Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@

VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

Cho hàm số y = f ( x) ( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có 2 cách :
Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lý : Đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị tại điểm M ( xo ; yo = f ( xo )) : k
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán)

= f '( xo )
Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

y = f '( xo ).( x − xo ) + yo
k = f '( xo ) :hệ số góc

Tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) ∈ (C )

Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C )
_Giải pt : f '( xo )
_Áp Dụng (1)

= k ⇒ xo ⇒ yo

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
cho trước : y = kd x + b

_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C )

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)
trước : y = kd x + b

_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C )

_Giải pt : f '( xo ) =
_Áp Dụng (1)

_Giải pt : f '( xo ) = −

kd ⇒ xo ⇒ yo

1
⇒ xo ⇒ yo
kd

_Áp Dụng (1)
_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) ,tt tại M là (∆) : (1)
_ (∆) qua A: thay tọa độ A vào
(1) ⇒ xo ⇒ yo ⇒ PTTT

Tiếp tuyến đi qua điểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho
trước

 y = f ( x)

Cách 2 : dùng đk tiếp xúc :hai đths 
tiếp xúc với nhau
 y = g ( x)
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán)

 f ( x) = g ( x)
⇔
 f '( x) = g '( x)

Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

y = f '( xo ).( x − xo ) + yo
k = f '( xo ) :hệ số góc

Tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) ∈ (C )

(1)

_PTTT có dạng y = kx + C (*)
 f ( x) = kx + C
_ĐKTX 
 f '( x) = k
_Giải hệ ⇒ C

Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước



(1)

1




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho_PTTT có dạng y = ax + C (*)
trước : y = ax + b
 f ( x) = ax + C
_ĐKTX 
 f '( x) = a
_Giải hệ ⇒ C
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) cho
1
_PTTT có dạng y = − x + C (*)
trước : y = ax + b

a

1

 f ( x) = − a x + C
_ĐKTX 
 f '( x) = − 1

a
_Giải hệ ⇒ C

_PTTT có dạng: y = k ( x − xA ) + y A

Tiếp tuyến đi qua điểm
A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước

 f ( x) = k ( x − x A ) + y A
_ĐK TX 
 f '( x) = k
_Thế pt dưới vào trên ⇒ x ⇒ k
ứng với 1 giá trị x sẽ có 1 giá trị k

 y = k1 x + c1
Lưu ý : hai đt : 
vuông góc với nhau ⇔ k1.k2 = −1 ,song song ⇔ k1 = k2
 y = k2 x + c2
Với k1 , k2 là hệ số góc
Bài tập có HD

x 2 − 3x + 4
!"#$%&!'($) !"#$!#%&'!($)!*"+! y =
!,!!-!.%&!'$/0!1234'!0567!67!0839:!*"+!!;23)2x − 2
0563):!=5>%!*"+!0%?2!-!=%@0!1AB&:C!023/'!=%/:!D239:!E%&!1A7:C!0%?2!F!E%&!G!,!!
"#A7:C!0$>!8%HC!-!.%&!085:C!1234'!=5>%!FGI!E%&!0%'!C2%7=!JFG!*J!.%&!C2%$!1234'!!
=5>%!#%2!1AB&:C!023/'!=%/:+!=$7!K23/:!0L=#!M#$9:C!<#5?!0#5$/=!E%&$!-!

x 2 − 3x + 4 x
1
= −1 +
!!!!!!!!!(D ≠ O)!!!!*"+ !!

N2%>2 ! y =
2x − 2
2
x −1
M (a; b ) ∈ (C ) ⇒ 023)!
a
1 

b = −1+
!
2
a −1

1
a
1 
1
!
−1+
⇔ y= −
2 ( x − a ) +
2
a −1
 2 (a − 1) 



1
2 

+
!
2 a −1
x
3

;23/'!=%/:!D239:!=5>%!*"+!.%&!*KQ+! ! y = − 1 ⇒ (d ) ∩ (d 2 ) = B 2a − 1; a −  !
2
2


;23/'!=%/:!1A7:C!=5>%!*"+!.%&!*KO+! !D!P!O ⇒ (d ) ∩ (d1 ) = A1;−



2




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

1
( x A + xB ) = 1 (1 + 2a − 1) = a = xM !
2
2
1
1 1

2
3 a
1
= yM !
+ a −  = −1+
!!!!!!!!!!!! ( y A + y B ) = − +
2
2  2 a −1
2 2
a −1

;%!=$7!

R%/6!-!.%&!085:C!1234'!=5>%!FG!!




1
2

N2%$!1234'!=5>%!Q!023/'!=%/:!.%&! I 1;−  ⇒ S IAB =

!
!

R%/6!SJFG!M#$9:C!<#5?!0#5$/=!E%&$!-! !

!

1
y A − y I xB − xI ! !
2
1 2
. 2a − 2 = 2 !
!! = .
2 a −1
!

!

!"#$%&!'($* !"#$!#%&'!($)!6!P!DT!U!TDQ!V!WD!U!X!!!!*"+!,!!
;Y'!023)<!0563):!=5>%!1$Z!0#[!*"+!=$7!#3/!($)!C$7=!:#$>!:#%)0!!
2
N2%>2! !N$?2!-*D\]!6\+!∈ (C ) ! !#3/!($)!C$7=!023)!!

;%!=$7! k = 3( x0 + 1) − 12 ≥ −12 ,!`%)5!aPb!D%>6!8%!M#2!D\!P!V!O!
2

R%/6!-2:!M!P!V!OQ! ⇔ !-*VO]!Oc+!
`$!1$7!08$:C!0%)0!=%>!=%7=!023)<!0563):!=5>%!*"+!0#Y!023)C$7=!:#$>!:#%)0!
!
!"#$%&!'($+ !"#$!#%&'!($)!6!P!DT!U!'DQ!U!O!!!!*"'+!
!
!
;Y'!'!134!*"'+!=%@0!*K+!6!P!V!D!U!O!0%?2!T!1234'!<#%9:!d23/0!F*\]!O+I!GI!"!(%$!!
=#$!=%7=!023)<!0563):!=5>%!"'+!0%?2!G!E%&!"!E5$9:C!C$7=!:#%5!!!
N2%>2 !e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!*K+!E%&!*"'+!!

