De, dap an toan HSG lop 6 nam 2015 2016 CT

Phòng giáo dục và
đào tạo yên định
đề thi chính thức

kỳ thi học sinh giỏi cấp trờng
năm học 2015 - 2016
Môn: toán khối 6
Thời gian làm bài: 120 phút
(Khụng k thi gian giao )

đề BàI
Bài 1. (4 điểm): Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau:
10 5 5
3 3
+
+ 0,9
7 11 23 + 5 13
a) A =
26 13 13 7
3
403 +
+ 0, 2
7 11 23 91
10
1
1
1
1
1

...

b) B =
99.97 97.95 95.93
5.3 3.1
155

Bài 2. (4 điểm):
a) Tim sụ t nhiờn x biờt: 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b) Tim cỏc ch sụ x; y A = x183y chia cho 2; 5 v 9 u d 1.
c) Tim x biờt:
Bài 3. (4 điểm):
a) Cho biu thc: A =

5
3 n

(n Z , n 3)

Tim tõt ca cỏc giỏ tr nguyờn cua n A l sụ nguyờn.
b) Cho sụ M l sụ cú 3 ch sụ, N l sụ viờt ngc li cua M. Biờt M chia hờt cho 3
v N = 3M. Chng minh rng N chia hờt cho 27.
ã
ã
Bài 4. (6 điểm): Trong mặt phẳng cho xOy
= 1500, xOz
= 700.
a) Tính ãyOz .
b) Vẽ tia phân giác Ot của ãyOz . Tính số đo của ãyOt .
Bài 5. (2 điểm):

a) Chng to rng nờu p l sụ nguyờn tụ ln hn 3 thi p2 - 1 chia hờt cho 3.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:
2 x + 2 y = 129
Hờt.
H v tờn thớ sinh:...........................................
Giỏm th 1:..........................................

SBD.............................................

Giỏm th 2:.................................................


Bµi

ý

1

a

4
®iÓ
m

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Néi dung

§iÓ
m

2 1 1 

10 5 5
3 3
5  31 − − + ÷ 3 + 3 − 9
− +
+ − 0,9
7 11 23  5 13 10
7 11 23 + 5 13
A=
= 
+
26 13 13 7
3
2 1 1  1 1 3

403 − − +
+ 0, 2 −
+ −
13  31 − − + ÷
7 11 23 91
10
7 11 23  13 5 10

155 −

2 1 1 

1 1 3 
5  31 − − + ÷ 3  + − ÷

5
7 11 23 
5 13 10  5
A= 
+ 
= +3= 3
1 1 3
2 1 1 
13
13

+ −
13  31 − − + ÷
5 13 10
7 11 23 


b

B =

1,0đ

1
1
1
1
1
−
−

− ... −
−
99.97 97.95 95.93
5.3 3.1

=

1
1
1
1 
 1
−
+
+
+ ... +
÷
99.97  1.3 3.5 5.7
95.97 

0,25đ

=

1
1 1 1 1 1 1
1
1 
− 1 − + − + − + ... + − ÷
99.97 2  3 3 5 5 7

95 97 

1,0đ

1
1
1 
− 1 − ÷
99.97 2  97 
1
48
=
−
99.97 97
−4751
=
99.97

0,25đ

=

VËy: B =
2

a

1,0đ

0,25đ

−4751
99.97

0,25đ
 x − 3 = 12

 x = 15

⇔
Biến đổi được : (x - 3)2 = 144 = 122 = (−12) 2 ⇔ 
 x − 3 = −12
 x = −9

1,0 đ

Vì x là số tự nhiên nên x= - 9 (loại). Vậy x = 15
4
®iÓ
m

b b. Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1.Ta có A = x1831
Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1 ⇒ x1831 - 1 M9 ⇒ x1830 M9

0,5đ
0,75đ

⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 M9 ⇔ x + 3 M9, mà x là chữ số nên x = 6
Vậy x = 6; y = 1

c Do

0,25đ

+
4x

Với x

0

+
x

0 ta có:

0

0
0,5đ


+

+

= x + 2 + x + 3 + x + 4 = 3x

+9
3x + 9 = 4x

3

a

x=9
Võy x = 9
B nhõn giỏ tr nguyờn thi 3 - n phai l c cua 5

0,5

=> 3 - n {-1;1;-5;5} => n { -2 ; 2; 4; 8}

1,0

ụi chiờu /k ta c n { -2 ; 2; 4; 8}
4
điể
m

b Do M 3 m N l sụ viờt ngc li cua M nờn N 3
Li cú N = 3M

N 9

6
điể
m

0,5

0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25

Gia s: M =
thi N =
Suy ra: M N = 99. (a c)
M N 9 m N 9 nờn M 9
4

1

T ú ta cú: N = 3M nờn N 27
( Không vẽ hình hay vẽ hình sai thì không chấm
điểm)
Xét 2 trờng hợp:
TH1: Các tia Oy,Oz cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ
chứa tia Ox
t

z

y

O

x

0,5

Hì
nh a

a) Ta có xOz < xOy nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox và
Oy.
Do tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên ta có:
xOy = xOz + yOz

yOz = xOy xOz = 1500 700 = 800
Vậy: yOz = 800
b) Vì Ot là tia phân giác của góc yOz
1
1
yOt = yOz = .800 = 400
2
2
0
Vậy yOt = 40
TH2:Các tia Oy,Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau
có bờ chứa tia Ox (Hình b)

0,5
0,5
0,75
0,5
0,25

C

y
O

t

x

z
Hì
nh b

5
2
điể
m

a) Do tia Ox nằm giữa 2 tia Oy và Oz nên:
Ta có : yOz = xOy + xOz = 1500 + 700 = 2200 > 1800
Nên yOz = 3600 2200 = 1400
Vậy: yOz = 1400
b) Vì Ot là tia phân giác của góc yOz
1
1
yOt = yOz = .1400 = 700
2
2
Vậy số đo góc yOt là 700

a Xet sụ nguyờn tụ p khi chia cho 3.Ta cú: p=3k+1 hoc p=3k+2 ( k
N*)
Nờu p=3k+1 thi p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hờt cho 3
Nờu p=3k+2 thi p2-1 = ( 3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hờt cho 3
Võy p2-1 chia hờt cho 3.
b Ta có: 129 là số lẻ.
2 x + 2 y là số lẻ. x = 0 hoặc y = 0
Trờng hợp 1: Với x = 0.

0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
0,25

0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

1 + 2 y = 129 2 y = 128

y=7
Trờng hợp 1: Với y = 0.

0.25

1 + 2 = 129 2 = 128
x

x

x=7
Vậy: x = 0; y = 7 hoặc x = 7; y = 0
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0.25