Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ XUÂN ĐÔNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ XUÂN ĐÔNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Định

Hà Nội, 2017


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Đình Định giảng viên khoa Toán Trường
Đại học KHTN-ĐHQGHN đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn
thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại Trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Lê Xuân Đông


Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Đình Định luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài "Phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai và ứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản
thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn
đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả

Lê Xuân Đông


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Khái niệm Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Phương trình sai phân phi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai . . .

22

2.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất . . . .

23

2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất . . .
24
2.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên .
37
Chương 3. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1. Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp một .
39
3.2. Giải phương trình phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3. Bài toán bờ sai phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49


Các kí hiệu

N

tập số tự nhiên

Z

tập số nguyên

Z+

tập số nguyên dương

∆k xn

sai phân cấp k của hàm xn

Gn

hàm Grin

δ0n

hàm Krônecke

Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình sai phân được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực
như: Vật lý, tự động hóa, điều khiển học, y học. . . , các dạng toán này
thường được mô tả ở dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai.
Với lý do nêu trên, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Đình Định, tôi đã
chọn đề tài: "Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứng
dụng" để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về một vài ứng dụng của phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai để giải các bài toán: hệ phương trình sai phân tuyến
tính thuần nhất cấp một, phương trình phân thức, bài toán bờ sai phân
cấp hai.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Chương 1: Tìm hiểu các khái niệm cơ bản về sai phân và phương trình
sai phân
Chương 2: Trình bày về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
gồm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, phương trình
sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất, phương trình sai phân
1


tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.
Chương 3: Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
vào việc giải: hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp một,
phương trình phân thức, bài toán bờ sai phân cấp 2.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu: Sai phân, phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai.
* Phạm vi nghiên cứu: sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp
hai thuần nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần
nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên và
ứng dụng của sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào
giải từng bài toán cụ thể.

5. Phương pháp nghiên cứu
* Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu chuyên khảo.
* Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương
trình sai phân tuyến tính cấp hai.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
* Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu.
* Áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào việc giải bài
toán bờ sai phân cấp hai.

2


* Làm tài liệu tham khảo phục vụ giảng dạy cho các đồng nghiệp và
tài liệu học tập cho các em sinh viên.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1. Khái niệm Sai phân
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x (n) = xn
với n ∈ Z (hoặc n ∈ Z+ , hoặc n ∈ N ) là hiệu: ∆xn = xn+1 − xn .
Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của
sai phân cấp 1 của xn , và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai
phân của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó. Như vậy:
- Sai phân cấp 2 của hàm xn là:
∆2 xn = ∆ (∆xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn
- Sai phân cấp 3 của hàm xn là:
∆3 xn = ∆ ∆2 xn = xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn
- Nói chung sai phân cấp k của hàm xn là:
∆k xn = ∆ ∆k−1 xn = ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn
k

(−1)i Cki xn+k−i

=
i=0

trong đó
Cik =

k!
i! (k − i)!
4

(1.1)


1.2. Tính chất của sai phân

Tính chất 1.2.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị
của hàm số.
Chứng minh. Để chứng minh Tính chất 1.2.1, ta chứng minh công thức
(1.1). Thật vậy, với k = 1 ta có: ∆xn = xn+1 − xn = C10 xn+1 − C11 xn .
Giả sử (1.1) đúng với k, nghĩa là:
k
k+1

∆

xn =

∆kn+1

k
i

k

− ∆ xn =

(−1)

(−1)i Cki xn+k−i

Cki xn+1+k−i −

i=0

i=0

trong tổng thứ 2 ta đổi chỉ số i = i − 1, sau đó thay i = i ta được:
k

k+1

(−1)

i

Cki xn+1+k−i

i=0

(−1)i −1 Cki −1 xn+k+1−i

=

i =1
k+1

(−1)i Cki−1 xn+k+1−i .

=−
i=1

Bởi vậy:
k
k+1

∆

xn =

k+1

(−1)

i

(−1)i Cki−1 xn+k+1−i

Cki xn+1+k−i +

i=0

i =1

k

(−1)i Cki xn+1+k−i + xn+k+1

=
i=1
k

(−1)i Cki−1 xn+k+1−i + (−1)k+1 xn

+
i=1

5


k

(−1)i Cki + Cki−1 xn+1+k−i + xn+k+1 +(−1)k+1 xn

=
i=1
k

i
(−1)i Ck+1
xn+1+k−i + xn+k+1 +(−1)k+1 xn

=
i=1
k+1

i
(−1)i Ck+1
xn+1+k−i .

=
i=0

Theo luật quy nạp, công thức (1.1) đúng với mọi giá trị n nguyên dương.

Tính chất 1.2.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến

tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
∆k (axn + byn ) = a∆k xn + b∆k yn , k = 1, 2, ...
Thật vậy, theo (1.1) ta có
k

(−1)i Cki (axn+k−1 + byn+k−1 )

k

∆ (axn + byn ) =
i=0
k

k
i

=

(−1)

Cki

(−1)i Cki (byn+k−1 )

(axn+k−1 ) +

i=0
k

i=0
k

(−1)i Cki xn+k−1 +b

=a
i=0

(−1)i Cki yn+k−1
i=0

= a∆k xn + b∆k yn .

Tính chất 1.2.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:
6


1. Đa thức bậc m − k, nếu k < m
2. Hằng số, nếu k = m
3. Bằng 0, khi k > m.
Chứng minh. Theo Tính chất 1.2.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến
tính, nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (n) = nm là đủ.
1. Ta có
0
1
m m
∆nm = (n + 1)m − nm = Cm
+ Cm
n + ... + Cm
n − nm

0
1
m−1 m−1
= Cm
+ Cm
n + ... + Cm
n
= Pm−1 (n)

Giả sử tính chất này đúng với k = s < m, ta chứng minh nó đúng với
k = s + 1 < m. Thật vậy,
∆s+1 nm = ∆ (∆s nm ) = ∆s (n + 1)m − ∆s nm = ∆Pm−s (n) = Pm−s−1 (n)
2. Khi k = m, theo chứng minh trên ta có:
∆m nm = Pm−m (n) = P0 (n) = c = const
3. Khi k > m, ta có:
∆k nm = ∆k−m ∆m nm = ∆k−m C = ∆k−m−1 ∆C = 0

Tính chất 1.2.4.
N

∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xa
n=a

với k ∈ Z+ .
7


N

Chứng minh.

k−1

=∆

n=a
k−1

xa+1 − ∆

∆k xn =

N

∆ ∆k−1 xn

n=a
k−1
xa + ∆ xa+2 − ∆k−1 xa+1 + ... + ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xN

= ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xa
N

∆xn = xN +1 − xa .

Đặc biệt lưu ý trường hợp k = 1, ta có:
n=a

Ví dụ 1.2.1. Tính các tổng
n

k.k!;

S = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! =
k=1

S1 = 12 + 1 + 1 1! + 22 + 2 + 1 2! + ... + n2 + n + 1 n!
n

k 2 + k + 1 k!.

=
k=1

Lời giải. Ta có
k.k! = (k + 1)! − k! = ∆k!.
Vậy

n

S=

n

∆k! = (n + 1)! − 1.

k.k! =
k=1

k=1

Vì
k 2 + k + 1 k! = k 2 + 2k + 1 − k k! = (k + 1)2 .k! − k.k!
= (k + 1) (k + 1)! − k.k! = ∆ (k.k!) .

8


Nên
n

k 2 + k + 1 k!

S1 =
k=1
n

=

∆ (k.k!)
k=1

= (n + 1) (n + 1)! − 1.

