Phương trình đường elip

Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy
Lớp: Toán 4T

Ngày soạn: 27/09/2017

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
I. Mục tiêu
1. Kiến thức:
- Biết định nghĩa Elip.
- Biết phương trình chính tắc và hình dạng của Elip.
2. Kỹ năng:
- Xác định được giao điểm của Elip với các trục tọa độ.
- Xác định được độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của
Elip.
- Lập được phương trình chính tắc của Elip khi biết hai trong ba yếu tố: trục lớn, trục nhỏ
và tiêu cự.
3. Tư duy, thái độ:
- Thấy được mối liên hệ giữa Elip và đường tròn.
- Thông qua phương trình chính tắc của Elip để tìm hiểu tính chất hình học và giải thích
một số bài toán cơ bản về Elip.
II. Phương pháp dạy học
- Giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề.
- Tổ chức hoạt động nhóm.
- Thuyết trình và vấn đáp.
III. Phương tiện
- Giáo viên: giáo án, hình minh họa và đồ dùng dạy học
- Học sinh: sách giáo khoa, vở viết và đồ dùng học tâp.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY.
1. Ổn định lớp và vào bài (3 phút)
Giáo viên đặt vấn đề vào bài:

• Trên tay thầy có một cốc thủy tinh đựng nước. Khi thầy để thẳng đứng thì đường giao
giữa mặt nước và thành cốc là đường gì ta đã được học? Bây giờ thầy nghiêng cốc và
các em hãy quan sát xem nó có còn là đường tròn nữa không?
• Ngoài ra khi học môn địa lý các em cũng được giới thiệu về quỹ đạo của các hành tinh
trong hệ mặt trời là đường elip nhận Mặt Trời là một tiêu điểm.
• Vậy đường elip được định nghĩa như thế nào? Và nếu đặt nó trong hệ trục tọa độ Oxy
thì phương trình của nó ra sao? Đó chính là nội dung của bài học ngày hôm nay.

1


Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy
Lớp: Toán 4T

Ngày soạn: 27/09/2017

2. Bài mới:
Hoạt động 1: Định nghĩa đường elip (7 phút)
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
- Giới thiệu cách vẽ đường Elip
thông qua hoạt động 1 của
SGK(bảng phụ)

- Thực hiện nhanh cách vẽ

- NX: Tập hợp nhưng điểm M
như thế sẽ tạo nên một đường
gọi là đường Elip
- Tại sao a>c? Nếu a

1. Định nghĩa elip
M

- Hs quan sát và trả lời.
- Khi M thay đổi thì có nhận xét - Chu vi luôn bằng độ dài của
gì chu vi tam giác MF1F2?
sợi dây.
- Tổng MF1+MF2 như thế nào?

Nội dung ghi bảng

-Tổng không đổi do khoảng
cách F1F2 không đổi.
-Hs phát hiện định nghĩa về
Elip.

F1

Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1
và F2 với F1F2= 2c (c>0).
Đường elip là tập hợp điểm M sao
cho MF1+MF2 = 2a, a là hằng số và
a>c.
Hai điểm F1 ,F2 là các tiêu điểm của
elip. Khoảng cách 2c là tiêu cự của
elip.

Hoạt động 2: Phương trình chính tắc của elip (13 phút)
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của hs
* Cho (E) như định nghĩa Chọn - Hs quan sát hình
hệ trục toạ độ Oxy với O là trung vẽ
điểm đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là
đường trung trực của F1F2và F2
nằm trên tia Ox , như hình vẽ
(bảng phụ)
* Yêu cầu hs làm ?2 và compa 2
?2: Với cách chọn hệ trục như
trên cho biết toạ độ của của hai
tiêu điểm F1 và F2?

- Hs suy nghĩ và trả
lời:
- F1F2=2c vả
OF1=OF2=c
Suy ra F1 =(-c;0)và
F2(c;0)
2

F2

Nội dung

2. Phương trình chính tắc của elip

F1(-c;0), F2(c;0)


Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy

Lớp: Toán 4T

Ngày soạn: 27/09/2017

-Bây giờ với điểm M(x;y) nằm
trên elip(E), ta sẽ tìm mối liên hệ
giữa x và y bằng cách đi tính MF1
theo hai cách.
Cách 1: MF12= (x+c)2+y2

MF 12 − MF 22 = (-c-x)2 + (y)2 -

(c-x)2 + (y)2 = 4cx
=> MF1-MF2= 2

Cách 2: (Thực hiện compa 2)
Tính MF 12 − MF 22 rồi sử dụng
định nghĩa MF1+MF2 =2a để tính
MF1-MF2. Từ đó suy ra
MF 1 = a +

cx
cx
; MF 2 = a −
a
a

+ Gọi hs đứng lên trả lời.

