Tuyển tập 189 bài tập hình học không gian về hình chóp và khoảng cách (đáp án chi tiết)

THỂ TÍ CH CHÓP VÀ KHOẢNG CÁCH
Câu 1. (THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a , góc BAD bằng 60 . Gọi
H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
bằng 45 . Tính thể tích của khối chóp S.AHCD và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
A. VS . AHCD 

39 3
39
a ; d ( A, ( SCD)) 
a.
32
79

B. VS . AHCD 

39 3
39
a ; d ( A, ( SCD)) 
a.
32
79

C. VS . AHCD 

39 3
39
a ; d ( A, ( SCD )) 
a.
32
79

D. VS . AHCD 

39 3
39
a ; d ( A, ( SCD))  a.
32
79

Hướng dẫn giải

S

K
C

B
H

E

I
A
•

D

Ta có: SH  ( ABCD)  HC là hình chiếu vuông góc của SC trên

( ABCD)  (SC,( ABCD))  SCH  45

Theo giả thiết BAD  60  BAD đều  BD  a; HD 

AC  2 AI  a 3
Xét SHC vuông cân tại H , theo định lý Pitago ta có:
2

2
13
a a 3
SH  HC  IC  HI     
a .
 
4
4  2 
2

2

1

3
a 3
a; AI 
và
4
2


1
1

1
39 3
SH .S AHCD  SH . AC.HD 
a
3
3
2
32
Trong ( ABCD) kẻ HE  CD và trong (SHE)  HK  SE (1). Ta có:
Vậy VS . AHCD 

•

CD  HE
 CD  ( SHE )  CD  HK (2)

CD  SH ( SH  ( ABCD))
Từ (1) và (2) suy ra HK  (SCD)  d ( H ,(SCD))  HK
Xét HED vuông tại E, ta có HE  HD.sin 60 
Xét SHE vuông tại H , ta có HK 

Mà

3 3
a.
8

SH .HE
SH 2  HE 2



3 39
a.
4 79

d ( B, ( SCD)) BD 4
4
4
39

  d ( B, ( SCD))  d ( H , ( SCD))  HK 
a
d ( H , ( SCD)) HD 3
3
3
79

Do:

AB / /( SCD)  dA, ( SCD))  d ( B, ( SCD)) 

Kết luận: VS . AHCD 

39
a.
79

39 3
39

a ; d ( A, ( SCD)) 
a.
32
79

Câu 2. (TRUNG TÂM GDTX-HN CAM RANH (LẦN 1) – KHÁNH HÒA).
Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, SB tạo với đáy một góc 30 . M là trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM.
A. VS . ABC 

a3 3
a 13
; d ( SB; AM ) 
24
13

B. VS . ABC 

a3
a
; d ( SB; AM ) 
8
13

C. VS . ABC 

a3 3
a 13
; d ( SB; AM ) 

8
13

D. VS . ABC 

a3 3
a
; d ( SB; AM ) 
24
13

Hướng dẫn giải

2


S

K
C

A

F

x
J
M
I
B

( SAC )  ( ABC )
 SH  ( BAC )
( SAC )  ( ABC )  AC

Gọi H là trung điểm cạnh AC , ta có: 
Theo đề bài: (SB,( ABC))  SBH  30 ;

BH 

a 3
a 3 1
a
 SH  BH .tan 30 
.

2
2
3 2

S ABC 

a2 3
(đvdt).
4

1
1 a a 2 3 a3 3
 VS . ABC  SH .SABC  . .


(đvtt).
3
3 2 4
24
Kẻ tia Bx song song với AM

(SBx) / / AM  d (SB;( ABM ))  d ( AM ;(SBx))
Kẻ HI  Bx; HI  AM  {J};(SHI)  (SBx),(SHI )  ( HBx)  SI .
Kẻ HI  SI , suy ra d ( H ;(SBx))  HK .
Tam giác vuông SHI :

1
1
1
1
1
52
3a
 2


 2  HK 
.
2
2
2
2
HK
HI
HS

9a
52
 3a   a 
   
 4  2

3


Vì HK 

3
2
a
a 13
IJ  d ( SB; AM )  d ( J ;( SBx))  IJ  HK 

.
2
3
13
13

Câu 3. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG)
Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với
đáy ABCD. Cạnh bên SC tạo với đáy ABCD một góc

 và tan  

2

. Gọi M là trung điểm BC, N là
5

giao điểm của DM với AC, H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích hình chóp S.ABMN và
khoảng cách từ điểm H với mặt phẳng (SDM).
A. VS . ABMN 

