SKKN huong dan hs lop 7 giai toan ti le thuc va day ti so bang nhau

Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp7 giải toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số
bằng nhau.
1.Lí do chọn đề tài:
Chúng ta vẫn thường nói "Toán học là cánh cửa và là chìa khoá để đi
vào các ngành khoa học khác” , có lẽ vậy mà toán học ngày nay giữ một vai
trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật. Nó ngày càng thu hút
sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường ph ổ thông và
kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi.
Trong đổi mới phương pháp dạy học thì tự học là m ột yêu cầu quan
trọng đối với học sinh, giúp cho học sinh say mê h ọc tập,hi ểu sâu ki ến th ức
và quan trọng là phát triển tư duy sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để
học sinh có hứng thú trong việc học,tự tìm th ấy niềm vui say mê h ọc toán.
Thì giáo viên cần cung cấp cho học sinh một hệ th ống kiến th ức t ừ d ễ đ ến
khó,cho học sinh thấy bài toán khó đều bắt đầu từ bài toán c ơ bản. H ọc có
thể thấy mình tự sáng tạo ra bài toán tương tự.
Vì vậy là một giáo viên giảng dạy môn toán tôi nhận th ấy đ ể phát
triển tư duy sáng tạo của con người đặc biệt là với học sinh THCS thì không
phải ngày một ngày hai là có được, mà nó là cả m ột quá trình rèn luy ện,
phấn đấu thường xuyên. Học các môn khoa học đặc biệt là toán học sẽ giúp
học sinh phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi học sinh THCS các em đang hình
thành khái niệm tư duy toán học, nên giáo viên cần quan tâm sâu sắc. Trong
phân môn đại số 7 tôi thấy phần “Tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ s ố bằng
nhau” là phần kiến thức mới và rất cơ bản với học sinh, nh ưng các em còn
mắc nhiều sai lầm trong khi giải các dạng toán ở phần này, đ ặc biệt là các
dạng toán trong các kỳ thi violympic toán mạng . Để các em tránh khỏi
những vướng mắc trong khi giải các dạng toán như: c hứng minh đẳng thức
1

Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
từ một tỉ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ v ới các s ố cho
trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng... Bằng kinh nghiệm c ủa b ản
thân trong quá trình giảng dạy tại trường tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài:
“HƯỚNG DẪN HỌC SNH LỚP 7 GIẢI TOÁN VỀ TỈ LỆ TH ỨC VÀ TÍNH CH ẤT
CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ”.
2.Đối tượng nghiên cứu:
Nhằm nắm lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi
kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I .
-Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp
-Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
-Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh
từ đầu năm học đến kết quả học kì một.
- Đối tượng được áp dụng là học sinh lớp 7 ( năm học 2016-2017).
3. Mục đích nghiên cứu:
Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy kiến th ức về tỉ l ệ th ức,
tính chất dãy tỉ số bàng nhau khá quan trọng trong việc vận dụng vào các
dạng toán tỉ lệ thuận ,tỉ lệ nghịch ở chương II toán 7 tập I, tìm độ dài đoạn
thẳng, cạnh của một tam giác, trong các tam giác đồng dạng (ở l ớp 8-9)...
Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ th ức, tính ch ất c ủa dãy
tỉ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh l ớp 7A, 7G (l ớp tôi tr ực
tiếp giảng dạy) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ
thức, tính chất dãy tỷ số bàng nhau và thấy kết quả như sau:
Điểm số
Lớp

Sĩ số

0-1-2

3-4

5-6

7-8

9-10

7A

44

5

19

6

4

0

7G

32

10

19

3

0

2


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn tr ở và băn khoăn.
chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra m ột s ố
phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc th ực
hành giải bài tập.
4.Phạm vi và thời gian thực hiện:
* Phạm vi:
-Áp dụng đối với học sinh lớp 7A và 7G.
*Thời gian thực hiện đề tài: trong năm học 2016-2017 trên cơ sở
các tiết dạy về giải toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số băng nhau.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện thành công đề tài này tôi đã thực hiện các ph ương pháp
nghiên cứu như sau:
a.Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
Nghiên cứu tài liệu chuẩn kiến thức môn Toán 7,sách giáo khoa, sách giáo
viên, thiết kế bài giảng toán THCS, ý kiến của các nhà nghiên c ứu , các nhà
quản lý giáo dục, các giáo viên giỏi nhiều kinh nghiệm trên các tạp chí và
báo toán học tuổi trẻ...