MF1= ( x + c ) 2 + y 2

=> MF1 = a +

cx
cx
; MF 2 = a −
a
a

Ta có:
cx

MF1= ( x + c ) 2 + y 2 = a +
a

- Hs chú ý nghe
giảng, ghi bài

 (x+c)2 + y2 =( a +
2

-Từ hai cách tính MF1vừa rồi hãy
rút ra biểu thức liên hệ giữa x và
y.

cx
a

- Hs suy nghĩ làm
bài và rút ra hệ

thức:
y2
x2
+
=1
a2 a2 − c2

-(E):

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

x +
a2

y2
= 1.
a2 − c2

Rút ra PT tương đương.
x2 y 2
,(
)(1)
+ 2 = 1 b > 0; b 2 = a 2 − c 2
2
a

b

(1) là phương trình chính tắc của elip.
Nếu điểm M(x;y) thoả mản pt(1) thì
MF 1 = a +

-vì a>c>0 nên có thể đặt b2= a2c2 , khi đó thì phương trình trên
được viết lại như thế nào?

cx 2
)
a

cx
cx
; MF 2 = a − .
a
a

VD1: Cho 3 điểm F1(- 5 ;0),F1( 5 ;0) và
I(0;-3).
a ,Viết pt chính tắc của elip có tiêu điểm là
F1, F2, đi qua điểm I.

- Hs chú ý nghe
giảng, ghi bài
3


Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy
Lớp: Toán 4T

Ngày soạn: 27/09/2017

-Ngược lại ta có thể chứng minh
được rằng nếu tọa độ của M thỏa
mãn PT(1) thì MF1 = a +
MF 2 = a −

Elip có pt chính tắc là: (E):

x2 y 2
+
=1
a2 b2

(a>b>0)

cx
;
a

Vì điểm I thuộc elip (E) nên

cx
và do đó
a

02 32
+ =1
a2 b2

=> b2= 9
Mà tiêu cự của elip là 2c = F1F2 = 2 5 .
Do đó, a2 = b2 + c2 = 9 + 5 =14

MF1+MF2=2a, tức là M thuộc
Elip.
- Đưa ra định nghĩa phương trình
chính tắc của elip: PT(1) được gọi
là PT chính tắc của Elip.
Chú ý: MF1,MF2 : bán kính qua
- Hs đọc đề và suy
tiêu của điểm
nghĩ

x2 y 2
+
=1
Vậy pt elip (E) là:
14 9

b ,Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách
MF1 lớn nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu?
cx

Ta có, MF1 = a +
. Vì (-a) ≤ x ≤ a nên
a
a−

* Hướng dẫn HS đọc và làm VD1

ca
ca
≤ MF1 ≤ a +
hay a-c ≤ MF1 ≤ a+c
a
a

Vậy MF1 nhỏ nhất là a-c tại x = -a
MF1 lớn nhất là a+c tại x = a
-Xác định a và b.
a, PT chính tắc của Elíp có dạng
ntn?
- Viết pt chính tắc của Elíp ta
cần xác định những yếu tố gì ?
- Điểm I thuộc elip, nó phải
thoả điều kiện gì ?
- Cho hai tiêu điểm F1,F2 cho
ta biết điều gì ?

VD2: Viết pt chính tắc của elip đi qua 2
điểm M(0;1); N(1;

-Thỏa mãn PT Elip.

3
). Xác định tọa độ tiêu
2

điểm của elip đó.
Giải
x2 y 2
Elip có pt chính tắc là: (E): 2 + 2 = 1
a
b

-Biết c.

(a>b>0)
-Tính trực tiếp IF1
và IF2 rồi suy ra a.

 0 1
 M (0,1) ∈( E )
+ =1

 a 2 b 2
⇒


3
 N (1, ) ∈ ( E )  1 + 3 = 1
2

 a 2 4b 2
 b2 = 1
x2 y2
+
=1

.
Vậy
pt
(E)
là:
2
4 1
a = 4

- Ta có thể tính trực tiếp a
không?
Hs về nhà làm cách trên.
(Gợi ý: IF1+IF2=2a).

=> 

Ta có: c2= a2-b2 = 4 – 1 = 3.
Vậy tọa độ tiêu điểm là F1(- 3 ;0),F1( 3 ;0)
4


Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy
Lớp: Toán 4T

MF 1 = a +

b , GV hướng dẫn câu b
- Bán kính qua tiêu MF1 = ?

Ngày soạn: 27/09/2017

cx
a

(-a) ≤ x ≤ a

- Hãy đánh giá các cận của
hoành độ điểm M thuộc elip ?
suy ra đánh giá MF1?

-Đọc đề và suy nghĩ
* Hướng dẫn hs làm VD2.

- Tọa độ M,N thỏa
mãn pt (E)
-Elíp đi qua M, N cho ta biết
những điều gì?