!
!
DT!U!'DQ!U!O!P!V!D!U!O!
!
⇔ !! D*DQ!U!'D!U!O+!P!\!!!!!!!!*f+!
!
g%h0!C*D+!P!DQ!U!'D!U!O!,!*K+!=%@0!*"'+!0%?2!T!1234'!<#%9:!d23/0!!
⇔ !C*D+!P!\!=$7!Q!:C#23/'!<#%9:!d23/0!M#%7=!\!!
!
!
!

!

∆g = m 2 − 4 > 0
m > 2
⇔
⇔
!
m < −2
 g (0) = 1 ≠ 0

!

RY!DG!I!D"!.%&!:C#23/'!=5>%!C*D+!P!\!

!

S = xB + xC = − m
⇒

!
=
=
P
x
x
1

B C

!
!

;23)⇔ f ′( xC ) f ′( x B ) = −1 !

!
!
!
!

⇔ xB xC (3 xB + 2m )(3 xC + 2m ) = −1 !
⇔ xB xC [9 xB xC + 6m( xB + xC ) + 4m 2 ] = −1!
⇔ 1[9 + 6m(− m ) + 4m 2 ] = −1 !
⇔ 2m 2 = 10 !



3

Nguyễn Vũ Minh
!
!

Các chuyên đề về Hàm Số

⇔ m = ± 5 !!!!!!!!!!*:#%/:!($!EB72!123Z5!M23/:+!

!"#$%&!'($, !"#$!#%&'!($)!6!P!DT!V!TD!V!Q!!!!!*i+!
j370!T!1234'!FI!GI!"!0#%k:C!#%&:C!0#5$/=!*i+,!N$?2!FOI!GOI!"O!.%Z:!.5B?0!.%&!C2%$!
1234'!=5>%!*i+!EB72!=%7=!023)<!0563):!=5>%!*i+!0%?2!FI!GI!",!"#A7:C!'2:#!8%H:C!
FOI!GOI!"O!0#%k:C!#%&:C,!
N2%>2 !N$?2!-*D\]!6\+!0#5$/=!*i+,!e#AB:C!08Y:#!023)<!0563):!=5>%!*i+!0%?2!-!
(d )!!! y = 3 x02 − 1 (x − x0 ) + x 3 − 3x0 − 2 = 3 x02 − 1 x − 2 x 3 + 1 !!
!

(

!
!
!
!
!
!
!

)

(

(

)

⇔ ( x − x0 ) ( x + 2 x0 ) = 0 !
 x = x0 (:C#23/'!M37< )
⇔
!
=
−
x
2x

0

(

)

N$?2!F*%]!6F+!I!G*d]!6G+!I!"*=]!6"+!
⇒ !C2%$!1234'!FOI!GOI!"O!=5>%!=%7=!023)A1 = − 2a;−8a 3 + 6a − 2 !
!

(
= (− 2b;−8b
= (− 2c;−8c

3
3

)
+ 6b − 2) !
+ 6c − 2) !

f!FI!GI!"!0#%k:C!#%&:C! !

!

!

!

!

!
!
!
!

!
!
!
f!FOI!GOI!"O!0#%k:C!#%&:C! !

!
!

!
!

)

2

!

!

(

e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!=5>%!*K+!E%&!*i+!!
x 3 − 3x − 2 = 3 x02 − 1 x − 2 x 3 + 1 !

B1
C1

!

)

b − a b 3 − a 3 − 3(b − a )
!
⇔
=
c − a c 3 − a 3 − 3(c − a )
b 2 + a 2 + ab − 3
⇔1= 2

!
c + a 2 + ac − 3
⇔ c 2 + ac = b 2 + ab !
⇔ (c − b )(a + b + c ) = 0 !
⇔ a + b + c = 0!!!!!!!(= ≠ d ) !

2a − 2b 8(a 3 − b 3 ) − 6(a − b )
!
⇔
=
!
2a − 2c 8(a 3 − c 3 ) − 6(a − c )
4(a 2 + ab + b 2 ) − 3
!
!
⇔1=
4(a 2 + ac + c 2 ) − 3
!
⇔ c 2 + ac = b 2 + ab !
⇔ (b − c )(a + b + c ) = 0 !
!
!
⇔ a + b + c = 0!!!!!!!(= ≠ d ) !
R%/6! !FI!GI!"!0#%k:C!#%&:C! ⇔ !FOI!GOI!"O!0#%k:C!#%&:C!

Bài Tập :
Bài 1 : Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là ( C ) .Tìm hệ số góc và viết pttt với ( C ) tại điểm M o


4

Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

x 2 + 3x + 3
với M o ∈ (C ) có hoành độ xo = 2
x −1
2) ( C ) : y = x3 + x + 1 với M o (−2; −9) ∈ (C )
1) ( C ) : y =

3) ( C ) : y = x 4 − 2 x 2 + 5 với M o ∈ (C ) có tung độ yo = 8
x+2
, M o là giao điểm của ( C ) và Oy
4) ( C ) : y =
− x −1
x 2 − 3x + 2
5) ( C ) : y =
, M o là giao điểm của ( C ) và Ox
x−3
6) ( C ) : y = x3 − 2 x + 2, M o là giao điểm của ( C ) với đt y = 2
7) ( C ) : y = 2 x 3 − x, với M o là giao điểm của ( C ) và Oy
8) ( C ) : y = 2 x 4 − 5 x 2 + 3 với M o ∈ (C ) là giao điểm của ( C ) và Ox
x−3
( C ),viết pttt với đths :
Bài 2 : Cho hàm số y =
x+2

1) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ
2) Biết tiếp tuyến song song với đt y = 5 x + 2
Bài 3 : Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 4 ( C ),viết pttt với đths :
1) Tại M o ∈ (C ) có hoành độ xo = −2
2) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm A(2; 0)
Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :
x 2 + 3x + 6
1
, biết tiếp tuyến vuông góc với đt y = x
1) y =
x +1
3
2
2) y = x + 3 x, biết tiếp tuyến qua A(1; 4)
1
3) y = x 3 − 3 x 2 , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt y = x
3
2
x − 2x + 2
3
4) y =
, biết tiếp tuyến song song với đt y = x + 15
x −1
4
3
x
5) y = − 2 x 2 + 3 x − 1 , biết tiếp tuyến đó qua K (0; −1)
3
x 2 − 3x + 1
6) y =

, biết tiếp tuyến song song với đt y = 2 x + 3
x−2
x2 − 4x
Bài 5 : cho ( C ) : y =
, tìm pttt với ( C ) trong các trường hợp sau :
x −1
1) Tiếp xúc với ( C ) tại A(2; −4)
2) Song song với (d1 ) : y = 13x + 1
1
3) Vuông góc với (d 2 ) : y = − x
4
4) Vẽ từ M (1;5)
Bài 6 : cho ( C ) : y = x3 − 3 x 2 + 2
1) Lập pttt với ( C ) tại điểm có hòanh độ xo = −3
2) Lập pttt của ( C ) qua
i. A(2; −2)
ii. B(0;3)


5




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

1
3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng y = − x + 19

9
4) Lập pttt tại điểm uốn của ( C ) .Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất
5) (khó) Tìm trên đt y = 2 các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
x−2
Bài 7 : cho ( C ) y =
. Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến :
x +1
1) Qua gốc tọa độ O
2) Qua điểm A(2;1)
3
2
Bài 8 : cho ( C ) y = − x + 3x − 5 x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó :
3) Vuông góc với đt : x − 29 y + 2 = 0
2) Song song với đt : 2 x + y − 3 = 0
2x2
. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :
2x −1
1) Tại điểm có hoành độ xo = 1
2) Song song với đt 8 x − 9 y + 1 = 0
3) Vuông góc với đt 25 x + 24 y − 2 = 0
Bài 10 : cho ( C ) : y = x3 + 4 x 2 + 4 x + 1 và điểm A ∈ (C ) với xA = −1 . Viết pttt với ( C ) biết
tiếp tuyến qua A
x3
Bài 11 : cho ( C ) : y = − 2 x 2 + 3 x có đồ thị là ( C ). Viết pttt với ( C ) tại điểm uốn. Chứng
3
minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
m
1
1
Bài 12 : (Cm ) : y = x3 − x 2 + .Gọi M là điểm thuộc (Cm ) có hoành độ bằng -1 .Tìm m để

3
2
3
tiếp tuyến của (Cm ) tai điểm M song song với đt 5 x − y = 0
Bài 9 : y =

x2 − x + 1
( C ) .Viết pt đường thẳng đi qua M (1; 0) và tiếp xúc với đths ( C )
x −1
Bài 14 : cho hàm số (Cm ) y = x3 + 3 x 2 + m(m + 1) x + 1 .Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với parabol (P)

Bài 13 : y =

: y = 3 x 2 + 2 x + 1 .( đs : m = 1 ∨ m = −2 )
x2 − x + 1
và (P) y = x 2 + a .Định a để ( C ) tiếp xúc với (P)
x −1
Bài 16 : Định tham số m để đồ thị
1) y = x 2 + 3 x + 3 và y = x + 2m − 1 tiếp xúc
2) y = − x 3 + 3x 2 − 2 x và y = mx tiếp xúc
3) y = x3 − (2m + 3) x 2 + (m + 2) x + m tiếp xúc với trục hoành ( Ox )
x+2
4) y =
và y = −3 x + a tiếp xúc
x −1
2 x 2 + (1 − m) x + m + 1
*Bài 17 : (Cm ) : y =
, CMR với mọi m ≠ −1 thì đths luôn tiếp xúc với 1
x−m
đường thẳng cố định tại một điểm cố định

*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay đồ thị sau :
1) (C1 ) : y = x 2 và (C2 ) : y = x 2 − 2 x − 1
Bài 15 : ( C ) : y =

2) (C1 ) : y = x 2 − 5 x + 6 và (C2 ) : y = − x 2 + 5 x − 11
Lưu ý :


6




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

•

Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm của
chúng có nghiệm kép
• Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất
x −3
Bài 19 : ( C ) : y =
. Viết pttt với ( C ) biết :
x +1
1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy
2) Tại K có hoành độ bằng -2
3) Tiếp tuyến song song với đt y = 4 x + 2
4) Vuông góc với đt 4 x + y − 3 = 0

*Bài 20 : Tìm trên đt y = 2 mà qua đó có đúng ba tiếp tuyến với ( C ) : y = − x 3 + 3x 2 − 2
Bài 21 : Tìm trên Ox những điểm mà qua đó có đúng một tiếp tuyến với ( C ) trong các trường
hợp sau :
2 x2 − 2 x + 2
x2 + x − 3
2) (C ) : y =
1) (C ) : y =
x −1
x+2

VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : cho hai hàm số y = f ( x) có đồ thị là (C) và y = g ( x) có đồ thị là (C’). Muốn xét sự tương
giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hoành độ giao điểm :
f ( x ) = g ( x ) (*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C)
và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm.
Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau
tại M thì điểm xM chính là nghiệm kép của pt (*)
, và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến

Bài tập có HD
!"#$%&!'($) !"#$!#%&'!($)!6!P!^*D+!P!DT!V!TD!U!Q!,!*`+!.%&!1AB&:C!0#%k:C!l5%!F*Q]!m+!=$7!!
#3/!($)!C$7=!',!G23/:!.5%/:!0#3$!'!($)!C2%$!1234'!=5>%!*"+!E%&!*`+!!
N2%>2 !*`+!l5%!F*Q]!m+!I!#3/!($)!C$7=!'! !6!P!'*D!V!Q+!U!m!
!!!!!!!!!!!!!
!
!
*"+! !6!P!DT!V!TD!U!Q!
f!e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!=5>%!*"+!E%&!*`+!!