C. VS . ABMN

5a 3 2
a
; d ( H ;( SDM )) 
18
3

3
B. VS . ABMN  a 2; d ( H ;( SDM )) 

a3 2
a

; d ( H ;( SDM )) 
18
3

D. VS . ABMN

a 3
3

a3 3

; d ( H ;( SDM ))  a
18

Hướng dẫn giải
S

K

H

D
A

N

B

C

M

E

Vì A là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD) là

(SC; CA)  SCA   .
Tam giác ADC vuông tại D : AC 

AD 2  CD 2  a 5

Tam giác SAC vuông tại A : SA  AC.tan   a 2

4


ABM và MCD vuông cân nên MA  MD  a 2
Theo định lý Pitago đảo, ta có AMD vuông tại M .
Vì MC / / AD nên

MN MC 1
1
a 2

  MN  MD 
ND AD 2
3
3

Ta có: SBMN  SABM  SAMN

1
1
5a 2
 AB.BM  AM .MN 
2
2
6

1
1
5a 2 5a 3 2
V

SA
.
S

a
2.

Tính thể tích khối chóp: S . ABMN
ABMN
3
3
6
18
Vẽ AK  SM tại K . Vì DM  AM , DM  SA nên DM  (SAM )  DM  AK
Suy ra AK  (SDM )
Hai tam giác vuông AHS và AHB đồng dạng (g.g) nên
2

SH HA SA
HS HA  SA 
HS
2




.

 2  HS  SB
 
HA HB AB
HA HB  AB 
HB
3
Mà S  (SDM ) nên d  d ( H ;( SDM )) 

2
d ( B;( SDM ))
3

Gọi giao AD và DM là E . Vì BM / / AD nên
Mà E  (SDM ) nên d ( B;( SDM )) 

Tam giá SAM vuông tại A nên

EB BM 1


EA AD 2

1
1
1
d ( A;( SDM ))  d  d ( A;( SDM ))  AK
2
3

3

1
1
1
 2
 AK  a .
2
AK
SA
AM 2

Vậy khoảng cách từ H đến (SDM ) là

a
3

Câu 4. (THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A trong đó AB = AC = a , BAC = 120 ; mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

5


A. VS . ABC 

a3
a 39
; R

8
6

a3 3
a
; R
8
6

B. VS . ABC 

C. VS . ABC  a ; R  a 39
3

D. VS . ABC

a3
 ; Ra
8

Hướng dẫn giải
S

O

D
I

C
B

H
A

Gọi H là trung điểm của AB thì H là chân đường cao hạ từ đỉnh S của hình chóp. Ta có:

1
1 a 3 1
a3
VS . ABC  SH .S ABC  .
. .a.a.sin120 
3
3 2 2
8
Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC thì D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có
tam giác DAB đều và do đó DH  AB . Suy ra DH  (SAB) .
Từ D , dựng đường thẳng  song song với đường thẳng SH thì  là trục của đường tròn ngoại tiếp
đáy. Gọi I Là tâm tam giác đều SAB và trong mặt phẳng (SHD) , dựng đường thẳng d đi qua I
và song song với DH thì d là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt cầu ( SAB) . Gọi O    d thì O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . Ta có:
2

1 a 3 
a 39
2
R  OC  OC  DC   .
.
  a 
3
2
6



2

2

Câu 5. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN (LẦN 1) – ĐÀ NẴNG)
6


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 . Gọi H là trung điểm
cạnh AB; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường
thẳng CH và SD.

