?
Đường thẳng có điểm đi qua là A và có vtcp là vtpt của mp ( α )
Câu 21: Khi viết pt của đường thẳng ta cần chú ý
- Hai đường thẳng song song
nhau thì vtcp của đt này cũng là vtcp của đt kia
r
- Trục Ox có vt đơn vị là i = ( 1;0;0 )
ur
- Trục Oy có vt đơn vị là j = ( 0;1;0 )
ur
- Trục Oz có vt đơn vị là k = ( 0;0;1)

II) Nguyên Hàm, tích phân
Câu 22: Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp
thường gặp

∫ 0dx = C
∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

1

1 ( ax + b )
∫ ( ax + b ) dx = a α + 1 + C
1
1
dx
=
∫ ax + b a ln ax + b + C
1
−1 1
∫ ( ax + b ) 2 dx = a . ax + b + C

1

∫e

2

xα +1
+C
α +1

x

dx =

−1
+C
x

∫

x

dx = e + C

x
∫ a dx =

a
+C
ln a

∫

2

x

px + q

1 ax + b
e

+C
a

1 a px + q
dx = .
+C
p ln a
1

∫ cos( ax + b ) dx = a sin( ax + b ) + C
1

∫ sin xdx = − cos x + C
1

e ax + b dx =

∫a

x

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos

α +1

α

∫ x dx = ln x + C

∫x

Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp

∫ sin ( ax + b) dx = − a cos( ax + b) + C
1

1

∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C

dx = tan x + C

2

1
dx = − cot x + C
sin 2 x

∫

1
1
dx
=
−
cot ( ax + b ) + C
a

sin 2 ( ax + b )

Câu 23. Diện tích hình thang cong
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và trục
hoành là.
b

S=

ò f(x) dx
a

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là:


b

S=

ò f(x) -

g(x) dx

a

Câu 24: Bảng đạo hàm
ĐH của những hàm số sơ cấp thường gặp

( C)

/

( x)

= 0;

/

=1

( xα ) = α xα −1
/

( )

/

x

=

1
2 x

/

 1  −1
 ÷= 2
x x
/

 C  −C
 ÷= 2
x
x

( kx )

/

x /

( a x ) = a x .ln a
/

/

=

1
x

1
x.ln a
/
( sin x ) = cos x

( log a x )
( cosx )

/

/

=

= − sin x

1
cos 2 x
−1
/
( cot x ) = 2
sin x

( tan x )

/

α /

( u)

= α .uα −1.u '
/

=

1
2 u

.u '

/

 1  −1
 ÷ = 2 .u '
u u
/

 C  −C
 ÷ = 2 .u '
u
u

( ku )

/

= k .u '

( eu ) = eu .u '

(a )

u /

= ex

( ln x )

(u )

/

=k

(e )

Đạo hàm của hàm hợp

=

/

ad − bc
 ax + b 
=

÷
2
 cx + d  ( cx + d )

( ln u )

= a u .ln a. u '
1
= .u '
u

/

1
.u '
u.ln a
/
( sin u ) = u '.cos u

( log a u )

/

( cosu )

= −u 'sin u

( tan u )

( cot u )

/

/

=
/

=

=

1
.u '
cos 2u

−1
.u '
sin 2 u

( u ± v ) = u '± v '
/
( u.v ) = u ' v + v ' u
/

/

 u  u ' v − v 'u
 ÷=
v2
v


Câu 25. Thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , y = 0 ( trục ox),
x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là
b

V = pò f 2(x)dx .
a

Câu 26. Hãy nêu các cách cơ bản để tính nguyên hàm, tích phân?
Có 4 cách cơ bản:
- Sử dụng bảng nguyên hàm
- Sử dụng pp nguyên hàm từng phần ( pp tích phân từng phần): Phương pháp này
chỉ sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của hai trong 4 lượng:
log, đa, lượng , mũ (đặt u theo nguyen tắc log, đa, lượng , mũ)

