cuc tri cua ham so bac 3

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC 3
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Tìm giá trị của
tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔{

⇔ giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Bước 2:
Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này
ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.
Một số điều kiện thường gặp:
-Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị ⇔ {

.

-Để hàm số y =f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔yCĐ.yCT < 0
-Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCĐ.xCT <0
-Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành ⇔{
-Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành ⇔{
-Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔yCĐ. YCT = 0
-Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0
Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
Gọi t1 và t2 là các giá trị của M1 và M2 khi thay vào đường thẳng d:
t1 = Ax1 + By1 + C; t2 = Ax2 + By2 + C.
Đồ thị có 2 điểm cực đại cực tiểu ở hai phía của đường thẳng d:
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1

⇔{

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu ở cùng phía của đường thẳng d:
⇔{

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Chú ý: Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox hoặc Oy hoặc một đường tròn thì vẫn áp dụng kết quả trên . Các
kết quả khác thì tùy từng điều kiện để áp dụng.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hàm số

(1), m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1)

có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) =1.
Giải
Ta có: y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) = 2[x2 – mx – (3m2 – 1)]
Đồ thị hàm số có 2 cực trị y’ = 0 ⇔ x2 – mx – (3m2 – 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆= m2 + 4(3m2 – 1) > 0 = 13m2 – 4 > 0 ⇔

hoặc m >

√

√

(*)

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’. Theo định lý viet ta có {
Theo giả thiết x1x2 + 2(x1 + x2) = 1
⇔-(3m2 – 1) + 2m = 1 ⇔ 3m2 – 2m = 0 ⇔ m = 0 (loại) hoặc
Vậy

(thỏa mãn (*)).

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 – 2(m+1)x2 + (m2 – 3m + 2)x + 4. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về
hai phía với trục tung.
Giải
Hàm số xác định trên R.
Đạo hàm y’ = 3x2 – 2(2m + 1)x + m2 – 3m + 2.
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía đối với trục tung ⇔ f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
⇔

⇔

Vậy với 1 < m < 2 thỏa mãn.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx – 5 , m là tham số. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại,
cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.
Giải

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có hoành độ là các số dương
⇔ y’ =3(m+2)x2 + 6x +m =0 có 2 nghiệm dương phân biệt.

⇔

⇔{
{

⇔{

Vậy

⇔
là giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Cho hàm số:

. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số có xCĐ, xCT đồng thời

xCĐ, xCT là độ dài 2 cạnh của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng √ .
Giải
Ta có: y’ = x2 – mx + m2 – 3; y’ = 0 ⇔ x2 – mx + m2 – 3=0 (*)
Hàm số có CĐ, CT ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔∆=m2 – 4(m2 – 3)>0 ⇔ -3m2 + 12 > 0 ⇔ m2 – 4 < 0 ⇔ -2 < m < 2 (1)
xCĐ, xCT là 2 nghiệm của (*) và là độ dài 2 cạnh của 1 tam giác vuông
=> xCĐ > 0, xCT > 0 =>{

{

√

(2)

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


xCĐ, xCT là độ dài 2 cạnh của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng √
⇔

=>
⇔

⇔

Kết hợp với điều kiện (1)và (2) được
√

Vậy

√

⇔

√

√

.

là giá trị cần tìm

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 – m)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
nằm về hai phía của đường thẳng x = 1.
Giải
Ta có y’ = 3x2 – 6mx + m2 – m (1)
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y’ = 0 có hai điểm phân biệt.
⇔∆’= 9m2 – 3(m2 – m) > 0 ⇔ 2m2 + m > 0 ⇔[
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của y’ = 0. Khi đó CĐ và CT nằm về hai phía của đường thẳng x = 1.
⇔x1 < 1 < x2 ⇔ x1 - 1 < 0 < x2 – 1 ⇔ (x1 – 1)(x2 – 1) < 0
⇔ x1x2 – (x1 + x2) + 1 < 0 ⇔
⇔

√

√

Kết hợp (2) ta được

⇔

.
√

√

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + 2 (1). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm

cực trị của hàm số có hoành độ dương.
Giải
Đạo hàm y’ = 0 ⇔ 3x2 – 2(2m – 1)x + 2 – m = 0 (*).
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Để hàm số có hoành độ các điểm cực trị dương ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

0< x1 < x2 ⇔ {

Vậy

⇔{

⇔{

⇔

.

