Phương pháp hàm phạt Minimax chính xác cho bài toán tối ưu không trơn (LV thạc sĩ)

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

TÔ MINH QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHAT MINIMAX
CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG TRƠN

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Thái Nguyên - 2017


ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC

TÔ MINH QUYẾT

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHAT MINIMAX
CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: TOÁN ÚNG DỤNG
Mã số:

60.46.01.12

LUẬN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC

PGS. TS. ĐO VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2017


ii
i

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Cận dưới của tham số phat cua phương pháp hàm phat minimax chính xác cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu không kha
vi
4
1.1 Các khái niệm và ket qua liên quan.............................................4
1.2 Phương pháp hàm phat minimax chính xác...............................6
1.3 Sn tương đương cna bài toán toi ưu có ràng buộc và bài toán toi
ưu phat........................................................................................7
2 Phương pháp hàm phat minimax chính xác và định lí điểm yên
ngựa cho bài toán toi ưu véc - tơ loi không trơn

22
2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ.................................................22
2.2 Phương pháp hàm phat minimax chính xác và định lí điểm yên
ngna cho bài toán toi ưu véc - tơ không trơn............................. 25
2.3 Trưòng hop đặc biệt..........................................................................42
Kết luận

44

Tài liệu tham khao chính

45


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thay tôi PGS.TS. Đỗ Văn Lưu,
ngưòi đã trực tiếp hưóng dẫn luận văn, đã tận tình chi bao và hưóng dan tôi
tìm ra hưóng nghiên cúu, tìm kiem tài liệu, giai quyet van đe,... nhờ đó tôi
mói có thể hoàn thành luận văn cao học cna mình. Tù tận đáy lòng, tôi xin
bày to lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat tói Thay cna tôi và tôi se co
gang hơn nua để xứng đáng vói công lao của Thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tao trưòng Đai học
Khoa học - Đai học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đõ tôi trong suot thòi
gian học tập tai trưòng. Tôi xin cảm ơn quý thay cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt
là PGS.TS. Nguyen Thị Thu Thny, trưong Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm,
động viên, trao đoi và đóng góp nhung ý kien quý báu trong suot quá trình hqc
tập, nghiên cúu và hoàn thành luận văn.
Cuoi cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tói những ngưòi thân
trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ. Nhung ngưòi luôn động viên, chia sẻ mọi
khó khăn cùng tôi trong suot thòi gian qua và đặc biệt là trong thòi gian tôi

theo hqc khóa thac sy tai trưòng Đai học Khoa hqc - Đai học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, ngày 24 tháng 4 năm 2017
Tác gia luận văn

Tô Minh Quyet


5

Bang ký hi¾u
R
Rn
Rm
+
T
KKT

trưòng so thnc
không gian Euclide n-chieu
orthant không âm cna Rm
chuyen v% cna véc - tơ
Karush-Kuhn-Tucker

B
∂fi(x)
∧
∨
I(x¯)
gi+
L(x, µ, ν)

P∞(x, c)
(P∞(c))
V P∞(x, c)
(V P∞(c))

là hình cau đơn v% mo trong Rn
dưói vi phân cna hàm loi fi tai x
và
ho¾c
t¾p các chi so ràng bu®c tích cnc
bang 0 neu gi(x) ≤ 0, bang gi(x) neu gi(x) > 0
hàm Lagrange
hàm phat minimax chính xác
bài toán toi ưu phat
hàm phat minimax chính xác véc - tơ
bài toán toi ưu véc - tơ phat


Ma đau
Phương pháp hàm phat chính xác cho phép đưa m®t bài toán toi ưu phi
tuyen có ràng bu®c ve m®t bài toán toi ưu không có ràng bu®c sao cho nghi¾m
cna bài toán toi ưu phat cũng là nghi¾m cna bài toán toi ưu có ràng bu®c
ban đau. Antczak ([2], 2013) đã nghiên cúu moi quan h¾ giua nghi¾m cna
bài toán toi ưu vô hưóng có ràng bu®c và nghi¾m cna bài toán toi ưu không
có ràng bu®c vói hàm muc tiêu là m®t hàm phat minimax chính xác và chi
ra c¾n dưói cna tham so phat đe hai bài toán đó tương đương. Jayswall Choudhury ([7], 2016) đã thiet l¾p các đ%nh lí điem yên ngna cho bài toán toi
ưu véc - tơ có ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax chính xác và
xác đ%nh các đieu ki¾n đe bài toán toi ưu véc - tơ có ràng bu®c tương đương
vói bài toán không có ràng bu®c bang phương pháp hàm phat minimax chính
xác. Đây là đe tài nhieu tác gia quan tâm nghiên cúu. Chính vì v¾y, tôi chqn

đe tài: "Phương pháp hàm phat minimax chính xác cho bài toán toi ưu không
trơn".
Muc đích cna lu¾n văn trình bày phương pháp hàm phat minimax chính
xác và các đ%nh lí điem yên ngna cho bài toán toi ưu đơn muc tiêu cna T.
Antczak (đăng trong Tap chí J. Optim. Theory Appl. 159 (2013), 437 - 453)
và cho bài toán toi ưu véc - tơ cna A. Jayswal - S. Choudhury (đăng trong
Tap chí J. Optim. Theory Appl. 169 (2016), 179 - 199) có ràng bu®c đang
thúc và bat đang thúc.
Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương trình bày n®i dung cna
lu¾n văn, phan ket lu¾n và danh muc tài li¾u tham khao.


Chương 1: "C¾n dưói cna tham so phat cna phương pháp hàm phat minimax chính xác cho bài toán toi ưu đơn muc tiêu không kha vi" trình bày các
ket qua cna Antczak [2] ve phương pháp hàm phat minimax chính xác, và sn
tương đương cna bài toán toi ưu có ràng bu®c và bài toán toi ưu không có
ràng bu®c phat đưoc chúng minh khi tham so phat lón hơn m®t giá tr% c¾n
dưói.
Chương 2: "Phương pháp hàm phat minimax chính xác và đ%nh lí điem
yên ngna cho bài toán toi ưu véc - tơ loi không trơn" trình bày các ket qua
cna Jayswal - Choudhury [7], phương pháp hàm phat minimax chính xác và
các đ%nh lí điem yên ngna cho bài toán toi ưu véc - tơ loi không trơn vói các
hàm Lipschitz đ%a phương.


Chương 1

C¾n dưái cua tham so phat cua
phương pháp hàm phat minimax
chính xác cho bài toán toi ưu đơn
mnc tiêu không kha vi

Chương này trình bày phương pháp hàm phat minimax chính xác và sn
tương đương cna bài toán toi ưu có ràng bu®c và bài toán toi ưu phat không
có ràng bu®c. Các ket qua trình bày trong chương này là cna T. Antczak [2].
1.1 Các khái ni¾m và ket qua liên quan

Hàm f : X → R xác đ%nh trên t¾p loi X ⊂ Rn đưoc gqi là loi neu vói
∀z, x ∈ R và λ ∈ [0, 1], ta có
f (λz + (1 − λ)x) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (x).
Đ%nh nghĩa 1.1.1 Dưói vi phân cna hàm loi f : Rn → R tai x ∈ Rn đưoc
xác đ%nh như sau:
∂f (x) := {ξ ∈ Rn : f (z) − f (x) ≥ ξT (z − x), ∀z ∈ Rn}.
Đ%nh nghĩa 1.1.2 Trên vi phân cna hàm lõm f : Rn → R tai x ∈ Rn đưoc
xác đ%nh như sau:
∂f (x) := {ξ ∈ Rn : f (z) − f (x) ≤ ξT (z − x), ∀z ∈ Rn}.


Nh¾n xét 1.1.3 Tù đ%nh nghĩa cna hàm loi f : Rn → R tai x, suy ra:
f (z) − f (x) ≥ ξT (z − x),∀ξ ∈ ∂f (x),

(1.1)

đúng vói ∀z ∈ Rn, trong đó ∂f (x) kí hi¾u dưói vi phân cna f tai x. Tương
tn, vói hàm lõm f : Rn → R tai x, ta có bat đang thúc:
f (z) − f (x) ≤ ξT (z − x),∀ξ ∈ ∂f (x),

(1.2)

đúng vói ∀z ∈ Rn.
Trưóc khi chúng minh ket qua chính cho bài toán (P ), ta can bo đe sau
đây:

Bo đe 1.1.4 Gia su ϕk, k = 1, ..., p, là hàm giá tr% thnc xác đ%nh trên X ⊂
Rn. Vói x ∈ X, ta có
p
1≤k≤
p

α∈
Ω

k=
1

max ϕk(x) = max

Σ

αkϕk(x),

p
trong đó Ω := {α = (α1, ..., αp) Σ
p
:
αk = 1}.
∈R
+
k=1

Bài toán cnc tr% đã xét o đây là bài toán toi ưu phi tuyen tong quát có
ràng bu®c đang thúc và bat đang thúc:
(P ) min f (x), x ∈ D = {x ∈ X : gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈

J},
trong đó I = {1, ..., m}, J = {1, ..., s}, f : X → R và gi : X → R,
i ∈ I, hj : X → R, j ∈ J là các hàm Lipschitz đ%a phương trên t¾p khác rong
X ∈ Rn và D là t¾p chap nh¾n đưoc cna bài toán (P ).
Đe đơn gian ta se đưa vào m®t so kí hi¾u: g := (g1, ..., gm) : X → Rm và
h := (h1, ..., hs) : X → Rs.
Hơn nua, ta kí hi¾u t¾p các chi so ràng bu®c bat đang thúc tích cnc tai
x∈D
I(x¯) := {i ∈ I : gi (x¯) = 0}.


Đ%nh lý 1.1.5 [9] Gia su x¯ là nghi¾m cua bài toán (P ) và m®t đieu
ki¾n
chính quy thích hop thóa mãn tai x¯. Khi đó ton tai các nh¾n tu
Lagrange
λ¯ ∈ Rm và µ¯ ∈ Rs sao cho
m

s

i=
1

j=
1

0 ∈ ∂f (x¯) +

Σ

λ¯ i ∂gi (x¯) +

Σ

µ¯i ∂hj (x¯),

λ¯ i gi (x¯) = 0,
(1.4)
λ¯ ≥ 0.

(1.3)
i ∈ I,
(1.5)

Đ%nh nghĩa 1.1.6 Điem x¯ ∈ D đưoc gqi là điem Karush-Kuhn-Tucker trong
bài toán (P ) neu ton tai nhân tu Lagrange λ¯ ∈ Rm và µ¯ ∈ Rs sao cho
đieu
ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) đúng.
1.2 Phương pháp hàm phat minimax chính xác

Năm 1978 Charalambous [4] đưa vào m®t lóp các hàm phat chính xác
không kha vi như sau:
s

. m [αig (x)] +
Pp(x, α, β, c) := f (x) Σ Σj=1i
i=
+c
+

p

[βj|h+j (x)|]p Σ

p

1

trong đó c là tham so phat, p ≥ 1, αi > 0, i = 1, ..., m, βj > 0, j = 1, ..., s.
Vói m®t ràng bu®c bat đang thúc gi(x) ≤ 0, hàm g+(x) đưoc đ%nh nghĩa
i
boi
. 0,
gi(x) ≤
(1.6)
g+(x) :=
0,
i
gi(x), gi(x) >
0.
là bang 0 vói mqi x thoa mãn ràng bu®c và có giá tr% dương khi ràng bu®c
này b% vi pham. Hơn nua, sn vi pham lón o gi(x) ≤ 0 đat giá tr% g+(x). Như
v¾y hàm g+(x) có đưoc điem phat liên quan vói ràng bu®c gi(x) ≤ 0.i
Vói p =i 1 và xét các tham so αi, i = 1, ..., m, βj, j = 1, ..., s bang 1, ta
nh¾n đưoc hàm phat chính xác không kha vi đưoc gqi là hàm phat chính xác