!
!!!!!!DT!V!TD!U!Q!P!'*D!V!Q+!U!m!
!*D!V!Q+*!DQ!!U!QD!U!O!V!'+!P!\!!!!!*O+!
f!S$)!C2%$!1234'!=5>%!*"+!E%&!*K+!=#L:#!.%&!($)!:C#23/'!=5>%!<#AB:C!08Y:#!*O+!
n e#AB:C!08Y:#!*O+!.5$9:!.5$9:!=$7!:C#23/'!D!P!Q!
n j370!<#AB:C!08Y:#!C*D+!P!DQ!!U!QD!U!O!V!'!P!\!!!*Q+!
o3)5!C*D+!P!\!=$7!:C#23/'!D!P!Q!0#Y!W!V!'!P!\! ⇔ !'!P!W!!
`$!1$7! !'!P!W!0#Y!*O+!=$7!:C#23/'!M37!
!
o3)5!'!≠!W!0#Y!C*D+!P!\!!=$7!:C#23/'!D!≠!Q!
7




Nguyễn Vũ Minh
!
!
!
!
n

Các chuyên đề về Hàm Số

!
;%!=$7! ∆′ = m !
!
'!p!\! !
⇔ ∆′ < 0 !*Q+!E$9!:C#23/'!

!
'!P!\!! ⇔ ∆′ = 0 !*Q+!=$7!:C#23/'!M37⇔ ∆′ > 0 !*Q+!=$7!Q!:C#23/'!<#%9:!d23/0!M#%7=!Q!
!
\!p!'!≠!W!
q3)0!.5%/: !
'!p!\! !
!*`+!=%@0!*"+!0%?2!O!1234'!!
'!P!\!! !*`+!=%@0!*"+!0%?2!O!1234'!E%&!023)\!p!'!≠!W!
!*`+!=%@0!*"+!0%?2!T!1234'!
'!P!W!! !*`+!=%@0!*"+!0%?2!O!1234'!E%&!023)
!
! " + "#!" + "$
!!*"+!
!" + " "
!
!
;Y'!0%)0!=%>!=%7=!C2%7!08[!'!134!1AB&:C!0#%k:C!*`+!6!P!'D!U!Q!V!'!!!=%@0!1$Z!0#[!!
*"+!0%?2!Q!1234'!<#%9:!d23/0!0#5$/=!=5&:C!'$/0!:#%7:#!=5>%!1$Z!0#[!*"+!
N2%>2 !e#AB:C!08Y:#!#$%&:!1$/!C2%$!1234'!=5>%!*"+!E%&!*`+! !
!
!!!!!!!DQ!U!mD!U!O!P!'DQ!U!QD!U!'D!U!m!V!Q'!!!!!!!*EB72!D!≠!V!Q+!
⇔ !*O!V!'+DQ!U!*Q!V!'+D!U!Q'!V!T!P!\!!!!!!*f+!
!
!
*`+!=%@0!*"+!0%?2!Q!1234'!<#%9:!d23/0!0#5$/=!'$/0!:#%7:#!=5>%!1$Z!0#[!*"+!
⇔ !*f+!=$7!Q!:C#23/'!<#%9:!d23/0!DO]!DQ!!(%$!=#$!DO!p!DQ!p!V!Q!R!V!Q!p!DO!p!DQ!!
!

!"#$%&!'($* !"#$!#%&'!($)!6!P! % !& =

a = 1 − m ≠ 0

⇔ ∆ = 4 − 4m + m 2 − 4(1 − m )(2m − 3) > 0
!!
af (− 2) = (1 − m )[4(1 − m ) − 2(2 − m ) + 2m − 3] > 0

9m 2 24m + 16 > 0
!
⇔
3( 1 − m) > 0
4

m ≠
!!
⇔
3 ! !!
m. > 1

(

!

!

)

4


m ≠
q3)0!.5%/:! ! ⇔ 
3 !!0#Y!*`+!=%@0!1$Z!0#[!*"+!0%?2!Q!1234'!<#%9:!d23/0!0#5$/=!=5&:C!!
m. > 1
'$/0!:#%7:#!=5>%!*"+!!

x2
!"#$%&!'($+ "#$!#%&'!($)! y =
,!;Y'!Q!1234'!F!I!G!:%H'!0839:!1$Z!0#[!*"+!E%&!1$)2!!
x −1
DA7:C!:#%5!l5%!1AB&:C!0#%k:C!!*K+!6!P!D!V!O!!
N2%>2 !RY!F!I!G!1$)2!DA7:C!:#%5!l5%!1AB&:C!0#%k:C!*K+!6!P!D!V!O,!S56!8%!FI!G!0#5$/=!!
!!!!!!!!!!!1AB&:C!0#%k:C!*K_+!6!P!VD!U!'!!
e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!=5>%!*K_+!E%&!*"+!!
!
!
DQ!P!*D!V!O+*!V!D!U!'+!!*1M! !D!≠!O+!
⇔ ! QDQ!V!*'!U!O+D!U!'!P!\!!*f+!
8




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

;%!=$7!!! ∆ !P!*'!U!O+Q!V!r'!s!\!!
⇔ !'Q!V!c'!U!O!s!\!
!

!

m < 3 − 5
⇔
!
m > 3 + 5

N2%>!(A>!*K_+!=%@0!*"+!0%?2!Q!1234'!<#%9:!d23/0!FI!G,!N$?2!J!.%&!085:C!1234'!FI!G !

!

!

x A + xB m + 1

x
=
=
I

2
4
!
⇒
3
m
1
−
 y = −x + m =
I

 I
4
!F!E%&!G!1$)2!DA7:C!l5%!*K+!!
⇒ !J!0#5$/=!*K+ !6!P!D!V!O!!

