Đề & đáp án toán HSG L9

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2005 - 2006
Môn : Toán (Vòng 1)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (8 điểm)
Cho phơng trình
2 2
2 2 2 0 (1).x mx m + =
.
1. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt.
2. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức
3 3
1 2
5
2
x x+ =
.
3. Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của
m
để
nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2: (4điểm)
Giải phơng trình:
2 2
4 3 4x x x x + =
(2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có
ã
0
60 ; ;ABC BC a AB c= = =
(
,a c
là hai độ dài cho trớc),
Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên
cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
1. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn
nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
2. Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-
pa. Tính diện tích của hình vuông đó.
Hết
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2005 - 2006
Môn : toán (Vòng 1)
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung Điểm
1. 8,0
1.1
(2,0 điểm)

Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ là:
2
2
' 4 0
2
0
2
0
m
m
P
S m

= >



= >


= >


0.5
2
2 2 2
0
m
m m
m

<

> < <


>

1.5
1.2
(3,0 điểm)
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
2
' 4 0 2 2m m = > < <
(*)
0,50
( ) ( )
2
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
5 5
3
2 2
x x x x x x x x

+ = + + =

0,50
2
2 3

3( 2) 5
6 5 0
2 2
m
m m m m


= + =


0,5
( )
( )
2
1 2,3
1 21
1 5 0 1;
2
m m m m m

+ = = =
m
0,5
Ta có:
2
1 21 3 21 1 21
2 0 2
2 2 2
x
+

= > = <
3
1 21
0 2
2
x
+
= > >
và
3 3
5 21
2 0 2
2
x x

= > <
0,5
Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán:
1 21
1;
2
m m
+
= =
0,5
1.3
(3,0 điểm)
Phơng trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi:
2
2

' 4 0
2
0 2 2 (**)
2
0
m
m
P m
S m

=



=


= >


0,50
Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:
( )
2 2
1 2 1 2
4 4
; 0 2; 2
2 2
m m m m
x x x x m

+

= =

0,50
Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm dơng của phơng
trình là
2
2
4
0
2
m m
x
+
= >
. Suy ra:
( )
2 2
2 2 2
2
2
4 2 4
2 4 4
4 4
m m
m m m m
x
+
+ +

= =
0,50
Theo bất đẳng thức Cô-si:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 4 4m m m m m m+
0,50
Suy ra:
2
2 2
2 2x x .
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2 2
4 2 2; 2m m m

= =

.
0,5
Vậy nghiệm dơng của phơng trình đạt giá trị lớn nhất là
2 2khi m =
0,5
2.
(4,0 điểm)
( )
2
2 2
2
2 2
4 0

4 3 4
4 3 4
x x
x x x x
x x x x



+ =

+ =


(2)
( )
2
2
2
2
4 0
0 4
4 2 4
3 0
3
t x x
t
t x
t t
t t

=




=

+ =


=


(3)
0,5
1,0
Gii phng trỡnh theo t, ta cú:
1
1 13
0
2
t

= <
(loại);
2
1 13
0
2
t

+
= >
2 2
13 9
4 0 4
2
t t

= < <
. Suy ra nghiệm của (3) là
2
t
.
1,0
Giải phơng trình
1
2 2
2 2
2
9 13
2
2
4 4 0
9 13
2
2
x
x x t x x t
x

=

= + =



= +


Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
1,2
9 13
2
2
x

=
1,0
0,5
3. 8,0
3.1
+ Đặt
(0 )AM x x c=
.
Ta có:

MN AM ax
MN

BC AB c
= =
( )
0
3
sin 60
2
c x
MQ BM

= =
.
Suy ra diện tích của MNPQ là:
( )
( )
3
3
2 2
ax c x
a
S x c x
c c

= =
2,0
+ Ta có bất đẳng thức:
2
( 0, 0)
2 2
a b a b

ab ab a b
+ +

> >
ữ

áp dụng, ta có:
2
2
( )
2 4
x c x c
x c x
+

=
ữ

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2
c
x c x x= =
.
Suy ra:
2
3 3
2 4 8
a c ac
S

c
ì =
.
Vậy:
max
3
8
ac
S =
khi
2
c
x =
hay M là trung điểm của cạnh AC.
2,0
3.2 + Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC.
Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'.
Dựng hình chữ nhật:
E'F'G'H'
( ' ; ', ' )E AB G H BC
.
Ta có: E'F'//EF và F'G'//FG, nên:
' ' ' ' ' 'E F BE BF F G
EF BE BF FG
= = =
' ' ' 'E F F G
=
. Do đó E'F'G'H' là hình vuông.
1,0
+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình

vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình
chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tơng tự trên, ta có EF =
FG, suy ra EFGH là hình vuông. 1,0
+ Ta có:
0
' 1
cot 60
' '
3
BH
g
E H
= =
;
ã
' ' ' ' ' 1
cot ' 1 1
' ' ' ' ' '
3
BG BH H G BH
g F BC
F G F G E H
+
= = = + = +
.
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F duy
nhất.
Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở trên cạnh
BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.

1,0
+ Đặt AE x= . Ta có
EF AE ax
EF
BC AB c
= =
;
( )
( ) 3
sin
2
c x
HE c x B

= =
EFGH là hình vuông, nên
2
( ) 3 3
2
2 3
ax c x c
EF EH x
c
a c

= = =
+
Suy ra diện tích hình vuông EFGH là:
( )
2 2

2
2
3
2 3
a c
S EF
a c
= =
+
1,0
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh