Ôn tập lý thuyết Toán 12 thi TN

Tài liệu ôn tập TN 12
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN 12
I/ TÓM TẮT MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
A/ Ứng dụng đạo hàm
1. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
• Nếu f’(x) > 0 với mọi x
∈
(a;b) thì hàm số đồng biến trên (a;b)
• Nếu f’(x) < 0 với mọi x
∈
(a;b) thì hàm số nghịch biến trên (a;b)
• Mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu
'( ) 0 ( '( ) 0), ( ; )f x f x x a b≥ ≤ ∀ ∈
và f’(x) = 0
chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b).
2. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng
( )
0 0
;x h x h− +
và có đạo hàm trên khoảng đó (có thể trừ
0
x
). Hàm số đạt cực trị
tại
0
x
nếu và chỉ nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua
0
x
• Đạo hàm đổi dấu từ (+) sang ( - ) thì
0

x
là điểm cực đại
• Đạo hàm đổi dấu từ ( - ) sang (+) thì
0
x
là điểm cực tiểu
• Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
1. Tìm tập xác định
2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Quy tắc 2:
1. Tìm tập xác định
2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu
( 1,2,...)
i
x i =
là các nghiệm của nó.
3. Tính f”(x) và f”(x
i
)
4. Dựa vào dấu của f”(x
i
) suy ra cực trị.
3. Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), ta có
• Đường thẳng y = y
0
là tiệm cận ngang của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
0 0

lim ( ) , lim ( )
x x
f x y f x y
→+∞ →−∞
= =
• Đường thẳng x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
0 0 0 0
lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( )
x x x x x x x x
f x f x f x f x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = −∞ = −∞ = +∞
4. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
• Tìm các điểm
1 2
, ,...,
n
x x x
trên
[ ]
;a b
, tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
• Tính
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )

n
f a f x f x f x f b
• Tìm số lớn nhất M, số nhỏ nhất m trong các giá trị trên. Khi đó
[ ]
[ ]
;
;
max ( ), min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
5. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• Tìm tập xác định
• Sự biến thiên: Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có), tính đạo hàm; lập bảng biến thiên và kết luận về các khoảng đồng biến,
nghịch biến, cực trị.
• Vẽ đồ thị
6. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm
( )
0 0
;M x y
có dạng
0 0 0
'( )( )y y f x x x− = −
(1)
• Dạng 1: Nếu biết tiếp điểm
( )
0 0
;M x y
(hoặc biết
0

x
, hoặc biết
0
y
) tìm hệ số góc tiếp tuyến là
0
'( )f x
và thay vào
công thức (1).
• Dạng 2: Nếu biết hệ số góc tiếp tuyến là k thì gọi
( )
0 0
;M x y
là tiếp điểm, khi đó từ điều kiện
0
'( )f x k=
tìm
0
x
,
0
y

sau đó thay vào công thức (1).
7. Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình bằng cách sử dụng phương trình hoành độ giao điểm.
B/ Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
1. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Giáo viên: Hoàng Ngọc Đính 1
Ti liu ụn tp TN 12
Cho a, b l nhng s thc dng;

,

l nhng s thc tựy ý. Ta cú
.a a a

+
=
,
a
a
a




=
,
( )
.
a a


=
,
( )
.ab a b


=
,

a a
b b




=
ữ

Nu a > 1 thỡ
a a

>
khi v ch khi

>
Nu a < 1 thỡ
a a

>
khi v ch khi

<
o hm:
( )
'
1
x x

=
, vi HS hp u = u(x) thỡ
( )
'
1
. 'u u u



=
. B:
( )
( )
( )
'
1
.ax b ax b a



+ = +
2. Lụgarit

log
a
b a b


= =

(
, 0, 1a b a>
)
Tớnh cht
log
log 1 0, log 1, , log ( )
a
b
a a a
a a b a


= = = =
Quy tc tớnh (cỏc iu kin c tha món)
1 2 1 2
log ( ) log log
a a a
b b b b= +
,
1
1 2
2
log log log
a a a
b
b b
b
=
,
1

log log
a a
b
b
= , log log
a a
b b


= ,
1
log log
n
a a
b b
n
=
i c s
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
,
1

log
log
a
b
b
a
=
,
1
log log
a
a
b b


=

10
log b
vit l
log b
hoc
lg b
(lụgarit thp phõn)

log
e
b
vit l
ln b

(lụgarit t nhiờn)
3. o hm cỏc hm s
Hm s cp Hm s hp
( )
'
1
x x



=
'
2
1 1
x x

=
ữ

( )
'
1
2
x
x
=
( )
'
1
. 'u u u

=
'
2
1 'u
u u

=
ữ

( )
'
'
2
u
u
u
=
( )
'
x x
e e=
( )
'
ln
x x
a a a=
( )