⇒

3m − 1 m + 1
− 1!
=
4
4

⇒ !'!P!V!O!
!

t57=!1$7!*f+!0#%&:#!08B>!0#%&:#! !QDQ!V!O!P!\! ⇔ !D!P! ±

!

R%/6!!

 −1
 1
2
2
 ! B
 !
;−1 +
A

;−1 −
2
2
2
2





1
!
2

!"#$%&!'($, "#$!*e+!6!P!DQ!V!QD!V!T!E%&!1AB&:C!0#%k:C!*K+!=5&:C!<#AB:C!1AB&:C!6!P!QD!(%$!!
=#$!*K+!=%@0!*e+!0%?2!Q!1234'!FI!G!
!!!
!
%+!R23)0!<#AB:C!08Y:#!*K+!M#2!Q!023)<!0563):!=5>%!*e+!0%?2!F!E%&!G!E5$9:C!C$7=!
!
!
d+!R23)0!<#AB:C!08Y:#!*K+!M#2!FG!P!O\!
N2%>2 !N$?2!*K+ !6!P!QD!U!'!!.%&!1AB&:C!0#%k:C!=5&:C!<#AB:C!EB72!1AB&:C!6!P!QD!
!
e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!=5>%!*K+!E%&!*e+!!
!
!
!
DQ!V!QD!V!T!P!QD!U!'!
⇔ ! DQ!V!mD!V!T!V!'!P!\!!

*K+!=%@0!*e+!0%?2!Q!1234'!<#%9:!d23/0!F!E%&!G!!
!
⇔ ! ∆′ !P!u!U!'!s!\!!
⇔ ! '!s!Vu!
!
t57=!1$7!C$?2!DF!I!DG!.%&!Q!:C#23/'!=5>%!*O+!0%!=$7!!
!
!
S!P!DF!U!!DG!P!m!
!
!
e!P!DF!DG!P!V!T!V!'!
!
%+!;23)<!0563):!=5>%!*e+!0%?2!FI!G!E5$9:C!C$7=! !^_*DF!+^_*DG+!P!VO!
!
!
⇔ !! *Q!DF!VQ+*Q!DG!VQ+!P!V!O!
!
!
⇔ ! me!V!mS!U!X!P!\!
⇔ ! m*VT!V'+!VOc!U!X!P!\!

⇔!

'!P −

23
!*:#%/:!EY!'!s!Vu+!
4

d+!FI!G!0#5$/=!*K+! ⇒ 6F!P!Q!DF!U!'!!
!
!
!
!!!6G!P!Q!DG!U!'!


9




Nguyễn Vũ Minh
;%!=$7!FGQ!P!O\\!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!

Các chuyên đề về Hàm Số

⇔!
⇔!
⇔!
⇔!
⇔!
⇔!

*DF!V!DG+Q!U!*6G!V!6F+Q!P!O\\!
*DF!V!DG+Q!U!*Q!DF!VQ!DG+Q!P!O\\!
*DF!V!DG+Q!P!Q\!
SQ!V!me!P!Q\!
Oc!U!m*TU'+!P!Q\!
'!P!V!Q!*:#%/:!EY!'!s!Vu+!

!
!"#$%&!'($-$ !"#$!#%&'!($)! y = f ( x ) = x + 3 − m +

1
!!!!!!!!!!(i ) !
x+m

;Y'!%!134!1AB&:C!0#%k:C! (∆ ) ! !6!P!%*DUO+!U!O!!=%@0!*i+!0%?2!Q!1234'!=$7!#$%&:#!!
1$/!08%72!K%)5!
N2%>2 e#AB:C!08Y:#!#$%&:#!1$/!C2%$!1234'!=%>!*"+!E%&! (∆ ) ! !
!

!

!

!!!!! x + 2 +

!
!
!
!
!

1
= a( x + 1) + 1!!!!!!(1M D ≠ −1) !
x +1
⇔ x 2 + 3 x + 3 = a (x 2 + 2 x + 1) + x + 1!
⇔ g ( x ) = (1 − x )x 2 + 2(1 − a )x + 2 − a = 0!!!!!!!!(f) !
(∆ ) !=%@0!*"+!0%?2!Q!1234'!=$7!#$%&:#!1$/!08%72!K%75!!
⇔ !*f+!=$7!Q!:C#23/'!<#%9:!d23/0! x1 , x2 ≠ −1!Λ! x1 < 0 < x2 !!
(1 − a )g (0) < 0
(1 − a )(2 − a ) < 0

⇔  g (− 1) ≠ 0
⇔
⇔1< a < 2!
(
)
(
)
1
−
a

−
2
1
−
a
+
2
−
a
=
1
≠
0

1 − a ≠ 0


Bài 1 : tìm tọa độ giao điểm ( nếu có ) của đồ thị 2 hàm số sau
a) (C) : y = x 2 + 3 x + 1 và (d) : y = x + 1
b) (P1) : y = − x 2 + 1
và (P2) : y = x 2 + x
x +1
c) (C) : y =
và (d) : y = 2 x − 6
x −3
d) (C) : y = x3 − 2 x 2 + x + 1 và (d) : y = 2 x − 1
Bài 2 : định m để
a) y = ( x − 2)( x 2 + mx + m 2 − 3) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b) y = x3 − 3 x 2 + 2 cắt (d) : y = mx + 2 tại 3 điểm phân biệt
Bài 3 : 1)cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 có đồ thị là (C), và đt (d) : y = kx − 1 . Tìm k để (C) cắt (d) tại 3

đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương
2)Tìm k để đồ thị y=x3+x2-2x+2k và y=x2+(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm.
3)Tìm m để đồ thị y=x3-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đó tại 2
trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau.
Bài 4 :
a) cho hàm số y = x3 − 3 x + 2 có đồ thị là (C), và đt (d) qua A(3; 20) có hệ số góc là m. Tìm m để
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt.