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1, với m là tham số thực. Xác định m để hàm số có cực
đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cách đều gốc tọa độ O.
Giải
Đạo hàm y’ = -3x2 + 6x + 3(m2 – 1), y’ = 0 ⇔ -3x2 +6x + 3(m2 – 1) = 0 (1)
Để hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔∆’= m2 > 0 ⇔ m ≠ 0

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A(1 – m, -2 – m2) và B(1+m; -2 + 2m2)
Theo giả thiết hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ ⇔ OA = OB
⇔ (1 – m)2 + (-2 – 2m2)2 = (1+ m)2 + (2 – 2m2)2 ⇔4m3 = m
⇔m=

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 8: Cho hàm số y = -x3 + 3mx2 – m (1). Tìm các giá trị m để hàm số có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực
trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Giải
Ta có y’ = -3x2 + 6mx = 0 ⇔ [
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 (*)
Giả sử A(0; -m); B(2m; 4m3 – m)
, với OA = |m|; BH = d(B, Oy) = |2m|
Suy ra

suy ra m = ± 2 thỏa mãn (*)

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


Ví dụ 9: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực
đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giải
Ta có: y’ = 3x2 – 6mx = 0 ⇔ [
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0 (*)
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) =>⃗⃗⃗⃗⃗
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3). Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng: y = x là AB vuông

góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x.
⇔{

√

⇔

hoặc m = 0.
√

Kết hợp với điều kiện (*) ta được:

là giá trị cần tìm.

Hoặc: Để hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
⇔{

⇔

⇔

Kết hợp với điều kiện (*) ta được:

√

√

là giá trị cần tìm.

Nhận xét: Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆. Gọi I là trung điểm của A, B

⇔ {⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Ví dụ 10: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + m (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho
̂

.
Giải

Ta có: y’ = 3x2 + 6x = 0 ⇔ [
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0;m) và B(-2; m+4)
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

. Để ̂

thì

̂

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


⇔

⇔√

√

⇔{

⇔{

⇔{

√

√

Vậy

√

⇔

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 11: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho yCĐ và yCT
trái dấu.
Giải
Đạo hàm y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ [
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại hai điểm M1(0;m), M2 (2; m -4)
Để yCĐ và yCT trái dấu tức là yCD.yCT < 0 ⇔ m(m – 4)< 0 ⇔ 0 < m < 4.
Vậy với 0 < m <4 hàm số luôn có cực đại, cực tiểu sao cho yCĐ và yCT trái dấu.
Ví dụ 12: Cho hàm số 2x3 + ax2 – 12x – 13 . Chứng minh rằng hàm số luôn có CĐ, CT. Tìm a để hàm số có
điểm cực đại, cực tiểu cách đều trục tung.

Giải
Đạo hàm: y’ = 6x2 + 2ax – 12
Ta có: ∆’ = a2 + 72 > 0, ∀ a

R.

Vậy y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Để hàm số có cực đại, cực tiểu cách đều trục tung thì: x1 + x2 = 0 (trong đó x1; x2 là hoành độ các điểm cực trị
và nó là nghiệm của phương trình y’ = 0)
⇔

⇔

.

Vậy với a = 0 thì hàm số có CĐ, CT cách đều trục Oy.
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Ví dụ 13: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 – 4. Hãy tìm các giá trị của a để hai điểm cực trị của hàm số trên nằm về
hai phía của đường tròn: x2 + y2 – 2x – 4ay + a2 – 1 = 0
Giải
Ta có: y’= 3x2 + 6x, y’ = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔[
Hàm số có hai điểm cực trị là A(0;-4) và B(-2;0).
Để hai điểm cực trị này nằm về hai phía của đường tròn (C) thì:
P(A,(C)).P(B,(C)) < 0 ⇔ (15+16a+a2)(7 +a2) <0 ⇔ -15 < a < -1 vì a2 + 7 >0, ∀a.
Vậy -15 < a < -1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 14: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 – m)x + 4. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và

trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị thuộc đường thẳng ∆:
-2x – y + 4 = 0.
Giải
Ta có: y’ = 3x2 – 6mx + m2 – m.
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
⇔∆’ = 9m2 – 3(m2 – m) > 0 ⇔ 2m2 + m > 0 ⇔ [

(2).

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của y’ = 0. Khi đó tọa độ hai cực trị là A(x1,y1), B(x2, y2)
Gọi I là trung điểm AB =>
Điểm I

∆ ⇔ -2m – (-m3 – m2 + 4) + 4 = 0 ⇔ m3 + m2 – 2m = 0

Giải phương trình ta được m = 0, m =1, m = -2.
Kết hợp (2) ta được m =1, m = -2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 15: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp
xúc với đường tròn có phương trình:
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


(x – m)2 + (y – m – 1)2 = 5.
Giải
Ta có: y’ = 3x2 – 6x = 0 ⇔ [
=>Hai điểm cực trị của hàm số là A((0;2) và B(2; -2).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ∆: 2x +y – 2 =0.
Tâm của đường tròn I(m, m+1), bán kính R = √ .

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇔

√

√

⇔

⇔[

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9