∫ udv = uv − ∫ vdu (nếu là nguyên hàm từng phần)
b

b b
∫a udv = uv a − ∫a vdu (nếu là tích phân từng phần)
- Sử dụng pp đổi biến số: ta chỉ sử dụng pp này khi hàm số dưới dấu tích phân có
dạng tích mà nếu đặt t bằng lượng này thì đạo hàm của nó phải xuất hiện lượng
kia hoặc lượng kia biểu diễn được theo t và dt.
- Sử dụng các công thức để biến đổi về 1 trong 3 cách trên chẳng hạn như công
thức:

1
c 
1
 a
=
−
.
và các công thức biến đổi
( ax + b ) . ( cx + d )  ax + b cx + d ÷ ad − bc
khác: như các hằng đẳng thức, các ct lượng giác ......

III) Số Phức

Câu 27. Cho số phức Z = a + bi , hãy nêu phần thực, phần ảo, mô đun và số phức liên
hợp của z
+ Phần thực của z là a
+ Phần ảo của z là b
+ z =

a 2 + b2

Z = a − bi
Câu 28: Số phức Z1 = a + bi và số phức Z 2 = c + di bằng nhau khi nào?
a = c
a + bi = c + di ⇔ 
( phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo)
b = d
+

Câu 29: Hãy nêu cách giải phương trình bậc hai hệ số thực với trường hợp biệt thức

∆ < 0 trên tập số phức

2
Pt bặc hai hệ số thực: ax + bx + c = 0 ( a, b, c ∈ R, a ≠ 0 )

∆ = b 2 − 4ac < 0

⇒ Pt đã cho có hai nghiệm phức:


x=

∆
−b
+
i
2a 2 a

∆
−b
x=
−
i
2a 2 a
Lưu ý nếu ẩn của phương trình là z thì ta phải kết luận nghiệm là z
Câu 30: Hãy nêu cách giải phương trình trùng phương hệ số thực trên tập số phức:
4
2
PT trùng phương ax + bx + c = 0 ( a, b, c ∈ R, a ≠ 0 )

 x = ......
 x 2 = ....  x = ......
4
2
ax + bx + c = 0 ⇔  2
⇔
 x = ....  x = ......

 x = ......

Kết luận: vậy phương trình có ...........

*Lưu ý phương trình trùng phương giải trên tập số phức luôn có 4 nghiệm nếu không
có nghiệm nào bằng 0.
Câu 31: Các điều cần lưu ý về số phức:
* i 2 = −1

* z ≥ 0 ∀z ∈ £ ; z = 0 ⇔ z = 0
* z1.z2 = z1 . z2
* Các căn bậc hai của số thực a âm là: i a và − i a
* Khi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức ta có thẻ sử dụng máy
tính nhưng phải tiến hành từng bước:
• Thực hiện các phép toán nâng lên lũy thừa và trong ngoặc trước.
• Rồi kế đến là nhân chia trước cộng trừ sau
• Nếu là phép chia thì phải có bước nhân liên hợp của mẫu.


IV /LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
I. hàm số lượng giác:
a. Các tính chất :
•

Với mọi α ta có :
−1≤ sinα ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

π
+ kπ , k ∈ Z
2
cotgα xá
c đònh ∀α ≠ kπ

b. Tính tuần hoàn
tanα xá
c đònh ∀α ≠

sin(α + k2π ) = sinα
cos(α + k2π ) = cosα
(k ∈ Z )
tan(α + kπ ) = tanα
cot(α + kπ ) = cotα
II. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
π
π
&− ,
1. Cung đối nhau
: α và-α
(tổng bằng 0)
(Vd:
6
6
…)
π 5π
&
2. Cung bù nhau
: α vàπ -α
( tổng bằng π )
(Vd:
,
6
6