10




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

x2 − x −1
(C), gọi (d) là đường thẳng qua A(3;1) có hệ số góc là k, Tìm k để
x +1
(C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt
mx 2 + x + m
c) cho hàm số y =
(C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành
x −1
độ dương .
x +1
(C)
Bài 5 : cho hàm số y =

x −1
a)Tìm m để (D) : y = mx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt
b)Tìm m để (D) : y = mx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)
2x +1
Bài 6 : cho hàm số y =
(C)
x+2
Tìm m để (C) cắt (d) : y = − x + m tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
b) cho hàm số y =

VẤN ĐỀ 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : xét bài toán sau đây : vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f ( x) sau đó biện luận theo tham số m
số nghiệm của phương trình :

h ( x ; m ) = 0 (*)
Ta đưa (*) về dạng f ( x) = ϕ ( m) trong đó ϕ ( m) là biểu thức theo m, không chứa x
Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = ϕ(m) mà ta nhìn thấy qua đồ
thị

Chú ý : do m là tham số tùy ý nên ta không nên lầm tưởng y = ϕ(m) là 1 hàm số , đường cong…..
mà nó mãi mãi chỉ là đường thẳng mà thôi (các em hay có nhận định sai khi làm dạng này)
VD như hình bên , ta thấy (*) có :
3 nghiệm khi −5 < ϕ ( m) < −1
2 nghiệm khi
ϕ ( m ) = −1 ∨ ϕ ( m ) = −5
1 nghiệm khi
ϕ ( m) > −1


ϕ ( m) < −5

Bài tập có HD
!"#$%&!'($) !"#$!#%&'!($)!6!P!DT!V!TD!!!*"+!


11




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!!!
3
d+ ;Y'!C2%7!08[!.B7:!:#%)0I!:#$>!:#%)0!=5>%!#%&'!($)! y = − sin 3 x − 3 sin x !
N2%>2 !!%+!g$Z!0#[!*"+!
y
4

2

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

-4

!
!

!

d+!! y = − sin 3 x − 3 sin x !
3

⇔ y = (− 3 sin x + 4 sin 3 x ) − 3 sin 3 x !
⇔ y = sin 3 x − 3 sin 3 x !
g%h0!0!P!(2:D!I! t ∈ [− 1;1] !
j370!6!P!0T!V!T0!EB72! t ∈ [− 1;1] !
o#Y:!E%&$!1$Z!0#[!*"+!0%!0#%)6!!
!

Maxy = 2 ⇔ t = −1 ⇔ x = −

!

Miny = 2 ⇔ t = 1 ⇔ x =

t∈[−1;1]

t∈[−1;1]

!"#$%&!'($* !"#$!#%&'!($)! y =

Π
+ k 2Π !
2

Π
+ l 2Π!!!!!!!!!!(MI . ∈ w) !
2

2x2 + x + 1
!!!!*"+!
x +1

%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!#%&'!($)!
d+ ;Y'!C2%7!08[!.B7:!:#%)0!I!:#$>!:#%)0!=5>%!d2345!0#A7=!

2 cos 2 x + cos x + 1
y=
!

cos x + 1
N2%>2 !!%+g$Z!0#[!*"+!


12




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số
y
6
4
2

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2
-4
-6
-8
-10
-12

!

!

d+!g%h0!! t = cos x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 !!

!

R%/6! A =

!

o#Y:!E%&$!1$Z!0#[!#%&'!($)!*O+!B>!0839:!M#2!D370! t ∈ [0;1] !0%!0#%)6 !

!

!

2t 2 + t + 1

!EB72! D = [0;1] !
t +1

t = 1
cos x = 1
MaxA = 2 ⇔ 
⇔
⇔ sin x = 0 ⇔ x = kΠ !
1
t = − (.$%?2 )
x
cos
1
=
−


2
Π
MinA = 1 ⇔ t = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + lΠ!!!!!!!!!!!!!!!(MI . ∈ w) !
2
!

G%&2!0$%7:!T !"#$!#%&'!($)! y =

x2 + x − 3
!!!!!*"+!
x+2

%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!!

d+ G23/:!.5%/:!0#3$!'!($)!:C#23/'!
4
2
=5>% f (t ) = t + (1 − m )t − 3 − 2m = 0 !
N2%>2 !!%+!



13




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số
2

y

x
-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-2

-4

-6

!
!

d+!! t + (1 − m )t − 3 − 2m = 0 !!!!!!!*f+!
4

!
!
!
!

2

(

)

⇔ t4 + t3 − 3 = m t2 + 2 !
t4 + t2 − 3
⇔ 2
= m!
t +2
x2 + x − 3
2
!EB72! x = t ≥ 0 !
j370!#%&'!($)! y =
x+2
3
o#Y:!E%&$!1$Z!0#[!0%!0#%)6!M#2! m ≥ − !0#Y!*K+!=%@0!*"+!0%?2!O!1234'!=$7!#$%&:#!1$/!!
2
M#$9:C!%9'!

3
!=$7!:C#23/'!D!P!0Q!P!\!
2
*f+!=$7!:C#23/'!M373
m > − !0#Y!*f+!=$7!Q!:C#23/'!!
2
3
m < − !0#Y!*+!E$9!:C#23/'! !
2

R%/6!M#2! m = −

!

!

⇒!

!

!

!

!

!

G%&2!0$%7:!m "#$!#%&'!($)! y = f ( x ) =
!
!

!

!
!

2x
!*"+!
x −1

%+!q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!

d+!G23/:!.5%/:!0#3$!'!($)!:C#23/'!=5>%! (m − 2 ) x − m = 0 EB72! x ∈ [− 1;2]!

N2%>2 %+!Đồ!0#ị!*"+!


14




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số
y
6

4

2

x
-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

!

d+!j370!<#AB:C!08Y:#! (m − 2 ) x − m = 0 EB72! x ∈ [− 1;2]!!
!

(

)

!!!!!!!! ⇔ m x − 1 = 2 x !!!!!*f+!

