MỘT số KINH NGHIỆM về ỨNG dụn ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC để GIẢI bài tập vật lí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRẦN KHÁT CHÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


MỘT SỐ KINH NGHIỆM
VỀ ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI BÀI TẬP VẬT LÍ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Nga
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Sáng kiến kinh nghiệm môn: Vật lí

THANH HÓA NĂM 2013
1


A. Phần đặt vấn đề
I. Lí do chọn đề tài:
1. Tính cấp thiết:
- Trong chơng trình vật lí lớp 12 phần bài toán liên quan ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý chỉ nói qua mà không có phơng pháp cụ thể.
- Phần lí thuyết gọn và ít trình bày có một mục rất ngắn.
- Dạng bài toán này không những phần dao động cơ áp dụng mà cả phần sóng
cơ, mạch dao động v điện xoay chiều.
- Cách ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý giải quyết bài tập trắc
nghiệm khách quan rất nhanh.
- Phần bài tập trong sách giáo khoa số lợng ít, mới ở mức độ củng cố. Rõ ràng
những kiến thức này cha đủ để giúp các em học sinh có sự hiểu biết để phục vụ
cho các kì thi tuyển. Mặt khác khả năng tự học của học sinh cha tốt ( Mặc dù đã
đợc tuyển sinh độc lập nhng học sinh của chúng tôi vẫn có đầu vào thấp). Sáu

năm gần đây môn lý thi đại học với hình thức trắc nghiệm nội dung kiến thức
bao phủ toàn bộ chơng trình, đề thi ngày một khó, đặc biệt trong kì thi chọn học
sinh giỏi cấp tỉnh năm 2011-2012 có một ý 1 điểm và năm học 2012-2013 có
một bài về hiện tợng quang điện ngoài, các định luật quang điện nhng khi giải
phải sử dụng ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý. Do đó việc đa
ra hệ thống kiến thức đầy đủ và dễ hiểu về phần bài toán liên quan đến ứng dụng
đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý là thật sự cần thiết.
2. Lí do chọn đề tài.
- Do sự bất cập giữa nội dung chơng trình và yêu cầu đề thi tuyển mà tôi vừa nêu
trên. Qua thực tế giảng dạy, học sinh thờng lúng túng khi gặp phải bài tập phần
ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý trong khi nó không phải là
khó.
Với đề thi tuyển vài năm nay buộc học sinh phải có phơng pháp học tốt.
Vì đề thi rất rộng toàn bộ kiến thức lớp 12 không bỏ phần nào nên học sinh
không thể học lệch học tủ.
2


Các vấn đề phần ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý có
ứng dụng rộng rãi trong thực tế.
Nh vậy rõ ràng phần ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý có
tầm quan trọng trong chơng trình vật lý 12 mà ngời học sinh cần nắm vững. Vì
những lí do trên tôi đã chọn đề tài này.

II. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, đầy đủ, rõ ràng về phần
bài toán ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý dựa trên kiến thức
sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.
Phân loại các bài tập theo từng dạng bài tập thích hợp và phơng pháp giải
chúng.

Học sinh có thể chủ động sáng tạo để giải quyết tốt các bài tập thuộc từng
dạng.
Những kiến thức đa ra phải chính xác, có chọn lọc để phù hợp với khả
năng tiếp thu của học sinh, đảm bảo tính vừa sức và tính sáng tạo của học sinh.

III. Về phơng pháp.
Đã sử dụng các phơng pháp để hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này cụ thể là:
- Phơng pháp nêu vấn đề.
- Phơng pháp diễn giải.
- Phơng pháp đàm thoại.
- Phơng pháp quy nạp diễn dịch.

IV. Đối tợng nghiên cứu.
Học sinh lớp 12 nói chung và học sinh lớp 12 thi khối A nói riêng. Đối tợng nghiên cứu lớn nhất là các em học sinh tiếp thu đợc một cách thấu đáo, cặn
kẽ và có chiều sâu. Có cơ sở để phát huy áp dụng một cách nhanh nhẹn trong
việc tìm tòi với kiến thức mới.

V. Giới hạn nghiên cứu.
Phơng pháp giải bài tập ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật
lý. Phân thành các dạng, mỗi dạng có phơng pháp giải cụ thể. Lấy ví dụ minh
hoạ của mỗi dạng và bài tập đề nghị chủ yếu dới hình thức trắc nghiệm.
3


VI. ý nghĩa thực tiễn của đề tài.
Tôi phân thành các dạng bài tập, mỗi dạng đều có phơng pháp chung. Mỗi
dạng tôi đa ra một vài ví dụ. Cuối cùng tôi giao cho học sinh một số bài tập đề
nghị để rèn luyện kỹ năng kỹ xảo cho học sinh.
Tôi áp dụng đề tài trong thực tế chủ yếu giảng dạy ôn thi đại học, cao
đẳng, THCN cho học sinh thi khối A.

Trong chơng trình vật lý lớp 12 thì phần ứng dụng đờng tròn lợng giác để
giải bài tập vật lý là một nội dung kiến thức hết sức quan trọng. Nó phục vụ tích
cực cho học sinh trong việc ôn thi tốt nghiệp THPT và đặc biệt là thi vào các trờng đại học, cao đẳng và THCN, thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh. Mặt khác
những kiến thức này cũng rất cần trong cuộc sống.
+ Dòng điện của đèn nêôn là dòng điện sáng không liên tục.
+ Thời gian ngắn nhất và dài nhất để vật dao động đi đợc cùng một
quãng đờng .
Với tầm quan trọng trên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thức đợc tầm
quan trọng của bài toán ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý trong
chơng trình vật lí lớp 12 nên tôi đã cố gắng tìm tòi chọn lọc những kiến thức cơ
bản nhất trong sách giáo khoa và trong các tài liệu tham khảo, nhằm giúp các em
lớp 12 trong trờng, đặc biệt là các em dự thi vào các trờng đại học, cao đẳng và
trung học chuyên nghiệp có đợc sự hiểu biết đầy đủ chắc chắn để giải quyết tốt
các bài toán phần vận dụng ứng dụng đờng tròn lợng giác để giải bài tập vật lý.

B. Giải quyết vấn đề.

4


I. Cơ sở lí thuyết
1. Mối liên hệ giữa một dao động điều hòa và một chuyển động
tròn đều.
Khi nghiên cứu về phương trình của dao động điều hòa, chúng ta đã biết
một vật đang chuyển động tròn đều trên quĩ đạo thì có hình chiếu xuống một
đường kính của quĩ đạo là dao động điều hòa. Do đó một dao động điều hòa có
dạng x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn tương đương với một chuyển động
tròn đều có:
- Tâm của đường tròn là VTCB 0.
- Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao động:

R=A

- Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với chiều dương trục ox một góc ϕ.
- Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng ω
- Nửa trên đường tròn quy định vật chuyển động theo chiều âm , nửa đường tròn
dưới theo chiều dương.
- Bên cạnh cách biểu diễn trên, ta cần chú ý thêm:
+ Thời gian để chất điểm quay hết một vòng (3600) là một chu kỳ T.
+ Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ.
+ Góc mà bán kính nối vật chuyển động quét được trong quá trình vật
chuyển động tròn đều:

∆ϕ = ω.∆t

⇒ thời gian để vật dao động điều hòa đi được góc ∆ϕ là:
∆t = ∆ϕ /ω = ∆ϕ.T/2π

2. Đối với dao động cơ học điều hòa ta có các nhận xét sau:
- Mỗi 1 chu kì vật đi được quãng đường 4A, mỗi nửa chu kì (T/2) thì vật đi được
quãng đường 2A, còn trong T/4 vật đi được từ VTCB ra các vị trí biên hoặc
ngược lại từ các vị trí biên về VTCB thì đi được quãng đường A. xét vật ở vị trí
bất kì thì trong T/4 vật có thể đi được quãng đường lớn hơn hay nhỏ hơn 1A.
- Mỗi 1 chu kỳ vật qua vị trí bất kỳ 2 lần (riêng với mỗi điểm biên thì 1 lần).

5


- Mỗi một chu kỳ vật đạt vận tốc như nhau hai lần ở 2 vị trí đối xứng nhau qua
vị trí cân bằng và đạt tốc độ v bằng nhau bốn lần, mỗi vị trí 2 lần do đi theo 2

chiều âm dương.
- Trong một chu kì vật có hay lần chuyển động nhanh dần khi đi từ vị trí biên về
vị trí cân bằng và hai lần chuyển động chậm dần khi đi từ vị trí cân bằng ra vị
trí biên.
- Đối với gia tốc thì chiều của gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng, độ lớn tỉ lệ
thuận với biên độ.

II. Phương pháp giải các dạng bài tập
Dạng 1: Bài toán tính khoảng thời gian vật đi từ li độ
x1 đến li độ x2.
Phương pháp
x
- Ta có α = arccos 1 ;
A

β = arccos

x2
( chú ý: góc α và β đo bằng đơn vị độ,
A

mốc tính góc ở biên độ A ) hoặc có thể theo hàm
số sin.
- Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến x2 ( vật
đi trên cung màu vàng )là:
∆ t1 =

α −β
T
360

- Thời gian dài nhất trong một chu kì vật đi từ
x2 đến x1 ( vật đi trên cung màu trắng ) là:
6


∆ t2 = T- ∆ t1= T -

α −β
T
360

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T, biên độ A. Tính khoảng
thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 =

A 2
A 3
đến li độ x2 =
.
2
2

Giải
- Ta có

α = arccos

β = arccos

x1

= 60 0 ,
A

x2
= 45 0
A

- Vậy thời gian ngắn nhất vật thỏa mãn yêu
cầu của đề bài là:
∆t =

α −β
60 − 45
T
T=
T=
360
360
24

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ có m = 500g, lò xo có độ cứng k = 50
N/m dao động thẳng đứng với quỹ đạo dài 40 cm. Lấy g = 10 m/s2. Khoảng thời
gian lò xo bị nén trong một chu kì là:
Giải
Biên độ dao động của vật: A = 40/2 = 20cm.
- Tại vị trí cân bằng lò xo bị giãn một đoạn:
∆l 0 =

mg 0,5 *10
=

= 0,1(m) = 10cm
K
50

- Chu kỳ dao động của vật là:
T = 2π

m
0,5 π
= 2π
= (s)
K
50 5

- Lò xo bị nén từ li độ: x 1 = - ∆l 0 = - 10cm đến
li độ x2 = - 20cm
7


- Góc quay của vật khi lò xo bị nén trong nửa chu kỳ là: α = arccos

− 10
20

= 60 0

- Vậy thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ là:
∆t = 2

60

T π
T = = (s)
360
3 15

Ví dụ 3: ( Câu 40 mã đề 136 đề thi tuyển sinh ĐH năm 2010)
Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ 5 cm. Biết trong
một chu kỳ khoảng thời gian để vật nhỏ con lắc có độ lớn gia tốc không vượt
quá 100 cm/s2 là
A. 4 Hz

T
. Lấy Π 2 = 10. Tần số dao động của vật là
3

B. 3 Hz.

C. 1 Hz.

D. 2 Hz.

Giải
Gia tốc amax = A ω 2 = 5 ω 2 ( cm/s2).
Trong một chu kì gia tốc không
được vượt quá 100 cm/s2 tức độ lớn
a ≤ 100 cm/s2 là T/3 ứng với góc 1200.
Ta có sin300 =

x
1

=>
2 =
2
5ω

ω = 2π => f = 1hz Đáp án C

Ví dụ 4: Một bóng đèn ống được
nối vào nguồn điện xoay chiều u =
120 2 cos120 π t(V). Biết rằng đèn chỉ sáng nếu điện áp hai cực U ≥ 60 2 V.
Thời gian đèn sáng trong 1s là:
A. 1/3s

B. 1s

C. 2/3s

D. 3/4s

Giải
- Hình vẽ dưới đây mô tả những vùng mà ở đó U1 = U ≥ 60 2 V khi đó đèn
sáng. Vùng còn lại do U < 60 2 V nên đèn tắt.
8


- Vùng sáng ứng với vật chuyển động trên đường tròn từ M’1 đến M1 và từ M2
đến M’2. Dễ thấy hai vùng sáng có tổng góc quay là:
4∆ϕ = 2400 = 4π/3.
(Cụ thể: cos∆ϕ = U1/U0 = 1/2 ==>∆ϕ = π/3)
- Chu kỳ của dòng điện : T = 2π/ω = 1/60 s

- Thời gian sáng của đèn trong 1 chu kỳ là:
∆t =

4.∆ϕ 4.∆ϕ.T 4.π.T 2T 1
=
=
=
= s
ω
2π
3
3.2π
90

- Thời gian sáng của đèn trong 1s là:
+) Số chu kì trong 1s:
n=

t
1
=
= 60 chu kì
T 1/ 60
+) Một chu kỳ khoảng thời gian đèn sáng ∆t, vậy n chu kỳ thì khoảng thời

gian đèn sáng là: t = n. ∆t = 60/90 = 2/3 s => Chọn C.

Bài tập đề nghị
Bài tập 1: (Câu 16 mã đề 371 đề thi đại học năm 2012).
Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Biết điện

tích cực đại trên một bản tụ điện là 4 2 µ C và cường độ dòng điện cực đại
trong mạch là 0,5 π 2 A. Thời gian ngắn nhất để điện tích trên một bản tụ giảm
từ giá trị cực đại đến nửa giá trị cực đại là:
A.

2
µs
3

B.

16
µs
3

C.

4
µs
3

D.

8
µs .
3

Bài tập 2: (Câu 20 mã đề 136 đề thi đại học năm 2010).
Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Tại thời
điểm t = 0, đện tích trên một bản tụ điện cực đại. Sau khoảng thời gian ngắn ∆t

thì điện tích trên bản tụ này bằng một nửa giá trị cực đại. Chu kì dao động riêng
của mạch dao động này là:
A. 4 ∆t

B. 6 ∆t

C. 3 ∆t

D. 12 ∆t
9


Bài tập 3: (Câu 32 mã đề 371 đề thi đại học năm 2012).
Hai điểm M,N cùng nằm trên một hướng truyền sóng và cách nhau một phần ba
bước sóng. Biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền. Tại một thời điểm,
khi li độ dao động của phần tử M là 3cm thì li độ dao động của phần tử N là
-3cm. Biên độ sóng là:
A. 6cm.

B. 2 3 cm.

C. 3cm.

D. 3 2 cm.

Bài tập 4: (Câu 15 mã đề 374 đề thi đại học năm 2011).
Trong mạch dao động LC lí tưởng đang dao động điện từ tự do. Thời gian ngắn
nhất để năng lượng điện trường giảm từ giá trị cực đại xuống còn nửa giá trị cực
đại là 1.5.10-4s. Thời gian ngắn nhất để điện tích trên tụ giảm từ giá trị cực đại
xuống còn nửa giá trị cực đại :

A. 3.10-4s.

B. 12.10-4s.

C. 2.10-4s.

D. 6.10-4s.

Bài tập 5: (Câu 24 mã đề 136 đề thi đại học năm 2010).
π
2

Tại thời điểm t, điện áp u = 200 2 .cos(100 πt − ) ( trong đó u tính bằng V, t
tính bằng s) có giá trị 100 2 V và đang giảm, Sau thời điểm đó

1
s, điện áp
300

này có giá trị:
A. -100 2 V.

B. - 100V

C. 100 3 V

D. 200V.

Bài tập 6: Vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + ϕ) (cm).
Tính:

a) Thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến A/2.
b) Thời gian vật đi từ vị trí có li độ x 1 = –A 2 /2 đến vị trí có li độ x2 = A/2 theo
chiều dương
Bài tập 7: một vật dao động điều hòa với chu kỳ T, biên độ A. Xác định khoảng
thời gian ngắn nhất từ lúc động năng bằng thế năng đến khi động năng bằng 3
lần thế năng.
π
Bài tập 8: Một nguồn sóng cơ dao động với phương trình u = 10cos( t + ϕ
3

)cm. Xét tại thời điểm t, điểm M trên phương truyền sóng cách nguồn phát sóng
10


một khoảng d, đang đi qua vị trí có li độ x = 6cm theo chiều âm. Tìm li độ và
chiều chuyển động của điểm M sau thời điểm trên 9s.
Bài tập 9: Một dao động điều hòa theo phương trình x = A.cos(5 πt + π ) . Hỏi kể
từ t = 0 đến lần thứ 9 mà động năng bằng thế năng vào thời điểm nào?
Bài tập 10 : (Câu 7 ý b đề thi HSG cấp tỉnh Thanh hóa năm 2013)
Một tế bào quang điện với catôt làm bằng kim loại có công thoát electrôn là A=
3eV, chiếu vào catôt bức xạ điện từ với bước sóng λ = 0,207 µm . Cho h =
6,625.10-34Js, c = 3.108m/s, me = 9,1.10-31kg, độ lớn của e = 1,6.10-19C.
a. Tính tốc độ ban đầu cực đại của e quang điện khi bật ra từ catốt.
b. Đặt vào hai điện cực của tế bào quang điện một điện áp xoay chiều có biểu
thức uAK= 6cos100 πt V. Trong một phút, hãy xác định khoảng thời gian dòng
quang điện bằng không.

Dạng 2: Bài toán xác định số lần vật đi qua một điểm xác
định và xác định thời điểm vật đi qua một điểm.
Phương pháp

- Trên trục tọa độ, trong một chu kỳ vật đi qua một điểm 2 lần: Một lần theo
chiều âm, một lần theo chiều dương ( trừ hai vị trí biên vật đi qua có một lần )
α
T
- Thời gian vật quay hết góc α là: ∆t =
360

- Trong phần này chú ý vị trí bắt đầu tính thời gian.
* Xác định thời điểm vật qua vị trí x0 lần thứ n
- Nếu số lần là lẻ thì tách một lần cuối cùng: n = (n – 1) + 1
Thời gian: tn =

n −1
T + ∆t 1lần cuối
2

- Nếu số lần là chẵn thì tách hai lần cuối cùng: n = (n – 2) + 2

11


Thời gian: t n =

n−2
T + ∆t 2lần cuối vì hai lần cuối cùng không đi hết
2

một chu kì.
* Nếu xác định thời điểm vật qua vị trí x 0 lần thứ n theo chiều dương hoặc theo
chiều âm. Dù n chẵn hay lẻ cũng tách một lần cuối cùng vì trong một chu kì vật

đi qua vị trí x0 theo chiều dương 1 lần, theo chiều âm 1 lần.
n = (n – 1) + 1
tn = (n-1)T + ∆t 1lần cuối
Ví dụ 1: (Câu 14 mã đề 374 đề thi tuyển sinh ĐH năm 2011)
Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos

2Π
t ( x tính bằng
3

cm; t tính bằng s ). Kể từ thời điểm t = 0 chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2cm
lần thứ 2011 tại thời điểm:
A. 3016s.

B. 3015s.

C. 6030s.

D. 6031s

Giải
- Chu kỳ dao động của vật: T = 3s
- Thời điểm t = 0: x = 4cm: vật ở vị trí biên
dương.
- Thời gian để đi được 2010 lần là: 1005T
( T là chu kỳ )
- Thời gian để vật đi từ vị trí x = 4 đến vị trí
x = -2 là:
+ Cung AM có độ lớn:
arcos

−2
= 120 0
4

+ Vậy thời gian vật đi từ x = 4cm đến x = - 2cm là: ∆t =

120
T
T=
360
3

- Từ đó tính được thời điểm vật đi qua vị trí x = -2 lần thứ 2011 là:
12


t = 1005T + ∆t = 1005T + T/3 = 1005.3 + 3/3 =3016s.

Đáp án A

Ví dụ 2:
Một vật dao động điều hòa dọc theo trục tọa độ nằm ngang ox với chu kỳ T, vị
trí cân bằng và mốc thế năng ở gốc tọa độ. Tính từ lúc vật có biên độ dương đến
thời điểm đầu tiên mà động năng và thế năng của vật bằng nhau là
A.

T
.
8

B.

T
.
6

C.

T
.
12

D.

T
.
4

Giải

- Vị trí để động Wđ = Wt là x = ±

A
2

- Để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì góc α
mà vật phải quay là:
A

α = arccos( 2 ) = 450
A

- Vậy đáp số của bài là:
t=

45
T
T=
( Đáp số A.)
360
8

Ví dụ 3: (Xác định số lần vật đi qua một điểm trong khoảng thời gian ∆t )
Một con lắc dao động với phương trình x = 5cos(4πt- π/3) cm. Trong 1,25s đầu
vật đi qua li độ
a. x = 3cm mấy lần
b. x = -2cm mấy lần
Giải
a. Số lần vật đi qua li độ x = 3cm
- Chu kỳ dao động:
13


T=

2π 2π
=
= 0,5s
ω 4π

t

1,25

- Số chu kỳ mà vật thực hiện được trong thời gian 1,25 giây là: T = 0,5 = 2,5
- Sau hai chu kỳ vật quay thêm một góc:
α = 0,5*3600 = 1800

- Vị trí xuất phát của vật:
x1 =5cos( ϕ ) = 5cos(-600) = 2,5cm ( thời gian được tính từ lúc vật bắt đầu dao
động )
- Vị trí của vật tại thời điểm 1,25 s là: x = - 5cos600 = - 2,5cm
- Vậy số lần vật đi qua li độ x = 3 là: N = 2*2+ 2 = 6 lần ( Một chu kì đi qua 2
lần, khi quay góc 1800 vật đi qua li độ 3cm hai lần nữa )
b. Số lần vật đi qua li độ x = -2cm
- Từ hình vẽ ta thấy trong khi quay góc 1800 vật chỉ đi qua li độ x = -2cm một
lần nữa vậy tổng số lần vật đi qua x = -2cm trong thời gian trên là: 5 lần

Bài tập đề nghị:
Bài tập1. Một vật dao động theo phương trình x = 2cos(5πt + π/6) + 1 (cm).
Trong giây đầu tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x =
2cm theo chiều dương được mấy lần?
A. 3 lần

B. 2 lần.

C. 4 lần.

D. 5 lần.

Bài tập 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2πt) cm. Xác
định thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng lần dầu.
Bài tập 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +

π
) cm.
6

Xác định thời điểm vật đi qua vị trí x = - 2cm lần thứ 2013.

