Vận dụng cực trị hàm bậc hai để giải bài tập vật lý 10

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ...............
TRƯỜNG THPT ...............
*****

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
VẬN DỤNG CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT LÍ 10

Môn: Vật lí
Tổ bộ môn: Lí – Hóa – Công nghệ

04/2013
1


MỤC LỤC
Phần

Trang

Mở đầu ……………………………………………………………………….3
Nội dung ……………………………………………………………………..5
Cực trị của hàm số bậc hai ……………………………………………5
Vận dụng cực trị hàm số bậc hai để giải một số bài tập vật lí 10 ….….5
Phương pháp ……………………………………………….......5
Ví dụ minh họa ………………………………………….……..6
Bài tập vận dụng ……………………………………………….9
Kết luận ……………………………………………………………………..11

2


MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Trong chương trình vật lí lớp 10, có khá nhiều bài tập liên quan đến việc tìm giá
trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng nào đó. Những bài có thể vận dụng
kiến thức toán học về cực trị của hàm số bậc hai lại khá phổ biến mà học sinh
lại thường lúng túng khi làm bài lúc ban đầu. Lí do là học sinh hoặc quên kiến
thức toán mà họ đã được học, hoặc không biết biểu diễn đại lượng cần tìm theo
một hàm số bậc hai của một thông số khác, hoặc thậm chí không nhận ra hệ thức
của đại lượng cần tìm cực trị là một hàm bậc hai của một thông số.
Trên thực tế, việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng vật lí có
thể làm theo nhiều cách khác nhau. Nhưng trong nhiều bài toán, việc vận dụng
kiến thức về cực trị hàm số bậc hai để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các đại
lượng vật lí lại dễ hiểu hơn đối với học sinh. Nó giúp cho học sinh làm bài tập
vật lí nhanh hơn và hiệu quả hơn, đặc biệt là với các bài tập trắc nghiệm khách
quan. Nó cũng góp phần rèn luyện tư duy và kĩ năng giải bài tập vật lí và nâng
cao hứng thú học tập cho học sinh.
Từ những lí do trên tôi quyết định chọn đề tài là: “Vận dụng cực trị của hàm số
bậc hai để giải một số bài tập vật lí 10”.
Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu phương pháp giải một số bài toán vật
lí 10 bằng các vận dụng cực trị của hàm số bậc hai, hướng dẫn học sinh phương
pháp này và tìm hiểu khả năng tiếp thu vận dụng của họ cũng như là hứng thú
của họ đối với phương pháp này.
3


Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu đề tài là tìm hiểu lí thuyết về cực trị của hàm số bậc
hai, áp dụng vào một số bài tập vật lí rồi đánh giá định tính kết quả thu được đối
với học sinh sau khi họ được hướng dẫn phương pháp giải bài tập.

4


NỘI DUNG
Cực trị của hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai trong toán học có dạng

y = ax 2 + bx + c
Hàm số này đạt cực trị khi
x=−

b
2a

Giá trị lớn nhất, hoặc nhỏ nhất của hàm số là

∆
b 2 − 4ac
y0 = − = −
4a
4a
Khi hệ số a>0 thì y0 là giá trị nhỏ nhất, còn khi a<0 thì y0 là giá trị lớn nhất

Vận dụng cực trị hàm số bậc hai để giải một số bài tập vật lí lớp 10
Phương pháp
• Biểu diễn đại lượng cần tìm theo hàm số bậc hai hoặc một hàm số chứa

tam thức bậc hai của một thông số vật lí khác.
• Vận dụng các kiến thức về cực trị hàm bậc hai nói trên để tính giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của đại lượng và xác định giá trị của thông số vật lí
tương ứng khi đó.
• Kiểm tra lại xem giá trị của thông số vật tại đó đại lượng vật lí lớn nhất
hoặc nhỏ nhất có phù hợp và có ý nghĩa không, tức có nằm trong khoảng
giá trị cho phép của nó không.
• Đưa ra kết luận cho bài toán.
5


Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Thi HSG Vật lí 10 tỉnh Vĩnh Phúc 1995): Từ hai bến sông A và B cách
nhau 1km trên cùng một bờ sông có hai ca-nô cùng khởi hành. Khi nước không
chảy, do sức đẩy của động cơ, ca-nô A chạy song song với bờ về phía B với tốc
độ 24km/h, còn ca-nô B chạy vuông góc với bờ với bờ với tốc độ 18km/h. Tính
khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca-nô trong quá trình chuyển động nếu nước chảy
với tốc độ 6km/h từ A đến B. Biết sức đẩy của động cơ các ca-nô không đổi và
sông đủ dài và rộng.
Giải
Chọn hệ trục Oxy gắn với mặt nước như hình vẽ, gốc thời gian lúc hai ca-nô
khởi hành.
Phương trình chuyển động của ca-nô A và B lần lượt là

y

x = 1 − 24t
y = 18t
Khoảng cách giữa hai ca-nô là d. Ta có
d 2 = x 2 + y 2 = (1 − 24t) 2 + (18t) 2

O
B

r
v2

r
v1

x
A

d 2 = 900t 2 − 48t + 1
Ta thấy d2 là một hàm số bậc hai của t có hệ số a=900>0 nên giá trị nhỏ nhất của
nó là
d 2 min = −

∆
b 2 − 4ac
(−48)2 − 4.900.1
=−
=−
= 0,36
4a
4a
4.900

Thời điểm mà d2 có giá trị nhỏ nhất là
t=−

b
−48
=−
= 0, 267h = 16 min
2a
2.900

Từ đó suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca-nô là
6


d min = 0,36 = 0,6km = 600m

Ví dụ 2 (Thi Đại học 2010): Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg
và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc
theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật
ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10
m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là
A. 10 30 cm/s.

B. 20 6 cm/s.

C. 40 2 cm/s.

D. 40 3 cm/s.

Giải
Chọn truc Ox nằm ngang, gốc O ở vị trí của vật khi mà lò xo không biến dạng,
và cũng là mốc tính thế năng đàn hồi.

Cơ năng ban đầu của hệ là
1
E 0 = kx 02
2

Cơ năng của hệ khi vật ở tọa độ x bất kì
trong quá trình vật chuyển động qua gốc O lần đầu tiên là
1
1
E = kx 2 + mv 2
2
2

Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên của cơ năng bằng với công
của lực ma sát. Ta có
E − E 0 = A ms = −Fms .s ⇔

1
1
1
mv 2 + kx 2 − kx 20 = −µmg(x 0 − x)
2
2
2

Thay số vào ta có
v 2 = −50x 2 + 2x + 0,3

Giá trị lớn nhất v2 là

7


v 2 m ax = −

∆
b 2 − 4ac
(2) 2 − 4.( −50).0,3
=−
=−
= 0,32
4a
4a
4.(−50)

Tọa độ của vật khi đó là

x=−

b
2
=−
= 0,02m = 2cm
2a
2.(−50)

Vận tốc lớn nhất của vật là
d m ax = 0,32 = 0, 4 2 m / s = 40 2 cm / s

Chọn đáp án C.

p(atm)

Ví dụ 3: Có 20g khí Hê-li biến đổi chậm từ
trạng thái (1) sang trạng thái (2) theo đồ thị

15

(2)

bên. Tìm nhiệt độ lớn nhất mà khí đạt được
trong quá trình.

(1)

5
O

Giải

10

30

V(l)

Từ đồ thị ta thấy p phụ thuộc vào V theo một hàm bậc nhất có phương trình là
1
p = − V + 20
2

Thể tích của 20g khí Hê-li ở điều kiện tiêu chuẩn (t0 =00C, p0=1atm) là
V0 =

20
.22,4 = 112(l)
4

Theo phương trình trạng thái khí ta có
pV p 0 V0
pVT0 ( −0,5V + 20)V.273
=
⇔ T=
=
T
T0
p 0 V0
1.112

Tiếp tục biến đổi, ta được
T=−

273 2 1365
V +
V
224
28

Giá trị lớn nhất của T là
Tm ax = −

∆
b 2 − 4ac
(1365 / 28) 2 − 4.(−273 / 224).0
=−
=−
= 487,5K
4a
4a
4.(−273 / 224)
8