b.Phương pháp điều tra:
Điều tra thực trạng học sinh trong trường . Triển khai nội dung đề tài,
kiểm tra và đối chiếu kết quả h ọc tập của học sinh từ đ ầu năm h ọc đến
cuối học kì I.
c.Phương pháp gia thiêt khoa học:
Học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỉ lệ th ức và tính ch ất c ủa
dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán t ừ đ ơn gi ản đ ến ph ức
tạp. Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỉ lệ th ức
và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các d ạng toán khác
như (thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số h ạng
chưa biết của một tỉ lệ thức, tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số
3


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
bằng nhau và tổng hoặc hiệu của các số hạng đó, ch ứng minh đ ẳng th ức,…).
Thông qua việc giải bài tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ
năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn th ận, linh hoạt.

PHẦN THỨ HAI:
NHỮNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI MỚI ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.

Khao sát thực tê
Trường tôi có vị trí địa lý nằm ở vùng trung du thuộc b ảy xã mi ềm

núi của Huyện , đa số học sinh là con em nông thôn trong đó h ọc sinh dân
tộc mường chiếm tỉ lệ cao, đời sống kinh tế của bà con nơi đây còn g ặp r ất
nhiểu khó khăn, trình độ hiểu biết thì hạn chế, nên việc học tập của các em

chưa được phụ huynh quan tâm đúng mực.Hơn nữa toán 7 là môn khoa h ọc
tự nhiên với nhiều kiến thức khó và trìu tượng, đặc biệt đối với học sinh
khối 7 các em mới bắt đầu làm quen với môn đại số có ph ương pháp h ọc và
cách giải phần nào khác lạ với bộ môn số học trước đây.Một số học sinh có
nhận thức tốt thì các em làm quen và thích ứng rất nhanh, xong m ột s ố h ọc
sinh yếu hơn thì với các em đó lại là cả một quá trình lĩnh h ội kiến th ức r ất
vất vả ,có lẽ vì thế mà phần đa học sinh ch ưa có đ ược ph ương pháp t ốt đ ể
giải toán, trong đó có dạng toán vê tỉ lệ thứcvà dãy tỉ số bằng nhau.
2.

Số liệu điều tra trước khi thực hiện:
Điều tra 76 học sinh khối 7 của hai lớp 7A,7G về giải m ột số bài
toán dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau không quá khó, thông
qua bài kiểm tra cho kết quả cụ thể như sau:
Điểm số
Lớp

Sĩ số

0-1-2

3-4

5-6

7-8

9-10

7A

44

5

19

6

4

0

4


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
7G

32

10

19

3

0

Nhìn vào bảng trên ta thấy, điểm dưới trung bình chiếm số lượng cao 53
em,điểm trên trung bình chỉ có 13 em, tỉ lệ trên trung bình chiếm tỉ l ệ th ấp,
nguyên nhân có thể các em chưa nắm được cách làm, một số em do lười học
nên không có kiến thức cơ bản...Muốn giải quyết các v ấn đề khó khăn trên
học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững ch ắc v ề mặt lý
thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, t ừ đó m ới tìm
cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất.
Để học sinh có được điều trên thì trước hết ph ải xuất phát t ừ ng ười
thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của d ạng toán
một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh :
-

Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát

-

Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ
thể

-

Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau

-

Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán.

Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nh ỏ kinh
nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng gi ải d ạng toán
vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại s ố 7.

3.Nội dung vấn đề:
3.1. Lý thuyêt:
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số
Ta còn viết:
a : b = c : d.
5

a c
=
b d

.


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung t ỉ(s ố h ạng
trong).
a c
=
b d

b. Tính chất của tỉ lệ thức:
a c
=
b d

Tính chất 1: Nếu
thì a.d = b.c
Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các t ỉ l ệ th ức:

a c
=
b d

;

a b d c
=
=
c d b a

;

;

d b
=
c a

.

a c
=
b d

Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức
suy ra các tỉ lệ thức:
c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

a c
=
b d

suy ra

Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau
a c i a+c+i
a −c +i
= = =
=
b d j b+d + j b−d + j

a b
=
c d

a c a+c a−c
= =
=
b d b+d b−d

a c i
= =
b d j

,

d c d b
=

=
b a c a

,

, (b ≠ ± d)

ta suy ra:

, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

≥

Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n 2):

a
a1 a2 a3
=
= = ... = n
b1 b2 b3
bn

thì

a
a + a + a + ... + an a1 − a2 + a3 + ... − an
a1 a2 a3
=
= = ... = n = 1 2 3
=

b1 b2 b3
bn b1 + b2 + b3 + ... + bn
b1 − b2 + b3 + ... − bn

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đ ặt
dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy t ỉ s ố b ằng nhau
cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho tr ước, ta l ập
được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số h ạng trên ho ặc số
hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
•

chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có:
viết:
x:y:z=a:b:c
6

x y z
= =
a b c

. Ta cũng


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

Kiến thức bổ sung
* Luỹ thừa của một thương:
n

x
 y÷
 

=

xn
yn
Với n

∈

* Một số tính chất cơ bản:
a
a.m
=
b
b.m
≠
*
Với m 0.
a
c
a
c
=
⇔
=
b

d
b.n
d .n
*
a
b

=

c
d

n

a
⇒  ÷
b

N, x

≠

Với n

0 và x, y

≠

∈

Q.

0.

n

c
=  ÷
d

*
3.2. Các giai pháp thực hiện:

Với n

∈

N.

Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh g ặp nhi ều sai
sót trong quá trình giải toán . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày
lời giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”

Ví dụ:

x y
x
y
= (⇒)
=

9 5 d 9.3 5.3

Hãy tìm x, y, z biết

Giải:

thì các em lại dùng dấu “=” là sai.

x y z
= =
5 3 4

và x +y + z = 12

x y z
x + y + z 12
= = (⇒ )
=
=1
5 3 4 S 5 + 3 + 4 12

vậy

x
= 1 ⇒ x = 5.1 = 5
5

Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai.
Vì vậy tôi đưa ra một số dạng toán nhỏ giúp các em không còn sai sót trong
lời giải của mình:

1.

Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước

2.

Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.

3.

Tính gía trị của biểu thức.
7


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
4.

Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

3.3. Các dạng toán và cách giai:
** Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho tr ước.
Phương pháp giai: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng
minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó.

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức:
a
c
=
a −b c − d

a c
=
b d

; hãy chứng minh tỉ lệ thức sau:

( giả sử a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 )

Các cách giải:

* Cách 1: Để chứng minh

a
c
=
a −b c − d

Ta có: a.(c-d) = ac - ad

(1)

c.(a-b) = ac - cb

(2)

Ta lại có:

a c
=

b d ⇒

Từ (1), (2), (3)

Do đó:

⇒

ta xét tường tích a.(c-d) và c.(a-b).

a.d = b.c (3)

a(c-d) = c(a-b)

a
c
=
a −b c − d

* Cách 2: Dùng phương pháp đặt
a c
=
b d

= K thì a = bK ; c = dK

8


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng

nhau
a
c
=
a −b c − d

Ta tính giá trị của các tỷ số:
a
bK
bK
K
=
=
=
a − b bK − b b( K − 1) K − 1

c
dK
dK
K
=
=
=
c − d dK − d d ( K − 1) K − 1

Từ (1) và (2)

a
c
=

⇒ a −b c−d

theo K ta có:

(1)

(2)

.
a
c
=
a −b c− d

Trong cách giải này, để chứng minh ti
. ta chứng minh hai tỉ số ở hai
vế cùng bằng một tỉ số thứ ba. Để làm được điều đó ta đã đặt giá trị chung các tỉ
số ở tỉ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng
minh theo k.
* Cách 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức:
a c
=
b d

ta được

a b
=
c d

áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta được:
a b a −b
= =
c d c−d

Hoán vị các trung tỷ của

a a −b
=
c c−d

ta được

a
c
=
a −b c−d

Trong cách giải này, sau khi hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho,ta dùng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau.Cuối cùng lại hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới
được tạo ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh.

9


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
* Cách 4:
a c
b d

b
d
a −b c −d
a
c
=
=
1− = 1− ⇒
=
⇒
=
b d ⇒ a c ⇒
a
c
a
c
a −b c −d

.

Trong cách giải này, từ tỉ lệ thức đã cho ta biến đổi dần thành tỉ lệ thức phải chứng
minh bằng cách dùng các tính chất hoán vị, tính chất của đẳng thức v.v...

Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh tỷ lệ thức
2 phương pháp chính :

a c
=
b d

thường ta dùng

Phương pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc.

Phương pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số

a
b

và

c
d

có cùng một giá trị.

Nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội
tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải
chứng minh theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức
nhưng hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức
để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4).

Ví dụ 2: cho tỷ lệ thức sau

a c
=
b d

Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có
nghĩa).

a)

ad a 2 + b 2
=
cd c 2 − d 2

b)

2a + 5b 2c + 5d
=
;
3a − 4b 3c − 4d

Từ 4 cách giải ở ví dụ1 mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo một cách,
Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hướng dẫn học sinh cùng thực hiện.
Giải:
Giải:
ad a 2 + b 2
=
cd c 2 − d 2

a)
Cách 1: Xét tích ac(b2 + d2) và bd(a2 + c2), ta có:
10


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
ac(b2 +d2) = ab2c+ acd2 =ab.bc + ad.cd (1)
bd(a2+ c2) = a2bd + bc2d = ab.ad = bc.cd (2)

a c
=
b d

Mặt khác ta lại có:
=> ad = bc
Kết hợp với (1) và (2) suy ra:
ac(b2 +d2) = bd(a2+ c2). Suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Đặt
ac bk .dk
=
bd
bd

a c
=
b d

= k => a = bk; c = dk. Ta có:

= k2 (1)

a 2 + c 2 (bk ) 2 + (dk ) 2 k 2 (b 2 + d 2 )
=
=
= k2
2
2
2

2
2
2
b +d
b +d
b +d

(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
Cách 3:
a c
=
b d

2

2

a c
a c 
 ÷ = ÷ = .
b d
b d 

a 2 c 2 ac
=
=
b 2 d 2 bd

Từ:

=>
, do đó
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

(1)

a 2 c2 a 2 + c 2
=
=
b2 d 2 b2 + d 2

(2)
Từ (1) và (2) Ta suy ra điều phải chứng minh.
b)

2a + 5b 2c + 5d
=
;
3a − 4b 3c − 4d

Cách 1 : là ta có thể so sánh tích các trung tỉ và tích các ngoại tỉ
Giải:
Xét tích A = (2a + 5b)(3c – 4d) = 6ac – 8ad + 15bc – 20bd
B = (3a – 4b)(2c + 5d) = 6ac +15ad – 8bc – 20bd
Mặt khác theo giả thiết ta lại có:

a c
=
b d

=> ad = bc

Nên B = 6ac + 15bc – 8ad – 20bd = A =>
11

2a + 5b 2c + 5d
=
;
3a − 4b 3c − 4d


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Cách 2: làm tương tự cách 2 của câu a) Chỉ ra 2 vế của đẳng thức cần chứng minh
đều bằng

2k + 5
3k − 4

từ đó suy ra điều phải chứng minh.

*.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng : Nếu

a c
= ≠1
b d

thì

a+b c+d
=
a −b c−d

với a, b, c, d ≠ 0.

Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo ví dụ 1.
Bài 2: Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a
1 1 1 1
= ( + )
c 2 b d

và c và
.
Chứng minh bốn số đã cho lập thành một tỉ lệ thức.
Gợi ý cách giải: Chỉ ra tồn tại đẳng thức ad = bc.

** Dạng 2 : Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
* Phương pháp chung:
+) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng.
Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan
hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi
mới sử dụng được.
+) Có thể sử dụng phương pháp ở dạng 1.
+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc
tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý
các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm.
a)
b)
c)

d)

Ví dụ 1. Tìm x, y khác 0 biết:
= và 2x + 5y = 10
= - và 2x + 3y = 7
21.x = 19.y và x – y = 4
= và x.y = 84

12


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Bài này chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là tìm được
ngay đáp số của bài; Nhưng trước tiên phải biến đổi tỉ lệ thức của bài một chút
cho phù hợp với mối quan hệ còn lại.
Lời giải:
a) Có =
⇔ = = =
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = =
Do đó: +) =
suy ra x = =
+) = suy ra y = =
Vậy: x = và y =
b) Có = ⇔ =
Do đó: = = =
Hay: +) = suy ra: 2x = ⇔ x = +) = suy ra: y =
Vậy: x = - và y =
c) 21.x = 19. y ⇔ =