Ví dụ 1.2.2. Tính các tổng Tm = 1m + 2m + 3m + ... + nm , với m =
1, 2, 3, . . .
Lời giải. Ta có
n

T1 = 1 + 2 + 3 + ... + n =

k
k=1

n

=

∆
k=1

k (k − 1) (n + 1) n
=
2
2
n

2

2

2

2

k2

T2 = 1 + 2 + 3 + ... + n =
k=1
n

=

∆
k=1

k (k − 1) (2k − 1) n (n + 1) (2n + 1)
=
6
6
n

3

3

3

3

k3

T3 = 1 + 2 + 3 + ... + n =
k=1
n

=
k=1

(k − 1) k
∆

2

2

2

n (n + 1)
=
.
2

Ví dụ 1.2.3. Tính các tổng
Sn = s inx + sin 2x + ... + sinnx.
Cn = cos x + cos 2x + ... + cos nx.
9


Lời giải. Vì ∆ cos k +
1. Nếu sin

1
1
x
x − cos k −
x = −2 sin kx sin , nên:
2
2
2

x

= 0 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z, thì
2
sin x = sin 2x = ... = sin nx = 0 ⇒ Sn = 0

2. Nếu sin

x
= 0 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z, thì
2
1
1
sin kx = −
∆
cos
k
−
x,
2 sin x2
2

nên
n

Sn =
k=1

1
sin kx = −
2 sin x2

n

∆ cos k −
k=1

1
x
2

1

1
1
x cos n + 2 x − cos 2 x
2 sin
2
nx
n+1
x sin
sin
2
2 .
=
x
sin
2
=−

Tương tự,
+ Cn = n, nếu x = 2kπ, k ∈ Z.

n+1
nx
cos
x.sin
2
2 , nếu x = 2kπ, k ∈ Z.
+ Cn =
x
sin
2

1.3. Phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức
tuyến tính giữa sai phân các cấp
F (xn , ∆xn , ∆2 xn , ..., ∆k xk ) = 0
10


trong đó xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn ; cấp lớn nhất của các sai
phân (ở đây là bằng k) là cấp của phương trình sai phân tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là
một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác
nhau có dạng:
Lh (xn ) = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xk = fn

(1.2)

trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn xác định
trên lưới có bước lưới h, còn a0 , a1 , ..., ak ; a0 = 0, ak = 0 là các hằng số

hoặc các hàm số của n gọi là hệ số
xn gọi là ẩn
fn là một hàm số của n được gọi là vế phải.
Định nghĩa 1.3.3. - Nếu fn ≡ 0 thì (1.2) gọi là phương trình sai phân
tuyến tính thuần nhất.
- Nếu fn = 0 thì (1.2) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất.
- Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , ..., ak là các hằng số, a0 = 0, ak = 0 thì phương
trình (1.2) trở thành:
Lh (xn ) = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xk = 0

(1.3)

được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với hệ
số hằng.
1.3.2. Nghiệm
Hàm số xn biến n, thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương
trình sai phân tuyến tính (1.2).
11


Định lý 1.3.1. Nghiệm tổng quát xn của (1.2) bằng tổng x˜n và x∗n , với
x˜n là nghiệm tổng quát của(1.3).
x∗n là một nghiệm riêng bất kỳ của (1.2)
Chứng minh. Thật vậy, giả sử x˜n và x∗n là 2 nghiệm của phương trình
(1.2), tức là Lh xn = fn , Lh x∗n = fn . Do Lh tuyến tính nên:
Lh xn − Lh x∗n = Lh (xn − x∗n ) = 0
tức là xn − x∗n thỏa mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát
x˜n = xn − x∗n ⇒ xn = x˜n + x∗n