14


Bài tập 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +

π
) cm.
6

Xác định thời điểm thứ 2012 vật qua vị trí x = 2cm.
Bài tập 5: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(10πt -

π
)cm.
6

Hỏi lần thứ 10 mà vật dao động có li độ x = 1cm và đang tiến về vị trí cân bằng
vào thời điểm nào?

Dạng 3: Bài toán tính quãng đường vật đi được trong
một khoảng thời gian.
Phương pháp
- Đoạn đường vật đi được trong một chu kỳ 4A.
- Đoạn đường vật đi được trong nửa chu kỳ 2A.
- Nếu vật ở một trong ba vị trí: Hai biên và vị trí cân bằng thì trong 1/4 chu kỳ
vật đi được đoạn đường là A.
- Trong 1/4 chu kì nếu từ vị trí bất kì vật có thể đi được lớn hơn hay bé hơn 1A.
- Các vị trí bất kì thì tính tổng hình chiếu của vật chuyển động tròn đều lên trục
’

x 0x thuộc mặt phẳng quỹ đạo, 0 là tâm quỹ đạo.
- Tính số chu kì n = t/T tách phần nguyên chu kì. Tính quãng đường vật đi được
của phần nguyên và phần thập phân chu kì.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(2πt + π/3)
43

(cm). Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 12 s kể từ lúc bắt đầu
dao động.
15


Giải
- Chu kỳ dao động của vật: T = 2π/ω = 1s
- Phân tích thời gian dao động thành:
t 43
⇒
=
T 12

7

t = 3T + 12 T
- Trong thời giam ∆t = 0,75T góc mà vật
∆t
0
0
quay được là: α = T * 360 = 210

π

- Vị trí ban đầu của vật: x1 = 4cos( 3 ) = 2cm (chuyển động theo chiều âm)
- Vị trí tại thời điểm 3,75s:
0

0

x2 = 4cos( 60 + 210 ) = 0 (cm) (Vật ở gốc tọa độ và đi theo chiều dương )
0

- Quãng đường vật đi khi quay góc 210 là:
s1 = 6+ 4 = 10 cm ( hai đoạn kẻ đen trong hình vẽ )
π

Ví dụ 2: Một vật dao động điều theo phương trình x = A.co s( 2πt − 2 ) ( cm,s)
5

sau thời gian 12 s kể từ khi dao động vật đi được quãng đường 6cm. Biên độ dao
động của vật là:

A. 4cm.

B. 5cm.

C. 3cm.

D. 6cm

Giải
Ta có chu kì dao động T = 1s.
Góc quay:

∆t =

α
T
360

∆t.360 0
=> α =
T

16


=> α = 150 0

Tổng quãng đường
S = A + A/2 = 3A/2 = 6
A = 4cm.

Đáp án A

Bài tập đề nghị:
Bài tâp 1: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và chu kì 1s.
Tại t = 0, vật đi qua VTCB theo chiều âm của trục toạ độ. Tổng quãng đường đi
được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể từ thời điểm được chọn làm gốc
là :
A. 56,53cm

B. 50cm

C. 55,77cm

D. 42cm.

Bài tập 2. Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật có
khối lượng m = 250g, dao động điều hoà với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời
gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng. Tính quãng đường vật đi được trong

π
s đầu
10

tiên.
Bài tập 3. Một vật dđđh dọc theo trục Ox với phương trình: x = 8sin(4πt - π/3 )
cm. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 5/24 s đến thời điểm t2 =
74/24 s.
Bài tập 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 8cos(4πt+π/3)(cm).
Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 4,25s.

Bài tập 5: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = A.co s(
Sau thời gian

2π
π
t + ) cm.
T
3

7T
kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường 10cm. Tính
12
17


biên độ dao động.

Dạng 4. Bài toán tính tốc độ trung bình của vật dao động.
Phương pháp

- Công thức tính tốc độ trung bình: vtb =

S
(m / s) .
t

- Như vậy đây là bài toán hệ quả của việc tính quãng đường đi và tính thời gian
đi hết quãng đường đó.
- Chú ý bài toán yêu cầu tính từ thời điểm nào? Thời gian nào đi với quãng
đường đó.

Ví dụ 1: (Câu 8 mã đề 136 đề thi tuyển sinh ĐH năm 2010)
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ T. Trong khoảng thời gian ngắn
nhất khi đi từ vị trí có li độ x = A đến vị trí x =

−A
, chất điểm có tốc độ trung
2

bình là
A.

3A
.
2T

C.

6A
.
T

C.

4A
.
T

D.