Do đó: = = = = -2
Hay: +) = -2 ⇔ x = -2.19 = -38
+) = -2 ⇔ y = -2.21 = -42
Vậy: x = - 38 và y = - 42
d) =
⇒ = = = =4
Hay: +) = 4 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± 6
+) = 4 ⇔ y2 = 196 ⇔ y = ± 14
Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
* Cũng có em làm cách khác:
Có = ⇔ =
mà xy = 84 ( x và y cùng dấu)
nên . xy = . 84 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± 6
và xy: = 84:
⇔ y2 = 196 ⇔ y = ±14
Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết:
a)
= ; =
và 2x + 3y – z = 186
b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124
c)
= = =
Lời giải:

13


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Chắc chắn là phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lại

chưa có, hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau.
Có: =
⇔ =
=
⇔ =
Do đó: = = = = = = = 3
Hay: +) = 3 ⇔
x = 3.15 = 45
+) = 3 ⇔
y = 3.20 = 60
+) = 3 ⇔
z = 3.28 = 84
Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
b) Tương tự như câu a): Có x : y : z = 3 :5 : (- 2) ⇔ = =
Do đó, ta có: = = = = = = = 31
Hay: +) = 31 ⇔ x = 31.3 = 93
+) = 31 ⇔ y = 31.5 = 155
+) = 31 ⇔ z = 31.(-2) = -62
Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
c)
Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác
như những bài trước. Khác những bài trước, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm
thế nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau
không?
Có: = = = = = 2
Suy ra: x+y+z = .
Khi đó: y+z = - x ; x+z = - y ; x+y = - z
Do đó: +) = 2
⇔
=2

⇔ x=
+) = 2
⇔
=2
⇔ y=
+) = 2
⇔
=2
⇔
z=Vậy: x = ; y = ; z = - .
Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết: = = và 5z – 3x – 4y = 50
Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y
bằng cách nào đây? Vì x còn vướng -1, y vướng 3 và z vướng -5. Cứ bình tĩnh
và làm như bình thường xem sao?
Lời giải:
Có: = = & 5z – 3x – 4y = 50
⇔
= = & 5z – 3x – 4y = 50
⇔
= = = = =2
Hay: +) = 2
⇔
x–1=4
⇔ x=5
a)

14


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng

nhau
+) = 2
⇔
y+3=8
⇔ y=5
+) = 2
⇔
z – 5 = 12 ⇔ z = 17
Vậy: x = y = 5 ; z = 17
Ví dụ 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau?
Lời giải:
Có: 2a = 3b = 4c ⇔
= = = = =
Khi đó: = = = = = 7
Hay: +) = 7 ⇔ a = 7.6 = 42
+) = 7 ⇔ b = 7.4 = 28
+) = 7 ⇔ c = 7.3 = 21
Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21
Ví dụ 5. Tìm x biết: =
Làm như thế nàođể gải bài toán? Chỉ có mỗi một mối quan hệ, có thể làm
triệt tiêu x được không?
Hướng dẫn:
Có: = = = = 4
Hay: = 4
⇔ x – 12 = 20
⇔
x = 20 + 12
⇔
x = 32

Vậy: x = 32.
Ví dụ 6. Tìm a, b biết rằng:
a) = và a2 – b2 = 36
b) =
và ab = 48
Muốn sử dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bước
biến đổi đã: Phải làm xuất hiện được a2, b2 ở câu a và tích ab ở câu b. Làm
được điều đó thì coi như bài toán đã được hoàn thành 90%.
Lời giải:
a) Có: = (a, b cùng dấu)
Suy ra: = = = = 4
Hay: = 4
⇔
a2 = 100
⇔
a = ± 10
=4
⇔
b2 = 64
⇔
b=± 8
Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc
a = - 10 và b = - 8.
b) Có: =
Suy ra: = = = = 4
15


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

Hay: = 4
⇔
a2 = 36
⇔
a=± 6
=4
⇔
b2 = 64
⇔
b=± 8
Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8.
Ví dụ 7.
a) Tìm phân số có dạng tối giản biết = với a, b ∈ Z và b ≠ 0.
b) Cho phân số . Tìm các số nguyên x, y sao cho = .
Lời giải:
a) =
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = = =
Phân số cần tìm có dạng tối giản = nên phân số cần tìm có dạng
với k ∈ Z và k ≠ 0.
b) Tương tự như câu a, nhưng tổng quát hơn.
Có: = = =
Với = thì ta có thể tìm được vô số các số nguyên x, y thoả mãn.
Ví dụ 8. Tìm x, y biết:
a) = & x4 y4 = 16
b) = & x10 y10 = 1024
c) = =
Bài này khó đây, số mũ to, có 2 số chưa biết mà chỉ có 1 mối quan hệ.
Làm bằng cách nào, làm như thế nào?
Lời giải:

a) Có thể đưa về số mũ nhỏ hơn không? Đưa về bài toán đã biết cách làm có
được không? Còn chần chừ gì nữa, cứ thử xem?
Từ
= suy ra: = = và x, y cùng dấu (1)
Với x4 y4 = 16 ⇔ xy = ± 2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
= = = =
2
Hay: +) = ⇔ x = 1 ⇔ x = ± 1
+) = ⇔ y2 = 4 ⇔ y = ± 2
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
b) Có sử dụng được cách làm như ở câu a không? Tại sao lại không thử xem?
Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm.
Có: = = =
⇔
=
16


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
⇔

= x2
⇔
x=±
Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024
⇔ y20 = 210.1024
⇔
y20 = 220

⇔
y=±2
Do đó: x = ± 1
Vậy: x = 1 và y = 2
hoặc x = –1 và y = –2
hoặc x = 1 và y = –2
hoặc x = –1 và y = 2
c) Câu này làm học sinh hoang mang bởi vị trí của x. Nhưng chính điều đó
lại là chìa khoá để mở cửa căn phòng chứa đáp án của bài.
Hãy gợi ý các em nhận về mối quan hệ giữa 2x +1, 3y – 2 và 2x + 3y – 1. Bây
giờ thì bài lại trở thành quá đơn giản với những gì có trong hành trang của các
em.
= = (1)
= = = (2)
Từ (1), (2) ta có: 6x = 12 ⇔ x = 2 thay vào (1) thì y = 3
Vậy: x = 2 và y = 3.
Ví dụ 9. Tìm ba số x, y, z biết = = (1) và x2 + y2 + z2 = 14
Làm thế nào đây khi vừa có mũ 3 lại có cả mũ 2? Thường thì hạ bậc
xuống thấp cho dễ tính, làm điều đó với bậc 2 ở đây là không thể, còn bậc 3 thì
sao?
(1) ⇔ = =
Suy ra: = = = = =
Hay: +) =
⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1
+) = ⇔ y2 = 4 ⇔ y = ± 2
+) =
⇔ z2 = 9 ⇔ z = ± 3
Mà theo (1) thì x, y, z cùng dấu
Nên: x = 1; y = 2; z = 3 hoặc x = –1; y = –2; z = –3.
* tiểu kết:

Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận
thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng rất cần đến
khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài toán
về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.
* Bài tập tương tự:
Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết:
a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a – b + c – d
17


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30
c) 3a = 4b & b – a = 5
c) = ; = & a + b – c = 69.
Bài 2. Tìm x, y, z biết:
a)
b)

x y
=
2 3
x y
=
5 3

và xy = 54
; x2 – y2 = 4 với x, y > 0

x y

=
2 3

y z
=
5 7

c)
;
và x + y + z = 92
d) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95
e)

x
y
z
=
=
= x+ y+ z
y + z +1 x + z +1 x + y − 2
x=

g)

y z
=
2 3

và 4x – 3y + 2z 36

x2 y2
=
9 16

k)
và x2 + y2 = 100
Bài 3. Tìm x biết:
a)

x−2 x+4
=
x −1 x + 7

b)

x−3 5
=
x+5 7

c)

x −1 x − 2
=
x+2 x+3

** Dạng 3 :Tính gíá trị của biểu thức.
*Phương pháp chung:
+) Đây là dạng bài tập khó, yêu cầu học sinh phải huy động nhiều
kiến thức và kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương pháp đã
học. Khả năng quan sát và dự đoán được sử dụng nhiều, liên t ục, đ ồng

thời với sự suy luận logic, sáng tạo...

Ví dụ 1. Cho x, y, z thoả mãn:

x y z
= =
2 5 7

18

với x, y, z khác 0.