Định lý 1.3.2. Nếu xn1 , xn2 , ..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của
(1.3) tức là hệ thức
C1 xn1 + C2 xn2 + ... + Ck xnk = 0
suy ra C1 = C2 = ... = Ck = 0, thì nghiệm tổng quát x˜n của (1.2) có
dạng
x˜n = C1 xn1 + C2 xn2 + ... + Ck xnk
trong đó C1 , C2 , ..., Ck là các hằng số tùy ý.
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của Lh , ta có
k

k

Ci xni =

Lh x˜n = Lh
i=1

Ci Lh xni =0
i=1

vì theo giả thiết xni là nghiệm, tức là Lh xni = 0. Vậy x˜n là nghiệm của
(1.3). Giả sử x0 , x1 , ..., xk−1 là các giá trị ban đầu tùy ý. Ta chứng minh
rằng có thể xác định duy nhất các hằng số C1 , C2 , ..., Ck để
x˜0 = x0 , x˜1 = x1 , ..., x˜k−1 = xk−1 .
12






C1 x01 + C2 x02 + ... + Ck x0k = x0




 C1 x11 + C2 x12 + ... + Ck x1k = x1
Điều này có nghĩa là hệ


..............................................




Cx
1 k−1,1 + C2 xk−1,2 + ... + Ck xk−1,k = xk−1
có nghiệm duy nhất C1 , C2 , ..., Ck với mọi vế phải x0 , x1 , ..., xk−1 .

Muốn vậy, định thức ∆ =

x01

x02

...

x0k

x11

x12

...

x1k

...

...

...

...

= 0.

xk−1,1 xk−1,2 ... xk−1,k
Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các véctơ nghiệm
xn1 , xn2 , ..., xnk .
Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm x˜n của (1.3) và x∗n của (1.2).
Vì phương trình thuần nhất (1.3) luôn có nghiệm xn = 0 , nên để tìm
nghiệm tổng quát ta tìm xn của (1.3) dưới dạng: xn = Cλn , C = 0, λ = 0.
Thay xn = Cλn vào (1.3) và ước lược cho Cλ = 0 ta được
Lh λ = a0 λk + a1 λk−1 + ... + ak = 0

(1.4)

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (cũng
xem là phương trình đặc trưng của (1.2)). Nghiệm x˜n của (1.3) và x∗n của
((1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của phương trình (1.4).

1.3.3. Nghiệm tổng quát x˜n
Định lý 1.3.3. Nếu (1.4) có k nghiệm thực khác nhau là λ1 , λ2 , ..., λk
thì nghiệm tổng quát x˜n của (1.3) có dạng
k

x˜n =

C1 λn1

+

C2 λn2

+ ... +

Ck λnk

Ci λni

=
i=1

13


trong đó Ci , i = 1, 2, ..., k là các hằng số tùy ý.
1.3.4. Nghiệm riêng x∗n
Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai
phân tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin, ở đây
chúng ta đề cập đến trong phương trình bậc 1 và bậc 2. Vì mọi phương

trình sai phân tuyến tính đều có thể đưa về phương trình sai phân bậc 1
và bậc 2. Sau đây là một số trường hợp đặc biệt có thể tìm x∗n đơn giản
hơn và nhanh hơn.
* Trường hợp fn là đa thức bậc m của n; m ∈ N
fn = Pm (n), m ∈ N
1. Nếu các nghiệm λ1 , λ2 , ..., λk là các nghiệm thực khác 1 của phương
trình đặc trưng (1.4) thì: x∗n = Qm (n), m ∈ N trong đó Qm (n) là đa
thức cùng bậc m với fn .
Ví dụ 1.3.1. Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:
xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = n + 1
Lời giải. Ta có phương trình đặc trưng

λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0 ⇒ 

λ1 = λ2 = 2
λ3 = 3

cả 3 nghiệm đều khác 1, và fn = n + 1 là đa thức bậc 1 nên ta đặt:
x∗n = an + b. Thay nghiệm x∗n vào phương trình sai phân rồi so sánh các
hệ số của các lũy thừa 2 vế ta được:
a (n + 3) + b − 7 [a (n + 2) + b] + 16 [a (n + 1) + b] − 12 (an + b) = n + 1
14