!

!

!

RY! x = 1 !M#$9:C!.%&!:C#23/'!=5>%!*f+!

!

R%/6! m =

2x
x −1

!!EB72! x ∈ [− 1;2]!

j370!1AB&:C!6!P!'!!!E%&!! y =

2x
x −1

!EB72! x ∈ [− 1;2]!
y

4

2

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

!
!
!
!

-4

!

!
o#Y:!E%&$!1$Z!0#[!0%!0#%)6!!
m ∈ (− ∞;0) ! !*f+!=$7!Q!:C#23/'!
!
!
m ∈ {0} ∪ [4; + ∞ ) !*f+!=$7!O!:C#23/'!

m ∈ (0;4) ! !*f+!E$9!:C#23/'!
!
!
15

Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

!

x2
!*"+!
G%&2!0$%7:!X !"#$!#%&'!($)! y = f ( x ) =
x −1
%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!*"+!!

d+ G23/:!.5%/:!($)!:C#23/'!=5>%!<#AB:C!08Y:#! (1 − m )x − (1 − x )x + 1 = 0 !
N2%>2 !%+!g$Z!0#[!*"+!
2

y
6

y=-3x+1
4

2

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

!
!
!

d+! (1 − m )x − (1 − x )x + 1 = 0 !!!*f+!

!

x2
;%!0#%)6!D!P!O!M#$9:C!.%&!:C#23/'!=5>%!*f+!I!0%!=$7! (*) ⇔

= mx + 1 !
x −1

!
!

g%h0!*K+! !6!P!'D!U!O!I!*K+!.5$9:!12!l5%!F*\]O+!
S$)!:C#23/'!=5>%!<#AB:C!08Y:#!*f+!=#L:#!.%&!($)!C2%$!1234'!=5>%!*"+!E%&!*K+! !

!

x2
!!!!!!*"+! ! y =
!
x −1

!

*K+!.%&!023)<!0563):!=5>%!*"+!M#2!*f+!=$7!:C#23/'!M37
!

!

2

1 − m ≠ 0
m ≠ 1
m = −3
⇔

!
⇔
!
!⇔ 
 2
2
(
)
m
1
.$%?
2
=
+
2
−
3
=
0
m
m
(
)
(
)
1
m
4
1
m

0
−
−
−
=



⇔ m = −3 !

!
R%/6!023)<!0563):!=5>%!*"+!l5%!F*\]O+! !6!P!VTD!U!O!!!!
!
f!q3)0!.5%/:!
m = −3 ! !*K+!023)!
!
!
!
m ∈ (− ∞;−3) ∪ (1;+∞ ) ! *K+!=%@0!*"+!0%?2!Q!K234'!<#%9:!d23/0! ⇔ <#AB:C!
08Y:#!!
16




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

*f+=$7!Q!:C#23/'!1B:!
m ∈ (− 3;1] ! ! (d ) ∩ (C ) = Φ <#AB:C!08Y:#!E$9!:C#23/'!

!
!
!
G%&2!0$%7:!c !N2%>2!E%&!d23/:!.5%/:!0#3$!'!($)!:C#23/'!<#AB:C!08Y:#!

4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0 !!
N2%>2 ! D = (− ∞;1] ∪ [3;+∞ ) !

4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 =

!
!
!

x
+ m!
2

x
+ m!
2
2
j370!*"+! ! y = x − 4 x + 3 !
g%h0!*K+! ! y =

y

6

4

y=

x 1
−
2 2

y=

x 3
−
2 2 x

2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

!
!
!

!
f!`A?%!E%&$!1$Z!0#[!0%!=$7!

!

!

!

!

!

!

!

3

m ∈  − ∞;−  ! !<#AB:C!08Y:#!1%v!=#$!E$9!:C#23/'!

2

 3 1
m ∈ − ;−  ! !<#AB:C!08Y:#!=$7!O!:C#23/'!
 2 2

 1
m ∈ − ;+∞  ! !<#AB:C!08Y:#!=$7!Q!:C#23/'!

 2

!
2

4

G%&2!0$%7:!u !"#$!#%&'!($)! y = 3 + 2 x − x !*"+!
!

!

%+!q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!!
4

2

4

2

d+!G23/:!.5%/:!0#3$!'!($)!:C#23/'!=5>%!<#AB:C!08Y:#! x − 2 x = m − 2m !


17




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số
2

4

N2%>2 !%+!g$Z!0#[!*"+! ! y = 3 + 2 x − x !
y

y=4

4

y=3

3

2

1

x
-2

!

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

!

!
4

2

4

2

d+! x − 2 x = m − 2m !

⇔ − x 4 + 2 x 2 + 3 = − m 4 + 2 x 2 + 3 !!
4
2
j370! y = f ( x ) = − x + 2 x + 3 !!*"+!
y = t = − m 4 + 2m 2 + 3 = f (m ) !

o#Y:!E%&$!1$Z!0#[!0%!0#%)6! !
q#2! t = 4 ⇔ m = ±1 ! !*f+!=$7!Q!:C#23/'!M37!!!!!! t = 3 ⇔ m = 0!R!m = ± 2 ! !*f+!=$7!T!:C#23/'!]!O!:C#23/'!M37!E%&!Q!:C#23/'!1B:! x = ± 2 !
!

