SKKN hướng dẫn HS giải bài toán cực trị

Một vài kinh nghiệm
về việc hớng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số

Phần I
Đặt vấn đề
1) Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng.
Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát
triển t duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng
những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là
công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các phát
triển một cách toàn diện.
Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say
mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao
kiến thức cũng nh kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém môn toán là một
yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán nói chung. Nhất là đất nớc ta đang
trong thới kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con ngời năng
động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng Chính vì vậy mà việc bồi dỡng, nâng
cao kiến thức cho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khoá là rất cần
thiết và càng cần thiết hơn đối với học sinh lớp 9.
Xuât phát từ đó mà ngay từ năm học 2007 - 2008 tôi đã luôn cố gắng
tìm tòi, tham khảo tài liệu với mục đích nâng cao chất lợng học toán đại trà và
chất lợng mũi nhọn. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi rất chú
trọng đến dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
biểu thức đại số. Mặc dù trong chơng trình toán THCS không có bài dạy lý
- 1 -
thuyết về phơng pháp tìm GTLN, GTNN nhng trong hệ thống bài tập lại có đề
cập đến. Đặc biệt loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dỡng nâng cao
hay các đề học sinh giỏi, thi vào trờng chuyên, chọn Do đó cần thiết phải
dạy cho học sinh lớp 9 biết cách giải những bài toán cực trị trong những giờ

ngoại khoá, bồi dỡng Và ngay từ năm học 2007 - 2008 tôi đã trực tiếp hớng
dẫn học sinh lớp 9A, 9B giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đại
số. Đề tài này tôi lấy tiêu đề là: "Hớng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán tìm
GTLN, GTNN của một biểu thức đại số"
2) Nội dung nghiên cứu.
- Tìm hiểu các kiến thức và phơng pháp giải bài toán tìm GTLN, GTNN.
- Hớng dẫn học sinh giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu
thức đại số.
- Theo dõi kết quả tiếp thu kiến thức của lớp 9A, 9B và tỉ lệ học sinh
khá giỏi của lớp 9A, 9B trong hai năm học 2006 - 2007 và 2007 - 2008.
3) Phơng pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Thực hành qua quá trình học bồi dỡng, ngoại khoá cho học sinh.
- Sử dụng kết quả thu đợc để đánh giá kết quả của học sinh.
- Sử dụng phơng pháp thống kê.
- 2 -
Phần II
Nội dung cụ thể.
1) Định nghĩa GTLN, GTNN của một biểu thức.
Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên miền D. Ta nói M
là GTLN của f(x,y ) trên D nếu hai điều kiện sau đây đợc thoả mãn:
+ Với mọi x,y thuộc D thì f(x,y ) M (M là hằng số)
+ Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D mà f(x
0
, y
0

) = M
Khi đó ta kí hiệu: M = Max f(x,y ) với x,y thuộc D.
Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên miền D. Ta nói m
là GTNN của f(x,y ) trên D nếu hai điều kiện sau đây đợc thoả mãn:
+ Với mọi x,y thuộc D thì f(x,y ) m (m là hằng số)
+ Tồn tại x
0
, y
0
thuộc D mà f(x
0
, y
0
) = m
Khi đó ta kí hiệu: m = Min f(x,y ) với x,y thuộc D.
2) Giúp học sinh có đợc một số phơng pháp tìm GTLN, GTNN.
a) Phơng pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn:
- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y = f(x) về
dạng y = m + [g(x)]
2n
(nN
*
, m R). Khi đó y m Min y = m g(x) = 0.
- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y = f(x) về dạng
y = M - [h(x)]
2n
(nN
*
, M R). Khi đó y M h(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A

1
= 2x
2
- 8x + 1
- 3 -
Ta có A
1
= 2x
2
- 8x + 1 = 2(x - 2)
2
- 7
Vì (x - 2)
2
0 A
1
-7 Min A
1
= -7 x = 2
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:
A
2
= -3x
2
+ 4x + 2 = -3[(x
2
- 2x
3
2
+

9
4
) -
9
10
] = -3(x-
3
2
)
2
+
3
10
=
3
10
- 3(x-
3
2
)
2
Vì (x-
3
2
)
2
0 A
2

3

10
Max A
2
=
3
10
x =
3
2
b. Phơng pháp đa về dạng:
2
)(
k
xf
0 hoặc
2
)(
k
xf
0
Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
1
=
2
67
2
+

x
x

Ta có x R: B
1
=
2
67
2
+

x
x
=
1
2
)3(
2
)2()962(
2
2
2
22

+

=
+
++
x
x
x
xx

Vì x
2
+ 2 > 0 nên
2
)3(
2
2
+

x
x
x R
B
1
-1 Min B
1
= -1 x = 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B
2
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
Vì x
2

+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 > 0 x R
Nên ta có: B
2
=
2
7
2
1
3
32
1
3
32
1)32(3
22
2
=+
++
+=
++
+++
xxxx
xx
Vậy Max B
2
=
2
7

x = - 1
c) Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức.
Để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ta có thể dùng bất đẳng thức cô si
hoặc bất đẳng thức BunhiaCôpxKi
- 4 -
- Bất đẳng thức cô si
Nếu a
1
, a
2
, a
n
là các số không âm ta có:
n
n
n
aba
n
aaa


21
21

+++
Dấu "=" xảy ra a
1
= a
2
= = a

n
.
- Bất đẳng thức BunhiaCôpxKi.
Nếu a
1
, a
2
, a
n
và b
1
, b
2
, b
n
là 2 n số tuỳ ý
Ta có: (a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
) (b
1
2
+ b
2

2
+ + b
n
2
) (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
.
Dấu "=" xảy ra
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2

2
1
1
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C
1
=
x
x 1
+
y
y 1
Điều kiện: x 1; y 2
áp dụng bất đẳng thức Cô si.Ta có:
2
11
22
11
)1(1

=
+

x
xxx
x
Tơng tự áp dụng bất đẳng thức cô si Ta có:
4
2
22
1

2
22
22
)2(2 =

=
+

y
y
yy
y
4
22
4
2
2
1
2
1
1
+
=+

+

=
y
y
x

x
C
- 5 -
⇒
Max C
1
=
4
22 +
⇔
{ {
2
4
11
22
=
=
=−
=−
⇔
x
x
x
y
VÝ dô 2: T×m GTNN cña biÓu thøc: C
2
= x
2
+ y
2

+ z
2
biÕt x + y + z = 2001.
¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho hai bé: (1,1,1) vµ (x,y,z). Ta cã:
(1.x + 1.y + 1.z)
2

≤
(1
2
+ 1
2
+ 1
2
) (x
2
+ y
2
+ z
2
)
Hay 2001
2

≤
3 C
2

⇒
C

2
≥

3
2001
2
= 1334667
⇒
Min C
2
= 1334667
⇔
x = y = z = 667
- 6 -