l1 (ta cũng gqi là hàm phat giá tr% tuy¾t đoi). Phương pháp hàm phat chính
xác l1 đã đưoc đưa vào boi Pietrzykowski [8]. Đa so các tài li¾u ve phương
pháp hàm phat chính xác không kha vi nghiên cúu các đieu ki¾n đam bao

nghi¾m toi ưu cna bài toán có ràng bu®c đã cho cũng là cnc tieu đ%a phương
cna bài toán vói hàm phat chính xác không có ràng bu®c.


Vói p = ∞, ta nh¾n đưoc hàm phat minimax chính xác đưoc cho boi:
P∞(x, c) := f (x) + c maxi {g+(x), |hj(x)|}.

(1.7)

1≤i≤m
1≤j≤s

Bây giò, ta su dung hàm phat minimax chính xác giai các bài toán cnc tr%
(P ). Vói bài toán cnc tr% (P ), ta xây dnng bài toán toi ưu phat:
(P∞(c)) P∞(x, c) := f (x) + c maxi {g+(x), |hj(x)|} → min .
(1.8)
1≤i≤m
1≤j≤s

Ta gqi bài toán toi ưu không ràng bu®c xác đ%nh o trên là bài toán toi ưu
phat minimax hay là bài toán toi ưu phat vói hàm phat minimax chính xác.
Ý tưong cna phương pháp hàm phat minimax chính xác là giai bài toán
toi ưu có ràng bu®c phi tuyen (P ) qua bài toán toi ưu không có ràng bu®c
(P∞(c)). Hàm phat minimax chính xác cna (P ) là P∞(x, c) đưoc cho boi
(1.7), trong đó c > 0 là tham so phat, vói tính chat là ton tai m®t c¾n dưói
c¯ ≥ 0 sao cho vói c > c¯ nghi¾m toi ưu bat kì cna (P ) cũng là m®t cnc
tieu cna bài toán toi ưu phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác.
1.3 SN tương đương cua bài toán toi ưu có ràng bu®c và bài
toán toi ưu phat
Trưóc het, ta chi ra m®t điem Karush-Kuhn-Tucker (KKT) trong bài toán

toi ưu có ràng bu®c (P ) se cho ta m®t cnc tieu cna hàm phat minimax
chính xác trong bài toán toi ưu phat (P∞(c)) vói tham so phat c trên m®t
ngưõng thích hop nào đó.
Đ%nh lý 1.3.1 Gia su x¯ là điem Karush-Kuhn-Tucker và đieu ki¾n can toi ưu
Karush-Kuhn-Tucker (1.3) − (1.5) thóa mãn tai x¯ vói các nhân tu
Lagrange
λ¯ ∈ Rm và µ¯ ∈ Rs . Kí hi¾u J + (x¯) := {j ∈ J : µ¯j > 0} và
J − (x¯) :=
{j ∈ J : µ¯j < 0}. Hơn nua, ta gia su hàm mnc tiêu f và hàm ràng
bu®c
gi , i ∈ I(x¯), hj , j ∈ J + (x¯) là loi trên X, còn hàm ràng bu®c hj , j ∈ J −
m
s
(x¯)


i=
1

là lõm trên X. Neu c đu lón (túc là c ≥

i=
1

Σ

λ¯i +

Σ

|µ¯j |, trong đó

λ¯i , i =
1, ..., m, µ¯j , j = 1, ..., s là các nhân tu Lagrange úng vói gi và hj ), thì x¯
cũng
là cnc tieu cua bài toán toi ưu phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính
xác.