…)
π
π
π π
& ,…)
3. Cung phụ nhau
: α và − α
( tổng bằng )
(Vd:
2
2
6 3
π
π
π 2π
&
4. Cung hơn kém
: α và + α
(Vd:
,…)
2
2
6
3
π 7π
&
5. Cung hơn kém π : α vàπ + α
(Vd:
,…)
6

6
1. Cung đối nhau:
2. Cung bù
nhau :
cos(−α ) = cosα
sin(−α ) = − sinα
tan(−α ) = − tanα
cot(−α ) = − cotα
3. Cung phụ nhau :
π
kém
2
π
cos( − α ) = sinα
2
π
sin( − α ) = cosα
2
π
tan( − α ) = cotα
2
π
cot( − α ) = tanα
2

cos(π − α ) = − cosα
sin(π − α ) = sinα
tan(π − α ) = − tanα
cot(π − α ) = − cotα
4. Cung hơn

π
cos( + α ) = − sinα
2
π
sin( + α ) = cosα
2
π
tan( + α ) = −cotα
2
π
cot( + α ) = − tanα
2


5. Cung hơn kém π :
cos(π + α ) = − cosα
sin(π + α ) = − sinα
tan(π + α ) = tanα
cot(π + α ) = cotα
Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo; hơn kém π tang = tang, cotang = cotang, hơn kém

π
: sin cung lớn
2

= cos cung nhỏ, các giá trị còn lại vừa đơi vừa chéo.
III. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
cos2α + sin2 α = 1

sinα
tanα =
cosα
cosα
cotα =
sinα
1+ tan2α =
1+ cot2α =

1
cos2α
1

sin2 α
tanα . cotα =1
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1. cos4 x + sin4 x = 1− 2sin2 xcos2 x
2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x
2. Công thức cộng :
cos(α + β ) = cosα .cosβ − sinα .sin β
cos(α − β ) = cosα .cosβ + sinα .sin β
sin(α + β ) = sinα .cosβ + sin β .cosα
sin(α − β ) = sinα .cosβ − sin β .cosα
tanα +tanβ
tan(α +β ) =
1− tanα .tan β
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1+ tanα .tan β
3. Công thức nhân đôi:

cos2α = cos2 α − sin2 α
= 2cos2 α − 1

cos 2 α =

1 + cos 2α
2

sin 2 α =

1 − cos 2α
2

= 1− 2sin2 α
= cos4 α − sin4 α
sin2α = 2sinα .cosα
2tanα
tan2α =
1− tan2 α

1
sin α cos α = sin 2α
2
4 Công thức nhân ba:
cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α
4

cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α
4

5. Công thức hạ bậc:
cos 2 α =

1 + cos 2α
;
2

sin 2 α =

6.Công thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan

sinα =

2t
;
1+ t2

cosα =

1 − cos 2α
;
2

tan 2 α =

1 − cos 2α
1 + cos 2α

α
2
1− t2
;
1+ t2

tanα =

2t
1− t2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
 cos(α + β ) + cos(α − β )
2
−1
 cos(α + β ) − cos(α − β )
sinα .sinβ =
2
1
sinα .cosβ = sin(α + β ) + sin(α − β )
2
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cosα .cosβ =

α +β
α −β
cosα + cosβ = 2cos
.cos
2
2
α +β
α −β
cosα − cosβ = −2sin
.sin
2
2
α +β
α −β
sinα + sin β = 2sin
.cos
2
2
α +β
α −β
sinα − sin β = 2cos
.sin
2
2
sin(α + β )
tanα + tan β =
cosα cosβ
sin(α − β )
tanα − tan β =

cosα cosβ

9. Các công thức thường dùng khác:

π
π
cosα + sinα = 2cos(α − ) = 2sin(α + )
4
4
π
π
cosα − sinα = 2cos(α + ) = − 2sin(α − )
4
4

3 + cos 4α
4
5
+
3
cos 4α
cos 6 α + sin 6 α =
8
cos 4 α + sin 4 α =