- Yêu cầu hs giải hệ pt

- Xác định hằng số
c
- Tìm toạ độ tiêu điểm ta cần
xác định hằng số nào ?
5


Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy
Lớp: Toán 4T

Ngày soạn: 27/09/2017

Hoạt động 3: Hình dạng của elip (10 phút)
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của hs
* Yêu cầu hs làm ?3
- Nếu M( x0;y0)∈ (E) , lúc đó
toạ độ điểm M thỏa mãn pt
(E).
- Từ đó nhận xét các điểm
M1( -x0;y0); M2( x0;-y0);
M3(- x0;-y0) có thuộc (E)
không ?

* Hs suy nghĩ trả lời
-Vì M∈ (E) nên

Nội dung
3. Hình dạng của elip
a. Tính đối xứng của elip

xo 2 yo 2
+
=1
a2 b2

Suy ra tọa độ của M1,
M2,M3 thỏa mãn pt (E).
Từ đó, các điểm M1,
M2,M3 nằm trên đường

elip.

- Vẽ hình elip và biểu diễn các
điểm trên hình
-Hs quan sát hình vẽ và Kết luận:
trả lới
Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa
NX: quan hệ M và M1?
độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm
NX: quan hệ M và M2?
+ M và M1 đối xứng
đối xứng.
NX: quan hệ M và M3?
nhau qua trục tung.
+M và M2 đối xứng
nhau qua trục hoành.
+ M và M3 đối xứng
nhau qua gốc tọa độ

b. Hình chữ nhật cơ sở

b, Hướng dẫn hs tìm hiểu
hình chữ nhật cơ sở

- Hãy tìm toạ độ giao điểm
của (E) với các trục toạ độ Ox
và Oy ?
- Toạ độ các đỉnh.
- Tính độ dài A1A2, B1B2?

-Các điểm A1, A2,B1,B2 là các đỉnh của elip

+A1(-a;0); A2(a;0);
B1(-b;0); B2(b;0)

-Đoạn A1A2 là trục lớn với độ dài 2a
Đoạn B1B2 là trục bé với độ dài là 2b

+A1A2 = 2a
B1B2 = 2b

-Hình chữ nhật PQRS là hình chữ nhật cơ
sở của elip
6


Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy
Lớp: Toán 4T

Ngày soạn: 27/09/2017

-GV nêu cách dựng hình chữ
nhật ngoại tiếp elip. Đó là
hình chữ nhật cơ sở.
Nếu M(x0; y0) ∈ (E) thì:
* Yêu cầu HS làm ?4
- Gọi hs trả lời

- a ≤ xo ≤ a
- b ≤ yo ≤ b

HS trả lời vị trí của M
khi xo max ,min và khi
yo max , min.

-Nx: Mọi điểm của elip nếu không là đỉnh
đều nằm bên trong hình chữ nhật cơ sở. Bốn
đỉnh của elip là trung điểm các cạnh hình
chữ nhật cơ sở.

c, Tâm sai của elip
Đn: Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của
elip là tâm sai của elip.
Kí hiệu là e, tức e =

- Hs lắng nghe, ghi
chép bài.

0
c
a

b
a2 − c2
=
= 1 − e 2 nên
a
a

- Tâm sai e càng bé thì b càng gần a, hìn chữ

nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó
elip càng ‘béo’
- Tâm sai e càng lớn thì tỉ số a/b càng gần
tới 0 hình chữ nhật cơ sở càng dẹt, đó elip
càng gầy.

- Gv phân tích ý nghĩa của
tâm sai.

Hoạt động 4: Củng cố (2 phút)
Làm bài tập sau:
Bài tập 1
Xác định độ dài các trục, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau.
a) 4 x 2 + 9 y 2 = 1
b) 4 x 2 + 9 y 2 = 36
Bài tập 2
Lập phương trình của Elip biết
a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.
b) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
Bài tập 3
Lập phương trình chính tắc của Elip trong các trường hợp sau :
a) Elip đi qua các điểm M (0;3) và

12 

N 3; −
÷
5 


7


Người soạn: Hoàng Trọng Dương Huy
Lớp: Toán 4T

Ngày soạn: 27/09/2017



b) Elip có một tiêu điểm là F1 (− 3;0) và điểm M  1;


3
÷ nằm trên Elip.
2 ÷


V. TỔNG KẾT
1. Củng cố bài học: Cần nhớ:
+ Định nghĩa elip
+ Phương trình chính tắc của elip (E):

x2 y 2
+ 2 = 1 (a > b > 0) ;b 2 = a 2 − c 2
2
a
b

+ Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm

đối xứng.
+ Cách xác định các đỉnh, hình chữ nhật cơ sở của elip.
+ Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip là tâm sai của elip.
Kí hiệu là e, tức e =

c
a

2. Dặn dò: HS làm bài tập trong SGK và SBT để chuẩn bị cho buổi sau luyện tập.

8