14

ChNng minh.
Xét hai trưòng hop:

(i)

m

s

i=
1

i=
1

Σ

λ¯ i +

Σ

|µ¯j | > 0.
Theo gia thiet, ta có hàm muc tiêu f và hàm ràng bu®c gi , i ∈ I(x¯), hj , j
∈
J + (x¯) là loi trên X. Hơn nua, các hàm ràng bu®c hj , j ∈ J − (x¯) là lõm
trên X. Khi đó, tù (1.1) và (1.2), ta có
f (x) − f (x¯) ≥ ξ T (x − x¯),

(1.9)

gi (x) − gi (x¯) ≥ iη T (x − x¯), i ∈ I(x¯),

(1.10)

hj (x) − hj (x¯) ≥ jζ T (x − x¯), j ∈ J + (x¯),

(1.11)

hj (x) − hj (x¯) ≤ jζ T (x − x¯), j ∈ J − (x¯)

(1.12)

đúng vói ∀x ∈ X và ∀ξ ∈ ∂f (x¯), ηi ∈ ∂gi (x¯), i ∈ I(x¯), ζj ∈
∂hj (x¯), j ∈
J + (x¯) ∪ J − (x¯), tương úng. Vì λ¯ i ≥ 0, i ∈ I, µ¯j > 0, j ∈ J +
(x¯), và
µ¯j < 0, j ∈ J − (x¯), cho nên (1.10) − (1.12) kéo theo, ∀x ∈ X,
λ¯ i gi (x) − λ¯ i gi (x¯) ≥i λ¯ i η T (x − x¯), i ∈ I(x¯),
µ¯j hj (x) − µ¯j hj (x¯) ≥ µ¯j ζjT (x − x¯), j ∈ J + (x¯) ∪ J − (x¯).

Su dung các nhân tu Lagrange bang 0, ta nh¾n đưoc
λ¯ i gi (x) − λ¯ i gi (x¯) ≥i λ¯ i η T (x − x¯), i ∈ I,

(1.13)

µ¯j hj (x) − µ¯j hj (x¯) ≥ jµ¯j ζ T (x − x¯), j ∈ J.

(1.14)

Lay tong hai ve cna (1.13) và (1.14) theo i và j, ta đưoc
m
Σ

m

λ¯ i gi (x) − λ¯ i gi (
Σ
i= x¯

m

Σ

i

(x − x¯),

(1.15)

)≥

i=
λ1¯ i η T
s
sΣ
s Σ
Σ
T
µ¯j hj (x) −
µ¯j hj (x¯) ≥
jµ¯j ζ (x − x¯). (1.16)
i=
1

j=1

1

j=1

j=1


Bây giò, ta c®ng hai ve cna (1.9), (1.15) và (1.16), ta nh¾n đưoc
m

f (x) − f (x¯) +

Σ

m

λ¯ i gi (x) −

s

Σ

λ¯ i gi (x¯) +

Σ

s

µ¯j hj (x) −

Σ

µ¯j hj (x¯)
i=1

i=1

Σ

m

T
≥ ξ
+

j=1

Σ
λ¯ i η T
Σ
+

j=
1

Σ

s

µ¯j ζ (x −
T
x¯).

Do đieu ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.3), ta suy ra
m

m

s

s

i=
1

i=
1

j=
1

j=
1

f (x) − f (x¯) +

Σ

λ¯ i gi (x) −

Σ

λ¯ i gi (x¯) +

Σ

µ¯j hj (x) −

Σ

µ¯j hj (x¯) ≥ 0.
Như vây, ta có

f (x) +

m

s

i=
1

j=
1

Σ

λ¯ i gi (x) +

Σ

µ¯j hj (x)
m

≥ f (x¯) +

Σ

s

λ¯ i gi (x¯) +

Σ

µ¯j hj (x¯). (1.17)