A. VS . ABCD 

C. VS . ABCD

a3
a 26
; d (CH ; SD) 
3
13

B. VS . ABCD 

a 3 13
a 26


; d (CH ; SD) 
3
13

D. VS . ABCD

a3
a 26
; d (CH ; SD) 
3
26

a3 3
a

; d (CH ; SD) 
3
13

Hướng dẫn giải
S

E

D
A
H

K

C

B

Vì H là trung điểm cạnh đáy AB của tam giác cân SAB trên SH  AB . Mà (SAB)  ( ABCD) nên

SH  ( ABCD) .
Vẽ HK  AC tại K . Vì AC  HK , AC  SH nên AC  (SHK ) .
Suy ra AC  SK
Vì AC  (SAC )  ( ABCD) và AC  SK , AC  HK nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và ( ABCD)
là (SK ; HK )  SKH  60

H là trung điểm AB nên AH 

AB a

2
2

7


ABCD là hình chữ nhật nên AC  BD 
Có AHK ~ ACB (g.g) 

AB 2  AD 2  a 3

KH AH

BC AC

Tam giác SHK vuông tại H :

SH  HK .tan 60 

a
2

Thể tích khối chóp: VS . ABCD 

1
1
a3
SH .S ABCD  SH . AB. AD 
(đvtt)
2
3
3

Gọi E là điểm đối xứng với H qua A . Vẽ HF  DE tại F , HI  SF tại I .
Vì DE  HD, DE  SH nên DE  (SHF )  DE  HI . Mà HI  SF nên HI  (SED)
Vì HE  CD  a, HE / /CD nên HEDC là hình bình hành.
Suy ra DE / /CH  CH / /(SDE) . Mà SD  (SDE ) nên khoảng cách giữa CH và SD bằng

d (CH ; SD)  d (CH ;(SDE))  d ( H ;(SDE))  HI .
Tam giác DEA vuông tại A nên DE 

Ta có: HFE

DAE (g,g) 

3a
2

HD HE
HE.DA a 2

 HF 

DA DE
DE
3

Tam giác SHF vuông tại H nên:

Vậy d (CH ; SD ) 

AE 2  AD 2 

1
1
1
a 26


 HI 
2
2
2
HI

HS
HF
13

a 26
13

Câu 6. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
SC hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc

4
5

 với tan   , AB = 3a và BC = 4a . Tính thể tích của

khối chóp S. ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
A. VS . ABCD  16a 3 ; d ( D;( SBC )) 

12a
5

B. VS . ABCD  8a 3 ; d ( D;( SBC )) 
8

6a
5


C. VS . ABCD  2a 3 ; d ( D;( SBC )) 

2a
5

D. VS . ABCD  32a 3 ; d ( D;( SBC )) 

24a
5

Hướng dẫn giải
S

H

D
A
3a

B

•

C

4a

Vì SA là đường cao của hình chóp S. ABCD nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng

( ABCD) . Suy ra góc giữa SC và ( ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SC và AC và bằng
góc SCA   .

Xét ABD vuông tại B , ta có: AC 

AB 2  BC 2  (3a)2  (4a)2  5a .

Xét SAC vuông tại A , ta có: SA  AC.tan   5a.

4
 4a .
5

1
1
3
3
Ta có AD / / BC nên AD / /(SBC) . Suy ra d ( D;(SBC))  d ( A;(SBC)) .
Vậy VS . ABCD  .SA.S ABCD  .4a.3a.4a  16a 3 (đvtt).

•

 BC  AB
 BC  ( SAB) . Lại có BC  (SBC)  (SBC)  (SAB) .
 BC  SA

Ta có: 

(SBC )  (SAB)  SB . Từ A kẻ AH  SB . Khi đó d ( D;(SBC))  d ( A;(SBC))  AH .
1
1
1
1

1
25
12a

 2


 AH 
.
2
2
2
2
2
AH
AB SA (3a) (4a) 144a
5
12a
Vậy d ( D;( SBC ))  d ( A;( SBC ))  AH 
.
5
Xét SAB vuông tại A , ta có:

Câu 7. (THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ (LẦN 2))

9


Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = AB = a , AC = 2a
và ASC = ABC = 90 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

(SBC).
A. VS . ABC 

a3
105
; cos 
4
35

B. VS . ABC 

3a 3
105
; cos 
4
5

C. VS . ABC 

a3
105
; cos 
3
7

D. VS . ABC 

a3
105
; cos 

2
35

Hướng dẫn giải
S

M

A

C

H

D

•

Kẻ SH vuông góc với AC( H  AC)  SH  ( ABC)

 SC  BC  a 3, SH 

•

a 3
a2 3
, S ABC 
2
2

1
a3
 VS . ABC  SABC .SH 
3
4
Gọi M là trung điểm của SB và  là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (SBC ) .
Ta có: SA  AB  a, SC  BC  a 3 .