'
'
u u
e e u=
( )
'
ln . '
u u
a a a u=
( )
'
1
ln x
x
=
( )
'
1
log
ln
a
x
x a
=
( )
'
'
ln
u
u

u
=
( )
'
'
log
ln
a
u
u
u a
=
4. Phng trỡnh m, phng trỡnh lụgarit
Phng trỡnh m c bn
Phng trỡnh
( 0, 1)
x
a b a a= >
b > 0
Cú nghim duy nht
log
a
x b=
0b

Vụ nghim
Cỏch gii mt s phng trỡnh m n gin: a v cựng c s, t n ph, lụgarit húa.
Dng 1. Cựng c s

f(x) g(x)

a = a f(x) = g(x), (a > 0,a 1)
Dng 2. Phng phỏp t n ph
Loaùi 1:
2 ( ) ( )
. . 0
u x u x
A a B a C
+ + =
ẹaởt aồn phuù:
( )
, 0
u x
t a t= >
Giỏo viờn: Hong Ngc ớnh 2
Tài liệu ơn tập TN 12
Loại 2:
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
( )
. . . . .
u x u x u x u x u x
u x
B
A a B a C A a C A a B C a
a
−
+ = ⇔ + = ⇔ + =
Đặt ẩn phụ:
( )
, 0
u x

t a t= >
Loại 3:
2 2
2 2
2 2
.( ) .( . ) .( ) 0(*)
: (*) .( ) .( ) 0
: (*) .( ) .( ) 0
x x x
x x x
x x x
A a B a b C b
b b
Chia cho a A B C
a a
a a
Chia chob A B C
b b
+ + =
⇔ + + =
⇔ + + =
(chia hai vế cho
2x
a
hoặc
2 x
b
chuyển về loại 1)
Dạng 3. Lơgarit hóa
Biến đổi phương trình về dạng

( )
( ) ( )
( ) log . ( ),( 0, 1, 0, 1)
f x g x
a
a b f x b g x a a b b= ⇔ = > ≠ > ≠
• Phương trình
log ( 0, 1)
a
x b a a= > ≠
ln có nghiệm duy nhất
b
x a=
với mọi b
• Cách giải một số phương trình lơgarit đơn giản: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa
Dạng 1. Cùng cơ số
( ) 0,( ( ) 0)
log ( ) log ( ) ,(0 1)
( ) ( ).
a a
f x g x
f x g x a
f x g x
> >

= < ≠ ⇔

=

Dạng 2. Đặt ẩn phụ

2 2
log ( ) log ( ) 0 ( 0; 1), ( ) ; log ( ) 0
a a a
f x f x a a f x o t f x t t
α γ α β γ
+ + = > ≠ > = ⇒ + + =
5. Bất phương trình mũ, bất phương trình lơgarit
• Bất phương trình mũ cơ bản
x
a b>
Tập nghiệm
1a >
0 1a< <
0b
≤
R R
0b >
( )
log ;
a
b +∞
( )
;log
a
b−∞
x
a b>
Tập nghiệm
1a
>

0 1a
< <
0b ≤ ∅ ∅
0b
>
( )
;log
a
b−∞
( )
log ;
a
b +∞
• Bất phương trình mũ đơn giản: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ.
• Bất phương trình lơgarit cơ bản
log
a
x b>
1a
>
0 1a
< <
Nghiệm
b
x a>
0
b
x a< <
log
a

x b<
1a
>
0 1a
< <
Nghiệm
0
b
x a< <
b
x a>
• Bất phương trình lơgarit đơn giản: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ.
C/ Ngun hàm, tích phân và ứng dụng
1.
'( ) ( ) ( )F x f x x K F x= ∀ ∈ ⇔
là nguyên hàm của
( )f x
trên K
2. Bảng các ngun hàm
dx x C= +
∫
( )
1
x
x dx C 1
1
α+
α
= + α ≠ −
α +

∫
dx
ln x C
x
= +
∫
x x
e dx e C= +
∫
x
x
a
a dx C
lna
= +
∫
kdx kx C= +
∫
( )
( )
( )
1
ax b
1
ax b dx C 1,a 0
a 1
α+
α
+
+ = + α ≠ − ≠