Bây giò, su dung đieu ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker (1.4) cùng
vói tính chat nh¾n đưoc cna x¯ trong bài toán (P ), ta có bat đang thúc

f (x) +

m

s

i=
1

j=
1

Σ

λ¯ i gi (x) +

Σ

µ¯j hj (x) ≥ f (x¯)


đúng vói mqi x ∈ X. Như v¾y, do (1.6), ta suy ra
m

f (x) +

Σ

i=1

s

λ¯ii g + (x) +

Σ

|µ¯j ||hj (x)| ≥ f (x¯).

j=1
m

s

i=
1

j=
1

Chia hai ve cna bat đang thúc trên cho Σ λ¯ i + Σ |µ¯j | > 0.


Khi đó,
1

f (x) +

Σ
Σ

λ¯ i +

Σ

Σ

|µ¯j |

g+(x)

λ¯i

m

λ¯ i +

i

Σ

|µ¯j |

i=1

s
Σ

µ¯
+ j|
j=1

µ¯j |
Ta kí hi¾u

|
Σ
i=
1

1

|h j (x)| ≥

λ¯ i +

Σ

Σ

|

j=
1

i=1

λ¯ i

α¯ k = m

s

i=
1

j=
1

Σ

λ¯ i +

α¯ m+k
=

m

Σ

(1.18)

|µ¯j |

j=1

, k = 1, ..., m.

Σ

(1.19)

|µ¯j |

|µ¯j |

, k = 1, ..., s.

s

i=
1

Σ

λ¯ i +

f (x¯).

(1.20)

j=
1

λ¯ i +

Σ

|µ¯j |

ϕk(x) = gk+(x), k = 1, ..., m.

(1.21)

ϕm+k(x) = |hj(x)|, k = 1, ..., s.

(1.22)

Chú ý rang, theo (1.19) và (1.20), ta có
m+s

Σ
α¯ k ≥ 0, k = 1, ..., m + s, α¯ k = 1.

(1.23)

k=1

Ket hop (1.18) − (1.22), ta suy ra vói mqi x ∈ X,
m+s
Σ
1
1
f (x) +
α¯ ϕ (x) ≥
k

k

f (x¯).


i=
1

Σ

j=
1

λ¯ i +

Σ

i=
1

|µ¯j |

Σ

k=1

j=
1

λ¯ i +

Như v¾y, do (1.19) − (1.22), ta suy ra
Σ (x) ≥
1
m+
f (x) + max
s
Σ
α ϕ
m
s
Σ
Σ
¯
λ i +
|
i=1

µ¯j |
j=1

α∈Ω

k k
k=1

m

Σ

|µ¯j |

1

s

λ¯ i +

i=1

f (x¯),

Σ

µ¯j |
j=1

|


trong đó Ω := {α = (α1, ..., αm+s) ∈
Rm+s

m
s

Σ

:

+

αk = 1}. Theo bo đe

k=1

1.1.4, suy ra
Σ

m+s

ϕk(x) ≥

f (x) +

1
Σ

1

m

Σ
s

Σ

max

λ¯ i +
|

i=1
µ¯j |

1≤k≤m+
s

|
λ¯ i +
µ¯j |
i=1

j=1

j=1

(x)|}

Vì v¾y, (1.21) và (1.22) kéo theo
1
f (x) + max {g+
(x), |h

j

m
s
Σ
Σ
λ¯ i +
|

i=1

f (x¯).

1≤i≤m
1≤j≤s

µ¯j |
j=1

≥

m

i=
1

Σ

1

f (x¯).

s

(1.24)

j=
1

λ¯ i +

Σ

|µ¯j |

Theo gia thiet, x¯ là nghi¾m toi ưu cna bài toán (P ). Do đó, nó là điem
chap nh¾n đưoc cna bài toán (P ). Vì v¾y, do (1.6), ta có
+
max {g
(x¯), |hj (x¯)|} = 0.
i