 AM  SB và CM  SB
 cos   cos AMC
•

SAC  BAC  SH  BH 

a 3
a 6
 SB 
2
2

2
AM là trung tuyến SAB nên: AM 

2 AS 2  2 AB 2  SB 2 10a 2
a 10

 AM 
4
16
4

10


Tương tự: CM 
Vậy: cos  

a 42
AM 2  CM 2  AC 2
105
 cos AMC 

4
2. AM .CM
35

105
35

Câu 8. (THPT CHUYÊN PHÚ YÊN (LẦN 1) – PHÚ YÊN)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy, cạnh SC tạo với đáy góc 30 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SD. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AK, SC.
A. VS . ABCD 

a3 2
a 3
; d ( AK , SC ) 
3
6

B. VS . ABCD 

2a 3
a 3
; d ( AK , SC ) 
3
3

C. VS . ABCD 

a3 3
a 6
; d ( AK , SC ) 
2
3

D. VS . ABCD 

a3
2a
; d ( AK , SC ) 
3
3

Hướng dẫn giải
S

K

I
D
A

C

B

•

Tính thể tích:
Vì SA vuông góc với đáy nên góc giữa SC và ( ABCD) là SCA  30

ABCD là hình chữ nhật, tam giác ABD vuông tại A nên:
AC  BD 

AB 2  AD 2  a 3

Tam giác SAC vuông tại A : SA  AC.tan 30   .

VS . ABCD
•

1
1
a3 2
 .SA.S ABCD  a.a.a 2 
(đvtt)
3
3

3

Tính khoảng cách:
11


Vẽ AI  SC tại I .
Vì SA  CD, AD  CD nên (SAD)  CD
Suy ra AK  CD . Mà AK  SD nên AK  (SCD)
Suy ra AK  IK và AK  SC .

AK  SC, AI  SC nên ( AKI )  SC  SC  IK .
IK là đoạn vuông góc chung của AK và SC  d ( AK , SC)  IK .
1
1
1
2a
Tac giác SAD vuông tại A :
 2
 AK 2 
2
2
AK
SA
AD
3
Tam giác SAC vuông tại A :

1
1

1
3a 2
2



AI

AI 2 SA2 AC 2
4

Tam giác AIK vuông tại K : IK 
Vậy d ( AK , SC ) 

AI 2  AK 2 

a 3
6

a 3
.
6

Câu 9. (THPT CHUYÊN SƠN LA – SƠN LA (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , BC = 2a . H là trung điểm cạnh AB,

a 5
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách
2

SH vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SA =
giữa hai đường thẳng HC và SD.
A. VS . ABCD 

2a 3
4a 33
; d ( HC , SD) 
3
33

B. VS . ABCD 

C. VS . ABCD  2a ; d ( HC , SD)  4a 33
3

D. VS . ABCD

2a 3
4a 32

; d ( HC , SD) 
5
32

Hướng dẫn giải
S

B

C

K
H

E
D

A
x

I

12

4a 3
; d ( HC , SD)  4a
3


SH  ( ABCD) . Tam giác SHA vuông tại H .
SH  SA2  HA2  a

1
2a 3
VS . ABCD  SSABC .SH 
(đvtt).
3
3
Kẻ đường thẳng Dx / / HC , kẻ HI  ID ( I thuộc Dx ),
Kẻ HK  SI ( K  SI ). Khi đó HK  (SID), HC / /(SID) .

d ( HC, SD)  d ( HC,(SID))  d ( H ,(SID))  HK
HI  d ( D, HC )  2d ( B, HC )  2 BE 

Trong tac giác vuông SHI có HK 

4a
. ( BE  HC tại E )
17

4a 33
33

Câu 10. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH (LẦN 3))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B, AB = BC = a , AD = 2a , SA
vuông góc với đáy, SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SD. Chứng minh tứ giác BCNM là
hình chữ nhật. Tính thể tích hình chóp S.BCNM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau BM
và CD.

a3
a 3
; d ( BM , CD) 
3
3

A. VS .BCNM 

a3
a
; d ( BM , CD) 

3
3

B. VS . BCNM 

C. VS .BCNM 

2a 3
2a
; d ( BM , CD) 
3
3

D. VS .BCNM  a 3 ; d ( BM , CD) 

Hướng dẫn giải

13

4a
5


S

E
N

M

D

A

B

C

Ta có MN là đường trung bình của SAD nên MN / / AD và MN  a
Mà AD / / BC (do ABCD là hình thang) nên MN / / BC và MN  BC  a .
Suy ra BCNM là hình bình hành.
Mặt khác BC  AB, BC  SA (do SA  ( ABCD)) nên BC  (SAB) . Suy ra BC  BM
Suy ra BCNM là hình chữ nhật.
Vẽ CK  AD tại K thì ABCK là hình vuông, suy ra CK  a .

