Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện tiền hải thái bình năm học 2017 2018 có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018
MÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A

4

b) B 

 a  bc  b  ca    c  ab  b  ca    c  ab  a  bc 

10

2 5

4

10

2 5

c  ab
a  bc
b  ca
(Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)
Bài 2 (3,0 điểm)

a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức
x2 – 3x + 2.
b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính
phương với x, y, z là các số nguyên.
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm m để phương trình:

2m  1
 m  3 vô nghiệm.
x2

b) Giải phương trình: 4 x  1  x 2  5x  14 .
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

xy yz zx


 3.
z
x
y

Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC.
b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE
c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua
C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.

d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)
Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = f (8)

f ( 4) .

–––––––––––––––Hết––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh: .................................................................................
Số báo danh: .................................................Phòng số:.........................


PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 9

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
BÀI

ĐIỂM

NỘI DUNG

Ý

A

4

10

2 5

4

10

2 5

0
0.5

a
2.0

2

4

10

2 5

A2

8

2 6

2 5

A2

8

2

A2
A2

8
6

2 5
2 5

A

10

2 5

2 16

10

2 5
0.25

2

5 1

0.25

2

0.25
0.25

2

A2

1

4

5

5

1

1

0.25

doA

0

0.25

Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta có:
B

b
2.0

B

B

1  b  c  bc 1  a  c  ca 
1  a  b  ab



1  a  b  ab 1  a  c  ca 
1  b  c  bc



1  a  b  ab 1  b  c  bc 
1  a  c  ca

0.25

1  b 1  c 1  a 1  c  1  a 1  b 1  a 1  c  1  a 1  b 1  b 1  c 


1  a 1  b 
1  b 1  c 
1  a 1  c 

0.5

1  c 

0.25

2



1  a 

2



1  b 

2

B |1  c |  |1  a |  |1  b |
B  1  c  1  a  1  b (vì 0 < a,b,c < 1)

2

0.25

Tính đúng: B = 2
Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x) x 1 x
f(x) chia hết cho x – 1
f(1) = 0
a + b = 0 b = –a
(1)
f(x) chia hết cho x – 2
f(2) = 0
8a + 2b = –15
(2)
a
5
5
2.0 Từ (1) và (2)
8a + 2(–a) = –15
a=–
b=
2
2
5
5
1
1

Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x –
2
2
2
2
5
5
Vậy a = – , b =
2
2
B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
1.0 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2

0.25
0.25
0.25

2

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25


B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên
B là số chính phương
ĐKXĐ: x  2
2m 1
m 3  2m 1
x 2
2m 1 mx 2m 3x

a

1.5

x

2 m 3

6 m 3 x

4m 7

*

0.25

+ Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí)
m = 3 phương trình đã cho vô nghiệm

0.25

4m  7
m3

+ Xét m  3 , phương trình (*) có nghiệm x 

2

m

1
2

Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
ĐKXĐ: x  1
x2

4 x 1
x
B
1.5

0.25
0.25

4m 7
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì
m 3

3

0.25

2

6x

 x 3




x 3

9

3

x

3

5x

x 1 4 x 1

4 x 1 14
4

0

2

x 1 2

0.25
0.25
0.25
0.25

0

2

0.25

0

0

x 1 2

x

x2

5x 14

0.25

x

0.25

0

3 tm

0.25

Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta có:
C
1.0

3

xy yz zx
 
z
x
y

33

xy yz zx
. .
 3 3 xyz
z x y

xyz 1

Vì x, y, z là các số nguyên dương nên từ (1) x = y = z = 1
Thử lại : Đúng.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y;z) = (1;1;1)

0.25
0.25
0.25
0.25

N

A

4
E

M

D

B

a

I

C

H

Đặt BH = x (0 < x < 6)

BC = x + 6,4

0.25


2.5

b
2.0

c
1.5

d
1.0

5

2.0

AB2 = BH.BC 62 = x(x + 6,4)
x = 3,6
BC = 10cm
AC = 8cm
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

DE = AH
2
2
Chứng minh: BH = BD.BA, CH = CE.CA
AH2 = HB.HC AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA
AH4 = BD.CE.BC.AH
AH3 = BD.CE.BC
Vậy DE3 = BD.CE.BC
Chứng minh CNH
BHM , HD = AE
Gọi giao điểm của NA với HD là M’.
Ta có:
NE NC NE
AE
cos 2CNH
.
NC NH NH M'H
HD HB HD
AE
cos 2 BHM
.
HB HM HM HM
AE
AE
M'H MH
M'H MH
M’ trùng M M, A, N thẳng hàng
Có BM//CN, BD // NE, MD // CE
BDM ~ NEC
BD/NE = DM/EC

(1)
Gọi I là giao của MC với DE
DI/EI = DM/EC
(2)
Gọi I’ là giao của BN với DE
DI’/EI’ = BD/NE
(3)
Từ (1), (2), (3)
DI/EI = DI’/EI’
I và I’ trùng nhau
Vậy BN, CM, DE đồng qui.
Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x bậc của đa thức g(x) bằng 4
Từ giả thiết g(1) = g(2) = g(3) = 0.
Mà g(x) có bậc 4 nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a là số
thực nào đó).
f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x
f (8) 7.6.5.(8 a) 80
f ( 4) ( 5)( 6)( 7)( 4 a) 40
f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + 4 + a) + 40
Vậy f(8) + f(–4) = 2560.

0.5
0.75
0.25
0.75
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25

0.5

0.25

0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25

*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.
*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất.
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.