1
2
7
Với hệ số tự do ta có: 5a − 2b = 1 ⇒ b = −
4
1

7
Vậy x∗n = − n − .
2
4
2. Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = 1 bội s, thì:
Với hệ số n ta có: −2a = 1 ⇒ a =

x∗n = ns Qm (n), m ∈ N trong đó Qm (n) là đa thức cùng bậc m với fn .
Ví dụ 1.3.2. Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:
xn+4 − xn+3 − 3xn+2 + 5xn+1 − 2xn = 1.
Lời giải. Ta có phương trình đặc trưng
λ4 − λ3 − 3λ2 + 5λ − 2 = 0
có các nghiệm λ1 = 1 (bội 3) và λ2 = −2. Do fn = 1 là đa thức bậc 0,
nên ta phải tìm nghiệm có dạng: x∗ = n3 .a. Thay x∗ vào phương trình
sai phân ta được:
a(n + 4)3 − a(n + 3)3 − 3a(n + 2)3 + 5a(n + 1)3 − 2an3 = 1.
Vì hai đa thức bằng nhau khi chúng bằng nhau với mọi giá trị của đối
1
1
số, nên cho n = 0 ta được: 18a = 1 ⇒ a = . Vậy x∗n = n3 .
18
18
n
* Trường hợp fn = Pm (n) β trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của n;
m∈N
1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều là các nghiệm
thực khác β, thì x∗ có dạng:
x∗n = Qm (n) β n
trong đó Qm (n) là đa thức cùng bậc với fn
15

Ví dụ 1.3.3. Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:
xn+4 − 10xn+3 + 35xn+2 − 50xn+1 + 24xn = 48.n5
Lời giải. Ta có phương trình đặc trưng
λ4 − 10λ3 + 35λ2 − 50λ + 24 = 0
có các nghiệm λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, λ4 = 4 đều khác 5 và Pm (n) là đa
thức bậc 0. Nên x∗ = a.5n , thay vào phương trình sai phân và ước lược
hai vế cho 5n = 0 ta được a.54 − 10a.53 + 35a.52 − 50a.5 + 24a = 24a =
48 ⇒ a = 2 Vậy x∗n = 2.5n
2. Nếu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm λ = β bội s, thì tìm x∗
dưới dạng:
x∗n = ns Qm (n) β n
trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc với fn .
Ví dụ 1.3.4. Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:
xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 2n (24 − 24n)
Lời giải. Ta có phương trình đặc trưng
λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0
có các nghiệm λ1 = 2 (kép) và λ2 = 3, và Pm (n) = 24 − 24n là đa thức
bậc 1.
Do vậy phải tìm x∗n = n2 (an + b) 2n , thế vào phương trình sai phân
và ước lược cho 2n > 0 ta được:
8 [a (n + 3) + b] (n + 3)2 − 28 [a (n + 2) + b] (n + 2)2
+32 [a (n + 1) + b] (n + 1)2 − 12 [an + b] n2 = 24 − 24n.
16


So sánh các hệ số của các lũy thừa n ở hai vế ta được:

 −24a = −24

 24a − 8b = 24
giải hệ này ta được a = 1, b = 0. Vậy x∗n = n3 .2n .
* Trường hợp fn = α cos nx + β sin nx, với α, β là hằng số. Trong
trường hợp này nghiệm riêng x∗ được tìm dưới dạng
x∗n = a cos nx + b sin nx
Ví dụ 1.3.5. Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:
√
nπ
nπ
xn+3 − 2xn+2 − xn+1 + 2xn = 2 − 2 cos
+ 2 sin
4
4
Lời giải. Ta tìm nghiệm x∗ dưới dạng
x∗n = a cos

nπ
nπ
+ b sin
4
4

Thay vào x∗ phương trình sai phân và rút gọn ta được:
√
√
nπ
nπ
2 − 2 a − 2b cos
+ 2a + 2 − 2 b sin
4

4
√
nπ
nπ
+ 2 sin
= 2 − 2 cos
4
4
nπ
nπ
So sánh hệ số của cos
và sin
ở hai vế ta được:
4
4