1
1
a3
V

SA
.
S

SA
.
AC
.
BC


Ta có: S . ABC
ABC
3
6
3

1
1
2a 3
VS . ACD  SA.S ACD  SA. AD.CK 
3
6
3
Theo định lý tỷ lệ thể tích:

VS .MBC SM 1 VS .MCN SM SN 1

 ;

.

VS . ABC
SA 2 VS . ACD
SA SA 4

1
2

1
4

Do đó thể tích khối chóp: VS . BCNM  VS .MBC  VS .MCN  VS . ABC  VS . ACD 
Kẻ ME  SC ( E  SC )
Vì BCNM là hình chữ nhật nên BM / / NC

 BM / / mp(SC)  d ( BM , CD)  d ( BM ,(SCD))  d (M , SCD))
Vì SA vuông góc với đáy nên SA  CD
14

a3
3


Mặt khác AC  CD (do tam giác ACD vuông cân ở C ) nên CD  (SAC )

 ME  CD
 ME  mp( SCD)
 ME  SC

Vì 

 d (M , mp(SCD))  ME
Có SME ∽ SCA (g.g) 

 d ( BM , CD) 

ME SM
AC.SM
2a.a
2a 2

a

 ME 



2
2
2
2
AC SC
SC
3
SA  AC
4a  2a

a
3

Câu 11. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC (LẦN 2))

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4 . Mặt bên (SAB) nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn
AB sao cho BH = 2 AH. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 60 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
A. VS . ABCD 

64 13
; d ( H , ( SCD))  13
3 3

B. VS . ABCD 

63 13
; d ( H , ( SCD))  13
3 3

C. VS . ABCD 

64 13
; d ( H , ( SCD))  3 13
3 3

D. VS . ABCD 

13
; d ( H , ( SCD))  6 13
3

Hướng dẫn giải

15


F

A

D

Ta có: HB 

H

E

B

C

8
64 4 13
4 13
4 13
 HC  42 

 SH 
.tan 60 
3
9
3
3
3

1
1
4 13 64 13
 VS . ABCD  .S ABCD .SH  .42.

3

3
3
3 3
Kẻ HK song song với AD ( K  CD)  DC  (SHK )  mp(SCD)  mp( SHK )
Kẻ HI vuông góc với SK  HI  mp(SCD)  d ( H ,(SCD))  HI
Trong SHK ta có:

1
1
1
3
1
16


 2  2 
 HI  13
2
2
2
HI
SH
HK
4 .13 4 13.42

 d ( H , ( SCD))  13 .
Câu 12. (THPT CHUYÊN HẠ LONG (LẦN 2))
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc

60 . M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM, AC.

A. V 

a3 3
3a 13
, d ( AM , SC ) 
8
26

B. V 

16

a3 3
a 13
, d ( AM , SC ) 
8
26


C. V 

a3 3
3a 13
, d ( AM , SC ) 
2
2

D. V 

a3 3
a 13
, d ( AM , SC ) 
3
6

Hướng dẫn giải

S

C

B

M
I
A

•

Gọi I là trung điểm của AC . Vì tam giác SAC cân tại S nên SI  AC,(SAC ) nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) nên SI là đường cao của hình chóp.
Ta có BI là hình chiếu của SB trên ( ABC ) , do đó góc giữa SB và ( ABC ) bằng góc giữa SB
và BI và bằng SBI  60 .
Xét tam giác vuông SIB vuông tại I , ta có: SI  BI .tan 60 

a 3
3a

. 3 .
2
2

1
1 3a a 2 3 a 3 3
VS . ABC  .SI .S ABC  . .