α +
∫
( )
dx 1
ln ax b C a 0
ax b a
= + + ≠
+
∫
ax b ax b
1
e dx e C
a
+ +
= +
∫
( ) ( )
1
cos ax b dx sin ax b C
a
+ = + +
∫
Giáo viên: Hồng Ngọc Đính 3
Tài liệu ơn tập TN 12
cosxdx sinx C= +
∫
sinxdx cosx C= − +
∫
2
dx

tgx C
cos x
= +
∫
2
dx
cotgx C
sin x
= − +
∫
( ) ( )
1
sin ax b dx cos ax b C
a
+ = − + +
∫
( )
( )
2
dx 1
tg ax b C
cos ax b a
= + +
+
∫
( )
( )
2
dx 1
cotg ax b C

sin ax b a
= − + +
+
∫
3. Phương pháp tính ngun hàm
* Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Nếu
( ) ( )f u dx F u C= +
∫
thì
[ ( )]. '( ) [ ( )]. [ ( )] [ ( )]f u x u x dx f u x d u x F u x C= = +
∫ ∫
* Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
Phương pháp:
-Biểu diễn
( )f x dx
về dạng tích
. 'udv u v dx
=
+ Chọn
u
sao cho
du
dễ tính.
+ Chọn
dv
=v’.dx sao cho dễ tính

v
.
+ Áp dụng công thức.
Loại 1:
Dạng
sin( )
cos( )
( ).
tan( )
ax b
ax b
ax b
P x dx
ax b
e
+
+
 
 
+
 
 
+
 
 
∫
(
( )P x
là đa thức) Đặt
sin( )

cos( )
( ),
tan( )
ax b
ax b
ax b
u P x dv dx
ax b
e
+
+
 
 
+
 
= =
 
+
 
 
Loại 2:
Dạng
( ).lnP x xdx
∫
(
( )P x
là đa thức)
Đặt
ln , ( )u x dv P x dx= =
4. Tích phân

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
với
( )F x
là một nguyên hàm của
( )f x
trên đoạn [a;b]
5. Một số tính chất
*Chú ý:
( ) 0; ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx= = −
∫ ∫ ∫
*Các tính chất cần nhớ
) . ( ) . ( ) ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )
b b a a b b c c
a a a a a a b a
a k f x dx k f x dx b f x g x dx f x dx g x dx c f x dx f x dx f x dx= ± = ± + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
*Dạng
( )
b
a
f x dx

∫
ta thực hiện các bước sau:
- Giải phương trình f(x) = 0 trên
[ ]
;a b
, giả sử có các nghiệm
1 2 1 2
, (saocho )
α α α α
<
- Khi đó
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
α α α α
α α α α
= + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
6. Phương pháp tính tích phân
*Dùng phương pháp đổi biến số tính tích phân
*Loại 1. Đặt u = u(x)
⇒
du = u’(x).dx
x = a
⇒
u = u(a) và x = b
⇒

u = u(b)
Giáo viên: Hồng Ngọc Đính 4
Tài liệu ôn tập TN 12
Khi đó
( ) ( ) ( )
( )
( )
'
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du= 
 
∫ ∫
*Loại 2. Tính
( )
b
a
f x dx
∫

Đặt x = u(t)
⇒
dx = u’(t).dt
x = a
⇒
a = u(t)
⇒
t =
α

x = b
⇒
b = u(t)
⇒
t =
β
Khi đó
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f u t u t dt
β
α
=
∫ ∫
*Dùng phương pháp tích phân từng phần
Công thức tích phân từng phần:
( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )
b b
b
a
b a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
hoặc
b b
b
a
a a

udv uv vdu= −
∫ ∫
7. Diện tích hình phẳng
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b là
b
a
S= ( )f x dx
∫
Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
- Giải phương trình f(x) = 0 trên
[ ]
;a b
, giả sử có các nghiệm
1 2 1 2
, (saocho )
α α α α
<
- Khi đó
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

α α α α
α α α α
= + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
*Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành ta giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) =
0, giả sử có các nghiệm
, , ,a b c d
với
a b c d< < <
, khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d b c d b c d
a a b c a b c
S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx= = + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b là
b
a
S= ( ) ( )f x g x dx−
∫
Để tính
b
a
S= ( ) ( )f x g x dx−
∫
làm tương tự trên.
*Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) -
g(x) = 0, giả sử có các nghiệm
, , ,a b c d
với

a b c d
< < <
, khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
d b c d
a a b c
b c d
a b c
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx f x g x dx
= − = − + − + −
= − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
8. Thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, các
đường thẳng x = a, x = b xoay quanh trục Ox là
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
D/ Số phức
1. Số phức là những số có dạng z = a + bi với
2
, , 1a b R i∈ = −
a gọi là phần thực, b là phần ảo, C là tập hợp các số phức

2. Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.
Giáo viên: Hoàng Ngọc Đính 5
Tài liệu ôn tập TN 12

a c
a bi c di
b d
=

+ = + ⇔

=

3. Môđun của số phức z = a + bi là
2 2
z a bi a b= + = +
4. Số phức
z a bi= −
là liên hợp của số phức z = a + bi
TC:
z z=
và
z z=
5. Các phép toán trên số phức
•
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i+ + + = + + +
•
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i+ − + = − + −

•
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + +
•
( ) ( )
2 2
a bi c di
a bi
c di c d
+ −
+
=
+ +
với
0c di+ ≠
6. Các căn bậc hai của số thực a âm là i a±
7. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
với
, , , 0a b c R a∈ ≠
. Xét biệt thức
2
4b ac∆ = −
• Khi
0
∆ =
, phương trình có một nghiệm thực
2

b
x
a
= −
• Khi
0
∆ >
, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
• Khi
0
∆ <
, phương trình không có nghiệm thực. Trong tập hợp các số phức
∆
< 0 có các căn bậc hai là
i± ∆
. Khi đó
phương trình có hai nghiệm phức xác định bởi công thức
1,2
2
b i
x
a
− ± ∆

=

E/ Khối đa diện
1. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó
2. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
V Bh
=
3. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là
1
3
V Bh=
F/ Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Tên khối tròn xoay Thể tích Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần
Khối cầu bán kính r
3
4
3
V r
π
=
2
4 r
π
Khối trụ có bán kính đường tròn đáy r và
chiều cao h
2
V Bh r h
π
= =
2 rh

π
( )
2 r h r
π
+
Khối nón có bán kính đường tròn đáy r và
chiều cao h, đường sinh l
2
1 1
3 3
V Bh r h
π
= =
2 2
rl r r h
π π
= +
(
)
2 2
r r r h
π
+ +
G/ Phương pháp tọa độ trong không gian
1. Tọa độ của điểm và của vectơ
• Vectơ
u
r
có tọa độ (x; y; z)
u xi y j zk⇔ = + +

r r r r
• Điểm M có tọa độ (x; y; z)
OM xi y j zk⇔ = + +
uuur r r r
• A
( )
; ;
A A A
x y z
và B
( )
; ;
B B B
x y z
thì
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
và
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
uuur
, tọa độ trung điểm M của AB là M
; ;
2 2 2
A B A B A B

x x y y z z+ + +
 
 ÷
 
Giáo viên: Hoàng Ngọc Đính 6
Tài liệu ôn tập TN 12
•
( ; ; )u a b c=
r
thì
2 2 2
u a b c= + +
r
•
2. Tích vô hướng và tích có hướng
Cho
( ) ( )
; ; , '; '; 'u x y z v x y z= =
r r
• Tích vô hướng của
,u v
r r
là số
. . ' . ' . 'u v x x y y z z= + +
r r
• Tích có hướng của
,u v
r r
là vectơ
, ; ;

' ' ' ' ' '
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
 
=
 ÷
 
 
r r
. Vectơ
,u v
 
 
r r
vuông góc với
,u v
r r

• Một số tính chất: a)
. 0u v u v⊥ ⇔ =
r r r r
; b)
,u v
r r
cùng phương
u kv⇔ =
r r

( )
0v ≠
r r
3. Phương trình mặt cầu
• Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R là
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
• Phương trình có dạng
2 2 2
x 2Ax 2 2 z 0y z By C D+ + + + + + =
, với điều kiện
2 2 2
A B C D+ + >
là phương trình
mặt cầu tâm
( )
; ;A B C− − −
và bán kính
2 2 2
R A B C D= + + −
4. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng đi qua điểm (x
0
; y
0
; z
0
) với vectơ pháp tuyến (A; B; C) có phương trình:

( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
• Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với
2 2 2
A 0B C+ + >
là phương trình của mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
( )
; ;n A B C=
r

5. Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r
. Khi đó:
• Phương trình tham số của d là
0
0
0
x x at

y y bt
z z ct
= +


= +


= +

• Phương trình chính tắc của d (khi abc
≠
0) là
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
6. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Nếu
( )
: z 0Ax By C D
α
+ + + =
có VTPT
n
r
và
( )
' : ' ' 'z ' 0A x B y C D

α
+ + + =
có VTPT
'n
ur
thì
•
( ) ( )
; '
α α
cắt nhau khi và chỉ khi
'n kn≠
r ur
(tức là
: : ': ': 'A B C A B C≠
)
•
( ) ( )
; '
α α
song song khi và chỉ khi
'
D'
n kn
D k

=


≠



r ur
(tức là
' ' ' '
A B C D
A B C D
= = ≠
)
•
( ) ( )
; '
α α
trùng nhau khi và chỉ khi
'
D'
n kn
D k

=


=


r ur
(tức là
' ' ' '
A B C D
A B C D

= = =
)
•
( ) ( )
; '
α α
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
. ' . ' . ' 0A A B B C C+ + =
7. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Nếu đường thẳng d:
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

đi qua điểm M
0
( )
0 0 0
; ;x y z
có vectơ chỉ phương

u
r
và đường thẳng d’:
0 1
0 2
0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x x t a
y y t a
z z t a
= +


= +


= +

có
vectơ chỉ phương
'u
ur
thì:
• d, d’ song song khi và chỉ khi
0
'
'
u ku

M d

=


∉


r ur
Giáo viên: Hoàng Ngọc Đính 7
Tài liệu ôn tập TN 12
• d, d’ trùng nhau khi và chỉ khi
0
'
'
u ku
M d

=


∈


r ur
• d, d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t’ sau
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '

' ' '
' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
+ = +


+ = +


+ = +

có đúng một nghiệm. Giả sử hệ có nghiệm
( )
0 0
; 't t
, để tìm giao điểm M
0
của d và d’ ta thay
0
t
vào phương trình tham số của d hoặc thay
0
't
vào phương trình d’.
• d, d’ chéo nhau khi và chỉ khi
'u ku≠
r ur
và hệ phương trình

0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
' ' '
' ' '
' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
+ = +


+ = +


+ = +

vô nghiệm.
8. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho
( )
: z 0Ax By C D
α
+ + + =
và đường thẳng d:
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta

z z ta
= +


= +


= +

Xét phương trình ẩn t sau:
( ) ( ) ( )
0 1 0 2 0 3
z 0 (1)A x ta B y ta C ta D+ + + + + + =
. Khi đó:
• Phương trình (1) vô nghiệm thì
( )
d
α
P
• Phương trình (1) có đúng một nghiệm
0
t t=
thì d cắt
( )
α
tại điểm
( )
0 0 0 1 0 0 2 0 0 3
; ;zM x t a y t a t a= + + +
• Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc

( )
α
9. Khoảng cách
• Khoảng cách giữa hai điểm A
( )
; ;
A A A
x y z
và B
( )
; ;
B B B
x y z
là
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
• Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng
( )
: z 0Ax By C D
α

+ + + =
là
( )
0 0 0
0
2 2 2
z
,( )
Ax By C D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
, '∆ ∆
là khoảng cách từ
∆
đến mp(P) chứa
'∆
và song song với
∆
.
10. Góc
• Góc giữa hai vectơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r r

là
( )
,a b
r r
và được xác định bởi công thức
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos ,
.
.
a b a b a b
a b
a b
a a a b b b
a b
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
r r
• Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
( )
1 2 3
; ;u a a a=
r
, đường thẳng d’có vectơ chỉ phương

( )
1 2 3
' ; ;u b b b=
ur
,
α
là góc giữa
d và d’ thì
α
được xác định theo công thức
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. '
cos cos , '
.
. '
u u
a b a b a b
u u
a a a b b b
u u
α
+ +
= = =
+ + + +
r ur
r ur
r ur

( )
0
0 90
α
≤ ≤
•
( )
: z 0Ax By C D
α
+ + + =
có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
,
( )
' : ' ' 'z ' 0A x B y C D
α
+ + + =
có VTPT
' ( '; '; ')n A B C=
ur
khi đó
ϕ
là góc giữa
( ) ( )
; '
α α
thì
( )

. '
cos cos , '
. '
n n
n n
n n
ϕ
= =
r ur
r ur
r ur
• Góc giữa đường thẳng d và mp
( )
α
chính là góc giữa d với hình chiếu d’ của d trên mp
( )
α
.
Giáo viên: Hoàng Ngọc Đính 8