9A

2T

Giải
- Quãng đường ngắn nhất vật đi từ
x1 = A đến x2 =

−A
−A
3A
;S=A-(
)=
2
2
2

- Thời gian đi hết quãng đường đó là:
+ Góc quay của vật: α = arccos(

−A
A

2 ) = 120 0

+ Thời gian quay ( Thời gian đi hết đoạn
đường ): t =

120
T
*T =
360

3

18


3A
S
2 = 9A
=
- Vậy tốc độ trung bình trên đoạn đường đó là: vtb =
T
t
2T
3
Đáp án D

Ví dụ 2: (Câu 6 mã đề 374 Đề thi tuyển sinh ĐH năm 2011)
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục ox với biên độ 10 cm, chu kỳ 2s.
Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng
thời gian ngắn nhất chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến
vị trí có động năng bằng 1/3 lần thế năng là
A. 26,12 cm/s.

B. 21,96 cm/s.

C. 7,32 cm/s.

D. 14,64 cm/s

Giải

- Vị trí động năng bằng ba lần thế năng: Từ Wđ + Wt = W và Wđ = 3Wt
ta tính được: x1 =

±A
.
2

- Tương tự vị trí động năng bằng một phần ba lần thế năng: x2 =

±A 3
2

- Thời theo yêu cầu của đề bài chính là thời gian đi giữa hai tòa độ âm hoặc hai
tọa độ dương:
A

+ Góc ứng với li độ dương x1: α 1 = arccos x1 = arccos 2 = 60 0
A

A

+ Góc ứng với li độ dương x2:
x
α 2 = arccos 2 = arccos
A

A 3
A

2 = 30 0

+ Góc quay của vật: α = α 1 − α 2 = 30 0
+ Thời gian quay của vật:
t=

30
T
1
T=
= s
360
12 6

A( 3 − 1)
= 3,66
2
+ Quãng đường đi: S = x2- x1 =
cm

19


- Vậy tốc độ trung bình là: vtb =

S 3,66
=
= 21,96 cm/s. Đáp án B.
t 1/ 6

Ví dụ 3: (Câu 5 mã đề 371 đề thi đại học năm 2012)

Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi vTB là tốc độ trung bình của
chất điểm trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của một chất điểm. trong một
chu kì v ≥

π
vTB là:
4

A.

T
.
3

B.

C.

2T
.
3

D. .

T
.
2

T
6

Giải
Tốc độ trung bình của vật trong
một chu kì: vTB = 4A/T
Trong một chu kì khoảng thời gian mà:
=> v ≥

A
π
Aω
2
. π =
4
2
ω

=>

∆t =

v ≥

π
vTB
4

α
240 0 T 2T
T=
=

360
3
360 0

Đáp án C

Bài tâp đề nghị:
Bài tập 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 14cos(4πt +π/3)cm.
Tính tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian kể từ thời điểm ban đầu
đến khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần thứ nhất:
A. 1,2m/s.

B. 0,6m/s.

C. 0,4m/s.

D. 1,8m/s.

Bài tập 2: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời
gian ngắn nhất khi đi từ vị trí có li độ x = A/2 đến vị trí có x = - A/2 chất điểm
có tốc độ trung bình là
A. 6A/T.

B. 4,5A/T.

C. 1,5A/T.

D. 4A/T.

Bài tập 3: Câu 2( ý 2của câu a đề thi HSG Tỉnh Thanh hóa năm 2012).

20


Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m =
100(g) và lò xo nhẹ có độ cứng k = 100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương
thẳng đứng đến vị trí lò xo không bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc 10 30
(cm/s) thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật
nặng. Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O
ở vị trí cân bằng.
Lấy g = 10(m/s2); π 2 ≈ 10 .
a) Nếu sức cản của môi trường không đáng kể, con lắc lò xo dao động điều hòa.
Tính:
- Độ lớn của lực đàn hồi mà lò xo tác dụng vào vật lúc t = 1/3(s).
- Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian 1/6(s) đầu tiên.
b) Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn không đổi và
bằng FC=0,1(N). Hãy tìm tốc độ lớn nhất của vật sau khi truyền vận tốc.
Bài tập 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(4πt+π/6)(cm).
Tính tốc độ trung bình của tính từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật có động
năng bằng thế năng lần thứ 2013.
Bài tập 5. Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật có
khối lượng m = 250g, dao động điều hoà với biên độ A = 6cm. Chọn gốc thời
gian t = 0 lúc vật qua VTCB. Tính tốc độ trung bình của vật trong 10π (s) đầu
tiên?