(đvtt).
3
3 2
4
8
•

V

a3 3
3a 13
, d ( AM , SC ) 
8
26

Câu 13. (THPT CHUYÊN LÀO CAI (LẦN 2))
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 2a ; AD = a . Trên cạnh AB
lấy điểm M sao cho AM =

a
, cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
2

SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a .
17


A. VSHCD 

4a 3
2a
; d ( SD; AC ) 
15
3

B. VSHCD 

4a 3
a
; d ( SD; AC ) 
15
3

C. VSHCD 

a3
2a
; d ( SD; AC ) 
15
3

D. VSHCD 

2a 3
4a
; d ( SD; AC ) 
3
15

Hướng dẫn giải

VSHCD 

4a 3
2a
; d ( SD; AC ) 
15
3

Câu 14. (THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH – YÊN BÁI)
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a , ABC = 30 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm G của
tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC) theo a .

a3
a 3
, d (G, ( SBC )) 
A. V 
8
12
C. V 

a3
a 3
, d (G, ( SBC )) 
B. V 
4
4

a3
a 3
, d (G, ( SBC )) 
3
3

D. V 

a3
a 3
, d (G, ( SBC )) 
12
8

Hướng dẫn giải

a3
a 3
V  , d (G, ( SBC )) 
8
12
BÀI 15 (THPT ĐA PHÚC – HÀ NỘI (LẦN 1)).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích

khối chóp S.ABC và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a .

a3 2
27
; S   a2
A. V 
6
8
C. V 

a3 2
27
; S   a2
B. V 
3
4

a3
2 2 2
;S
a
6
8

D. V 

Hướng dẫn giải
18

a3 2

1
; S   a2
2
8


S

M

I
C
A
H

B

+) Từ giả thiết suy ra tam giác ABC đều cạnh a và SH  ( ABC) với H là tâm của tam giác đều

ABC  AH 

a 3
và SH là đường cao của hình chóp S. ABC
3

Từ giả thiết  SA  a 3  trong tam giác vuông SAH vuông tại H có

SH  SA2  AH 2 

2 6a

.
3

+) Diện tích tam giác ABC bằng: S ABC 

a2 3
1
a3 2
 VS . ABC  S ABC .SH 
4
3
6

+) SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trong mặt phẳng (SAH ) kẻ đường trung
trực của cạnh SA cắt SH tại I  I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC có bán kính

R  IS . Hai tam giác vuông SMI và SHA đồng dạng  SI 
+) Diện tích mặt cầu là: S  4 R 2 

SM .SA 3 6

a
SH
8

27 2
a .
8

Câu 16. (THPT BÌNH PHƯỚC – BÌNH PHƯỚC (LẦN 1))

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a . Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm

của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SAB) và (ABCD)
bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC.

19


A.

3a3 a
;
9
2 2

B.

3a 3 a
;
9
3 2

C.

3a3 a
;
9
4 2

D.

3a3 a
;
9
5 2

Hướng dẫn giải
S

F
A

D
K
P

M

I
E

H
B

C

Ta có: VS . ABCD 
Do

1
SH .S ABCD , trong đó S ABCD  a 2
3

(SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy ra SH  ( ABCD)

Dựng

HE  AB  (SHE)  AB , suy ra

SEH là góc giữa

(SAB) và ( ABCD)  SEH  60

Ta có SH  HE.tan 60  3HE

HE HI 1
a

  HE 
CB IC 3
3

 SH 

a 3
3

Suy ra VS . ABCD 

1
1 a 3 2
3a 3
SH .S ABCD  .
.a 
3
3 3
9

Gọi P là trung điểm của CD , suy ra AP song song với CI
20


 d (SA, CI )  d (CI ,(SAP))  d (H ,(SAP))
Dựng HK  AP , suy ra (SHK )  (SAP)
Dựng

HF  SK  HF  (SPA)  d (H ,(SPA))  HF

Do SHK vuông tại H 

1
1
1
(1)


2
2

HD
HK
HS 2

Dựng DM  AP , ta thấy DM  HK 

Thay vào (1) ta có 

Vậy d ( SA, CI ) 

a
2 2

1
1
1
1



2
2
2
HK
DM
DP
DA2

1
1

1
1
4 1 3 8
a








HF

.
HF 2 DP 2 DA2 HS 2 a 2 a 2 a 2 a 2
2 2
.