1≤i≤m
1≤j≤s

(x)|}

Ket hop (1.24) và (1.25), ta thu đưoc
1
f (x) + max {g+
(x), |h

m
Σ
λ¯ i

i=1
Σ

s

+

|µ¯j |

(1.25)


j=1

1≤i≤m
1≤j≤s

1
≥

m
Σ
λ¯ i

i=1

f (x¯) + max
{
s
Σ
.
}
i

1≤i≤m
+
|
1≤j≤s
µ¯j |
j=1

+

|

| g (x¯), hj (x¯)


m

s

j=
1

1≤i≤m
1≤j≤s

Nhân bat đang thúc trên vói Σ λ¯ i + Σ |µ¯j | > 0, ta nh¾n đưoc
i=
j=1
|
1
¯

.
λ i
µ¯j
+
s
f (x) + Σ + Σ | Σ max {gi (x), |hj(x)|}
m

i=1

.
≥ f (x¯)
+

Σm
i=1
m

Σ

Σs |
¯
λ i j= µ¯j
+ 1

+
max {g
(x¯), |
i
hj (x¯)|}.

1≤i≤m

1≤j≤s

s

Theo gia thiet, c ≥ Σ λ¯ i + Σ |µ¯j |. Vì v¾y, theo (1.25), bat đang thúc
i=1

sau

j=1

+
f (x) + c max {g
(x), |hj (x)|} ≥ f (x¯) + c max
{g + (x¯), |
i
i
hj (x¯)|}

1≤i≤
m
1≤j≤s

1≤i≤m
1≤j≤s

đúng vói mqi x ∈ X. Theo đ%nh nghĩa cna hàm phat minimax chính xác
P∞(x, c), ta suy ra

P∞(x, c) ≥ P∞(x¯, c)
(1.26)
đúng vói mqi x ∈ X. Đieu này có nghĩa x¯ là nghi¾m toi ưu cna bài toán
phat
(P∞(c))
vói hàm phat minimax chính xác.
m
s
i=
1

(ii)

Σ

i=
1

λ¯ i +

Σ

|µ¯j | = 0.
Khi đó, su dung (1.9) và đieu ki¾n can toi ưu Karush-Kuhn-Tucker
(1.3),
ta có
f (x) ≥ f (x¯)
m

đúng vói mqi x ∈ X. Vì

kéo theo

s

Σ λ¯ i + Σ |µ¯j | = 0, nên bat đang thúc trên
i=1

i=1

Σ
. Σm
Σ
¯
f (x) +
λ
+
|µ¯
|
max {g + (x), |
j
s i
hj (x)|}

i

i=1


m

≥ f (x¯) +

.Σ

j=1
s

λ¯ i +

1≤i≤m
1≤j≤s

Σ

Σ
|µ¯j | max
{g + (x¯), |hj (x¯)|}.
i
1≤i≤
m
1≤j≤
s


m

s

Theo gia thiet, c ≥ Σ λ¯ i + Σ |µ¯j | = 0. Do đó, ket hop vói bat đang
thúc trên và (1.25), ta có bat đang thúc sau

+
f (x) + c max {g
(x), |hj (x)|} ≥ f (x¯) + c max
{g + (x¯), |
i
i
hj (x¯)|}

1≤i≤
m
1≤j≤s

1≤i≤m
1≤j≤s

đúng vói mqi x ∈ X. Theo đ%nh nghĩa cna hàm phat minimax chính xác
P∞(x, c), ta suy ra bat đang thúc sau
P∞(x, c) ≥ P∞(x¯, c)

(1.27)