− 2 < m < 2

!!!!! 3 < t < 4 ⇔ m ≠ ±1
!! !*f+!=$7!m!:C#23/'!<#%9:!d23/0!
m ≠ 0

m < − 2
! !*f+!=$7!Q!:C#23/'!1B:!
m > 2

!!!!!!!!!!!!!!!! t < 3 ⇔ 

Bài 1 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x3 − 3 x 2 − 1
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 3 x 2 − 1 = m (*)
Bài 2 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x3 − 12 x 2 + 5
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 12 x 2 + 5 = m + 3 (*)

1
Bài 3 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x +
x +1


18




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x − 2 +

1
= 2m (*)
x +1

Bài 4 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = − x 4 + 2 x 2 + 1
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình − x 4 + 2 x 2 = 3m − 4 (*)
Bài 5 : cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 9 x + m (Cm )
a) khảo sát và vẽ (C) khi m = 6
b) với giá trị nào của m thì phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
x3 + 3 x 2 − 9 x + m = 0
(đS : −27 < m < 5 )

VẤN ĐỀ 4 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết :

A = A nếu A ≥ 0
A = − A nếu A < 0

Đồ thị hàm số y = f ( x) và y = − f ( x) đối xứng nhau qua trục hoành
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẽ nhận tâm O làm tâm đối xứng
Bài toán : cho (C) y = f ( x)
Dạng 1: từ (C) suy ra (C1 ) : y = f ( x)
Ta có f ( x) = f ( x) nếu f ( x) ≥ 0 (1)

f ( x) = − f ( x) nếu f ( x) < 0 (2)
Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm trên Ox
Bỏ phần (C) nằm dưới Ox

(do (1))

Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox (do (2)) ta sẽ có (C1 ) : y = f ( x)
Lưu ý : f ( x) là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

y = x3 − 3x + 2



y = x3 − 3x + 2

19

Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

Dạng 2: từ (C) suy ra (C2 ) : y = f ( x )
Ta có f ( x ) = f ( x) nếu x ≥ 0

(1)

f ( x ) = f (− x) nếu x < 0 (2)
Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy
(do (1))
Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)
Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có (C2 )

3

y = x −3 x +2

y = x − 3x + 2
3

Dạng 3: từ (C) suy ra (C3 ) : y = f ( x)

 f ( x) ≥ 0

Ta có : y = f ( x) ⇔   y = f ( x);(1)

  y = − f ( x);(2)


Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox
(do (1))
Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
Lấy đối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có (C3 )



20




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

y = x3 − 3x + 2

y = x3 − 3x + 2

Dạng 4: từ (C) suy ra (C4 ) : y =

P( x )
Q( x)

Ta có P ( x) = P( x) khi P( x) > 0

và P( x) = − P( x) khi P( x) < 0
Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) khi P( x) > 0
Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi P( x) < 0
Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng (C5 ) : y =

y=

x +1
x −1

y=

P( x)
Q ( x)

x +1
x −1

y=

x +1
x −1

Bài tập có HD
!"#$%&!'($)$ !*e#37
x2
!
%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[! (C ) : y =

x −1


21




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

x2
!
x −1

d+ S56!8%!1$Z!0#[! (C1 ) : y =
N2%>2 !g$Z!0#[!*"+!
y
6
5
4

y=x+1

3
2
1

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

x=1

-2

!

-3

g$Z!0#[!*"O+!

y
6
5
4

y=x+1

3
2

y=-x-1
1

x
-4

-3

-2

-1

1
-1

2

3

4

5

x=1

-2

!

-3

!
!"#$%&!'($* !*e#37!

!

x2
!
R3v!1$Z!0#[! (C2 ) : y =
x −1

g$Z!0#[!*"Q+!



22

Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số
y
6

4

y=-x+1

y=x+1

2

x
-4

-3

-2

-1

1

x=-1

2

3

4

x=1
-2

!
!"#$%&!'($+ !*e#372

!

!

x
R3v!1$Z!0#[! (C3 ) : y =
!
x −1

g$Z!0#[!*"T+!!

y

6

4

y=x+1

y=-x+1
2

x
-4

-3

-2

-1

x=-1

1

-2

2

x=1

3

4

!

!
!"#$%&!'($,! *e#37

!

!

x2
!
R3v!1$Z!0#[! (C4 ) : y =
x −1

g$Z!0#[!*"m+!


23




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số
y
6

4

y=-x-1

y=x+1

2

x
-4

-3

-2

-1

1

x=-1

2

3

4

x=1
-2

!
!"#$%&!'($- !*e#37!

x2
R3v!1$Z!0#[! (C5 ) : y =
!

x −1

!

!

y
8
6
4

y=-x-1

y=x+1

2

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x=1

-2
-4
-6
-8
-10

Bài 1 :
a) khảo sát và vẽ (C) : y = − x 3 + 3x
3

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau : (C1 ) : y = − x3 + 3x ; (C2 ) : y = − x + 3 x ;
(C3 ) : y = − x3 + 3x
c) biện luận theo m số nghiệm pt sau : − x3 + 3 x = m − 1 (*)
Bài 2 :


24




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên đề về Hàm Số

a) khảo sát và vẽ (C) : y =

x +1
x−2

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau : (C1 ) : y =
(C4 ) : y =

x +1
x +1
x +1
; (C2 ) : y =
; (C3 ) : y =
x−2
x−2
x−2

x +1
x +1
; (C5 ) : y =
x−2
x −2

Bài 3 :
a) khảo sát và vẽ (C) : y =

x 2 − 3x + 3
x−2

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau : (C1 ) : y =
x 2 − 3x + 3
(C3 ) : y =
x−2

x 2 − 3x + 3
x 2 − 3x + 3
; (C2 ) : y =
;
x−2
x−2

x2 − 3 x + 3
(C4 ) : y =
x −2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------Công Thức Cũ :
x A + xB

 xI = 2
1) Trung điểm I ( xI ; yI ) của đoạn thẳng AB : 
 y = y A + yB
 I
2
2) Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2
3) Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ) đếm đường thẳng (D): Ax + By + C = 0 :
r
AxM + ByM + C
d [ M ; D] =
với n = ( A; B) là pháp vector

A2 + B 2
A = 0

4) Điểm cố định : f ( x; m) = y ⇔ f ( x; m) − y = 0 ⇔ A.m2 + B.m + C = 0 ⇔  B = 0 ∀m
C = 0

5) Tọa độ nguyên : chia hàm số ra , sau đó cho mẫu là các số mà tử chia hết
6) Bất đăng thức Cachy : a + b ≥ 2 a.b ,dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b



25