Câu 17. (THPT BÌNH PHƯỚC – BÌNH PHƯỚC (LẦN 2))
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có AD =
3a , AC = 5a , góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 . Tính theo

S.ABCD và tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC).
A. 12a3 ;3427'

B. 12a3 ;6927'

C. 12a3 ;9627'

D. 12a3 ;3327'

Hướng dẫn giải
S
K

H

D

A

C

B

21

a thể tích khối chóp


-Tính thể tích
+) Ta có: AB 
+) Mà

AC 2  BC 2  4a

((SCD),( ABCD))  SDA  45 nên

SA  AD  3a

1
3

Do đó: VS . ABCD  .SA.S ABCD  12a 3 (đvtt)
-Tính góc…
+) Dựng điểm K sao cho SK  AD
Gọi H là hình chiếu vuông của

D lên CK , khi đó: DK  (SBC) . Do đó: (SD,(SBC))  DSH
+) Mặt khác DH 

DC.DK 12a

, SD  SA2  AD 2  3a 2
KC
5

SH  SD 2  DH 2 

3a 34
5

Do đó: ( SD, ( SBC ))  DSH  arccos

SH
17
 arccos
 3427 '
SD

5

Câu 18. (THPT BÌNH PHƯỚC – BÌNH PHƯỚC (LẦN 4))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD và hình thoi cạnh
mặt phẳng vuông góc với đáy, SC =
đường thẳng AD, SB theo

a , mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong

a 6
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
2

a.

A.

1 3 a 6
a;
4
4

B.

1 3 a 6
a;
4
6

C.

1 3 a 6
a;
4
5

D.

1 3 a 6
a;
4
3

Hướng dẫn giải
22


S

C

D

H

B

A

Gọi H là chân đường cao hạ từ S của tam giác đều SAD

Suy ra: SH 

a 3
và SH  ( ABCD)
2

Trong tam giác vuông HSC có HC 

a 3
2

a2
3a 2
 a2 
DH  DC  CH
4 1
cos HDC 
 4
a
2 DH .DC
2
2. .a
2
2

2

2

 HDC  60

Suy ra S ABCD

a2 3
 DA.DC.sin ADC 
2

1
1 a 3 a2 3 1 3
VS . ABCD  SH .S ABCD  .
.
 a
3
3 2
2
4
Ta có ADC đều cạnh a  CH  AD  CH  BC
Hay BC  (SHC)  BC  SC  CSB vuông tại tại C

23


1
2

Lại có VD.SBC  VS .BCD  VS . ABCD 

1 a3 a3
. 
2 4
8

1
a3
3a 3
 d ( D;( SBC )).S SBC 
 d ( D;( SBC )) 
3
8
8.SSBC

3a3

3a3
a 6
 d ( D;( SBC )) 


.
1
4
a
6
8. CS .CB 4.
a
2
2
Vậy d ( AD; SB )  d ( D;( SBC )) 

a 6
.

4

Câu 19. (THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC (LẦN 1))
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng
ABCD, SD hợp với mặt phẳng ABCD góc bằng 45 . Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM.

1
3

2
a
3

B.

1 3 2
a; a
4
3

1 3 2
a; a
4
5

D.

1 3 1
a ; a

3
3

A. a 3 ;

C.

Hướng dẫn giải
S

H

D

A

M

I

C

B

24


S ABCD  a 2 ; SA  a

1

VS . ABCD  a3
3
Qua B dựng đường thẳng d song song với AM ; dựng I , H chứng minh được AH  (SBI )

d ( AM , SB) 

2
a
3

Câu 20. (THPT ĐỒNG XOÀI (LẦN 1))

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA= a . Tam giác SAC đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, MN theo a .
A. a

3

6 a 96
;
12
32

3
B. a

12 a 96
;
12

32

6 a 69
;
12
32

3
D. a

6 a 32
;
12
32

3
C. a

Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm AC , do SAC đều nên SI  ( ABC ). SI 

Ta có: S ABC

a 6
2

a2
 .
2

Vậy VS . ABC 

1
6
SI .S ABC  a 3
3
12

Gọi H là trung điểm AI suy ra MH / / SI  MH  ( ABC ), J là trung điểm AB , K là hình chiếu
vuông góc của H lên MJ tức là HK  MJ (1).
Ta có:

JN  BI , mà BI / / HJ  JN  HJ (2)

25