 2 − √2 a − 2b = 2 − √2
a=1
⇒
b=0
 2a + 2 − √2 b = 2
nπ
.
4
* Trường hợp fn = fn1 + fn2 + ... + fns . Trong trường hợp này ta tìm
Vậy nghiệm x∗n = cos

nghiệm riêng x∗ni ứng với từng hàm fni , i = 1, 2, ..., s. Nghiệm riêng x∗
ứng với hàm fn là:

x∗n = x∗n1 + x∗n2 + ... + x∗ns .
17


Ví dụ 1.3.6. Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:
√
3
nπ
3
nπ
xn+4 − 3xn+3 + 3xn+2 − 3xn+1 + 2xn = sin
−
cos
+ 10.2n + 2
2
3
2
3
Lời giải. Ta có phương trình đặc trưng:
λ4 − 3λ3 + 3λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ (λ − 1) (λ − 2) λ2 + 1 = 0

λ =1
 1

 λ2 = 2
⇒

 λ3 = i

¯ 3 = −i

λ
√
3
nπ
nπ
3
Vế phải: fn = sin
−
cos
+ 10.2n + 2 = fn1 + fn2 + fn3 với
2 √ 3
2
3
3
nπ
3
nπ
fn1 = sin
−
cos
, fn2 = 10.2n , fn3 = 2. Nghiệm riêng x∗n1
2
3
2
3
nπ
nπ
∗
ứng với fn1 có dạng: xn = a cos
+ b sin

. Thay vào phương trình
3√
3
nπ
3
nπ
3
−
cos
sau khi rút gọn ta được
sai phân ứng với fn1 = sin
2
3
2
3
√
√
√
3
3
nπ
3
3
nπ
3
nπ
3
nπ
a−
b cos

+
b+
a sin
= sin
−
cos
2
2
3
2
2
3
2
3
2
3
nπ
nπ
và sin
ở hai vế ta được:
3
3
√
√


3
3
3


 a−
a=0
b=−
2√
2
2 ⇒

b=1
 3a + 3b = 3
2
2
2
nπ
Vậy nghiệm x∗n1 = sin
. Do λ2 = 2, nên nghiệm riêng x∗n2 ứng với fn2
3
∗
n
có dạng: xn2 = an2 . Thay vào phương trình sai phân ứng với fn2 ta

So sánh các hệ số của cos

được:
xn+4 − 3xn+3 + 3xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 10.2n
18


sau khi ước lược cho 2n > 0 ta được
a (n + 4) 24 − 3 (n + 3) 23 + 3 (n + 2) 22 − 3 (n + 1) 2 + 2n = 10.
Cho n = 0, ta được 10a = 10 ⇒ a = 1. Vậy x∗n2 = n.2n . Mặt khác, do

λ = 1 nên nghiệm riêng x∗n3 ứng với fn3 phải tìm dưới dạng: x∗n3 = n.a.
Thay vào:
xn+4 − 3xn+3 + 3xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 2
ta được:
a [n + 4 − 3 (n + 3) + 3 (n + 2) − 3 (n + 1) + 2n] = 2
⇒ −2a = 2 ⇒ a = −1 .Vậy x∗n3 = −n. Vậy nghiệm riêng x∗n ứng với fn
là:
x∗n = x∗n1 + x∗n2 + x∗n3 = sin

nπ
+ n.2n − n.
3

1.4. Phương trình sai phân phi tuyến tính
Một số bài toán sai phân không tuyến tính ta có thể đổi biến để đưa
về phương trình sai phân tuyến tính được gọi là tuyến tính hóa.
Một số bài toán có hệ số thay đổi nhiều khi cũng có thể biến đổi để
đưa về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân. Sau
đây ta lấy một số ví dụ minh họa cho ý nói trên.
Ví dụ 1.4.1. Cho dãy số xn =

x2n−1 +2
xn−2 , n

= 3, 4, ...; x1 = x2 = 1 ta có thể

tuyến tính hóa như sau: Tìm xn = a1 xn−1 + a2 xn−2 + b. Theo công thức
19