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

Tính: P =

x− y+ z
x + 2y − z

Bài này tương đối khó khi thoạt nhìn, vì học sinh chẳng biết làm
thế nào để tính được P đây? Cứ bình tĩnh quan sát đ ặc đi ểm c ủa bi ểu
thức P để tìm mối liên hệ giữa P và dãy tỉ số bằng nhau đã cho thì các
em không chỉ tìm được một cách làm.
x y z
= =
2 5 7

* Đặt

Khi đó: P =

Vậy: P =

= k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k

2 k − 5k + 7 k 4 k 4
=
=
2k + 10k − 7k 5k 5

4
5

* Hoặc cách khác:

Ta có:

Lại có:

x y z x− y+z x− y+z
= = =
=
2 5 7 2−5+7
4

suy ra x – y + z = 2x

x 2y z x + 2y − z x + 2y − z

=
= =
=
2 10 7 2 + 10 − 7
5

Do đó: P =

Vậy: P =

suy ra x + 2y – z =

2x 4x 4
=
=
5x 5x 5
2

4
5

Ví dụ 2. Cho 3 tỉ số bằng nhau

a
b+c

;

Tìm giá trị c ủa mỗi t ỉ s ố đó.
19

b
c+a

;

c
a+b

.

5x
2


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án:
a
b+c

=

b
c+a

c
a+b

=

a+b+c
(b + c) + (c + a ) + (a + b)

=

=
1
2

Và kết luận: Giá trị của mỗi tỉ số đã cho là

1
2

.

Nhưng chỉ có thế thì lời giải bài toán chưa được hoàn thiện. Mà phải
trình bày được như sau:

Có:

a
b+c

=

b
c+a

=

c
a+b

+) Nếu a + b +c ≠ 0 thì

a+b+c
a +b+c
=
(b + c) + (c + a ) + ( a + b) 2(a + b + c )

=

a
b+c

b
c+a

=

=

c
a+b

=

(*)

a+b+c
(b + c ) + ( c + a ) + ( a + b )

=

1
2

+) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c.

Khi đó:

Hoặc:

a
b+c
a
b+c

=

=

a
= −1
−a
b
c+a

=

;

b
b
=
= −1
c + a −b

c
a+b

=

c
= −1
−c

Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì

+) Nếu a + b +c = 0 thì

Ví dụ 3.

Cho biểu thức: P =

;

c

c
=
= −1
a + b −c

a
b+c
a
b+c

=

=

b
c+a
b
c+a

=

=

c
a+b
c
a+b

=

=

1
2

−1

x+ y y+ z z +t t + x
+
+
+
z +t t + x x+ y y+ z

Tìm giá trị của biểu thức P biết:

x
y
z
t
=
=
=
y+ z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z
20

(*)


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

Làm thế nào để tính được giá trị của biểu thức P? Có thể thấy dãy
tỉ số bằng nhau (*) khá quen thuộc, nhưng P thì không.
Liệu có thể sử dụng các cách đã làm không? Sử lí (*) như th ế nào đây?
Lời giai:
x
y
z
t
+1 =
+1 =
+1 =
+1
y+ z+t
z+t + x
t+ x+ y
x+ y+ z

Có:

Hay:

x+ y+ z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
=
=
=
y + z +t
z +t + x
t+x+ y
x+ y+z

+) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z
⇔

x=y=z=t

khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4

+) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ;

y + z = – (z + t)

Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4
Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0
+) P = – 4 khi x + y + z + t = 0
*.Bài tập vận dụng;
Bài 1. Cho A =

x + 2 y − 3z
x − 2 y + 3z

. Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.

Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c.

Tính giá trị biểu thức :

Q=

Ax + By + C
ax + by + c

Bài 3. Cho 4 tỉ số bằng nhau:
a+b+c
d

;

b+c+d
a

;

c+d +a
b

;
21

d +a+b
c


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.
** Dạng 4: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
Để làm tốt dạng toán này học sinh cần nắm thêm một số kiến thức cơ bản sau:
1.

x,y,z tỉ lệ thuận với các số a,b,c có thể thay bằng tỉ lệ giữa các số ngyên:

*Nếu các số a,b,c là các số thập phân với số chữ số thập phân lần lượt là n1,n2, n3
thì thực hiện a: b: c = (a.10n) : ( b.10 n) : ( c.10n) trong đó n bằng max n1,n2, n3 .

*Nếu a,b,c là các phân số thì thực hiện a:b:c =

 m  m  m
 a. ÷:  b. ÷:  c. ÷
 n  n  n

Trong đó m là BCNN của các mẫu, n là ƯCLN của các tử.

*Sau khi đã có dãy tỉ số bằng nhau áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau để
giải toán.