đúng vói mqi x ∈ X. Đieu này có nghĩa là x¯ là nghi¾m toi ưu cna
bài
toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác. Vì v¾y, tù (1.26)
Σ
Σ
m
s
¯
và (1.27), vói mqi c ≥ i=

|µ¯j |, điem
i= λ i +
1
1
Karush-Kuhn-Tucker
x¯ cna bài toán toi ưu có ràng bu®c là m®t cnc tieu cna bài toán
phat
(P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác. Đ%nh lý đưoc chúng minh. Q
H¾ qua 1.3.2 Gia su x¯ là m®t nghi¾m toi ưu cua bài toán (P ). Hơn
nua,
gia su rang hàm mnc tiêu f và hàm ràng bu®c gi , i ∈ I(x¯), hj , j ∈ J +
(x¯)
là loi trên X, các hàm ràng bu®c hj , j ∈ J − (x¯) là lõm trên X. Neu ton
m
s
tai
i=
1

tham so phat c là đu lón (sao cho c ≥

Σ

i=
1

λ¯ i +

Σ

|µ¯j |, trong đó λ¯ i ,

i =
1, ..., m, µ¯j , j = 1, ..., s là các nhân tu Lagrange úng vói gi và hj ), thì x¯
cũng
là cnc tieu cua bài toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác.
M¾nh đe 1.3.3 Gia su x¯ là cnc tieu cua bài toán phat (P∞(c)) vói hàm phat
minimax chính xác. Khi đó, ta có bat đang thúc
f (x) ≥ f (x¯)


đúng vói mqi x ∈ D.
ChNng minh.
Vì x¯ là nghi¾m cna bài toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax
chính
xác, bat đang thúc
P∞(x, c) ≥ P∞(x¯, c)
đúng vói mqi x ∈ X. Theo đ%nh nghĩa cna hàm phat minimax chính xác


P∞(x, c), ta suy ra bat đang thúc sau
+
f (x) + c max {g
(x), |hj (x)|} ≥ f (x¯) + c max
{g + (x¯), |
i
i
hj (x¯)|}

1≤i≤

m
1≤j≤s

1≤i≤
m
1≤j≤s

đúng vói mqi x ∈ X. Như v¾y, tù (1.6), mqi x ∈ D, ta có
f (x) ≥ f (x¯) + c maxi {g + (x¯), |hj (x¯)|}
1≤i≤m
1≤j≤s

Lai su dung (1.6), ta có bat đang thúc
f (x) ≥ f (x¯)
đúng vói mqi x ∈ D. M¾nh đe đưoc chúng minh.
Q
Bây giò, vói gia thiet loi thích hop cho các hàm có trong bài toán (P ), ta
chúng minh ket qua ngưoc lai. Như v¾y, ta se chi ra rang ton tai m®t ngưõng
c¯ sao cho mqi tham so phat c vưot quá giá tr% này, x¯, là m®t cnc tieu
trong bài toán phat (P∞(c)) vói hàm phat minimax chính xác cũng là
nghi¾m toi
ưu cna bài toán cnc tr% (P ).
Đ%nh lý 1.3.4 Gia su là m®t cnc tieu cua bài toán phat (P ∞ (c)) vói hàm
m
x¯
Σ
phat minimax chính xác và tham so phat c đu lón (có nghĩa là c >
λ˜ i +
s
Σ

i=1

|µ˜j |, trong đó x˜ là m®t điem Karush-Kuhn-Tucker cua (P ) vói các

nhân
j=1

tu Lagrange λ˜ ∈ Rm và µ˜ ∈ Rs ). Hơn nua, gia su rang hàm mnc tiêu
f và
hàm ràng bu®c gi , i ∈ I(x˜), hj , j ∈ J + (x˜) là loi trên X, các hàm ràng
bu®c
hj , j ∈ J − (x˜) là lõm trên X. Neu D là t¾p các nghi¾m chap nh¾n đưoc
cua bài toán (P ) là t¾p compact thì x¯ cũng là nghi¾m cua bài toán cnc tr%
(P ).
ChNng minh.
Đe chúng minh x¯ là nghi¾m toi ưu cna (P ), trưóc het chi ra x¯ là điem chap
nh¾n đưoc cna (P ). Dùng phương pháp phan chúng, chúng ta gia su x¯
là
không chap nh¾n đưoc cna (P ). Vì f liên tuc, b% ch¾n dưói trên t¾p compact