Dạng 5: Bài toán xác định quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất
và tốc độ lớn nhất, nhỏ nhất của vật
trong khoảng thời gian ∆t
Phương pháp
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong
cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần

VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
21


Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều
Góc quét ∆φ = ω∆t.
Trường hợp 1: 0 < ∆t <

T
2

Hình 1.

Hình 2

Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1
Smax = 2A sin

đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1) :

∆ϕ
2

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1
đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2) :

Smin = 2A(1 − cos

Trường hợp 2: ∆t > T/2
Tách

∆t = n

T
+ ∆t '
2

Trong thời gian

n

T
2

trong đó

n ∈ N* ; 0 < ∆t ' <

∆ϕ
)
2

T
2

quãng đường luôn là 2nA

Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:
v tbmax =

Smax
∆t

và v tbmin =

Smin
∆t

với Smax; Smin tính như trên.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O
với biên độ A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian T/4, quãng đường lớn nhất
mà vật có thể đi được là :
A. A

B.

2 A.

C.

3 A.

D. 1,5A.

Giải
Ta có
Δφ = ωΔt =

2π T
π
=
2
T 4

⇒ Smax = 2Asin

∆ϕ
=
2

π

2Asin 4 =

2A

Đáp án B
22


Ví dụ 2: (Câu 39 mã đề 371 Đề thi tuyển sinh ĐH năm 2012).
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương nằm ngang với cơ năng dao
động là 1J và lực đàn hồi cực đại là 10N. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng . Giọi
Q là đầu cố định của lò xo, khoảng thời gian lớn nhất giữa hai lần liên tiếp Q
chịu tác dụng của lực kéo lò xo có độ lớn là 5 3 N là 0,1s. Quãng đường lớn
nhất mà vật nhỏ của con lắc đi được trong 0,4s là:
A. 60cm.

B. 40cm.

C. 115cm.

D. 80cm.

Giải
Ta có w =

1 2
kA
2

và Fđhmax = kA
2W

=> A = F
= 0,2 m = 20cm.
đh max
Ta có

suy ra

α
α = 600 , ∆t =
T
360

T = 0,6s.

Ta có t = 0,4s = 0,3s + 0,1 s

Quãng đường S = 2A + S
= 2 A + 2 A sin

∆ϕ
,
2

max

=

∆ϕ = 60 0
0

S = 2.20 + 2.20.sin30 = 60cm.

Đáp án A

23


Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục ox, quang vị trí cân bằng o
với biên độ A và chu kì T. Trong khoảng thời gian 2T/3 tố độ trung bình nhỏ
nhất mà vật có thể thực hiện được là:
9A

A. 2T

B. (

2+ 2
).3 A
2T

C. (

2A

4− 3
).3 A
2T

D. T

Giải

Ta có t = 2T/3 = T/2 + T/6
T/6 ứng với góc 60
Quãng đường S

min

0

60 0
3 = A( 4) = 2A + 2A( 13)
)
= 2A + 2A( 1- cos

2
2

Tốc độ trung bình: vmin =

S min
4− 3
=(
).3 A
t
2T

Đáp án C

Bài tập đề nghị:
Bài tập 1. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4πt + π/3)cm.
Tính quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian ∆t = 1/6 (s) :
A. 4 3 cm.

B. 3 3 cm.

C.

3 cm.

D. 2 3 cm.

Bài tập 2. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4πt + π/3)cm.
Tính quãng đường bé nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian ∆t = 1/6 (s):
A. 4 cm

B. 1 cm

C. 3 3 cm

D. 2 3 cm.

Bài tập 3: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một lò xo nhẹ có hệ số cứng k
= 40N/m gắn với một vật nhỏ có khối lượng 100g. Con lắc được kích thích dao
động bằng cách nâng vật lên trên vị trí cân bằng 5cm theo phương thẳng đứng
rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi lực cản của ma sát thì tốc độ trung bình nhỏ nhất của
vật trong khoảng thời gian

π
s là:
30
24


A. 67,5cm/s.

B. 30,5cm/s.

C. 82,7cm/s.

47,7cm/s.

Bài tập 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm, với chu kì 0,1s. Thời
gian dài nhất để vật đi được quãng đường 10cm là:
A. 1/15s.

B. 1/40s.

C. 1/60s.

D. 1/30s .

Bài tập 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ 20cm, với chu kì 0,4s. Tốc độ
trung bình bé nhất của vật khi vật đi được quãng đường 20cm là:
A. 3m/s.

B. 1,5m/s.

C. 0,75m/s.

D. 1m/s .

25