2. x, y,z tỉ lệ nghịch với các số a,b,c <=> x::y:z =
như phần 1.

1 1 1
: :
a b c

, rồi thực hiện

M ột s ố ví d ụ minh h ọa:
Ví dụ 1: (Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Hướng dẫn
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm),(a,b,c

>0

)

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22

Vì các cạnh của tam giác t ỉ lệ v ới 2;4;5 nên ta có
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
a b c a + b + c 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11

22

a b c
= =
2 4 5


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau
Suy ra
a
= 2→a =4
2
b
=2→b=4
4

c
= 2 → c = 10
5

Thử lại các giá trị trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu gi ữa c ạnh l ớn nh ất và
cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được c-a=3.
Ví dụ 2:
a, chia số 330 thành ba số tỉ lệ với 0,4; 0,6; và 1,2.

b, Chia số 1280 thành ba số tỉ lệ nghịch với 0,(6); 0,7; và 1,5.
c, Ba số tỉ lệ theo 0,8; 2/3;0,05. Tìm ba số biết số thứ nhất lớn hơn tổng ba
số là 7,5.
d, Chia số 4500 thành ba số mà 80% số thứ nhất bằng 53,(3) % số thứ haivà
bằng 40% số thứ ba.
Hướng dẫn :
Gọi ba số phải tìm là x,y,z.
a, Chia số 330 thành ba số tỉ lệ với 0,4; 0,6; và 1,2
có nghĩa là tổng x+y+z = 330
Theo đề bài ta có : x:y:z=0,4: 0,6: 1,2
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
k=

x y z x + y + z 330
= = =
=
= 30
2 3 6
11

11


x = 60,y = 90, z = 180
23


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau

b, tương tự phần a, ta có : tổng x+y+z = 1208

x:y:z=

1
1
1
=
=
= 63 : 60 : 28
0, (6) 0, 7 1,5

giải tương tự ta có k = 8


x = 504, y = 480, z = 224.

c, vì số thứ nhất hơn tổng ba số là 7,5 nên ta có:
x- (y+z) = 7,5 và x:y:z=0,8:

2
3

: 0,05 48:40:3

tương tự ta có k= 8


x = 72, y = 60, z = 4,5.

d, Ta có :x+y+z = 4500 và x:y:z=

1
1
1
=
=
= 2: 3: 4
80% 53,(3)% 40%

tương tự ,có k = 500


x = 1000, y = 1500, z = 2000.

Ví dụ 3: Biết tổng hai số đầu hơn số thứ ba là 2000. Tìm ba số, nếu số thứ
nhất bằng 45% số thứ hai và số thứ ba bằng 135 % số thứ hai.
Hướng dẫn
Gọi ba số phải tìm là x,y,z.Ta có x+y-z = 2000.
Theo đề bài, có x:y = 45%=> x:y= 9: 20

và z:y= 135% => z:y = 27:20
suy ra dãy tỉ số bằng nhau

x
y
z
=
=
9 20 27

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
k=

x
y
z
x+ y−z
2000
=
=
=
=
= 1000
9 20 27 9 + 20 − 27
2
24


Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải toán tỉ lệ th ức và tính chất của dãy tỉ s ố b ằng
nhau



x = 9000, y = 20000, z = 27000.

Như vậy Khi làm các bài toán về chia tỉ lệ ta cần chú ý các bước làm sau:
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.

** Sau đây là một số sai lầm thường gặp trong giải toán
liên quan đến tỷ số bằng nhau
1.Sai lầm khi áp dụng tương tự

H/s áp dụng

x y x. y
= =
a b a.b

hay

x y z x. y.z
= = =
a b c a.b.c

Ví dụ 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng

H/s sai lầm như sau :

x y x. y 10
= =
=
=1
2 5 2.5 10

x y
=
2 5

và x.y=10

suy ra x=2,y=5

Bài làm đúng như sau:
x y
x.x x. y
x 2 10
= ⇒
=
⇒
= ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2
2 5
2
5
2
5

Từ
vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

hoặc từ
hoặc đặt

từ đó suy ra

y = ±5

x y
x2 x y
x 2 10
= ⇒ − . ⇒
= = 1 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x 2 = ±2
2 5
4 2 5
4 10
x y
= = x ⇒ x = 2 x, y = 5 x
2 5
25

vì xy=10 nên 2x.5x=10

⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1