Thể tích của khí khi đó là

V=−

b
1365 / 28
=−
= 20l
2a
2.(−273 / 224)

Vậy nhiệt độ lớn nhất mà khí đạt được là

t max = Tmax − 273 = 487,5 − 273 = 214,50 C
Bài tập vận dụng
Bài 1: Một ô tô và một xe máy chuyển động trên hai con đường vuông góc nhau
và cùng hướng đến ngã tư với các tốc độ lần lượt là 40km/h và 20km/h. Tại thời
điểm ban đầu hai xe ở cách ngã tư các khoảng lần lượt là 30km và 25km. Tính

khoảng cách nhỏ nhất giữa hai xe trong quá trình chuyển động thẳng của chúng.
Bài 2: Hai ô tô chuyển động với cùng tốc độ 50km/h về phía ngã tư O theo hai
đường thẳng hợp với nhau góc 600. Tại thời điểm ban đầu chúng cách O các
khoảng lần lượt là 20km và 30km. Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa hai xe.
Bài 3: Một đàn voi chạy ra khỏi một khu rừng bị cháy với tốc độ không đổi
8m/s. Khi đàn voi cách nhà nghiên cứu 100m thì nhà nghiên cứu lập tức lên xe
nổ máy và chạy thẳng theo hướng chạy của đàn voi với gia tốc không đổi
0,5m/s. Khoảng cách ngắn nhất giữa nhà nghiên cứu và đàn voi là bao nhiêu?
Bài 4: Quả cầu nhỏ nặng 50g treo vào đầu dưới của một lò xo có độ cứng
0,2N/cm. Nâng quả cầu lên đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ. Tính
vận tốc lớn nhất của quả cầu trong quá trình chuyển động. Vận tốc lớn nhất đó
đạt được khi quả cầu đi qua vị trí nào?
Bài 5 (Thi HSG Vật lí 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2000): Một ô tô chuyển động đều với
vận tốc 40km/h hướng tới một ngã tư đường.Khi ô tô cách ngã tư 20km thì một
xe máy chạy qua ngã tư với vận tốc không đổi v 2=30km/h theo con đường
9


vuông góc với con đường ô tô chuyển động.Hãy xác định khoảng cách ngắn
nhất giữa ô tô và xe máy?
Bài 6: Từ một kinh khí cầu cách mặt đất 15m và đang hạ thấp thẳng xuống với
tốc độ không đổi 2m/s, người ta phóng thẳng một vật lên phía trên với vận tốc
18m/s so với mặt đất. Bỏ qua sức cản không khí và lấy g=10m/s 2. Tính khoảng
cách lớn nhất giữa vật ném và kinh khí cầu trong quá trình chuyển động.
Bài 7: Mặt sườn đồi trên thao trường tạo với phương nằm ngang một góc α =
300. Tại điểm A dưới chân đồi người ta đặt một súng cối. Những viên đạn được
bắn đi với vận tốc ban đầu có độ lớn v 0 = 20 m/s và tạo với phương nằm ngang
một góc β = 450. Bỏ qua sức cản không khí, gia tốc trọng trường có độ lớn g =
10m/s2 không đổi. Tìm khoảng cách lớn nhất từ viên đạn đến mặt sườn đồi thao
trường.

10


KẾT LUẬN
Như đã nói ở trên, việc vận dụng cực trị của hàm số bậc hai để tìm giá trị lớn
nhât hoặc nhỏ nhất của một đại lượng vật lí không phải là phương pháp duy
nhất. Trong số các bài tập mà tôi nêu ra ở đây, có những bài có thể giải bằng
phương pháp cộng vận tốc, lại có những bài có thể giải bằng cách vận dụng tính
chất của vật dao động điều hòa, …. Nhưng qua quá trình giảng dạy tôi thấy rằng
học sinh lớp 10 thường làm và thích làm theo cách vận dụng cực trị của hàm số
bậc hai hơn là theo những cách khác. Đối với họ phương pháp này đơn giản và
dễ hiểu hơn. Phương pháp này cũng đặc biệt có hiệu quả với cả những học sinh
có học lực trung bình.

11